人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.3 幂函数(共21张PPT) - 副本
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高中数学人教A版必修第一册课件：3.3幂函数(共15张PPT)
单调性：在[0,)上是增函数
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
新课讲解.
二.幂y函数x的3 图象及性质y x
y x2
1
y x2
y x1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格y x2 y x3 y x 2 y x1
3.3 幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数;
3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里a是S的函数;
奇偶性：在R上是偶函数 单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
求m的值。
解:因为f (x)是幂函数
m2 m 1 1
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
新课讲解.
二.幂y函数x的3 图象及性质y x
y x2
1
y x2
y x1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格y x2 y x3 y x 2 y x1
3.3 幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数;
3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里a是S的函数;
奇偶性：在R上是偶函数 单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
求m的值。
解:因为f (x)是幂函数
m2 m 1 1
高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件
3 3
3 3
∴( )4 > ( )2
2
4
3
2
1 = 1.
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
3
−4
1 3
与( )4 .
2
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
−
3
−4
1
2
1 3
与( )4 .
）.
. > > >
=
=
=
. > > >
. > > >
例题讲授
例 证明幂函数() = 是增函数.
证明：函数的定义域是[0, +∞).
∀1 , 2 ∈ [0, +∞),且1 < 2 ,有
(1 ) − (2 ) = 1 − 2 =
例题讲授
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点(
, )在幂函数()的图象上，点(−, )在幂函数()的图象上，问
当为何值时，(1)() > (); ()() = (); ()() < ().
f ( x), f ( x) g ( x)
变式： 定义 h( x)
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是 偶函数；
1
2
(3)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x 单调递增 ,函数y＝x－1 单调递减 ；
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》 课件(共35张PPT)
函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件
()
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
()
(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
()
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图 象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的 指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时 出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的 图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图 象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α， 解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇 偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函 数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远 离x轴(简记为指大图高)．
课件幂函数_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
点对称，再由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性． • (4)由奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称补充图象．
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
32
解析：
33
探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
32
解析：
33
探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
3.3幂函数-高一数学(人教A版必修第一册)课件
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长 =
,这里是的函数;
1
（5）如果某人 内骑车行进了1，那么他骑车的平均速度 = /,
即 = −1 ,这里是的函数.
问题1 概括出它们的解析式，观察出它们有什么异同点？
（1） = ;（2） = ;
y f ( x) | x | 为偶函数.
y
x 的图象如图所示，
f ( x) | x | | x | f ( x) ，
课本P95 习题3.3
当 x [0, ) 时， y | x | 为增函数，证明如下：
设任意的 x1 , x2 [0, ) ，且 x1 x2 ，则 y1 y2
概念2：
结合函数图象并结合解析式，将结论填写如下表所示：
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇函数
单调性
定点
（1,1）
非奇非偶函数
奇函数
（1）定点：所有的幂函数在（0， + ∞）
都有定义，并且图象都过点（1，1）；
当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
（2）单调性：当α ＞0时，在区间[0， +
∞)上是增函数；当α＜0时，幂函数在区
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.3幂函数
课时：1课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
素养目标
2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况
和性质；
数学抽象
数学运算
逻辑推理
直观想象
3.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识
,这里是的函数;
1
（5）如果某人 内骑车行进了1，那么他骑车的平均速度 = /,
即 = −1 ,这里是的函数.
问题1 概括出它们的解析式，观察出它们有什么异同点？
（1） = ;（2） = ;
y f ( x) | x | 为偶函数.
y
x 的图象如图所示，
f ( x) | x | | x | f ( x) ，
课本P95 习题3.3
当 x [0, ) 时， y | x | 为增函数，证明如下：
设任意的 x1 , x2 [0, ) ，且 x1 x2 ，则 y1 y2
概念2：
结合函数图象并结合解析式，将结论填写如下表所示：
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇函数
单调性
定点
（1,1）
非奇非偶函数
奇函数
（1）定点：所有的幂函数在（0， + ∞）
都有定义，并且图象都过点（1，1）；
当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
（2）单调性：当α ＞0时，在区间[0， +
∞)上是增函数；当α＜0时，幂函数在区
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.3幂函数
课时：1课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
素养目标
2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况
和性质；
数学抽象
数学运算
逻辑推理
直观想象
3.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
人教版高中数学必修第一册3.3幂函数 (课件)
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＝xα的形式，故选C.]
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( A．2
)
B．1
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高中数学人教A版必修第一册课件3.3幂函数课件
又 ln π>1>22－1212＝ 22>31， 所以 f(ln π)>f((22－1212))>f13，则 b>c>a.
考点一 幂函数的图象和性质
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限 为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0，0<α<1， α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是 解题的关键．
(2)当α>0 时，幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( × )
(3)确定二次函数解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2.( ×
(2)常见的五种幂函数的图象
i幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一 定不会出现在第四象限； ii幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的 图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点三 二次函数的图象及应用 补充例题 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)，若函数 y＝
m
|x2－2x－3|与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 xi＝
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
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17
巩固练习
3
2.函数y x2的图象是（ C ）
讲
课
人
：
邢
启 强
18
巩固练习
3.若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同
一坐标系中的图象如图，则 a，b，c，d 的大小关
系是( B )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
讲
课
人
：
邢
启 强
19
意一个象限. (× ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( ×)
(3)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( √ )
(4)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函
数．( √ )
(5)当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝xα 在定义域上是
减函数．( × )
讲
课
人
：
邢
启 强
2
2.底数是自变量,自变量的系数为 1;指 数为常数;幂 xα的系数为 1;解析式等号
右边只有 1 项.
讲
课
人
：
邢
启 强
4
尝试练习
练习：判断下列函数哪些是幂函数:
（1）y 0.2x ；（2） y x 2 ；
（3）y x1.2
1
；（4） y 6x5
；
（5）y
1 x3
；（6）y (2x)4 .
f (x1) f (x2）
x1
x2
x1 - x2 x1 x2
x1 - x2 0, x1 x2 0
f (x1) f (x2）
讲 课 人
即函数f (x)
x在[0, )上是增函数
：
邢
启 强
13
典型例题
例 3.点( 2，2)与点－2，－21分别在幂函数
f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
3.3幂函数
新课引入
（1）如果张红以 1 元/kg 的价格购买了某
种蔬菜ωkg，那么她需要支付 p=ω元，这
里 p 是ω的函数；
（2）如果正方形的边长为 a，那么正方形
的面积 S=a2，这里 S 是 a 的函数：
（3）如果立方体的棱长为 b，那么立方体
的体积 V=b3，这里 V 是 b 的函数：
以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函
讲
(2)(3)(5)
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知
问题1：函数y＝x，y＝x2，y＝x-1，
1
y＝ x 2和y＝x3的
y
图象分别是什么？
o
x
讲
课
人
：
邢
启 强
6
学习新知 问题2：根据上述五个函数的图象，
你能归纳出幂函数 y 在x第a 一象限
的图象特征吗？
a>1
y
a=1
0<a<1
a<0
o
x
讲
课
人
：
邢
启 强
数
上递增,在 （－∞,0]
上递减
增函 数
增函数 在(0,＋∞)
上递减,
在(－∞,0)
上递减
9
巩固练习
1、求下列幂函数的定义域：
2
(1)y= x 5
1
1
(2)y= x 2 (3)y= x 3
(4)y= x2
R (0, ) R
{x R | x 0}
讲
课
人
：
邢
启 强
10
尝试练习
2、已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2), 试求出这个函数的解析式.
,y＝x2 ，y＝x-1， y＝x3
的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如何？
y=x
y=x2
y=x3
1
y=x2
y=x－1
定义域 R
R
值域 R [0,＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数
R [0,＋∞) {x∈R|x≠0} R [0,＋∞) {y∈R|y≠0}
奇函数
奇函数
单调 性
讲 课 人 ： 邢 启 强
增函 在[0,＋∞)
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的 重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理 幂值大小的比较问题.
讲
课
人
：
邢
启 强
21
数与我们以前学的函数有什么不同？你能发现这
讲 课 人
几个函数的解析式有什么共同特点吗？
：
邢
启 强
2
新课引入
（4）如果一个正方形场地的面积为 S，那么这个正方
形的边长 c＝ S ，这里 c 是 S 的函数；
（5）如果某人 t s 内骑车行进了 lkm，那么他骑车的
平均速度 v= 1 km/s，即 v= t 1 ，这里 v 是 t 的函数. t
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常
数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)
讲 课 人
指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
：
邢
启 强
12
典型例题 例2、证明函数
y x在[0,+)上是增函数.
证明：任取x1, x2 [0, ), 且x1 x2,则
知当 x>0 时,随着 x 的增大,函数值 y 也增大,
所以 m>0.
讲
课
人
：
邢
启 强
20
课堂小结
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是 判断其是否符合 y＝xα(α 为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映， 会用类比的思想分析函数 y＝xα(α 为常数)同 五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12) 图象与性质的关系．
巩固练习
4.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求 m 的取值范围.
解:根据幂函数 y=x1.3 的图象,知
当 0<x<1 时,0<y<1,∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数 y=x0.7 的图象,知
当 x>1 时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有 0.71.3<1.30.7.
对于幂函数 y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m,
∴1.212>19012>1.112，即 1.212>0.9－12> 1.1.
讲
课
人
：
邢
启 强
15
方法总结 比较幂大小的三种常用方法
利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单
讲 课
调区间内,否则无法比较大小.
人
：
邢
启 强
16
巩固练习
1.判断正误: (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任
7
学习新知 幂函数y x的特征：
（1）图像都过点（1，1）
（2）在区间（0， ）上，
当 0时，y x是增函数；
当 0时，y x是减函数.
(3)在第一象限内，当 0时，
y x的图像向上与y轴无限接近；
讲 课 人 ：
向右与x轴无限接近.
邢
启 强
8
学习新知
问题3：函数y＝x，y＝
x
1 2
注： 1 am
am, n
am
m
an
用 f(x)表示以上 5 个函数，归纳特点
1
讲 课
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
人
：
邢
启 强
3
学习新知
一般地,函数y x叫做幂函数,其中x是自变量,
是常量.
1、对于幂函数，我们只讨论
=1,2,3, 1 , 1时的情形。
解 : 设所求幂函数为y x ,
因为函数过点(2, 2), 所以 2 2 ,
所以 1
2
故所求的幂函数为y
1
x2.
讲
课
人
：
邢
启 强
11
典型例题
例1 函数f(x)=(m2-m-5)x(m-1)是幂函数,且
当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m
的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要 求. 故m=3.
[解] 设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所
示．由图象知，
(1)当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
讲 课 人
(2)当 x＝1 时，f(x)＝g(x)；
：Leabharlann 邢 启 强(3)当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
14
典型例题
例 4 比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[解] (1)∵函数 y＝x3 是增函数，且 0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且 y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，