人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.3 幂函数(共21张PPT) - 副本

数与我们以前学的函数有什么不同？你能发现这
讲 课 人
几个函数的解析式有什么共同特点吗？
：
邢
启 强
2
新课引入
（4）如果一个正方形场地的面积为 S，那么这个正方
形的边长 c＝ S ，这里 c 是 S 的函数；
（5）如果某人 t s 内骑车行进了 lkm，那么他骑车的
平均速度 v= 1 km/s，即 v= t 1 ，这里 v 是 t 的函数. t
解 : 设所求幂函数为y x ,
因为函数过点(2, 2), 所以 2 2 ,
所以 1
2
故所求的幂函数为y
1
x2.
讲
课
人
：
邢
启 强
11
典型例题
例1 函数f(x)=(m2-m-5)x(m-1)是幂函数,且
当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m
的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要 求. 故m=3.
意一个象限. (× ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( ×)
(3)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( √ )
(4)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函
数．( √ )
(5)当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝xα 在定义域上是
减函数．( × )
讲
课
人
：
邢
启 强
,y＝x2 ，y＝x-1， y＝x3
的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如何？
y=x
y=x2
y=x3
1
y=x2
y=x－1
定义域 R
R
值域 R [0,＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数
R [0,＋∞) {x∈R|x≠0} R [0,＋∞) {y∈R|y≠0}
奇函数
奇函数
单调 性
讲 课 人 ： 邢 启 强
增函 在[0,＋∞)
∴1.212>19012>1.112，即 1.212>0.9－12> 1.1.
讲
课
人
：
邢
启 强
15
方法总结 比较幂大小的三种常用方法
利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单
讲 课
调区间内,否则无法比较大小.
人
：
邢
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巩固练习
1.判断正误: (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任
数
上递增,在 （－∞,0]
上递减
增函 数
增函数 在(0,＋∞)
上递减,
在(－∞,0)
上递减
9
巩固练习
1、求下列幂函数的定义域：
2
(1)y= x 5
1
1
(2)y= x 2 (3)y= x 3
(4)y= x2
R (0, ) R
{x R | x 0}
讲
课
人
：
邢
启 强
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尝试练习
2、已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2), 试求出这个函数的解析式.
2
2.底数是自变量,自变量的系数为 1;指 数为常数;幂 xα的系数为 1;解析式等号
右边只有 1 项.
讲
课
人
：
邢
启 强
4
尝试练习
练习：判断下列函数哪些是幂函数:
（1）y 0.2x ；（2） y x 2 ；
（3）y x1.2
1
；（4） y 6x5
；
（5）y
1 x3
；（6）y (2x)4 .
f (x1) f (x2）
x1
x2
Hale Waihona Puke Baidu
x1 - x2 x1 x2
x1 - x2 0, x1 x2 0
f (x1) f (x2）
讲 课 人
即函数f (x)
x在[0, )上是增函数
：
邢
启 强
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典型例题
例 3.点( 2，2)与点－2，－21分别在幂函数
f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
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巩固练习
3
2.函数y x2的图象是（ C ）
讲
课
人
：
邢
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巩固练习
3.若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同
一坐标系中的图象如图，则 a，b，c，d 的大小关
系是( B )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
讲
课
人
：
邢
启 强
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3.3幂函数
新课引入
（1）如果张红以 1 元/kg 的价格购买了某
种蔬菜ωkg，那么她需要支付 p=ω元，这
里 p 是ω的函数；
（2）如果正方形的边长为 a，那么正方形
的面积 S=a2，这里 S 是 a 的函数：
（3）如果立方体的棱长为 b，那么立方体
的体积 V=b3，这里 V 是 b 的函数：
以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函
讲
(2)(3)(5)
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知
问题1：函数y＝x，y＝x2，y＝x-1，
1
y＝ x 2和y＝x3的
y
图象分别是什么？
o
x
讲
课
人
：
邢
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6
学习新知 问题2：根据上述五个函数的图象，
你能归纳出幂函数 y 在x第a 一象限
的图象特征吗？
a>1
y
a=1
0<a<1
a<0
o
x
讲
课
人
：
邢
启 强
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常
数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)
讲 课 人
指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
：
邢
启 强
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典型例题 例2、证明函数
y x在[0,+)上是增函数.
证明：任取x1, x2 [0, ), 且x1 x2,则
[解] 设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所
示．由图象知，
(1)当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
讲 课 人
(2)当 x＝1 时，f(x)＝g(x)；
：
邢 启 强
7
学习新知 幂函数y x的特征：
（1）图像都过点（1，1）
（2）在区间（0， ）上，
当 0时，y x是增函数；
当 0时，y x是减函数.
(3)在第一象限内，当 0时，
y x的图像向上与y轴无限接近；
讲 课 人 ：
向右与x轴无限接近.
邢
启 强
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学习新知
问题3：函数y＝x，y＝
x
1 2
巩固练习
4.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求 m 的取值范围.
解:根据幂函数 y=x1.3 的图象,知
当 0<x<1 时,0<y<1,∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数 y=x0.7 的图象,知
当 x>1 时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有 0.71.3<1.30.7.
对于幂函数 y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m,
注： 1 am
am, n
am
m
an
用 f(x)表示以上 5 个函数，归纳特点
1
讲 课
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
人
：
邢
启 强
3
学习新知
一般地,函数y x叫做幂函数,其中x是自变量,
是常量.
1、对于幂函数，我们只讨论
=1,2,3, 1 , 1时的情形。
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的 重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理 幂值大小的比较问题.
讲
课
人
：
邢
启 强
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知当 x>0 时,随着 x 的增大,函数值 y 也增大,
所以 m>0.
讲
课
人
：
邢
启 强
20
课堂小结
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是 判断其是否符合 y＝xα(α 为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映， 会用类比的思想分析函数 y＝xα(α 为常数)同 五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12) 图象与性质的关系．
(3)当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
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典型例题
例 4 比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[解] (1)∵函数 y＝x3 是增函数，且 0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且 y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，