有理函数的积分
有理函数的积分
sin( x
2
) d x,
dx 1 x4
换句话说, 这些不定积分的结果已不再是初等函数, 数学上讲， “初等函数集合对不定积分运算不封闭”.
二 、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x ) dx
万能代换
x 令 t tan 2 ,
例2. 求 解: 根据上题的结果
（课本P214 例4）
1 4 1 2x 原式 dx 2 2 5 1 2x 1 x 1 x 1 2 d(1 2 x ) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 2 2 5 1 x 5 1 2x 5 1 x
k
Q( x ) b0 ( x a ) ...( x b) ( x 2 px q ) ...( x 2 rx s ) (其中p 2 4q 0,..., r 2 4 s 0).
Mx N ; ( 3) 二次单因式( x px q ), 对应一项 2 x px q
例6. 求
1 1 2 ln t C t 2t 2 2 1 x x 1 2 x tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R( x , n ax b ) dx , 令 t n a x b R( x , n
1 sin x sin x(1 cos x ) dx . （课本P216 例5） 2 x 2t 1 t 解: 令 t tan , 则 sin x , 2 cos x 1 t 2 1 t2 2 dx dt 2 1 t 2t 1 1 t 2 1 1 2 原式 1 t 2 dt t 2 dt 2 2t 1 2 t (1 1 tt 2 ) 1 t 2
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
经济数学-有理函数的积分
三、1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 1 C； 2 1 x 2(1 x ) ln( x sin x ) C ； (1 x 2 ) 3 1 x2 C； 3 x 3x sin x 1 ln(sec x tan x ) C ； 2 2 cos x 2 x4 1 4 arctan x C； 8 8(1 x ) 8 2 x C ,或 sec x x tan x C ； x 1 tan 2
即有些初等函数是不可积的。
练习题
一、 填空题：
3 Bx C A 1． 3 dx 2 dx ，其中 A ____, x 1 x 1 x x 1
B ________ , C __________；
A B C 2． dx , 2 x 1 x 1 x 1
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 1 3 d(1 t 2 ) 3 dt 6ln t 3ln(1 t ) 2 2 1 t 1 t 2
4.4 有理函数的积分
x
2 x
2tan x
1
tan
2 2x
2u 1 u
2
,
2
2
cosx cos2
x 2
sin 2
x 2
1 tan2 x
2 sec2 x
1 1
u u
2 2
.
2
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铃
令 u tan x , 2
则 sin x12uu2 ,
cos
x
1 1
u2 u2
.
例例44
求
1sin x sin x(1cosx)
请看如下积分:
cosx 1sin x
dx
1 1sin
x
d(1sin
x) ln(1 sin
x)
C
.
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铃
•简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.
例例55 求
x1 dx . x
解 设 x1u , 即 xu2 1 , 则
x 1 x
dx
u2u1
2udu
2
,
于是
1 x
1 x
x
dx
(t
2
1)t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
2
(1
t
211)dt
2t
ln
|
t t
1|C 1
2 1 x ln 1 x x C .
x
1 x x
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有理函数的积分
1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。
我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。
对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。
为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。
由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。
下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。
其中均为自然数。
第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。
第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。
例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。
用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。
理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。
（1）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。
经济数学微积分有理函数的积分
例6 求积分
x 6
1 1 e e e
x 2 x 3 x 6
dx .
解
1 e e e
6 令 t e x 6 ln t , dx d t , t 1 1 6 dx dt x x x 3 2 1 t t t t 3 6 2
1 6 3 3 t 3 6 d t dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x )
4 2 1 x 1 5 dx 5 5 dx d x 解 2 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
可用递推法求出
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例
三、小结
一、六个基本积分
定义 有理函数的定义：
n n 1
两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
第4节 有理函数的积分
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + − 2 2 x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
9
1 A Bx + C , + 例4 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
∫
16
例10. 求
∫ (x2 + 2x + 2)2 dx
2
x
2
(x + 2x + 2) − (2x + 2) dx 解: 原式 = ∫ 2 2 (x + 2x + 2) 2 dx d(x + 2x + 2) =∫ −∫ 2 2 2 (x +1) +1 (x + 2x + 2)
= arctan( x +1) +
令t = cos x
令t = sin x
令t = tan x
19
例1. 求
x 为奇函数, 故令t = sin x , (cos2 x − 2) cos x dx (sin 2 x +1) d sin x 原式 = ∫ = −∫ 2 4
解: 因被积函数关于 cos
∫ 1+ sin 2 x + sin 4 x dx .
2 1 2x 1 1 = ln(1 + 2 x ) − ∫ dx + ∫ dx 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
有理函数的积分
解 (1) 直接拼凑
1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x( x 1) ( x 1) x 1 x
假分式
2x4 x2 3 4 2 2x 1 2 . 2 x 1 x 1
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
P( x) , 如果分母可分解为两个多项式 对于真分式 Q( x)
的乘积 Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x) , 且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因 式，则
n n 1
称为有理函数， 当 n < m 时，称为真分式， 当 n m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.
第四节 有理函数的积分
例如，
2 x3 5x 2 3 , 4 3 2 x x 7x 2x 8
真分式
2x4 x2 3 , 2 x 1
三类函数(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次的多项式， P2(x) 为小于 2l 次的多项式).
第四节 有理函数的积分 第四节
例1 将下列真分式分解成部分分式之和：
1 x3 x2 (1) ; (2) 2 ; (3) . 2 2 x( x 1)2 x2 5 x 6 ( x 1)( x 2 x 1)
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化 为有理函数的积分. 例如:
n n ax b ; 令 R ( x , ax b ) d x , t
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
4-4有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分
三角函数的有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构 成的函数．一般记为 R(sin x , cos x )
求
∫ R (sin x , cos x ) dx
的一般方法：
x 令 u = tan x = 2 arctan u（万能置换公式） 2 x x 2 tan 2 tan x x 2= 2 = 2u ∴ sin x = 2 sin cos = x 1 + u2 2 2 2 x sec 1 + tan 2 2 2
2 1 1 3 I = ∫ xdx + ∫ 3 dx − ∫ dx 1 2 3 3 x +1 (x − ) + 2 4 2x − 1 2 1 2 2 3 = x + ln | x + 1 | − arctan +C 3 3 2 3
机动
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结束
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
1 x + x +1 = x+ 2 . 2 x +1 x +1
3
多项式的不定积分是容易求的，因此，下 面我们只讨论真分式的不定积分。
机动
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结束
P( x) 设 是真分数，它的不定积分可按下面步骤求： Q( x )
（1）将Q( x ) 在实数范围内分解成一次多项式和 二次多项式的乘积：( x − a )k ，( x 2 + px + q )l ，其中
2 1 1 1 1 1 2 = ∫ d (2 x ) − ∫ 2 dx + ∫ 2 dx 5 1 + 2x 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln | 1 + 2 x | − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
有理函数的积分
2
1 u2
2
dx
du,
1 u2
1 sin 4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6 du
1 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
C
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 tan 8
x 2
214
tan
x 2
3
C.
或
1
1
sin4 x dx sin2 x sin2 x dx
csc2 x(1 cot2 x)dx
x3 5x
6
dx.
解 x3 x3 A B , x2 5x 6 ( x 2)(x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B).
因此
A B 1, (3A 2B) 3,
解得
A 5, B 6.
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1).
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C.
取 x 0 得 A 1, 取 x 1, 得 B 1.
取 x 2 ,并将 A, B的值代入 (1), 得 C 1 1 1 1 1 .
x( x 1)2 x ( x 1)2 x 1
1 x(x
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
1 sin x cos x
1
1 u2
2u 1 u2
1 1
u2 u2
有理函数积分法
有理函数积分法
有理函数积分法（Rational Function Integration Method）是指利用N个数有关的定积分的方法，由于所运用的有理函数特性它可以进行快速的求解。
有理函数积分法的基本思想是通过将积分根据要求积分区间（即要进行积分的函数那部分）划分成多个子区间并将积分分解成多个有理函数求解，再把多个有理函数的结果加在一起得到最终的积分结果。
有理函数积分法的流程有如下步骤：
首先，根据需要，将要求积分的函数的这部分划分成多个子区间，以便于分解成多个有理函数；其次，将每个子区间内的有理函数求解；然后，将每个子区间内的有理函数求解出来的结果相加得到最终的结果；最后，根据最终的结果检查，以确保结果是正确的。
有理函数积分法的优点是可以迅速求解定积分，但其也存在一定的缺点，例如它对函数的区间分解要求较高，而且需要有较好的数学模型和计算能力。
因此，当积分难度较大时，有理函数积分法的常规方法得不到较好的解决方案。
3.4 有理函数的积分
例: 将下列真分式分解为部分分式
（二） 有理真分式的积分： 有理真分式的积分大体有下面四种形式:
A 1. dx A ln x a C xa A A 1 n ( x a ) C 2. d x 1 n ( x a) n
MxN 3. 2 dx x px q MxN 4. 2 dx n ( x p x q)
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1 sin x dx . 例8. 求 sin x (1 cos x )
万能
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dx . 例9. 求 2 sin x 3 cos x
cos x d x 2 sin x 3 cos x .
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例10. 求
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n
ax b
R(x
a xb n , c xd
) dx ,
n a x b c xd
n m R ( x , ax b , ax b ) d x ,
令 t
p
ax b , p为m ,n的最小公倍数 .
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dx . 例12. 求 3 1 x 2
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R ( a sin x b c o s x )
1 A ( a sin x b c o s x ) B ( a sin x b c o s x )
特殊2: 通常求含 sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有理式
的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
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2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
求积分
(1
2
1 x)(1
x2
)
dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
56(来自xx 2)(3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C)x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x
1
1
x
1 x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
第四节 有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
求积分
x(
1 x
1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1