集合的概念与运算例题及答案
集合考试题及答案
集合考试题及答案集合是数学中的一个基本概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
以下是一些集合考试题及其答案，供参考：题目一：定义集合A={x | x是自然数，且1≤x≤10}，集合B={y |y是偶数}。
求A∩B。
答案：集合A包含自然数1到10，即A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
集合B包含所有的偶数。
A与B的交集是同时属于A和B的元素，即A∩B={2, 4, 6, 8, 10}。
题目二：集合C={x | x是整数，且-5≤x≤5}，集合D={y | y是正整数}。
求C∪D。
答案：集合C包含从-5到5的所有整数，即C={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
集合D包含所有的正整数，即D={1, 2, 3, ...}。
C与D的并集是包含C和D所有元素的集合，但去除重复元素。
因此，C∪D包含了从-5到无穷大的所有整数，由于题目限制，我们只列出到5，即C∪D={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
题目三：集合E={x | x是奇数}，集合F={y | y是3的倍数}。
求E∩F。
答案：集合E包含所有的奇数，集合F包含所有3的倍数。
E与F的交集是同时满足奇数和3的倍数的元素。
这些元素是3的奇数倍，即E∩F={3, 9, 15, ...}，但题目中没有指定范围，我们只列出前三个元素。
题目四：集合G={x | x²=1}，求G。
答案：集合G包含满足x²=1的所有x值。
解这个方程，我们得到x=1或x=-1。
因此，G={1, -1}。
题目五：集合H={x | x²-4=0}，求H。
答案：集合H包含满足x²-4=0的所有x值。
解这个方程，我们得到x²=4，所以x=2或x=-2。
因此，H={2, -2}。
总结：集合论是数学的基础之一，它涉及到元素与集合之间的关系，包括交集、并集、补集等概念。
第1课 集合的概念及运算(经典例题练习、附答案)
第1课 集合的概念及运算◇考纲解读理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.◇知识梳理1.集合的基本概念：(1)一般地，我们把研究对象统称为_________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中的元素具有的三个特性是:____________、____________、___________.(3)集合有三种表示方法: 、 、 .还可以用区间来表示集合.(4)集合中元素与集合的关系分为______与______两种，分别用_____和_______来表示.(5)表示实数集的符号是_____;表示正实数集的符号是______;表示有理数集的符号是____; 表示整数集的符号是_____;表示自然数集的符号是_____;表示正整数集的符号是_____.2.集合间的关系:（1）若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的__ _,记作_ _.（2）对于两个集合A,B,若___________且___________,则称集合A=B.（3）如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的__________,记作___________.（4）___________________叫空集,记作______,并规定:空集是任何集合的_______.3.集合的基本运算:（1）A B =_______________________.（2）A B =_______________________.（3）若已知全集U,集合A U ⊆,则U C A =________________.4.有限集的元素个数若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有_____个，真子集有_____，非空子集有_____个， 非空真子集有_____ 个．◇基础训练1. (2008韶关一模)设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则AB =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A BCD ----2. (2007韶关二模)设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ）A .φB .{}7C .{}654321，，，，， D .{}7654321，，，，，， 3.（2007广州一模）如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B. )A C (B UC. A BD. )B C (A U4.(2008深圳一模)设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}◇典型例题例1． (2007佛山一模) 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )． A ．}01|{>x x B .｛x | x ＞0｝ C .｛x | x 0≥｝ D . }01|{≥xx变式：集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.例2．已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈， 如果A ∩B=B ，求实数a 的取值范围。
高三数学集合的概念试题答案及解析
高三数学集合的概念试题答案及解析1.设集合，，若，则的值为（）A．B．1C．D．0【答案】D【解析】由题意得且，则，，所以．【考点】集合的运算与集合的元素．2.对于集合，定义集合，记集合中的元素个数为．若是公差大于零的等差数列，则=____________．【答案】17【解析】不妨设，由题意，集合中最小项为，最大项为，对任意的，如果，则可取，若，可取，显然由于，有，即，所以.【考点】集合的元素.3.若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．【答案】3【解析】具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，4.若集合A＝{0，1}，B＝{－1，a2}，则“a＝1”是“A∩B＝{1}”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝1A∩B＝{1}；A∩B＝{1}a＝±1，故为充分不必要条件．5.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝________.【答案】M∩N＝{2,3}【解析】M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．6.已知全体实数集，集合（1）若时，求；（2）设，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）集合的运算，要先确定集合中的元素时，，,则，并集就是两集合的所有元素组成，要注意几何元素的互异性.（2）即集合A中的元素都在集合B中，所以.试题解析：（1）当时，,则故（2），，若，则【考点】1、集合的运算；2、集合见得关系；3、集合中元素的确定性.7.设集合，，则使M∩N＝N成立的的值是（）A．1B．0C．－1D．1或－1【答案】C【解析】由于集合中的元素互不相同，所以.又因为M∩N＝N，所以.【考点】集合的特征及集合的基本运算.8.已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】(1)求集合，要认清这个集合的代表元是什么？这个代表元具有什么性质？也即这人集合实质是什么？象本题中集合实质就是不等式的解集，故我们只要解这个不等式即可，当然分式不等式的解法是移项，把不等式的右边变为0，左边变成若干因式的积或商，再转化为整式不等式，还要注意的转化时要注意等价转化(主要是原分式不等式中分母不能为0)；(2)条件，说明，不需要求出，而是利用集合的关系解决问题.试题解析：解：（1）由，得 2分所以 2分（2） 2分2分由，得 2分所以或所以的范围为 2分【考点】（1）分式不等式；（2）子集的性质.9.若集合，则满足条件有个.【答案】3【解析】集合A显然一定含有元素1,2，而元素3,4可以都没有，也可以有一个，但不能两个都含有，故这样的A有3个，实质是这里集合A的个数是集合的真子集的个数．【考点】子集．10.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②若则；③若则．其中正确命题的是 ( )A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】D【解析】①若则，根据“当时，有”可得即，所以正确；②若则或，根据题意可得，所以正确；③若则，所以正确.【考点】集合的概念11.设集合，.（1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，集合就是函数的定义域，解不等式就可得到集合；（2）由知，集合是不等式的解集，在解不等式时可先化为一元二次不等式，然后对相应方程的根的大小进行讨论，具体化集合，再由确定的取值范围.试题解析：（1）当1时，，由， 3分解得，所以集合； 7分（2）因为，则， 8分由，得．（ⅰ）当时，，显然不满足题意； 10分（ⅱ）当时，，由题意知解得. 13分综上所述，所求的取值范围是. 14分【考点】集合的运算、子集的含义.12.已知集合，则的所有非空真子集的个数是．【答案】【解析】,则，则，即.故中共有9个元素，因此的所有非空真子集的个数是个.【考点】1.集合中元素的确定；2.集合的子集个数.13.若集合则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，∵，∴，∴，∴是的充分不必要条件.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.绝对值不等式的解法；3.集合间的关系；4.充分必要条件. 14.设集合，，，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意知，，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B.【考点】集合的概念15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={，,…, },定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中==…==1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于________________;若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100满足P1+Pi+1="1," 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列”q1，q2，…,q100满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___________.【答案】2；17【解析】（1）子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…,0，故前3项和为2；（2）依题意，E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0…，1；E 的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0…，1,0；将目标转化为求数列与数列在时有几个公共元素，可知有17个.16.集合的元素个数是 ( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】={0,1,2}，所以，集合的元素个数是3个，故选C。
高三数学集合的概念试题答案及解析
高三数学集合的概念试题答案及解析1.若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.【答案】6【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得.由即.可得.两种情况.由.所以有一种情况.由即.可得.共三种情况.综上共6种.【考点】1.集合的概念.2.递推的数学思想.3.分类的数学思想.2.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有．（把所有正确的序号都填上）【答案】①③【解析】由定义可知．，运算“”为普通加法，（ⅰ）显然符合，令，所以（ⅱ）符合，由此（ⅲ）、（ⅳ）符合.所以①正确；，运算“”为普通减法不存在,使得对，都有.所以②不正确；，运算“”为普通乘法．（ⅰ）显然符合，存在.所以（ⅱ）符合，显然（ⅲ）、（ⅳ）符合条件.综上①③符合题意.【考点】1.新定义的问题.2.数集的运算.3.列举递推的思想.3.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值．【答案】a＝0【解析】由题意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴ a＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，∴ a＝0即为所求．4.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为.【答案】-3【解析】|x-2|≤5,∴-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,∴满足条件的最小整数为-3.5.已知集合A、B，定义集合A与B的一种运算A⊕B，其结果如下表所示：A{1,2,3,4}{－1,1}{－4,8}{－1,0,1}【答案】{－2011，2012，－2012,2013}【解析】由给出的定义知集合A⊕B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}．故M⊕N＝{－2 011，2 012，－2 012,2 013}6.已知集合A={x|x≥0},B={0,1,2},则()A．A⊆B B．B⊆AC．A∪B=B D．A∩B=∅【答案】B【解析】显然B⊆A,A∪B=A,A∩B=B.7.A={x|x≠1,x∈R}∪{y|y≠2,y∈R},B={z|z≠1且z≠2,z∈R},那么()A．A=B B．A BC．B A D．A∩B=⌀【答案】C【解析】集合中的代表元素与用什么字母表示无关.事实上A=(-∞,1)∪(1,+∞)∪(-∞,2)∪(2,+∞)=(-∞,+∞),集合B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以B A.8.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝________.【答案】M∩N＝{2,3}【解析】M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．9.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a≠0时，方程有实根，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1.若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.10.设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a＝。
第1讲 集合的概念和运算
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1. 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．答案 C2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个解析因为M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，所以P＝M∩N＝{1,3}，所以集合P的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．答案B3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M＝{1,4}．答案 A4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．A．2 B．3 C．4 D．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．答案 B5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A6．设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x∉N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|y＝x，x∈【0,9】}，则M*N＝()A．(－∞，0】B．(－∞，0)C．【0,2】D．(－∞，0)∪(2,3】解析y＝log2(－x2－2x＋3)＝log2【－(x＋1)2＋4】∈(－∞，2】，N中，∵x∈【0,9】，∴y ＝x∈【0,3】．结合定义得：M*N＝(－∞，0)．答案B二、填空题7．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．解析A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}．∴A∩Z＝{0,1,2}，即0＋1＋2＝3.答案38．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a＝2.答案 29．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案{(0,1)，(－1,2)}10．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________.解析由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．答案[0,1)∪(3，＋∞)三、解答题11．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.解∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴⎩⎨⎧ －a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.13．已知集合A ＝{x|x2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)若A∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁RB ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)∵A∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁RB ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁RB ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.14．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；解 集合A 是方程ax2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎨⎧ a≠0，Δ＝－32－8a<0，∴a>98.即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23；当a≠0且Δ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43. ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.。
高二数学集合的概念试题答案及解析
高二数学集合的概念试题答案及解析1.若集合A={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x∈A，1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】，因此，同理可知，而，所以，答案选B．【考点】集合的定义与运算2.如图是集合的知识结构图，如果要加入“全集”，则应该放在（）A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位【答案】D.【解析】根据“全集”是在补集运算中特概念知，要想加入“全集”，则应该放在“集合”的下位“集合的运算”的下位“基本运算”的下位上，进而得到答案为D．【考点】结构图.3.下面四个命题中正确命题的个数是（）.①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确.【考点】命题真假的判定.4.已知集合，.（1）若= 3，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.【解析】（1）先解出集合A、B，再把= 3代入，即可求；（2）若，写出满足条件的式子，解出实数的取值范围.（1） 4分当m=3时 7分（2） 14分【考点】集合之间的关系、集合的运算.5.若集合有且仅有2个子集，则实数的值是 ( )A．-2B．-2或-1C．2或-1D．2或-1【答案】D【解析】要使得一个集合有且仅有2个子集，则须使集合有且仅有1个元素.因此方程要么有且仅有一个实根，即要么有且仅有两个相等的实根.由得或所以选D.【考点】集合的子集个数，方程的根与系数关系6.集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．【答案】（1）a＝5.（2）a=－2【解析】由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：解之得a＝5.(2)由A∩B∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意【考点】集合的混合运算点评：主要是考查了集合之间的关系以及基本运算的综合运用，属于基础题。
集合的概念与运算例题及答案
集合的概念与运算例题及答案1 集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点：1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法何时用描述法},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗 }1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈，⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
集合经典练习题含答案
集合学习过程一、复习预习考纲要求：1理解集合的概念。
2.能在具体的数学环境中，应用集合知识。
3 •特别是集合间的运算。
4•灵活应用集合知识与其它知识间的联系，集合是一种方法。
二、知识讲解1.集合的相关概念基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法集合元素的特征：确定性、互异性、无序性常见的数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集2集合间的关系任何一个集合是它本身的子集，记为 A A ；空集是任何集合的子集，记为 A ；空集是任何非空集合的真子集；n元集的子集个数共有2个；真子集有2 -1个；非空子集有2 -1个；非空的真子集有2 - 2个.3.集合间的运算交：A P1B {x|x A,且x B}并：AU B = {x|x A或x B}补：QjA= {x U ,且x - A}4主要性质和运算律包含关系.A A" AA U,C U A U,口 、• A 匸 B,B§C= AQC; A,A["]B§ B; AUB ：A,AUBmB.等价关系：A Bu A D B 二 Au AUB 二 Bu GAU B 二U集合的运算律：交换律：A B=B A; A B=B A. 新课标第一网结合律:(A B) C=A (B C);(A B) C=A (B C)A (B C) =(A B) (A C); A (B C) =(A B) (A C)三、例题精析考点一子集、真子集【例题1】：集合{-1,0,1}共有 ____________ 个子集【答案】：8【解析】：n 元集的子集个数共有2n 个，所以是8个。
k 1 k 1【例题 2】：设集合 M ={x|x =—+ —,k ^ z}， N ={x|x=—+ —,k ^ Z}，则2 4 4 2(A )M 二 N ( B )M 二 N ( C )M -： N ( D ) M N =： 一【答案】：B【解析】：由集合之间的关系可知， M N ，或者可以取几个特殊的数，可以得到B考点二集合的简单运算【例题3】：已知集合M ={1,2,3}, N ={2,3,4},贝UA. M ±NB. N ±MC. M 一 N ={2,3}D. M L )N ={1,4}【答案】:C【解析】：根据集合的运算，正确的只有 Co【例题 4】:设集合 U ={1,2,3,4,5 }, A = {1,2,3 },B ={2,3,4}，则 C U (A “B)=()(1) (2) (3) 分配律:.【答案】：C u(A B) ={1,4,5}【解析】：因为A B .{2,3}，所以C u(A B) ={1,4,5}。
集合运算参考答案大全
集合运算参考答案大全集合运算参考答案大全集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。
在集合论中，集合运算是对集合进行操作和处理的方法。
本文将为大家提供一个集合运算参考答案大全，帮助大家更好地理解和应用集合运算。
一、集合的基本概念在介绍集合运算之前，我们首先需要了解一些基本的集合概念。
1. 集合：集合是由一些确定的元素组成的整体。
例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的元素是1、2和3。
2. 元素：集合中的每个个体都称为元素。
例如，集合{1, 2, 3}中的1、2和3就是元素。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
4. 子集：如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B 的子集，用符号A⊆B表示。
5. 并集：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合称为并集，用符号A∪B表示。
6. 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的新集合称为交集，用符号A∩B 表示。
7. 补集：在某个全集中，与一个集合A不相交的所有元素组成的集合称为A的补集，用符号A'表示。
二、集合运算参考答案大全1. 并集的运算法则：- 交换律：A∪B = B∪A- 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)- 吸收律：A∪(A∩B) = A- 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)2. 交集的运算法则：- 交换律：A∩B = B∩A- 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)- 吸收律：A∩(A∪B) = A- 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)3. 补集的运算法则：- 补集的补集：(A')' = A- 补集的交集：A∩A' = ∅- 补集的并集：A∪A' = 全集4. 子集的运算法则：- 自反律：A⊆A- 反对称律：如果A⊆B且B⊆A，则A=B- 传递律：如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C5. 其他集合运算法则：- 对称差：A△B = (A∪B) - (A∩B)- 笛卡尔积：A×B = {(a, b) | a∈A, b∈B}三、集合运算的应用集合运算在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
集合的基本概念与运算习题
题型一集合的基本概念【例1】(2009·山东)集合A={0,2,a},B={1,a 2},若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.4解∵A={0,2,a},B={1,a 2},A ∪B={0,1,2,4,16},Q a 2=16;a=4∴a=4.知能迁移1设a,b ∈R ，集合{1,a+b,a}=则b-a 等于()A.1B.-1C.2D.-2解析∵a≠0,∴a+b=0又{1,a+b,a}=∴b=1,a=-1.∴b-a=2.题型二集合与集合的基本关系【例2】已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=（1）若A B ，求实数a 的取值范围；（2）若BA ，求实数a 的取值范围；（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由.解{0,,},bb a1.ba \=-1{|2}.2x x -<£ÍÍ{0,,},bb a(1)当a=0时，若A B ，此种情况不存在.当a<0时，若AB ，如图,当a>0时，若A B ，如图,综上知，当AB 时，a<-8或a ≥2.（2）当a=0时，显然B A ；当a<0时，若B A ，如图,当a>0时，若B A ，如图,综上知，当B A 时，（3）当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.知能迁移2已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B A ，求实数a.解A={3，5}，当a=0时，当a ≠0时B=要使B A ，Í4182,,8.1122a a a a aìì<->-ïïï\\<-íí£-ïï-£îïî则Í1122,. 2.422a a a a aì-³-ïì³ïï\\³íí³ïïî£ïî则ÍÍÍ41812,.0;11222a a a a aìì³-£-ïïï\\-<<íí>-ïï->îïî则..,202224211£<\îí죣\ïïîïïíì³-£-a a a aa 则ÍÍ1|22a a ìüïï-<£íýïïîþÍ;B A =ÆÍ1{}.aÍ1135,a a ==则或1111.0.3535a a a ===即或综上或或Í题型三集合的基本运算【例3】已知全集U={1，2，3,4,5},集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x=2a ，a ∈A},求集合∁U(A ∪B)中元素的个数.解∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，∴B={x|x=2a ，a ∈A}={2，4}，∴A ∪B={1，2，4},∴∁U(A ∪B)={3，5}，共有两个元素知能迁移3(2009·全国Ⅰ)设集合A={4，5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A ∪B,则集合∁U(A ∩B)中的元素共有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个解析∵A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},∴A ∪B={3,4,5,7,8,9},A ∩B={4,7,9},∴∁U(A ∩B)={3,5,8},∴∁U(A ∩B)共有3个元素.强化练习1.（2010陕西文数）1.集合A ={x－1≤x ≤2}，B ＝｛xx ＜1｝,则A ∩B =[D](A){x x ＜1}（B）{x －1≤x ≤2}(C){x－1≤x ≤1}(D){x－1≤x ＜1}解析：本题考查集合的基本运算由交集定义得{x－1≤x ≤2}∩｛xx ＜1｝={x －1≤x ＜1}2.（2010辽宁文数）（1）已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（A）{}1,3（B）{}3,7,9（C）{}3,5,9（D）{}3,9解析：选D.在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成.U C A3.（2010辽宁理数）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ∁B ∩A={9},则A=（A ）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力。
专题02：集合知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习
专题2：集合知识点与典型例题（解析版）考点一：集合的定义及其关系基础知识复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表+示实数集.1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错.故选：B2．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【分析】根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论. 【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；”不确定，不能构成集合； 故③④正确. 故选：A.3．能够组成集合的是（ ） A ．与2非常数接近的全体实数 B ．很著名的科学家的全体 C ．某教室内的全体桌子 D ．与无理数π相差很小的数 【答案】C 【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可 【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈ B ．0Z ∈C ．32Q ∈ D ．Q π∈【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】根据元素与集合的关系可得0N ∈，0Z ∈，32Q ∈，Q π∉，故D 不正确，符合题意. 故选：D.5．设A ＝{y |y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m ∈A ，则必有（ ）A ．m ∈{正有理数}B ．m ∈{负有理数}C ．m ∈{正实数}D ．m ∈{负实数}【答案】D 【分析】求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果 【详解】解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-， 所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭；∴若m ∈A ，则m ＜0，所以m ∈{负实数}. 故选：D.6．(){}2414M x R k x k=∈+≤+，对任意的k ∈R ，总有（ ）A ．2,0M M ∉∉B ．2,0M M ∈∈C ．2,0M M ∈∉D ．2,0M M ∉∈【答案】B 【分析】依次将0x =和2x =代入讨论求解即可得答案. 【详解】解：将0x =代入得440k +≥显然成立，故0M ∈ 将2x =代入不等式得42422k k +≥+，即()22110k +≥﹣ ，显然成立，∴2M ∈；所以2,0M M ∈∈ 故选：B .（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 7．用描述法表示正偶数集______. 【答案】{|2,}x x n n N *=∈ 【分析】用描述法表示出正偶数集即可.【详解】因为偶数可以表示为2()n nN ，所以正偶数集为{|2,}x x n n N *=∈， 故答案为：{|2,}x x n n N *=∈.8．用列举法表示方程组02x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为_________.【答案】(){}1,1 【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合. 【详解】 解：解方程组02x y x y -=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，故方程组解的集合为：(){}1,1.故答案为：(){}1,1（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等9．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-【答案】B 【分析】根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.10．已知集合{}*A 2,n n x x N ==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B =【答案】A 【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答. 【详解】A. *n 2,n N ∀∈为偶数，故2n B ∈，故A B ⊆B. 6,6B A ∈∉，故B 错C. 4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错D. 6,6B A ∈∉,故D 错 故选：A11．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ）A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤【答案】C 【分析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 【详解】解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C12．已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（ ）A ．{}2,4,5B ．{}1,2,5C ．{}1,6D ．{}1,3【答案】D 【分析】由图可得B A ⊆，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：B A ⊆，{}1,2,3A =，由选项可知：{}1,3A ⊆， 故选：D.（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.13．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ） A ．16 B ．8C ．7D ．4【答案】C 【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可. 【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．14．集合A ＝{a ，b ，c ，d }非空子集的个数是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【分析】根据集合A 的元素个数求解. 【详解】∵集合A ＝{a ，b ，c ，d }中有4个元素， ∴非空子集的个数为：24﹣1＝15， 故选：C.考点二：集合的基本运算 基础知识复习1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。
集合复习题带答案解析
集合复习题带答案解析集合是数学中的基本概念之一，它描述了一组元素的全体。
在高中数学中，集合的概念和运算是基础中的基础。
以下是一些集合的复习题以及相应的答案解析。
题目1：已知集合A={x | x > 3}，集合B={x | x < 5}，求A∩B。
答案：A∩B = {x | 3 < x < 5}解析：集合A包含所有大于3的元素，集合B包含所有小于5的元素。
求两个集合的交集，即求同时满足两个条件的元素。
因此，交集中的元素x必须同时大于3且小于5。
题目2：集合C={x | x^2 - 5x + 6 = 0}，求C的元素。
答案： C = {2, 3}解析：集合C由满足方程x^2 - 5x + 6 = 0的所有x组成。
解这个一元二次方程，我们可以得到x的值为2和3，因此C的元素就是这两个数。
题目3：已知集合D={x | x = 2k, k∈Z}，集合E={x | x = 3m,m∈Z}，求D∪E。
答案：D∪E = R （全体实数集）解析：集合D包含所有2的整数倍，集合E包含所有3的整数倍。
由于任何整数都可以表示为6的倍数（2和3的最小公倍数），因此D和E的并集包含了所有整数，也就是全体实数集。
题目4：集合F={x | x^2 - 4x + 3 = 0}，判断F是否是空集。
答案： F不是空集。
解析：集合F由满足方程x^2 - 4x + 3 = 0的所有x组成。
这个方程可以通过因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。
因此，F包含元素1和3，不是空集。
题目5：已知集合G={x | x^2 + 2x + 1 = 0}，求G的补集。
答案： G的补集是所有不在G中的实数。
解析：集合G由满足方程x^2 + 2x + 1 = 0的所有x组成。
这个方程可以写成(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。
因此，G只包含一个元素-1。
G的补集就是除了-1以外的所有实数。
集合几类常考的概念与运算含详细参考答案
集合几类常考的概念与运算含详细参考答案考点一：集合的含义1.(1)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m}，若3∈A ，则m 的值为________.解：由题得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32， 当m ＝1时， m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3(舍）；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.(2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是________.解：当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1；当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时， x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0.根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2,1,2，共5个.(3) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为________.解：集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以：当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8.:根据互异性可知，x ＝5,6,7,8.即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素.(4)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. 解：因{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.考点二：集合间的基本关系(1)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________. 解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}.由题意知B ＝{1,2,3,4}.∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.（2）若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.（3）设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 解：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝{0，－4}，则0和－4是方程的两个根，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋14，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.（4）设A ＝x|x 2-3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2-2x ＋a －1＝0}.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解：因为A ＝{1，2}，所以B ⊆A 分以下三种情况： ①当B ＝{1，2}，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+-=-+-1201440121a a a a (舍）； ②当B ＝{1}或B ＝{2}，并且Δ＝4－4(a －1)＝0，解a ＝2，此时B ＝{1}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4－4(a －1)<0，解得a>2.综上所述，所求实数a 的取值范围是a 》2.(5)已知集合A ＝{x|y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x|x ≥2}，则下列结论正确的是( )A.A ＝BB.A ∩B ＝∅C.A ⊆BD.B ⊆A解：A ＝{x|x>－3}，B ＝{x|x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A.(6)已知A ＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x<a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.解：由题：a>4.(7)已知A ＝{x|x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x|x<a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________. 解：A ＝{x|1<x<2 016}，又B ＝{x|x<a}，A ⊆B 如图所示，得a ≥2 016.(8)已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝{x|x<a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.解：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x|0<x ≤4}，而B ＝{x|x<a}，由于A ⊆B ，如图所示，则a>4.(9)已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解:当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m ≤4.考点三:集合的基本运算命题点1：集合的运算(1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则A ∩(∁U B)等于________. 解：∁U B ＝{2,5,8}，则A ∩(∁U B)＝{2,5}.(2)设全集U ＝{x ∈N ＋|x<6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B)等于________.解：(1）U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B)＝{2,4}.（3）设A=}{2>x x ，B=}{3<x x ,求A B 等于________. 解：}{32<<x x （4）设A=}{21<<-x x ，B=}{31≤≤x x ,求A B 等于________. 解：}{31≤<-x x（5）设A=}{64),(+-=x y y x ，B=}{35),(-=x y y x ,求A B 等于________. 解：}{)2,1((6)设集合U ＝R ，A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x ≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x ≤1}D.{x|x ≤1} 解：A ＝{x|2x(x －2)<1}＝{x|x(x －2)<0}＝{x|0<x<2}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B ＝{x|x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}.（7）设A=}{542+-=x x y y ，B=}{x y x -=5,求A B 等于________. 解：A=}{1≥y y ，B=}{5≤x x ，则A B=[]5,1命题点2：利用集合运算求参数(1)已知集合A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m 等于________.解：由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝0或m ＝1（舍）.(2)设A ＝{－4，2a ,2a-1}，B ＝{9，a －5,1-a}，若A ∩B=}{9，求a. 解：当2a-1=9，即a=5,A ＝{－4，25,9},B ＝{9，－4,0},则A ∩B=}{9,4-（舍）；当2a =9，即a=3,A ＝{－4，5,9},B ＝{9，－2,-2}(舍）；a=-3,A ＝{－4，-7,9},B ＝{9，－8,4}; 则a=-3.(3)设A ＝{－3，2a ,a+1}，B ＝{a-3，2a －1,12+a }，若A ∩B=}{3-，求A ∪B 。
数学集合试题及答案
数学集合试题及答案数学集合是数学中的基础概念之一，它涉及到元素和集合之间的关系，以及集合与集合之间的操作。
以下是一些常见的集合试题及答案，以供学习和练习。
试题一：判断题1. 空集是所有集合的子集。
（）2. 集合{1, 2, 3}和集合{3, 2, 1}是同一个集合。
（）3. 集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的真子集。
（）4. 集合A和集合B的交集是A和B的公共元素组成的集合。
（）5. 集合A和集合B的并集是包含A和B所有元素的集合。
（）答案：1. 正确。
空集不含任何元素，因此它是所有集合的子集。
2. 正确。
集合的元素是无序的，所以{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是同一个集合。
3. 正确。
集合{1, 2, 3}中的所有元素都在集合{1, 2, 3, 4}中，且后者包含一个额外的元素4，所以是真子集。
4. 正确。
交集操作的结果就是两个集合共有的元素集合。
5. 正确。
并集操作的结果包含了两个集合中的所有元素，没有重复。
试题二：选择题1. 设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3, 4}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}答案：C. {1, 2, 3, 4}试题三：填空题1. 如果A={x | x是小于10的正整数}，那么A的元素个数是____。
2. 集合{1, 2, 3}的补集（相对于全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}）是____。
答案：1. 9（因为A的元素是1, 2, ..., 9）2. {4, 5, 6}试题四：简答题1. 解释什么是子集，并给出一个例子。
2. 解释什么是集合的差集，并给出一个例子。
答案：1. 子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素。
例如，集合{1, 2}是集合{1, 2, 3}的子集。
2. 集合的差集是指从第一个集合中移除与第二个集合共有的元素后剩下的元素组成的集合。
高一数学集合的概念试题答案及解析
高一数学集合的概念试题答案及解析1.已知集合有且只有一个元素，则a的值的集合(用列举法表示)是 .【答案】{0，1}【解析】集合是方程的解集，此方程只有一个根，则，或，可得.【考点】集合的表示法.2.已知非空集合则实数a的取值范围是_____________．【答案】（2，5）【解析】因为,所以又因为为非空集合，所以因此实数a的取值范围是（2，5）【考点】集合子集包含关系3.设集合、，若，则实数＝___________.【答案】-1【解析】由于，则或，得，又由集合元素的互异性可知＝.【考点】集合的概念和运算.4.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.【答案】③④⑤【解析】对于①，由，故函数的定义域应当为；对于②，；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当时，，符合，所以③正确；对于④，角的集合、都表示终边落在上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，的图像是由变化而来（保持轴上方的图像不变，而把轴下方的图像沿轴翻折到轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知，的周期为，且对称轴为；综上可知，③④⑤正确.【考点】1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.5.如图，阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由文氏图可知,阴影部分在集合外,同时在集合内,应是,故选A.【考点】1.集合的运算；2.交集和补集的应用.6.下列集合中,不同于另外三个集合的是（）A．{1}B．C．D．【答案】C.【解析】研究集合，关键是研究集合中的元素，尽管B、D是用描述法表示的集合，但它们中的元素都只有一个1，与A中的集合相同，而C是由式子“”作为一个元素的集合，故选C.【考点】集合的元素7.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．大名三中高一（2）班的全体男生B．大名三中全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【答案】D【解析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．解：A中，大名三中高一（2）班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B 中，大名三中全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构造集合；故选D【考点】集合点评：本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．8.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。
集合的概念和运算
集合的概念和运算1.集合的含义与表示a.求集合中元素的个数或已知元素个数求参数(1)(2019 汇编，10 分)①设集合么={1, 2, 3}, 8={4, 5}, M={ x\x=a+b f f/ej, b^B},则Af中元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6②满足a, bw{—1, 0, 1, 2},且关于x的方程ax1+2x+b=0 有实数解的有序数对(a, b)的个数为()A. 14B. 13 C・ 12 D・ 10答案：©B②E解析：①TaW力，bWB,・••当＜7 = 1, b=4或5时，x=5或6；当o=2, b=4 或5 时，x=6 或7；当a=3, b=4 或5 时，x=7 或8, 结合集合中元素的互异性，可知M={5, 6, 7, 8}.故选B.②当a=0时，方程为2x+b = 0,此时一定有解，.••当b= — l, 0, 1, 2时，满足条件的有序数对为(0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2). 当Q HO时，方程为一元二次方程，0=4—4abN0,解得abWl,当d= — l, 1, 2时，满足条件的有序数对为(一1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (2, -1), (2, 0),故使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(。
，b)的个数为13.故选B.解析：若集合力中只有一个元素，则方程拧一3.工+2 = 0只有一22 (经典题，5分)若集合2={xWR|aF—3x+2 = 0}中只有一个元素，贝|J a= ______ .答案：0个实根或有两个相等实根.当0=0时，x=亍，符合题意；当dHO时，9 0/=(—3)2 —8。
= 0,解得t7 = g, :.a的值为0 或g.b.对用描述法表示集合的理解不透彻导致出错(3)(经典题，5分)下列说法：①集合｛x^\x3=x｝用列举法表示为｛—1, 0, 1｝；②实数集可以表示为｛x|兀为所有实数｝或｛11｝；③方程组F+'T：的解集为｛x=l,尹=2｝・其中正确说法的个数为() Lx-V=-1A. 3B. 2C. 1D. 0答案:D解析：①错误：由x3=x,得x(W—1)=0,解得x=0或x=l或x =—1.T —1毎N,二集合｛x eN|x3=x｝用列举法表示为｛0, 1｝,故①不正确.②错误：集合表示中的符号“｛｝”己包含“所有”“全体”等含义，而符号表示所有的实数组成的集合，故实数集正确的表示应为｛x|x为实数｝或只或｛实数｝,故②不正确.③错误：方程组x+戸—"的解是有序数对，其解集正确的表示[x-y=-].应为｛(1, 2)｝或= 而集合｛x=l, y=2｝表示由这两个等式ly = 2组成的集合，故③不正确.故选D.变式思考：(经典题，6分)已知下面三个集合：®｛x\y=x2+l｝；®｛v\y=x2+l｝；③｛(x, y)[v=x2+l｝・问：它们是否为同一个集合？并说明理由.答案：不是同一个集合.理由见解答过程解:它们是互不相同的集合•集合①{x[y=W+1}的代表元素是x, 它满足条件y=.* + l,{x[y=x2+l}=R； (2 分)集合②{)权=养+1}的代表元素是戸满足条件y=.*+l的y的取值范围是歹$1, {yfy=x2+l} = {v\y^l}； (4 分) 集合③{(x,歹)协=/+1}的代表元素是(x, y),可认为是满足条件y=/+1的有序数对(x,司，也可认为是坐标平面内的点(x, v),且这些点的坐标满足y=H+l, ・・・{(x,外=/+1}={(X, y)|(x, y)是抛物线y=x2+l上的点}. (6分)2.集合间的基本关系a.判断集合间的关系(4)(2019改编，10分)①己知E={x|書= 0},尸二匕贰一(a —l)x = 0},则下列关于集合E和F之间的关系，描述正确的是()A. E=F 或時B. E呈FC. F^ED. E=F 或EMF②己知集合M=\x\x=m+^加GZ>, N=<x|x=,g, P =环=¥+右pGZ；,则集合M N,卩之间的关系是__________________ •答案：©D②M^N=P解析：①易得疋={旬百=0} = {0}.下面对方程X2—(a —1尢=0 的根的情况进行讨论：方程X2—(6/—1>=0的判别式为/=(a —1)勺当d=l时，0=0,方程有两个相等的实数根，xi=X2=0,此时F={0}, E=F.当aHl时，/>0,方程有两个不相等的实数根，xi=0, X2=d—1H0,此时F={0, a—1}, 综上，当a=l 时，E=F；②集合Af=jx|x=〃!+†, 〃? e Zj.关于集合N：当n是偶数时，令〃= 2〃2（〃2GZ）,则N =x|x=〃i—扌,加WZ*当〃是奇数时，令〃 =2加+ 1（〃£Z）,贝ij N =、m^Z<={x\x=m+^ 7；/ez},从而得M^NQ分）1关于集合P：当p=2m（m^Z）时,P=\x\x=m+^ weZp2〃2 — 1 1 ] 当p=2m — 1（JH G Z）时，P=] x|x = —+& 加丘Z，= {x\x=m — ym e Z},从而得N=P.综上可知M^N=P©分）b.根据集合间的关系求参数或其范围（5）（经典题，5分）己知集合A={0, a}f B={x\-l<x<2}f且底B, 则。
集合练习题以及答案
集合练习题以及答案集合是数学中的基本概念之一，它涉及到元素与集合之间的关系，以及不同集合之间的运算。
以下是一些集合练习题及其答案，供学习者练习和参考。
练习题1：判断下列命题的真假。
- A = {1, 2, 3}- B = {2, 3, 4}- 命题1：1 ∈ A- 命题2：4 ∈ A- 命题3：A ⊆ B答案1：- 命题1：真，因为1是集合A的元素。
- 命题2：假，因为4不是集合A的元素。
- 命题3：假，因为集合A不包含集合B的所有元素。
练习题2：集合C和D的定义如下，请找出C ∪ D和C ∩ D。
- C = {1, 2, 3, 5}- D = {2, 4, 5, 6}答案2：- C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，这是C和D所有元素的并集。
- C ∩ D = {2, 5}，这是C和D共有的元素。
练习题3：集合E和F如下，求E - F。
- E = {1, 3, 5, 7, 9}- F = {3, 5, 7}答案3：- E - F = {1, 9}，这是E中所有不在F中的元素。
练习题4：集合G和H如下，判断它们是否相等。
- G = {x | x是小于10的正整数}- H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}答案4：- G和H相等，因为它们包含相同的元素。
练习题5：集合I和J如下，求I的补集。
- I = {x | x是偶数}- J = R（实数集）答案5：- I的补集是所有不在I中的元素，即所有奇数，可以表示为{x ∈ J | x是奇数}。
练习题6：集合K和L如下，找出K相对于L的补集。
- K = {x | x是小于20的正整数}- L = {x | x是小于50的正整数}答案6：- K相对于L的补集是所有在L中但不在K中的元素，即{x ∈ L | 20 ≤ x < 50}。
结束语：通过这些练习题，我们可以加深对集合概念的理解，包括元素与集合的关系、集合的运算以及集合的表示方法。
集合练习题含答案
集合练习题含答案1. 定义题：什么是集合？请给出集合的三个基本性质。
- 答案：集合是由一些确定的、不同的元素所组成的整体。
集合的三个基本性质包括：确定性（集合中的元素是明确的）、互异性（集合中不会有重复的元素）、无序性（元素的排列顺序不影响集合的确定性）。
2. 列举题：列举出集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有子集。
- 答案：集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有子集包括空集∅和所有可能的元素组合，共32个子集。
3. 运算题：设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B和A∩B。
- 答案：A∪B={1, 2, 3, 4}，表示A和B中所有元素的集合。
A∩B={2, 3}，表示A和B中共有的元素集合。
4. 关系题：如果集合C={x | x是偶数}，D={x | x是小于10的正整数}，判断C和D的关系。
- 答案：C是D的子集，因为C中的所有元素都是偶数，而D包含了所有小于10的正整数，包括了C中的所有元素。
5. 证明题：证明对于任意集合A，A⊆A。
- 答案：根据子集的定义，如果集合A中的每一个元素都是集合A的元素，则A是A的子集。
因为集合A中的元素自然属于A本身，所以A⊆A。
6. 应用题：某班级有30名学生，其中15名喜欢数学，12名喜欢物理，8名既喜欢数学又喜欢物理。
求至少喜欢一门科目的学生人数。
- 答案：设喜欢数学的学生集合为M，喜欢物理的学生集合为P。
根据集合的并集公式，至少喜欢一门科目的学生人数为|M∪P| = |M|+ |P| - |M∩P| = 15 + 12 - 8 = 19。
7. 推理题：如果A={x | x是大于10的整数}，B={x | x是小于20的整数}，C={x | x是奇数}，判断A∩(B∪C)是否为空集。
- 答案：A∩(B∪C)不为空集。
因为B∪C包含了所有小于20的整数，而A包含了所有大于10的整数，所以它们有交集，即11, 13, 15, 17, 19。
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1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数 （不确定） （2）好心的人 （不确定） （3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ） ∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2 ∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z ∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-且22222,2b a bb a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括 号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} （3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 思考：何时用列举法？何时用描述法？},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且 ②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2} ③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(-④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升： 1、数集{}21,,x x x-中元素x 所满足的条件是2、已知{}23,21,1A a a a=--+，其中a R ∈，⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
3、已知集合{}22,2A a a a=++，若3A ∈，求a 的值。
变式：已知集合{}2|320,A x R ax a R x=∈-+=∈。
⑴若A 是空集，求a 的取值范围；⑵若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；⑶若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围 4、设集合{}2|1,A a a n N n==+∈，集合{}2|45,B b b k k N k ==-+∈，若a A ∈，试判断a 与集合B 的关系。
5、设,a b Z ∈，集合()(){}2,|36P x y b y x a =+≤-，点()2,1P ∈，点()1,0P ∉，点()3,2P ∉，求,a b 的值。
知识点7、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x知识点8、集合与集合之间的关系： （一）、子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B （3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向 不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A规定：空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （6）易混符号：①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}例题精析3：1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示（2） 判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 解（1）：N ⊂Z ⊂Q ⊂R（2）①正确；②错误，因为A 可能是空集；③正确；④错误2 （1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ，Φ___{0} （2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？（3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 解：（1）N ⊂Z, N ⊂Q, R ⊃Z, R ⊃Q ， Φ{0} （2）∵A={x ∈R|x 2-3x-4=0}＝{-1,4},B={x ∈Z||x|<10}={-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∴A ⊆B 正确 （3）对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，（4）集合{a,b}的子集有：Φ、{a}、{b}、{a,b} （5）A 、B 的关系为B A ⊆.3 解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来. 解：{x ∈R|x+3<2}={x ∈R|x<-1}. 巩固提升：1、设{}1,2A =，{}|B x x A =⊆，问A 与B 是什么关系？并用列举法写出集合B2、已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ）()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．3、设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则（ B ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇4、若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．([2,2)-)5、已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为1{0,2,}3-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．6、已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-．（二）全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ， 即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示 例题精析3： 1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A （2）若A={0}，求证：C N A=N * （3）求证：C R Q 是无理数集解（1）∵S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，∴由补集的定义得C S A={2，4，6}证明（2）∵A={0}，N={0,1,2,3,4,…}，N *={1,2,3,4,…}∴由补集的定义得C N A=N *证明（3）∵ Q 是有理数集合，R 是实数集合∴由补集的定义得C R Q 是无理数集合2、已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U AR∴C U A ＝｛x ｜x ＜0，或x ≥4｝3、 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系解：∵S ＝｛x|－3≤x ＜6｝，A ＝｛x|0≤x ＜3｝， B ＝｛x|3≤x ＜6｝∴C S B ＝｛x|－3≤x ＜3｝ ∴A ⊆C S B知识点9、子集的个数：由例与练习题，可知(1)集合{a,b}的所有子集的个数是4个，即Ø,{a},{b},{a,b}(2) 集合{a,b,c}的所有子集的个数是8个，即Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(1624=)(2)集合{}n a a a ,,21Λ的所有子集的个数是多少？(n2)结论提炼：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21Λ的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n2-1，非空真子集数为2-n例题精析4：1、满足条件{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆的集合M 的个数是( ) A 3 B 6 C 7 D 82、已知集合{},,A a b c =，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8高考链接：定义集合运算：{}|(),,A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈。