几类三阶常微分方程的通解公式【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

几类三阶常微分方程的通解公式

一、选题的背景、意义

常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。

常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。

有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下：

问题1 如果已知三阶线性微分方程

()()()()

+++=

y P x y Q x y R x y f x

''''''

的一个预解函数()1G x x

=和一组预解常数a b c 、、，那么又该如何得到它的通解？ 问题2 对于一般三阶变系数非齐线性微分方程

123'''()()''()()'()()()()X t a t X t a t X t a t X t f t +++= 当系数满足2'2111()()()3a t a t a t =+，3'''31111111()()()()()2733

a t a t a t a t a t =++时，该方程的通解又会是什么？

问题3 考虑一类三阶变系数的常微分方程

0)()()(=+'+''+'''y x k y x q y x p y （1） 其中()p x 为R 上的二阶连续可微函数，()q x 与()k x 为R 上的连续函数。

记

)()()(3

1)(12x c x q x p x p =+-'-， )(31x p ''-)(2723x p +)()()()(3

12x c x k x q x p =+-。 下面我们来寻求方程（1）的通解情况。

（a ）若2211)(,)(c x c c x c ≡≡都为常数，且321,,λλλ为代数方程

0213=++c c λλ

的三个根，则方程（1）的通解是什么？

（b ）若存在常数d 1 , d 2使322311)(,)(x

d x c x x d x c ≡≡

，且)(),(),(321x z x z x z 为欧拉方 程

0213=+'+'''z d z x d z x ，

的基本解组，则方程（1）的通解又是什么？

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

一、本课题的研究以综述法为主，采用的技术路线是：首先在大量阅读文献的基础上，并在此基础上提出自己的看法和观点，理解常微分方程的背景、发展、研究意义。然后探求出一些新的三阶变系数的常微分方程的可解类型，并获得其通解公式，丰富和完善常微分方程的可解类型，并结合具体的例子将自己所获得的理论结果加以应用，以体现出本课题理论研究的实践意义。

二、研究的主要难点是探求出一些新的三阶变系数的常微分方程的可解类型，并获得其通解公式。

三、预期达到的目标，通过本课题的研究，总结归纳出前人研究所得的成果，形成自己的观点和认识。并更深刻地理解三阶常微分方程的通解公式，展示其对常微分方程的重要意义。

四、论文详细工作进度和安排

第七学期第9-10周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；

第七学期第11-12周：仔细研读，分析资料，完成外文翻译；

第七学期第13-17周：认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告；

第七学期第18周：并完成网上确认；

寒假期间：完成论文初稿；

第八学期第1-3周：修改论文初稿，并确定进入实习阶段；

第八学期第4-10周：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。

第八学期第11周：完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告；

第八学期第12-14周：对论文进一步修改，并定稿；

第八学期第15-16周：准备并完成毕业答辩。

五、主要参考文献：

[1] V.A.II in，E.I.Moiseev，Nonlcal boundary value problem of the second kind for a Sturm-Liouville operator in the differential and finite difference aspects,Differential Equations,1987(7):803-810.

[2] 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松1 常微分方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 1983: 107, 110, 102, 121

[3] 周坚,赵士银.三阶常系数线性微分方程特解的简单求法[J].西华大学学报(自然科学版), 2008年11月6期

[4] 虞继敏, 郑继明, 关中博. 变系数三阶线性微分方程的一种解法[J].高等数学研究,2010年5月03期.

[5 ] 赵奎奇. 关于线性微分方程的刘维尔公式组[J].大学数学,2004 , 20 (6) :102 - 104.

[6]汤光宋,彭红英. 复常变系数三阶线性齐次微分方程的通解公式[J]. 安顺师专学报（自然科学版）1988年第2期。

[7] 张衡. 三阶线性常微分方程可积的充分必要条件[J].石河子大学学报(自然科学版),2003年9月03期.

[8]李世云.一类三阶变系数线性常微分方程的可积性[J];文山师范高等专科学校学报;2005年04期.

[9]周尚仁,权宏顺.常微分方程习题集[M]北京:高等教育出版社,1986.5:140.

[10] Martin Gould, Edward Hurst. Integrating Factors [M].London:Springer London. 2009.