九年级数学几何不等式例题讲解

九年级数学几何不等式例题讲解
知识点、重点、难点
所谓几何不等式，指不等关系出现在几何问题之中，它将几何的论证与不等式的技巧有机结合在一起，其综合性与难度都较高。

有关几何不等关系的性质和定理如下：
1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2.三角形的外角大于任一不相邻内角。

3.同一三角形中大角对大边，大边对大角。

4.两点之间直线段最短。

5.两边对应相等的两个三角形中，所夹的角越大，则第三边越大。

6.两边对应相等的两个三角形中，第三边越大，则它所对的角越大。

7.直角三角形的斜边大于任一直角边。

8.同圆或等圆中，弧长越长，所对的圆心角以及圆周角越大。

9.同圆或等圆中，直径大于任何一条非直径的弦。

可以看到，几何不等式的基础大多数源于三角形中，所以三角形中的不等式是占绝大多数的，而很多包括四边形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系，因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点。

要注意到，很多几何不等式实际上是代数不等式，还有相当一部分几何不等式的证明过程中用到了经典的代数不等式，其中最常用到的是均值不等式和柯西不等式。

柯西不等式：设1212,,,,,,n n x x x y y y R ∈
则22
222
2
212121122()()().n n n n x x x y y y x y x y x y ++
+++
+≥++
+
当且仅当
i
i
x y λ=（λ为常数，1,,i n =）时，等号成立。

均值不等式：设12,,0,n x x x >
则1
2n x x x n
+++
≥
例1：已知AD 是△ABC 的∠A 的平分线，过A 作直线PQ ⊥AD ，M 是PQ 上任一点，求证：MB ＋MC >AB ＋AC .
分析 欲证MB ＋MC >AB ＋AC ，如能适当地进行变换将MB 、MC 、AB 、AC 集中到一个三角形内，问题就好解决了。

因为PQ ⊥AD ，则PQ 平分∠BAC 的外角∠BAC ，如以PQ 为轴将△AMB 翻转180°，AB 将落在AF 上。

设B 的对应点为B'，则MB 落到MB '位置，在△MB'C 中可证得本题结论。

证明 如图所示，在CA 延长线上取AB'=AB ，连结MB'．因为PQ ⊥AD ，而AD 平分∠BAC ，所以PQ 平分∠BAB'，所以∠B'AM =∠BAM .又AM=AM ，所以△B'AM ≌△BAM ，因此MB' =MB ．在△MB'C 中，MB'＋MC ＞B'C ，即MB ＋MC ＞B'C =AB'＋AC =AB ＋AC ．
例2：如图，已知凸四边形ABCD 中，AC 交 BD 于O ，△AOB 的面积为1A ，△COD 的面积为2A ，凸四边形面积为A .
≤
分析 利用等高的两个三角形的而积比等于对应底的比，由比例把四个三角形面积联系起来。

证明 设34,.AOD BOC S A S A ∆∆==因为A O D S ∆与AOB S ∆有等高，所以
13.A O B A O D S A OB S OD A ∆∆==同理4
2
A O
B OD A =
，即1234
A A A A =.
又因为2
340A A ≥⇒+≥
所以12A A ++=
121234A A A A A A A +++++=
，即2.A ≤
≤
说明 此题用到了不等式的放大，利用了公式222()02.a b a b ab -≥⇒+≥
例3：如图，设O 为△ABC 内一点，且∠AOB =∠BOC =∠COA=120°，P 为任意一点（不是O ）． 求证：PA ＋PB ＋PC ＞OA ＋OB ＋OC .
证明 如图，过△ABC 的顶点A 、B 、C 分别引OA 、OB 、OC 的垂线，设这三条垂线的交点为1A 、1B 、1C -考虑四边形1AOBC .因为1OAC ∠=1OBC ∠=90°，∠AOB =120°，所以1C ∠= 60°.同理，1A
∠ = 1B ∠=60°，所以111A B C ∆为正三角形。

设P 到111A B C ∆三边111111B C C A A B 、、的距离分别为123h h h 、、，且111A B C ∆的边长为a ，
高为h .由等式111111111A B C PB C PC A PA B S S S S ∆∆∆∆=++知111
222
a b ha h a h a =++
1
2
c h a ，所以.a b c h h h h =++这说明正111A B C ∆内任一点P 到三边的距离和等于111A B C ∆的高h ，这是一个定值，所以OA ＋OB ＋OC = h =定值，显然PA ＋PB ＋PC >P 到，111A B C ∆三边距离和，所以PA ＋PB ＋PC ＞h = OA ＋OB
＋OC .
说明 这是费马点问题。

由这个结论可知O 点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点。

例4：如图338，AH 、AD 、AM 分别是△ABC 中的高、角平分线和中线，且AD 平分∠HAM ，求证：2
AD <AM ·AH . 分析 在所要证的不等式中的三条线段中，设法更换其中的一条，如果把AH 或AM 换成稍短一些的线段，或把线段AD 换成稍长一些的线段，使不等式成为等式，问题就可归结为对等式的证明。

为此，可如图338、339作∠ADE = ∠AMD 或作∠ADF = ∠AHD ．也可如图340、341作∠AHG =∠ADM ，或作 ∠ANM =∠AHD .
证法一 如图338，∠ADH 是△ADM 的外角，所以∠ADH >∠AMD ，于是可在∠ADH 内，作∠ADE =∠AMD ，交AH 于E .由于AD 平分∠HAM ，所以△ADE ∽△AMD ，从而AM ：AD =AD ：AE .注意到AE <AH ，便有2
AD ＜AM ·AH . 证法二 类似于证法一，如图339，在AM 上取一点F ，使∠ADF = ∠AHD .同样△ADF ∽△AHD ，进而知2
AD <AM ·AH .
证法三 如图，在AD 的延长线上取一点G ，使∠AHG =∠ADM .从而证AD ·AG =AM ·AH ，进而知2AD <AM ·AH .
证法四 类似证法三，如图341，在AD 的延长线上取一点N ，使∠ANM =
∠AHD .类似地可证AD ·AN =AM ·AH ，进而2
AD <AM ·AH .
说明 对于不可能有等号出现的不等式，本题的证明方法具有一定代表性。

另外在本题的证明中，并没有直接用到AH 、AD 、AM 是△ABC 的高、角平分线和中线的条件，实际我们只需要AD 是∠HAM 的角平分线的条件就够了。

例5：试证：三角形中任一点到三顶点距离之和不小于此点到三边距离之和的2倍。

如图，求证PA ＋PB ＋PC ≥2（PD ＋PE ＋PF ）．
证明 如图，过点P 作直线MN ，分别与AB 、AC 交于点M 、N ，并使得∠AMN =∠ACB ，∠ANM =∠ABC .因为
AMN APM APN S S S ∆∆∆=+，所以111222MN PA AM PF AN PE ≥+，即AM PA MN ≥
，.AN
PF PE MN
+根据直线MN 的作法，△AMN ∽△ACB ，故
,A M C A M N B C =,A N A B M N B C =因此.C A A B
P A P F P E B C B C
≥+同理可得,A B B C P B P D P F
C A C A
≥+
,.BC CA
PC PE PD AB AB ≥
+将上述三式相加得PA PB PC ++≥ ()()().AB CA BC AB CA BC PD PE PF CA AB AB BC BC CA +++++当0a >时，12,a a +≥因此上式变成PA ＋PB ＋PC ≥2（PD ＋PE ＋PF ）．
说明 这是厄尔多斯-莫代尔不等式。

例6：如图，平面上有n ＋2个点1A 、2A 、…n A 、P 、Q ，其中1A 、2A 、…n A 都不在PQ 上，且
1212n n PA PA PA QA QA QA S ++++++
+=，M 为线段PQ 的中点。

求证：12.2
n S
MA MA MA +++<
分析 连结i AP 、i AQ ，可将问题转化为三角形问题，这样得到n 个有公共底边PQ 的三角形，那么i A M 就是这n 个三角形的中线，因此将i A M 延长至i G ，使i i
G M AM = (i =1，2，…，n )． 证明 由条件可知12n A M A M A M 、、、是这n 个三角形的中线，对于1A PQ ∆，延长1A M 至1G ，使11G M A M =连结1G Q ，则1M G Q ∆≌1MA P ∆．因为11,A P G Q =所以11111112,AQ
G Q AQ A P AG A M +=+>=即1112AQ A P A M +>.同理2222,,2,n n n A Q A P A M A Q A P A M +>+>相加可得 11221
2()2().n n n AQ A P A Q A P A Q A P AM A M A M ++++++>+++ 所以121211(2n n MA MA MA AQ A Q A Q A P +++<++++2).2
n
S
A P A P +=。