圆锥曲线经典习题

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圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是()2答案:52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9,则点P的坐标为()。

答案:(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是()。

答案:x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45,则ΔAF1F2的面积()。

答案:75.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()。

答案:y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()。

答案:(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()。

答案:288.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y=2x的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MF+MA取得最小值的M的坐标为()。

答案:(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()。

答案:x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3,则它的长半轴长为_______________。

答案:√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0,焦距为10,这双曲线的方程为______________。

答案:x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3,焦点为(0,3)。

13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2),那么k=____________。

答案:√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3,则k的值为____________。

答案:7/315.根据双曲线的定义,其焦点到准线的距离等于其焦距的一半,因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程,8kx-ky=8,将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8,解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中,得到交点为(2,8)和(-1,-5)。

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

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一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中 欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3(C) I (D ) 2.设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 ky= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x(B )1 3 (C)—2(D )23•双曲线 2 x C : Ta 2y_1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为'、3,贝U C的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4D.4•已知椭圆 C :0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为丄3,过F 2的直线l3交C 与A 、B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则C 的方程为()2 A. x_3 B. 2x 2彳 xr y 1C.2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2a 1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线 I :y 2x 10,双曲 2 B — 20 2为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 21 C.— 25 占 八、、的焦点, uu uuuOA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则-1^/2 87.抛物线 =X 2的准线方程是4(A) y (B)2(C)) D M 辽.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( )x 1(D)8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为A. 4B. 13C.D.9.设F为抛物线C A, B两点,贝S AB =(A)旦3 2 c:y =3x(B)10.已知抛物线C: 的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交于C于(C) 12 (D)7、、3x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲4X0,则X o ()A. 1B. 2C. 4x2 11.已知双曲线—a拆A. 2 B.- D. 82y3、5C. -D.121(a 0)的离心率为2,则a20)与C 交于点P , PF 丄x 轴,所以- 2,所以k=2 ,1选D.3.C4.A5.A••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a2 2A x- y_ 1.5206. B试卷答案 1.B试题分析:如图,在椭圆中, OF c, OB b, OD 2b -b2在 Rt OFB 中,| OF | |OB| |BF | |OD |,且 a 2 b 22c ,代入解得x2 2 a 4c ,所以椭圆的离心率为: e 1,故选B. k焦点F(1,0),又因为曲线y (k xy2= x ••• F(],0),设人(%2,%)弋(『22°2),%>0, y2<0, B=v OAOB>4OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • (y』2+ 2)(%丫2-1) = 0,即yy = -21 1 1 1 - •…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0cos0=驴!. 4 22 4 2= < 222|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥%+1)(y2 +1)1_______ = 1/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5i14 2 i14 2 2,— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —8 y1 8 y17. A8. C【答SIC【解析】试題分析;由已知得,抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳,且过点故一彳=一2,则左二4,2 2-r 3-0 3戸(2卫>则直线AF的斜率肛=-- =—「选U-2-24【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质;2、直线的斜率.9. C3设AF = 2m, BF = 2n, F(-,0).则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,43 3 3 32m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n,解得m= —(2+、3),n 二(2八3), • m+n =6.4 4 2 2AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.10. A根据抛物线的定义可知AF1 5X0 - - X0,解之得X0 1 .选A4 411.D 注??:=3.选 BS AAOF2 3由双曲线的离心率可得7a------- 2,解得a 1,选D.a。

(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)

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经典例题精析类型一:求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量).解析:方法一:因为有焦点为,所以设椭圆方程为,,由,消去得,所以解得故椭圆标准方程为方法二:设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以,由得,(点差法)所以又故椭圆标准方程为.举一反三:【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为(),并有,解之得,,∴椭圆标准方程为2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)与双曲线有共同的渐近线,且过点;(2)与双曲线有公共焦点,且过点解析:(1)解法一:设双曲线的方程为由题意,得,解得,所以双曲线的方程为解法二:设所求双曲线方程为(),将点代入得,所以双曲线方程为即(2)解法一:设双曲线方程为-=1由题意易求又双曲线过点,∴又∵,∴,故所求双曲线的方程为.解法二:设双曲线方程为,将点代入得,所以双曲线方程为.总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为().举一反三:【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)一渐近线方程为,且双曲线过点.(2)虚轴长与实轴长的比为,焦距为10.【答案】(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为,∵点在双曲线上,∴,解得,∴所求双曲线方程为.(2)由已知设, ,则()依题意,解得.∴双曲线方程为或.3.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点;(2)焦点在直线:上思路点拨:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数;从实际分析,一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件,否则,应展开相应的讨论解析:(1)∵点在第二象限,∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,当抛物线开口方向上时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.(2)令得,令得,∴抛物线的焦点为或当焦点为时,,∴,此时抛物线方程;焦点为时,,∴,此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.总结升华:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向,选择适当的方程形式,准确求出焦参数P.举一反三:【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为F(4,0);(2)准线为;(3)焦点到原点的距离为1;(4)过点(1,-2);(5)焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】(1)所求抛物线的方程为y2=16x;(2)所求抛物线的标准方程为x2=2y;(3)所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y;(4)所求抛物线的方程为或;(5)所求抛物线的标准方程为y2=-24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴负半轴上,过顶点且倾角为的弦长为,求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为(),又弦所在直线方程为由,解得两交点坐标,∴,解得.∴抛物线方程为.类型二:圆锥曲线的焦点三角形4.已知、是椭圆()的两焦点,P是椭圆上一点,且,求的面积.思路点拨:如图求的面积应利用,即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有,易求之.解析:设,,依题意有(1)2-(2)得,即.∴.举一反三:【变式1】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为()A.B.C.D.【答案】依据双曲线的定义有,由得、,又,则,即,所以,故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交左半支于、两点,且,设右焦点,求的周长.【答案】:由双曲线的定义有: ,,两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则,又.【变式4】已知双曲线的方程是.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设和是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,求的大小【答案】(1)由得,∴,,.焦点、,离心率,渐近线方程为.(2),∴∴【变式5】中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和,且,又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比.(1)求椭圆与双曲线的方程;(2)若为这两曲线的一个交点,求的余弦值.【答案】(1)设椭圆方程为(),双曲线方程,则,解得∵,∴, .故所求椭圆方程为,双曲线方程为.(2)由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三:离心率5.已知椭圆上的点和左焦点,椭圆的右顶点和上顶点,当,(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.思路点拨:因为,所以本题应建立、的齐次方程,使问题得以解决.解析:设椭圆方程为(),,,则,即.∵,∴,即,∴.又∵,∴.总结升华:求椭圆的离心率,即求的比值,则可由如下方法求.(1)可直接求出、;(2)在不好直接求出、的情况下,找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示;(3)若求的取值范围,则想办法找不等关系.举一反三:【变式1】如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】连接,则是直角三角形,且,令,则,,即,,所以,故选D.【变式2】已知椭圆()与x轴正半轴交于A点,与y轴正半轴交于B点,F点是左焦点,且,求椭圆的离心率.法一:,,∵, ∴,又,,代入上式,得,利用代入,消得,即由,解得,∵,∴.法二:在ΔABF中,∵,,∴,即下略)【变式3】如图,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为(),焦距为,则直线l的方程为:,由,消去得,设点、,则∵+, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点,点是以为直径的圆与椭圆的交点,若,则椭圆离心率为_____.【答案】如图,点满足,且.在中,有:∵,∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵,∴,,∴∴,∴,即.6.已知、为椭圆的两个焦点,为此椭圆上一点,且.求此椭圆离心率的取值范围;解析:如图,令, ,,则在中,由正弦定理,∴,令此椭圆方程为(),则,,∴即(),∴, ∴,∵,且为三角形内角,∴,∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三:【变式1】已知椭圆,F1,F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使,求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中,已知,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,由余弦定理:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴【变式2】椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】由得,即,解得,故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点,且OP⊥OQ,求其离心率e的取值范围.【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线的距离.同理得到点(-1,0)到直线的距离.=.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.由于e>1,所以e的取值范围是.类型五:轨迹方程7.已知中,,,为动点,若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨:充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一:设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知,动点到两定点,的距离之和为常数30,故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆,挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二:设的重心,,动点,且,则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆(挖去点),且,,.其方程为().又, 代入上式,得()为所求.总结升华:求动点的轨迹,首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,建立等式,利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三:【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.(1)动圆与圆外切时,,(2)动圆与圆内切时,,由(1)、(2)有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线,且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P(x,y),动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,其中c=4,a=2,∴b2=12,故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切,且与直线:相切,求动圆圆心的轨迹方程.法一:设,动圆半径,动圆与直线切于点,点.依题意点在直线的左侧,故∵,∴.化简得, 即为所求.法二:设,作直线:.过作于,交于,依题意有, ∴,由抛物线定义可知,点的轨迹是以为顶点,为焦点,:为准线的抛物线.故为所求.。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

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1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.解:(Ⅰ)设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左.右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l :y =e x +a 与x 轴.y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设=λ.(Ⅰ)证明:λ=1-e 2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.(Ⅰ)证法一:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是(a b c 2,-). 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即(Ⅱ)解法一:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=,且4=+b a ϖϖ.(Ⅰ)求点),(y x P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M (0,3),求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且),( R ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.(1)解:设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A (11,y x ),B 22,(y x ),则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+,所以36.32222a b a c b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e (II )证明:(1)知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由(1)知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A(–1,0),过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.(1)求抛物线的方程;(2)若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程;(3)设=λAQ (λ>1),点P 关于x 轴的对称点为M ,证明:FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP ∆=,且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .(I )设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围;(II )设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M ,且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-u u u r u u u r ,0MA AP ⋅=u u ur u u u r . (Ⅰ)当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程;(Ⅱ)过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A (1,0),P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅(Ⅰ)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线12++=k kx y 与(Ⅰ)中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.10.如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

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圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。

32个经典圆锥曲线问题

32个经典圆锥曲线问题

圆锥曲线32题1. 如图所示,,分别为椭圆:()的左、右两个焦点,,为两个顶点,已知椭圆上的点到,两点的距离之和为.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于,两点,求的面积.2. 已知椭圆:的离心率为,过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作的垂线,垂足为,求点的轨迹方程.3. 已知椭圆的离心率为在上.(1)求的方程;(2)直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.4. 已知的顶点,在椭圆上,点在直线:上,且.(1)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;(2)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.5. 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴顶点为,它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线与轴交于点,与椭圆交于异于椭圆顶点的两点,,且.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围.6. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上横坐标为,且位于轴上方的点,到抛物线准线的距离等于,过作垂直于轴,垂足为,的中点为.(1)求抛物线的方程;(2)若过作,垂足为,求点的坐标.7. 已知圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为,曲线与直线相交于,两点.(1)求曲线的方程;(2)当的面积等于时,求的值.8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点,记与轴的交点为.(1)若,且,求实数的值;(2)若,求面积的最大值,及此时椭圆的方程.9. 如图,设抛物线()的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求的值;(2)若直线交抛物线于另一点,过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点,与轴交于点.求的横坐标的取值范围.10. 已知点在椭圆上,且点到两焦点的距离之和为.(1)求椭圆的方程;(2)若斜率为的直线与椭圆交于,两点,以为底作等腰三角形,顶点为,求的面积.11. 已知椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若,是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴,试判断直线的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.12. 已知椭圆:的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点的直线与椭圆相交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)设是中点,且点的坐标为当时,求直线的方程.13. 设,分别是椭圆的左,右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为.(1)若直线的斜率为的离心率;(2)若直线在轴上的截距为,且,.14. 在平面直角坐标系中,点,直线与动直线的交点为,线段的中垂线与动直线的交点为.(1)求点的轨迹的方程;(2)过动点作曲线的两条切线,切点分别为,,求证:的大小为定值.15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.(1)求该双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线左支有两个不同的交点,,求的取值范围.16. 己知椭圆与抛物线共焦点,抛物线上的点到轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点满足.(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;(2)过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于,两点,设线段的中点为,求的取值范围.17. 已知右焦点为的椭圆:关于直线对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称原点为,证明:直线与轴的交点为.18. 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是原点,以轴为对称轴,且经过点.(1)求抛物线的方程;(2)设点,在抛物线上,直线,分别与轴交于点,,求直线的斜率.19. 已知抛物线与直线相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在轴正半轴上,是否存在某个确定的点,过该点的动直线与抛物线交于,两点,使得为定值.如果存在,求出点坐标;如果不存在,请说明理由.20. 左、右焦点分别为,的椭圆经过点,为椭圆上一点,的重心为,内心为,.(1)求椭圆的方程;(2)为直线上一点,过点作椭圆的两条切线,,,为切点,问直线是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.21. 已知抛物线,为其焦点,过点的直线交抛物线于,两点,过点作轴的垂线,交直线于点,如图所示.(1)求点的轨迹的方程;(2)直线是抛物线的不与轴重合的切线,切点为,与直线交于点,求证:以线段为直径的圆过点.22. 已知椭圆,其短轴为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的右焦点为,过点作斜率不为的直线交椭圆于,两点,设直线和的斜率为,,试判断是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.23. 在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线交轴于点,过作直线交抛物线于,两点,且(1)求直线的斜率;(2)若的面积为,求抛物线的方程.24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于,两点,其中是的中点;(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当坐标为时,求直线的方程;(3是一个定值.25. 如图,线段经过轴正半轴上一定点,端点,到轴的距离之积为,以轴为对称轴,过,,三点作抛物线.(1)求抛物线的标准方程;(2)已知点为抛物线上的点,过作倾斜角互补的两直线,,分别交抛物线于,,求证:直线的斜率为定值,并求出这个定值.26. 如图,已知椭圆的左右顶点分别是,,离心率为.设点,连接交椭圆于点,坐标原点是.(1)证明:;(2)若三角形的面积不大于四边形的面积,求的最小值.27. 已知抛物线的焦点为,过的直线交于,两点,为线段的中点,为坐标原点.,的延长线与直线分别交于,两点.(1)求动点的轨迹方程;(2)连接,求与的面积比.28. 已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点.(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:为线段的中点.29. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.30. 如图:中,,,,曲线过点,动点在上运动,且保持的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线的标准方程;(2)过点且倾斜角为的直线交曲线于,两点,求的长度.35. 已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点;抛物线的焦点在轴上,顶点在坐标原点.在,上各取两个点,将其坐标记录于表格中:(1)求,的标准方程;(2)已知定点,为抛物线上一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于,两点,求面积的最大值.36. 已知点为椭圆:的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于不同的两点,,若的取值范围.圆锥曲线32题答案1. (1)由题设知:,即.将点代入椭圆方程得,解得.所以,故椭圆方程为.(2)由()知,,所以,所以所在直线方程为,由得,设,,则,所以所以2. (1)因为椭圆的离心率为,所以.解得,故椭圆的方程可设为,则椭圆的左焦点坐标为,过左焦点且倾斜角为的直线方程为:.设直线与椭圆的交点为,,由消去,得,解得,.因为,解得.故椭圆的方程为.(2)①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,联立直线和椭圆的方程,得消去并整理,得.因为直线和椭圆有且只有一个交点,所以.化简并整理,得.因为直线与垂直,所以直线的方程为.联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时,此时或,符合式.③当切线的斜率不存在时,此时或符合式.综上所述,点的轨迹方程为.3. (1)由题意得解得,.所以的方程为.(2)设直线(,),,,.将代入,得.故,.于是直线的斜率所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.4. (1)因为,且通过原点,所以所在直线的方程为.由得,两点坐标分别是,.所以.又因为边上的高等于原点到直线的距离.所以,.(2)设所在直线的方程为,由得.因为,两点在椭圆上,所以,即.设,两点坐标分别为,,则,且,.所以又因为的长等于点到直线的距离,即所以.当时,边最长.(显然).所以,所在直线的方程为.5. (1)由题意,知椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为,由题意,知,,又,则,所以椭圆方程为.(2)设,,由题意,知直线的斜率存在,设其方程为,与椭圆方程联立,即消去,得,,由根与系数的关系,知又,即有,所以.则所以.整理,得,又时等式不成立,所以,得,此时.所以的取值范围为.6. (1)抛物线的准线为,所以,所以抛物线方程为.(2)由(1)知点的坐标是,由题意得,.又因为,所以.因为,所以所以的方程为的方程为由联立得所以的坐标为.7. (1)设圆心的坐标为,由题意,知圆心到定点和直线的距离相等,故圆心的轨迹的方程为.(2)由方程组消去,并整理得.设,,则设直线与轴交于点,则.所以因为,所以,解得.经检验,均符合题意,所以.8. (1)因为,所以设点的坐标为,点的坐标为由得则则,解得.(2)设点的坐标为,点的坐标为,由得,得,则.由得,解得,代入上式得:,则,,当且仅当时取等号,此时,又则,解得.所以,面积的最大值为,此时椭圆的方程为.9. (1)由题意可得,抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义,即.(2)由(1)得,抛物线方程为,,可设,,.因为不垂直于轴,可设直线:,由消去得,故又直线的斜率为的斜为.从而得直线:,直线:.所以设,由,,三点共线得,于是所以或.经检验,或满足题意.综上,点的横坐标的取值范围是.10. (1)因为,所以.又点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为.由得,设,的坐标分别为,,的中点为,则因为是等腰的底边,所以.所以的斜率.此时方程为,解得,,所以,所以.此时,点到直线的距离,所以的面积11. (1)因为椭圆的离心率为,所以,.因为,解得,,所以椭圆的方程为.(2)法1:因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.设直线的斜率为,则直线的斜率为所以直线的方程为,直线的方程为.设点,,由消去,得因为点在椭圆上,所以是方程的一个根,则.所以.同理.所以.又.所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值,该值为法2:设点,,则直线的斜率,直线的斜率.因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.所以,即因为点,在椭圆上,所以由得,得同理由得由得,化简得由得得.得,得所以直线的斜率为为定值.法3:设直线的方程为,点,,则,,直线的斜率,直线的斜率.因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.所以,即化简得.把,代入上式,并化简得由消去得则,,代入得,整理得,所以或.若,可得方程的一个根为,不合题意.若时,合题意.所以直线的斜率为定值,该值为.12. (1)由题意可知:,又,,所以,,所以椭圆的方程为:.(2)①若直线的斜率不存在,此时为原点,满足,所以,方程为.②若直线的斜率存在,设其方程为,,将直线方程与椭圆方程联立可得即,可得设,则,,由可知,解得或,将结果代入验证,舍掉.此时,直线的方程为.综上所述,直线的方程为或.13. (1)根据及题设知,.将代入,解得或故的离心率为(2)由题意,得原点为的中点,轴,所以直线与轴的交点是线段的中点,故,即由得设,由题意知,则即代入的方程,得将及代入得.解得,,故,.14. (1)据题意,为点到直线的距离,连接,因为为线段的中垂线与直线的交点,所以所以点的轨迹是抛物线,焦点为,准线为直线所以曲线的方程为.(2)据题意,,过点的切线斜率存在,设为,则切线方程为:,联立抛物线方程可得,由直线和抛物线相切,可得,即因为,所以方程存在两个不等实根,设为,,因为,,由方程可知,所以切线,所以,结论得证.15. (1)由题意设双曲线方程为.由已知得,,再由,得.故双曲线的方程为.(2)设,,将代入,得.由题意知解得.所以的取值范围为.16. (1)因为抛物线上的点到轴的距离等于,所以点到直线的距离等于点到焦点的距离,得是抛物线的准线,即解得,所以抛物线的方程为;可知椭圆的右焦点,左焦点,由,得,又,解得,由椭圆的定义得,所以,又,得,所以椭圆的方程为.(2)显然,,由消去,得,由题意知,得,由消去,得,其中,化简得,又,得,解得,设,,则,由所以的取值范围是.17. (1)由题意可得:,又,解得.所以椭圆的方程为:.(2)设直线的方程为:,代入椭圆方程可得:,由,解得.设,,,所以,,则直线的方程为:,令,可得所以直线与轴的交点为.18. (1)依题意,设抛物线的方程为.由抛物线且经过点,得,所以抛物线的方程为.(2)因为所以,所以,所以直线与的倾斜角互补,所以.依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为:,将其代入抛物线的方程,整理得.设,则,,所以.以替换点坐标中的,得.所以所以直线的斜率为19. (1)联立方程有,有,由于直线与抛物线相切,得,所以,所以.(2)假设存在满足条件的点,直线,有,设,,有,,,,,当,满足为定值,所以.20. (1)因为椭圆焦点在轴上,且过点,所以.设内切圆的半径为,点的坐标为,则的重心的坐标为,因为,所以.由面积可得即,则解得,,即所求的椭圆方程为则椭圆方程为.(2)设,,,则切线,的方程分别为,.因为点在两条切线上,所以,.故直线的方程为.又因为点为直线上,所以,即直线的方程可化为,整理得,由解得因此,直线过定点21. (1)由题意可得:直线的斜率存在,设方程为:,设,,动点,由可得.可得.;;由可得即点的轨迹方程为(2)设直线的方程为:(且),由可得,可得,因为直线与抛物线相切,所以,可得,可得,又由可得可得,所以以线段为直径的圆过点.22. (1)由题意可知:,,椭圆的离心率,则,所以椭圆的标准方程:.(2)设直线的方程为.消去整理得:.设,,则,,所以为定值.23. (1)过,两点作准线的垂线,垂足分别为,,易知,,因为所以,所以为的中点,又是的中点,所以是的中位线,所以而,所以所以,,所以,而,所以;(2)因为为的中点,是的中点,所以,所以,所以,所以抛物线的方程为.24. (1)双曲线的,,可得双曲线的渐近线方程为,即为.(2)令可得,解得,(负的舍去),设,,由为的中点,可得,,解得,,即有,可得的斜率为,则直线的方程为,即为.(3)设,即有,设,,由为的中点,可得,,解得,,则为定值.25. (1)设所在直线的方程为,抛物线方程为,联立两方程消去得.设,,则.由题意知,,且,所以,所求抛物线的方程为.(2)由点为抛物线上的点,得.由题意知直线,的斜率均存在,且不为,设直线的方程为,则直线的方程为.由得,因而由得,因而从而直线的斜率26. (1)由题意可知:,,所以椭圆的标准方程:,设直线的方程,则整理得:,解得:,,则点坐标,故直线的斜率,直线的斜率所以所以;(2)由(Ⅰ)可知:四边形的面积,则三角形,,由,整理得:,则,所以,的最小值.27. (1)设,,由题知抛物线焦点为,设焦点弦方程为,代入抛物线方程得,有,解之得,由韦达定理:,所以中点横坐标:,代入直线方程,中点纵坐标:为,消参数,得其方程为:,当线段的斜率不存在时,线段中点为焦点,满足此式,故动点的轨迹方程为:.(2)设,代入,得,,联立,得,同理,,所以,又因为,故与的面积比为.28. (1)因为过点,所以,解得所以抛物线方程为,所以焦点坐标为,准线为(2)设过点的直线方程为,,所以直线为,直线为:,由题意知,,由可得,所以,,所以,所以为线段的中点.29. (1)由题意可知:椭圆的离心率,则椭圆的准线方程,由由解得:,,则,所以椭圆的标准方程:.(2)方法一:设,时,与相交于点,与题设不符,当时,则直线的斜率的方程,直线的斜率,则直线的斜率,直线的方程,联立解得:则,由,在椭圆上,,的横坐标互为相反数,纵坐标应相等或相反,则或,所以或,则解得:则或无解,又在第一象限,所以的坐标为:.方法二:设,由在第一象限,则,,当时,不存在,解得:与重合,不满足题意,当时,,,由,,则,,直线的方程的方程联立解得:,则,由在椭圆方程,由对称性可得:,即,或,由,在椭圆方程,解得:或无解,又在第一象限,所以的坐标为:.30. (1)设中点为,中点为,以,所在的直线分别为轴,轴,为原点建立直角坐标系.因为,动点的轨迹是以,为焦点的椭圆,设其长、短半轴的长分别为,,半焦距为,则,,,所以曲线的方程为:.(2)直线的方程为,设,,由方程组得方程,,,故.35. (1)设,由题意知,点一定在椭圆上,则点也在椭圆上,分别将其代入,得,,解得,,所以的标准方程为.设,依题意知,点在抛物线上,代入抛物线的方程,得,所以的标准方程为.(2)设,,,由知,故直线的方程为,即,代入椭圆的方程,整理得,,,,所以设点到直线的距离为,则所以当且仅当时,取等号,此时满足.综上,面积的最大值为.36. (1)由题意,得,,则椭圆为.由得.因为直线与椭圆有且仅有一个交点,所以,所以椭圆的方程为.(2)由(1)得.因为直线与轴交于,所以当直线与轴垂直时,,所以当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,,,由,依题意得,,且,所以所以,因为,所以.综上所述,的取值范围是.。

高考圆锥曲线经典大题

高考圆锥曲线经典大题

圆锥曲线经典大题1.过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :*2=2py (p >0)相交于B 、C 两点.当直线l 的斜率是12时,AC→=4AB →.(1)求抛物线G 的方程;(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值围.2.如图,(10)F ,,直线:1l x =-,点P 为平面上的动点,过点P 作l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅.〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ,两点,交直线l 于点M . 〔1〕1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值; 〔2〕求MA MB ⋅的最小值. 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0,-4〕作抛物线G 的切线,求切线的方程;〔2〕设A ,B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0·=FB FA ,分别延长AF ,BF 交抛物线G 于C ,D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>,M 为直线2y p =-上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A B ,.〔Ⅰ〕求证:A M B ,,三点的横坐标成等差数列;〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -,时,AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ,直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ,假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕. 〔1〕求椭圆M 的方程;〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕,求PF PE ⋅的最大值.6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,离心率2e =,顶点到渐近线的距离为5。

(I ) 求双曲线C 的方程;(II)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,假设1,[,2]3AP PB λλ=∈,求AOB ∆面积的取值围。

圆锥曲线典型例题(精华版)

圆锥曲线典型例题(精华版)

圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P 的轨迹方程为( )A2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手,则a 的值为1,3B. —或一2 23、设F1. Fz 为曲线G : U 的焦点,P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,6 2 34、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈•-2y + 5 = 0的直线/的方程是( A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 05、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合,则"的值为(6 26、如图,过抛物线y- =2px (p>Q }的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(8、已知双曲线务-詈=13>0)的中心在原点,右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,A. X" = 12yy" = \2x C. = 4yA-・2或2C ・2或0D ・・2或0则△PF1F2的面积为( )C (A ) i(B)l (C)迈 (D)2 迈C. 2x + 3y — 2 = 0D, 2x + 3y-l = QA- -2 B. 2 C ・-4 D ・4C, BA. C ・ .3V' =-%2 .9 y" = —X 丿2B ・ y" =3x D. y" =9x?77、唸-宁"的顶点为焦点,长半轴长为山椭圆方程为A. 乂+ 二= 64 52B.匕+2216 1216 4 D.M 4 16 0则该双曲线的离心率等于( D二、解答题21.已知椭圆F+厶> =1(0<方<1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-三点作0P ,英中圆心P 的坐标为行⑴若椭圆的离心率一斗,求。

圆锥曲线训练100题

圆锥曲线训练100题

圆锥曲线典型训练100题1.如图,已知A ,B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,P ,Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.(1)求证:直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上; (2)求证:直线PQ 过定点; (3)求PQB ∆和PQA ∆面积的比值.2.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到焦点的最大距离为3,离心率为21.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线l :01=+-my x 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,与x 轴交于点D ,且满足DB DA λ=,若3121-<≤-λ,求实数m 的取值范围.3.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是22,且经过抛物线y x 42=的焦点。

(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ,B 两点,AD x ⊥轴于点D ,点E 为椭圆C 上的点,且0=⋅AB AE 。

若直线BE ,BD 的斜率均存在,且分别记为BD BE k k ,,求证:BDBEk k 为定值;并求出该值。

4.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于A ,B 两点,线段AB 中点为)21,1(M . (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于E ,F 两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的 和为-1,证明:l 过定点.5.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上,圆心在直线12y x =上的圆E 与x 轴相切,且EF 关于点()1,0M -对称. (Ⅰ)求E 和Γ的标准方程;(Ⅱ)过点M 的直线l 与E 交于A ,B ,与Γ交于C ,D ,求证:CD AB >.6.已知椭圆C :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (2,0),过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为(1,22) . (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设直线l 不经过点P (0,b )且与C 相交于A ,B 两点,若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1,试判断直线 l 是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.7.已知(2,0),(2,0)A B -,动点M 满足2AMB θ∠=,24||||cos AM BM θ⋅=uuu r uuu r. (1)求||||AM BM +u u u r u u u r的值,并写出M 的轨迹曲线C 的方程;(2)动直线:l y kx m =+与曲线C 交于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥,是否存在圆222x y r +=使得直线l 恰好是该圆的切线,若存在,求出圆的方程;若不存在,说明理由.8.已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为,20P -(,)是它的一个顶点,过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT ,T为切点,且PT =(1)求椭圆C 1及圆C 2的方程;(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1,l 2,其中l 1与椭圆的另一交点为D ,l 2与圆交于A ,B 两点,求△ABD 面积的最大值.9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ,上顶点为B,离心率2e =,O 为坐标原点,圆224:5O x y +=与直线AB 相切. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)已知四边形ABCD 内接于椭圆E ,AB ∥DC .记直线AC ,BD 的斜率分别为12,k k ,试问12k k ⋅是否为定值?证明你的结论.10.已知直线l :y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C :22219x y b+=(03b <<)的焦距长. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知O 为原点,椭圆C 与抛物线22y px =(0p >)交于M 、N 两点,点P 为椭圆C 上一动点,若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点,求证:||||OG OH ⋅为定值.11.已知椭圆C :12222=+b y a x (0>>b a )的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2作直线l与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)已知M ,椭圆C 的离心率为12,直线l 交直线4x =于点P , 求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积;(2)当224a b +=且点M 在第一象限时,直线l 交y 轴于点Q ,11F M FQ ⊥, 证明:点M 在定直线上.12.已知离心率为22的椭圆C : 22a x +22by =1(a >b >0)过点P (﹣1,22).(1)求椭圆C 的方程;(2)直线AB :y=k (x+1)交椭圆C 于A 、B 两点,交直线l :x=m 于点M ,设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3,问是否存在实数t ,使得k 1+k 2=tk 3?若存在,求出实数t 的值以及直线l 的方程;若不存在,请说明理由.13.在平面直角坐标系xOy 中,设动点M 到坐标原点的距离到x 轴的距离分别为d 1,d 2,且221234d d +=,记动点M 的轨迹为Ω.(1)求Ω的方程;(2)设过点(0,-2)的直线l 与Ω相交于A ,B 两点,当△AOB 的面积最大时,求|AB |.14.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -(1)求椭圆E 的方程;(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.15.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,F 为该椭圆的右焦点,过点F 任作一直线l 交椭圆于,M N 两点,且||MN 的最大值为4. (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆C 的左顶点为A ,若直线AM ,AN 分别交直线2x a =于P ,Q 两点,求证:FP FQ ⊥.16.已知椭圆Ma>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l:x ky m=+与椭圆M交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求m的值.17.已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>,圆Q:()(222=2x y-+的圆心Q在椭圆C上,点P(0C(I)求椭圆C的方程;(II)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围.18.设椭圆E 的方程为2221x y a +=(1a >),点O 为坐标原点,点A ,B 的坐标分别为(,0)a ,(0,1),点M 在线段AB 上,满足||2||BM MA =,直线OM 的斜率为14. (1)求椭圆E 的方程;(2)若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ,D 两点,交y 轴于点(0,)T t (1t ≠),问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ?若存在,求t 的值,若不存在,说出理由.19.设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B . A的坐标为(,0)b ,且FB AB ⋅=. (I )求椭圆的方程;(II )设直线l :(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ,求k 的值.20.已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM QO λ= ,QN QO μ= ,求证:11λμ+为定值.21.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F A 是椭圆C的左顶点,且满足124AF AF +=. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若M ,N 是椭圆C 上异于A 点的两个动点,且满足AM AN ⊥,问直线MN 是否恒过定点?说明理由.22.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23, A 1,A 2分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ,N ,试问:在x 轴上是否存在点Q ,使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值?若存在,请求出点Q 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.23.已知椭圆Γ:22142x y +=,过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ,2l ,设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点,2l 与椭圆Γ交于C ,D 两点. (1)若(1,1)P 为线段AB 的中点,求直线AB 的方程; (2)记AB CDλ=,求λ的取值范围.24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的上、下、左、右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ,x轴正半轴上的某点G 满足432===GC GA GD ,, (1)求椭圆的方程;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2,点M 在圆222x y b +=上, 且M 在第一象限,过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点, 求证:△PF 2Q 的周长是定值.25.设,,,P Q R S 是椭圆2222:x y M a b+=1(0)a b >>的四个顶点,菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ∆的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .(I)求椭圆M 的方程;(Ⅱ) ABC ∆的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.26.已知椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,且焦距为2,直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点(点E 、F 与点A 不重合),且满足AE AF ⊥.(1)求椭圆的标准方程;(2)O 为坐标原点,若点P 满足2OP OE OF =+,求直线AP 的斜率的取值范围.27.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>错误!未找到引用源。

圆锥曲线经典题目(含答案解析)

圆锥曲线经典题目(含答案解析)

圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2.。

圆锥曲线经典好题目(带答案)

圆锥曲线经典好题目(带答案)

圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ,B 的距离的差为定值(小于两个定点A ,B 的距离),则动点的轨迹为________.2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为________.3. 已知动圆过定点(0,-1),且与定直线y =1相切,则动圆圆心的轨迹方程为________.4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.5. 已知P 为抛物线y 2=4x 的焦点,过P 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线x =-1上.试猜测:如果P 为椭圆x 225+y 29=1的左焦点,过P 的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线________上.6. 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 的中点到准线的距离为________.8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点,若F 1A =2F 1B ,则椭圆的离心率为________.二、解答题9. 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32,6.求抛物线与双曲线的方程.10. 如图,已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的直线x -my +m =0与抛物线交于A 、B 两点,且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22,求m 6+m 4的值.O lxyA B F ·M第17题 11. 如图,已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切.过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.(Ⅰ)求⊙M 和抛物线C 的方程;(Ⅱ)若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值; (Ⅲ)过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴为AB ,过点B 的直线l 与x 轴垂直.直线(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e=32. (1)求椭圆的标准方程;(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH ⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ ,连结AQ 延长交直线l 于点M ,N 为MB 的中点.试求OQ →·NQ →的值,并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.参考答案1. 双曲线的一支 解析:由双曲线的定义可知是双曲线的一支,故填双曲线的一支.2. 255 解析:由题意可知FF 2=38F 1F 2,即c -b 2=38⨯2c ,化简得c =2b ,所以c 2=4(a 2-c 2),此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析:圆心到定点(0,-1)的距离与到定直线y =1的距离相等,都等于圆的半径,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线,其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析:由渐近线方程可知ba =3,① 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c =4,② 又c 2=a 2+b 2,③联立①②③,解得a 2=4,b 2=12,所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析:x =-1是抛物线的准线,应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线,其方程为x =-254.6. 2 解析:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2,联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0, 由AB =x 1+x 2+p =8,得4p =8⇒p =2. 7. 83解析:如图,过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1,过B 作BC ⊥AA 1于C ,设BF =m ,由抛物线的定义知AA 1=3m ,BB 1=m ,∴△ABC 中,AC =2m ,AB =4m ,k AB =3,直线AB 方程为y =3(x -1),与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0,所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析:如图,过B 作AC 的垂线,垂足为E ,由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点,cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ,故e =23.9. 由题意知,抛物线焦点在x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y 2=2px (p >0),将交点⎝⎛⎭⎫32,6代入得p =2,故抛物线方程为y 2=4x ,焦点坐标为(1,0),这也是双曲线的一个焦点,则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32,6也在双曲线上,因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1,解得a 2=14,b 2=34,因此,双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可知,p2=-m ,将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0,由韦达定理得y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pm ,∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2,又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22,两边平方即可得m 6+m 4=2. 11.解:(Ⅰ)因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=(Ⅱ)设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2(Ⅲ)以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0,2x -y +1=0,得直线所经过的定点(0,1),所以b =1.由离心率e =32得a =2,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。

圆锥曲线23道经典题(含答案)

圆锥曲线23道经典题(含答案)

= 1(a > b > 0)左、右焦点为 F1、 F2离心率为
3 3

F2
的直线
l交C于A、
B两点,若 Δ AF1B的周长为 4 3则C的方程为( )
A.
x2 3
+
y2 2
=1
B.
x2 3
+ y2
=1
C.
x2 12
+
y2 8
=1
D.
x2 12
+
y2 4
=1
3(2014重庆8,5分)

F1
F2 分别为双曲线
11
12
13
14 抛物线的标准方程为 x2 = -12y ,由此可以判断焦点在 y 轴上且开口向下且 p=6, 所以其准线方程为 y=3 15
16
17 18
19
20 21
22
23
24
− y0y
=
1与直线AF相交于点M,与直线
x
=
3 2
相交于点N。证明:当点P在C上移动时,
∣N
F
∣ 恒为定值,并求出此定值。
19(2014陕西,20,13分)
2
如图,曲线C
由上半椭圆
C1
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a > b > 0, y ⩾ 0)和部分抛物线
C2 : y = −x2 + 1(y ⩽ 0)连接而成, C1与 C2的公共点为A,B,其中 C1的离心率为
1)作斜率为

1 2
的直线与椭圆
C
:
x2 a2
+பைடு நூலகம்

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时,
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20. x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ,焦距 2c 10, c2 25
5 /9

0 时,
x2
y2
1,
4
25,
20 ;
4

0
时,
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21. (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22. x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23.1
焦点在 y 轴上,则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28. ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ,得 m 3, c 7 ,且焦点在 x 轴上 2
29. b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
,则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27. , 2
t2 设 Q(
,t) ,由
PQ
a
t2 得(

高考经典圆锥曲线习题(含答案)

高考经典圆锥曲线习题(含答案)

高考圆锥曲线试题精选一、选择题:(每小题5分,计50分)1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为( )2.(2004全国卷Ⅰ文、理)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( )A .23 B .3 C .27D .4 3.(2006辽宁文)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( )A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率4.(2006四川文、理)直线y=x-3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q ,则梯形APQB 的面积为( ) (A )48. (B )56 (C )64 (D )72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6.(2004全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率21=e ,且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合,则此椭圆方程为( )A .13422=+y xB .16822=+y xC .1222=+y x D .1422=+y x 7.(2005湖北文、理)双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )A .163B .83C .316D .388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429.(2002北京文)已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点,那么 双曲线的渐近线方程是( ) A .y x 215±= B .x y 215±= C .y x 43±= D .x y 43±= 二、填空题:(每小题5分,计20分)11. (2005上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是()0,152,则椭圆的标准方程是_________________________12.(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =, 若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .13.(2007上海文)以双曲线15422=-y x 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 .三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)15.(2006北京文)椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P (0,-4)作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.18.(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0-,,(0的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (Ⅰ)写出C 的方程;(Ⅱ)设直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点.k 为何值时OA ⊥OB ?此时AB 的值是多少?19. (2002广东、河南、江苏)A 、B 是双曲线x 2-y22=1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程;(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?20.(2007福建理)如图,已知点F (1,0),直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且=。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

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圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。

圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ,且MF 与双曲线的实轴垂直,则双 曲线C 的离心率为()•选择题(共 10小题) 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 (b > 0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是( A . (1,工)) B . r ::,+x) C. (1, +xD . (1, :)U( :!,242M ・丫卩< 0,则yo 的取值范围是(2.已知M (x o , y o )是双曲线C:[ 个焦点,若 A . =1上的一点,F 1, F 2是C 的左、右两V3 .2 2、-(a >0, b >0)的左、右焦点,若双曲线右 a 2 /B.3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得:-一…卜-|,其中0为坐标原点,且 --I-',则该双曲线的离心率为()A . ,B. in C.D .22 2 4.过双曲线 ———=1 (a >0, b >0)的右焦点F 作直线y=— x 的垂线,垂足 为A ,交双曲线左支于B 点,若日=2匚,则该双曲线的离心率为( ) A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 (a >0, b >0)的渐近线与圆(x - 2) 2+y 2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是( ) A . (2, +x ) B. (1, 2)C. (1,:)D. ( :■:, +x)6.已知双曲线C :b>Q )的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线a bA.丄B•口c. :: D. 222 27. 设点P是双曲线——=1 (a>0, b>0)上的一点,Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|,则双曲线的一条渐近线方程是()A., 丄B. , ..C. y=2xD. y=4x2 28. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ (y-2)2=1相交,贝够双曲线的离心a2b2率的取值范围是()A. (:, +x)B. (1,「;)C. (2. +x)D. (1,2)9. 如果双曲线经过点P (2,庾),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1, 3),则A APF的面积为()二.填空题(共2小题)211 •过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点,则△ PRQ的周长是_______ .2 212.设F1, F2分别是双曲线三;■=1 (巴〉Q, 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使:卜…—-丨,O为坐标原点,且|F-;--, 则该双曲线的离心率为____________________________ ..解答题(共4小题)13•已知点F i 、F 2为双曲线C : x 2-£=1的左、右焦点,过F 2作垂直于x 轴的 直线,在x 轴上方交双曲线C 于点M ,/ MF i F 2=30° (1) 求双曲线C 的方程;(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P i 、 P 2,求■卜?匸的值.点到其右焦点的最小距离为.■;-1.(I )求双曲线r 的方程;(U)过点P ( 1,1)是否存在直线I ,使直线I 与双曲线r 交于R、T 两点,且点P 是线段RT 的中点?若直线I 存在,请求直线I 的方程;若不存在,说明理由. 16.已知双曲线C :务-乡b>0)的离心率e 占,且b 施. 电2 b 2(I )求双曲线C 的方程;(U)若P 为双曲线C 上一点,双曲线C 的左右焦点分别为E F ,且 ?=0,求厶PEF 的面积. 一•选择题(共10小题)1 •直线y 二X - 1与双曲线X 2-岭=1 ( b > 0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是()A . (1, •二) B. (.X, +x) C. (1, +x)D . (1, 「)U( :■:, +x )2【解答】解:•••直线y=x - 1与双曲线X 2-匚=1 (b >0)有两个不同的交点,2 2工 - y 2ab=1 (a >0,b >0)和曲线 C 2:点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的一二倍. (I )求曲线C1的方程;(U )设点A 是曲线C1的右支上一点,F 为右焦点,连AF 交曲线C 的右支于点 /2 x= 22-Ha>o s b>0)的离心率e Vs ,双曲线r 上任意B ,作BC 垂直于定直线I :15•已知双曲线r ,垂足为C,求证:直线AC 恒过x 轴上疋点14.已知曲线G:=1有相同的焦••• 1> b> 0 或b > 1.e —= • | '> 1 且e M ::.2. 已知M (x o, y o)是双曲线C:—丿=1上的一点,F1, F2是C的左、右两个焦点,若H・丫卩.< 0,则y o的取值范围是( )【解答】解:由题意,皿MF ;=(-頂-X0,- y°) ?(岳-X0,- y) =X02-3+y02=3y。

圆锥曲线专题40大题练习(含答案)

圆锥曲线专题40大题练习(含答案)

圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C:「-仁=1的离心率为心,点(V3,o)是双曲线的一个顶点.a-b'(1)求双曲线的方程;(2)经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/,直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆、+与=1(。

〉力〉0)的离心率为一,过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时,AB+CD=7.(1)求椭圆的方程;(2)求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C:「+「=1(。

〉力〉0)的一个焦点为尸(1,0),离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点,过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C:「+七=1(0〉力〉0)的右焦点为『(L°),短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.(1)求椭圆。

的方程;(2)过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在,求出直线/的方程;若不存在,说明理由..2,25.已知椭圆C:=■+%■=1(a>b>0)过点p(—1,—1)-c为椭圆的半焦距,且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L的斜率为一1,求APMN的面积;第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上,求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程;(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点,线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时,求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。

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