光谱线的精细结构

（6.5.18）
me e 2
则
Enl , j l 1 2 Enl , j l 1 2
me c 2 Z n (0) En 2 n (2l 1)(l 1)
4
4
（6.5.19）
e2 1 其中 称为精细结构常数。 c 137
2 m c n Z (0) e En 2 n l (2l 1)
因此， Lz , S z 都与 H 不对易，这时电子的态不能用量子数 ml 和 ms 来描述，或者说 ml 和 ms 不是好量子数。 另一方面，由于 J ( L S ) L S 2L S ， S 3
2 2 2 2 2 2
2 1 2 3 则 （6.5.9） L S = [J L 2 ] 2 4 2 2 所以 J , J z , L 都和 H 对易， j , m, l 都是好量子数。
6.5 光谱线的精细结构
作为角动量耦合计算的一个例子，本节讨论在无外 场情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线结构的影 响。 电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用，但这种 相互作用的能量和电子的动能，以及电子在核的力场中 的势能相比是很小的。如果不考虑电子自旋与轨道相互 作用的能量，则类氢原子的哈密顿量可写为：
1 d (r ) U (r ) 2 2 2me c r dr
（6.5.5）
于是体系的哈密顿量写为：
H
2
2
2 U (r ) (r )
（6.5.6） （6.5.7） （6.5.8）
H0 H
由于
[ Lz , L S ] 0 [Sz , L S ] 0
6.5 光谱线的精细结构
令
Cljm nljm
ljm
（6.5.11）
简并微扰的久期方程为
(1) [ H E l l j j mm ]Cljm 0 l jm,ljm ljm
（6.5.12）
6.5 光谱线的精细结构
其中 H lj m,ljm nl j m H nljm
（6.5.20）
6.5 光谱线的精细结构
由于 H lj m,ljm 是对角矩阵，因此 H 0 在耦合表象中的基矢就 是零级波函数 nljm，用无耦合表象的波函数表示为
两两相互对易，所以，体系的定态也可用 L , J , J Z , H0 的共同本征函数来描写： （6.5.4） nlml ms (r, , , Sz ) Rnl ljm ( , , Sz )
2 2
6.5 光谱线的精细结构
（6.5.4）所表示的波函数是耦合表象的基矢。
现在我们把自旋和轨道运动之间的相互作用能考虑进 去，这个能量为：
H0
2
2
2 U (r )
（6.5.1）
对于类氢原子，如果不考虑核外电子对核的屏蔽，则
Zrs2 U (r ) r
（6.5.2）
6.5 光谱线的精细结构
H0、 L、 Lz、 Sz 都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合
2
表象）
nlm m (r, , , Sz ) Rnl Ylm ( , ) m
于是有：
E
(1)
3 2 [ j ( j 1) l (l 1) ] Rnl (r ) (r )r 2 dr H nlj 2 4 0
2
（6.5.17）
(1) E (1)表示微扰对能量的一级修正值。注意到 E 只与 n, l , j 有关，而与 m 无关，因此简并只是部分解除，仍存在对量 子数 m的 2 j 1 度简并。当 n, l 给定后，j 的取值为 j l 1 2 （除 l 0 外），因此，自旋轨道耦合也消除了部分简并， 使原来对应于 n, l 量子数的能级 Enl 分裂为两个能级。由于 两个能记得差别很小，从而导致了光谱线精细结构的出现。
2 2
则 Hljm,ljm = R (r ) (r )r dr
0
3 [ j ( j 1) l (l 1) ] jj ll mm 2 4
所以（6.5.12）可化为 E (1) ]Cljm 0 [ H nlj
（6.5.15）
（6.5.16）
6.5 光谱线的精细结构
2 = Rnl (r ) (r )r 2 dr l j m L S ljm 0
（6.5.13）
而
2 1 2 3 l j m L S ljm l j m [ J L 2 4 2
2
] ljm
（6.5.14）
=wenku.baidu.com
2 nl
3 [ j ( j 1) l (l 1) ] jj ll mm 2 4
4
H 的本征函数就是耦合表象的基矢。而 H 的本征函 数和本征值可由H 的本征方程
H ( H0 H ) E
（6.5.10）
求出。
6.5 光谱线的精细结构
H H 0 ，我们可以用微扰论的 由与在一般情况下， 方法进行求解。又由于H 0 的本征值简并，须采用简并微 扰论来讨论。将 按 H 0 的本征函数展开。考虑到 H 与 2 2 H 与 Lz , S z 不对易，显然用 H 0 在耦合表象 J , J z , L 对易， 中的本征函数（6.5.4）展开计算时要方便得多。
l s l
s
（6.5.3）
其中，ms
1 ml 是磁量子数。 ms 是自旋 S z 的本征值， ， 2
描写电子态的四个量子数由 n、l、ml、ms 来确定。电 ms 可取两个值， 子的能级 En 有 n 2 度简并。考虑电子自旋， 因而能级的简并度为 2 n 2 。 2 2 以 J L S 表示电子的总角动量算符。因为 L , J , J Z , H0
下面我们来计算类氢原子 2 p 项（ n 2, l 1）的精细 结构。
6.5 光谱线的精细结构


0
Z e2 R (r ) (r )r dr= 2me c 2
2 nl 2


0
2 Rnl (r ) dr r
其中 a0
2
e2 Z4 = 3 2me c 2 a0 n3l (l 1 2)(l 1)