直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用等-高中数学

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用

一. 教学内容：

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。

［基本知识点］

（1）直线的参数方程

<1>标准形式：

<2>一般形式

（2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式：

<1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2|

<2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点⇔t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数

（3）圆锥曲线的参数方程

<1>

<2>

角）。

:),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数⎩⎨⎧+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+⎩⎨⎧+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数⎩⎨⎧+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2

1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα⎩⎨⎧===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于

其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222

ααα⎩⎨⎧===+

<3>

<4>抛物线y 2=2px 的参数方程为

（4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。

（5）极坐标与直角坐标的互化

<1>互化条件：

极点与直角坐标系原点重合；

极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。

<2>互化公式

（6）曲线的极坐标方程

<1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。

<2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ）

过点A （a,0），倾角为α的直线方程

以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r

圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ

圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程

【例题选讲】

例1

，M 是AB 的中点，求|MF|。

)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα⎩⎨⎧==)(t pt 2y pt 2x 2

为参数⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧≠==+⎩⎨⎧==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2

2 =-

解：方法一

依题意a =3,b =4,c =5

所以F(5，0)，又直线l 的倾斜角为45度

所以k=1

解法2：依题意l 的参数方程为：

小结： 方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t 的几何意义，使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试。

例2

(m 为常数，ϕ是参数) ，和抛物线

有交点，试求m 的取值范围。

解：解法1 化椭圆方程为普通方程。

5-=∴x y l 的方程为5x y 116y 9x 2

2-==-和联立0369x 90x 7:2=-+得7805x y 7

452x x x M M 21M -=-=-=+=∴2760|MF |=∴116y 9x t 22y t 225x 22=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=代入0512t 2160t 72=-+得27802||||21=+=∴t t MF ⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 3y cos 2m x ,椭圆在直角坐标系中)t (t 6y t 23x 2为参数⎪⎩⎪⎨⎧=+=)1(012y 4)m x (322=-+-

抛物线方程化为普通方程为y 2=6x-9 (2)

由（1）（2）联立消去y 得x 2+2(4-m)x+m 2-16=0 (3)

因为椭圆与抛物线有交点

所以方程（3）的判别式：

若

解法2：

根据题意，椭圆与抛物线有交点，而抛物线化为普通方程为y 2=6x-9

(1) 又椭圆的方程为：

0)16m (4)m 4(422≥---=∆4≤m 解得23

x ,,0),23

(,)23

x (6y 2≥-=故开口向右顶点坐标为又23

m 2824m m

282)m 4(x (3)≥-+-∴-±--=得由m 211

2m -82-≥整理得2

m m 114121

m 8320

m 211

+-≥-∴>- 27

m 21

≤≤-解得,m ,23

m 2824m 值不存在时≥---27

m 21m ,≤≤-的取值范围为综上可知)

2

()(sin 3y cos 2m x 为参数θθθ

⎪⎩⎪⎨⎧=+=9cos 12m 63sin (1)(2)2-+=θθ得代入把4)2(cos 21

m :2++-=θ整理得为最小值

时当21

429m ,1cos -=+-==∴θ27

m 21m 27

421

m ,1cos ≤≤-∴=+-=-=的取值范围为为最大值

时当θ