2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得
()11
1122
z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数
2.【答案】D
【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查
3.【答案】C
【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=
()()111f g ⇒+=,则()()()()()()11312
11111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩
⎩()()111f g ⇒+=,故选C.
【考点定位】奇偶性
4.【答案】A
【解析】第1n +项展开式为()55122n
n n C x y -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
, 则2n =时, ()()2
53235
1121022022n
n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选A.
【考点定位】二项式定理
5.【答案】C
【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词
6.【答案】D
【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2
211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]
0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.
【考点定位】程序框图 二次函数
7.【答案】B
【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,
则
862r r r -+-==,故选B.
【考点定位】三视图 内切圆 球
8.【答案】D
【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2
111x p q +=++
1x ⇒=,故选D.
【考点定位】实际应用题
9.【答案】A
【解析】函数()f x 的对称轴为2
x k π
ϕπ-=
+2
x k π
ϕπ⇒=+
+,
因为
()23
2sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫
-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423
k π
π+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.
【考点定位】三角函数图像 辅助角公式
10.【答案】B
【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()02
2
0001ln 2
x
x e x x a +-
=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-
0=,当0x 取决于负无穷小时,()001
ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01
ln 002
e a
-+-
>ln a a ⇒<<故选B.
【考点定位】指对数函数 方程
二.填空题.
11.【答案】sin 42
πρθ⎛⎫
-
=- ⎪
⎝
⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()2
2
211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心
()
2,1
到直线l 的距离
d =,所以圆心在直线
l
上,故
1y x
=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭
,故填sin 42πρθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭.
【考点定位】极坐标 参数方程
12.【答案】
32
【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,
则BD DC ==由三角形ABD 的勾股
定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径3
32
AE r =⇒=,故填32.
【考点定位】勾股定理 双割线定理
13.【答案】3-
【解析】由题可得5
2331233
a a ⎧--=⎪⎪
⎨
⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式
14.【答案】2-
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,
且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-
.
【考点定位】线性规划
15.
1
【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a pa
a b p b ⎧=⎪
⎨⎛⎫
=+ ⎪
⎪⎝⎭
⎩
1a b ⇒=,
1. 【考点定位】抛物线
16.
【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θ
θθπ+∈,则
(
3OA OB OD ++=
=因为cos sin θθ的
最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数
17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
23和3
5
,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)
13
15
(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35
, 则()23122
11353515
P B ⎛
⎫⎛⎫=-
⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为
13
15
. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:
()232
0113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;
()231
1001355
P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;
所以ξ的分布列如下:
则数学期望0120100220151555
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率
18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;
(2)
若cos 14BAD ∠=-
,sin 6
CBA ∠=,求BC 的长
.
18.【答案】
(1) cos CAD ∠=
(2)67
【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得
222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠
==
7=
,
所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠
=14=
且sin 7
CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠
⎛= ⎝⎭
=714
+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠
∠BC ⇒=⎝⎭
6
7=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式
19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11
ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;
(2)若0
60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.
19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:
四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等
∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形
11
111,AC
BD O AC B D O ==
∴1,O O 分别为11,BD B D 中点
四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形
∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥
又
AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD
1OO ∴⊥底面ABCD .
(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为
2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D
又
11O C ⊆面1111A B C D
111OC OO ∴⊥
四边形1111A B C D 为菱形
1111O C O B ∴⊥
又
111OC OO ⊥且1
111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D
11O C ∴⊥面1OB D
又
1B O ⊆面1OB D
111B O OC ∴⊥
又
1
1BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC
∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111
cos O E
O EC EC ∠=
060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形
11O C a ∴=
,11,
BO
=112,OO a B O ===, 则11111111
1221
sin 37O
O O E B O
O B O B O
a a B O a
=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1
EC
==
=, 则1111cos O E O EC EC ∠
===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角
20.已知数列{}n a 满足111,n
n n a a a p +=-=,*
n N ∈.
(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若1
2
p =
,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1
141,33241,332
n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数
【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n
n
n n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令
1,2n =可得2
2132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以
21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=1
3p ⇒=或0,
当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以1
3
p =.
(2)由题可得122122212121111
,222
n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}
2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有222
212212221
21n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨
<⎩,因为 (2)由题可得122122212121
111
,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=
⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a
+-
->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得
()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,
又因为22121
12n n n a a ---=
222121
12n n n a a +++>-=
,所以2210n n a a -->,即22121
1
2n n n a a ---=
,
同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以21221
2
n n n a a +-=-,
则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111
,,,,2222
m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个
等式相加可得211
3212
42211
111
122
222
2m m m a a --⎛⎫⎛⎫
-=+++
-+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2122221
111111
11224224113321144
m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111
,,,,2222
m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可
得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144
m m m
---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,1
1a =符合,故2122
41
332m m a --=- 综上1
14
1,33241,332
n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.
【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列
21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()22
2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线
2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,
已知122
e e =
,
且241F F =. (1)求12,C C 的方程;
(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦
AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值
.
21.【答案】(1) 22
12x y += 2212
x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可
得12e e ==,
且12F F =,因
为12e e =,
且
24F F =,
所以22
212
b a
+
=
且
1
a ⇒=且1,
b a ==所以椭圆1C 方程为22
12x y +=,双曲线2C 的方程为2212
x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆
方程可得()
22
2210n y ny +--=,则222A B n y y n +=
+,则22
m
n
y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222
122
M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据
焦点弦弦长
公式可
得2
122
2M AB e x n =+=++)22
12
n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得2
2
202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭
2284x n ⇒=-,222
24n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所
以,P Q 的坐标
为,⎛ ⎝
,则点,P Q 到直线AB 的距离为2212
24n n n d n +-=
,2222
24n n
n d n --=
,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以
()2221222224n n n
n d
d n ++-+=
=
+
,则四边形APBQ 面积()121
2
S AB d d =
+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.
【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值
22.已知常数0a >,函数()()2ln 12
x
f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析
【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得
()()24'12a f x ax x =-++()()()()2
2
24112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2
120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'
0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时
,
()'0f x x =⇒=
则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫
⎪∞⎪⎝⎭
单
调递增的.
(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()
2
4
'12a f x ax x =-++()()
()()
2
2
24112a x ax ax x +-+=++()
()()
22
4112ax a ax x --=
++,
因为()()2
120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1
a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()
'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭
单调递减,在
⎫
⎪
+∞
⎪
⎝⎭
单调递增的.
(2)函数()
f x的定义域为
1
,
a
⎛⎫
-+∞
⎪
⎝⎭
,由(1)可得当01
a
<<时,()
'0
f x x
=⇒=,
则
1
a
>-⇒
1
2
a≠,
则()
f x的两个极值点,
()(
)
12
ln1ln1
f x f x⎡⎡
+=++-+
⎣⎣
(
)
ln141
a a
=--+
⎡⎤
⎣⎦,因为
1
1
2
a
<<或
1
2
a
<<,
则
1
2
<,则
设t=
1
2
t
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
,则()()()2
12
ln144
f x f x t t
+=-+,
设函数()()2
ln144
g x x x
=-+
1
2
t
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
, 后续有待更新!!!
【考点定位】导数含参二次不等式对数。