对数公式的推导全

对数函数公式的推导（全） 由指数函数

(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： 性质1、log ()log log a a a MN M N =+

<证法1> 由于m n m n a a a +⋅= 设 ,m n M

a N a == 则： log a M m = log a N n = m n MN a += 于是：

<证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =⋅=⋅对数恒等式 即：

log log log a a a MN M N a

a +=由于指数函数是单调函数，故： 性质2、log log log M

a a a N M N =-

<证明> log log log log log M M

N a a a a N a M N a M M

N N a a a -===对数恒等式

由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N

M N =- 性质3、log log ()(0,1)

log b b a N

N a b b >≠=换底公式 特例：1

log log a b b a =

<证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b =

由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =⋅

故：log log log b b a N

N a =

性质4、log log n a a M n M =

特例：1log log n a

a n M M = <证明> n n M M = 可知：()log log a n a M n M a a = 即 ()log log n a a M n M a a ⋅=

由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅

性质5、log log m m

n n a a b b =

<证明> lg lg log log lg lg m m n m m a n n n a b b b b a a

==⋅= 性质6、1log log n a n a b b =

注：性质4 和 性质6 都是 性质5的特例。