高等数学2答案
高等数学(二)考试题答案
1单选(3分)已知，复合函数对的导数为，则等于（）．得分/总分•A.2•B.1•C.•D.正确答案：D你没选择任何选项2单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项3单选(3分)设函数在内连续，且满足，则（）．得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项4单选(3分)极限的值为（）．得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：D你没选择任何选项5单选(3分)设函数，则的值为（）.得分/总分•A.-48•B.48•C.2•D.-2设是的一个原函数，则（）.得分/总分A.B.C.D.设函数在区间上连续，其图形如下图所示，，则（）．第28题图得分/总分•A.函数的图形在内无拐点•B.函数在内取到极小值•C.函数在内取到极大值•D.函数在上单调增加正确答案：B你没选择任何选项8单选(3分)极限的值为（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：D你没选择任何选项9单选(3分)函数的单调增加区间为（）.得分/总分•A.•B.与•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项10单选(3分)已知二阶可导，且，是它的反函数，则等于（）．得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项11单选(3分)曲线的渐近线条数为（）．得分/总分•A.3•B.1•C.4•D.2正确答案：A你没选择任何选项12单选(3分)曲线的拐点个数为（）．得分/总分•A.4•B.1•C.3•D.2正确答案：A你没选择任何选项13单选(3分)若不定积分的结果中不含反正切函数，则（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：D你没选择任何选项14单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项15单选(3分)设函数在内连续，则函数的导数为（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：A你没选择任何选项16单选(3分)反常积分的值为（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项17单选(3分)设函数在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分条件是（）．得分/总分•A.存在•B.存在•C.存在•D.存在正确答案：B你没选择任何选项18单选(3分)已知，则的值为（）.得分/总分•A.1•B.-2•C.-1•D.正确答案：B你没选择任何选项19单选(3分)设函数由方程确定，则的值为（）.得分/总分•A.-2•B.1•C.-1•D.2正确答案：D你没选择任何选项20单选(3分)设函数二阶可导，其图形在处的曲率圆的方程为，则函数的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（）．得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：B你没选择任何选项21多选(4分)设函数是闭区间上可导的偶函数，则下列函数中在上一定为奇函数的是（）．得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：C、D你没选择任何选项22多选(4分)设函数在点处可导，在点处连续但不可导，则（）.得分/总分•A.函数点处连续•B.函数点处不可导•C.是函数点处可导的充分条件•D.是函数点处可导的必要条件正确答案：A、C、D你没选择任何选项23多选(4分)设，则（）.得分/总分•A.•B.该参数方程确定的曲线在原点的曲率半径为•C.•D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项24多选(4分)下列定积分（或反常积分）中，其值为0的有（）.得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项25多选(4分)已知函数在上连续，在内可导，且，则（）.得分/总分•A.存在，使得•B.存在，使得•C.对任意正数，在内存在相异的两点，使得•D.存在，使得正确答案：B、C、D你没选择任何选项26判断(2分)若函数在点处不可导，则函数在点处也不可导.得分/总分•A.•B.正确答案：B你没选择任何选项27判断(2分)设函数在内可导，，则.得分/总分A.设函数在上可积，且，则在上恒等于零.A.若函数在点处可导，则曲线在点处存在切线.得分/总分设函数在点处二阶可导，且在点处取极小值，则必有，.得分/总分A.对任何正整数，方程至多只有一个实数根.得分/总分A.设函数连续，且满足，则.得分/总分A..得分/总分•A.•B.正确答案：A你没选择任何选项34判断(2分)设函数在内具有一阶连续导数，且在内单调增加，则曲线在内是向下凸的.得分/总分•A.•B.正确答案：A你没选择任何选项35判断(2分)反常积分收敛的充分必要条件是.得分/总分•A.•B.正确答案：A你没选择任何选项。
高等数学2第九章答案_37700
习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =-（2）u =2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()limx y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===（4）()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数： （1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)y z xy =+；（3）arctan()z u x y =-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分： （1）y xz e =；（2）yzu x =.（3）sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘（4）()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂， u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
高数二下练习题答案完整版全部
高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用（一） 1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰（0>a ）。
1ax e dx a+∞-=⎰(过程略)2、求瑕积分21⎰。
()()()2211021023/21/2013/21/20lim lim 12lim 1213828= lim 2333d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3、求由曲线22y x =与4x y +=所围成图形的面积。
22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y yS y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。
2113ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰或120111322ln 222S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。
解：过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=，而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,23(，则所要求图形的面为：()()()()3/23221203/29434326434S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰⎰6、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。
解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：()2020/2442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=⎰⎰（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？222331220322()22()(1()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t =面积之和最大，当时，面积之和最小。
2022年新疆成人高考专升本高等数学(二)真题及答案
2022年新疆成人高考专升本高等数学(二)真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数2()sin ,(),f x x g x x ==则(())f g x =（ ）A ．是奇函数但不是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．既是奇函数又是周期函数D. 既是偶函数又是周期函数2. 若20(1)1lim2x ax x→+−=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.设函数()f x 在0x =处连续，()g x 在0x =处不连续，则在0x =处（ ） A. ()()f x g x 连续 B. ()()f x g x 不连续 C. ()()f x g x +连续 D. ()()f x g x +不连续4. 设arccos y x =，则'y =（ ）A.B. C.D.5.设ln()xy x e −=+，则'y =（ ）A. 1x x e x e −−++B. 1x x e x e −−−+C. 11x e −−D. 1xx e−+6.设(2)2sin n yx x −=+，则()n y =（ ）A. 2sin x −B. 2cos x −C. 2sin x +D. 2cos x + 7.若函数()f x 的导数'()1f x x =−+，则（ ） A. ()f x 在(,)−∞+∞单调递减 B. ()f x 在(,)−∞+∞单调递增 C. ()f x 在(,1)−∞单调递增 D. ()f x 在(1,)+∞单调递增8.曲线21xy x =−的水平渐近线方程为（ ） A. 0y = B. 1y = C. 2y = D. 3y = 9.设函数()arctan f x x =，则'()f x dx =⎰（ ）A. arctan x C +B. arctan x C −+C.211C x ++ D. 211C x−++ 10.设x yz e+=，则(1,1)dz = ( ）A. dx dy +B. dx edy +C. edx dy +D. 22e dx e dy +第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（11-20小题，每题4分，共40分）11. lim2x x x e xe x→−∞+=− .12.当0x → 时，函数()f x 是x 的高阶无穷小量，则0()limx f x x→= . 13. 设23ln 3y x =+，则'y = .14.曲线y x x =1，2）处的法线方程为 . 15.2cos 1x xdx x ππ−=+⎰ . 16.121dx x =+⎰. 17. 设函数0()tan xf x u udu =⎰，则'4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 18.设33,z x y xy =+则2zx y∂=∂∂ .19.设函数(,)z f u v =具有连续偏导数，,,u x y v xy =+=则zx∂=∂ . 20.设A ，B 为两个随机事件，且()0.5,()0.4,P A P AB ==则(|)P B A = .三、解答题（21-28题，共70分。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
2021年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
dt
当=r 1= 0, h 5 时， dV = −100π , dS = 40π ，故选 C。
dt
dt
(4)设函数 f (x) = ax − b ln x, (a > 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是( ) a
(A) (e, +∞)
(B) (0, e)
(C) (0, 1) e
(D) (1 , +∞) e
故正确答案为 C。
1
∫ (7)设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续，则 f (x)x = ( ) 0
∑n 2k −1 1
(A) lim f ( )
n→∞ k =1
2n 2n
∑n 2k −1 1
(B) lim f ( )
n→∞ k =1
2n n
∑2n
(C) lim
f ( k −1) 1
n→∞ k =1 2n n
为( )
(A) 2, 0
(B)1,1
(C) 2,1
(D)1, 2
【答案】B。
【解析】 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 − (x3 − x1)2 = 2x22 + 2x1x2 + 2x2 x3 + 2x1x3
0 1 1 所以 A = 1 2 1 ，故特征多项式为
【答案】A
【解析】令 f (x) =ax − b ln x =0 ， f ′(x)= a − b ，令 f ′(x) = 0 得驻点 x = b ，
x
a
f ( b ) = a ⋅ b − b ⋅ ln b < 0 ，从而 ln b > 1，可得 b > e ，正确答案为 A。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
2021年成人高等《高等数学(二)》(专升本)真题及答案
2021年成人高等《高等数学(二)》（专升本）真题及答案1.选择题（江南博哥）A. 0B.C. 1D. 2正确答案：D参考解析：2.选择题设y=ex+cosx，则y'=A. ex+cosxB. ex-cosxC. ex-sinxD. ex+sinx正确答案：C参考解析：3.选择题设y=xtanx，则y'=A.B.C.D.正确答案：A参考解析：4.选择题A.B.C.D.正确答案：D参考解析：5.选择题曲线y=x3+1的拐点为A. (0，0)B. (0。
1)C. (-1，0)D. (1，1)正确答案：B参考解析：的拐点为(0，1)．6.选择题设f(x)的一个原函数为cos2x，则f(x)=A. -sin2xB. sin2xC. -2sin2xD. 2sin2x正确答案：C参考解析：由题可知f(x)=(cos2x)'=-2sin2x．7.选择题A. -2B. -lC. 1D. 2正确答案：C参考解析：8.选择题A. -6ycos(x-3y2)B. -6ysin(x-3y2)C. 6ycos(x-3y2)D. 6ysin(x-3y2)正确答案：A参考解析：9.选择题A. xf”(x2+y)B. 2xf”(x2+y)C. yf”(x2+y)D. 2xyf”(x2+y)正确答案：B参考解析：10.选择题已知事件A与B互斥，且P(A)=0．5，P(B)=0．4，则P(A+B)=A. 0．4B. 0．5C. 0．7D. 0．9正确答案：D参考解析：事件A与B互斥，故P(AB)=0，因此P(A+B)=P(A)+P(B)=0．5+0．4=0．9．11.填空题正确答案：参考解析：【答案】12.填空题正确答案：参考解析：【答案】e13.填空题正确答案：参考解析：【答案】214.填空题正确答案：参考解析：【答案】o15.填空题正确答案：参考解析：【答案】16.填空题曲线y=2x3+x-1在点(0，-1)处法线的斜率为_____.正确答案：参考解析：【答案】-1y'=6x2+1，故y'(0)=1，因此曲线在点(0，-1)处的法线的斜率为-1．17.填空题正确答案：参考解析：【答案】18.填空题正确答案：参考解析：【答案】19.填空题正确答案：参考解析：【答案】20.填空题设函数f(x，y)=x+y，则f(x+y，x—y)=_____.正确答案：参考解析：【答案】2xf(x+y，x—y)=x+y+x—y=2x．21.解答题参考解析：22.解答题求函数f(x)=e-x2的单调区间和极值．参考解析：23.解答题参考解析：24.解答题参考解析：25.解答题设离散型随机变量X的概率分布为其中“为常数．(1)求a；(2)求E(X)．参考解析：(1)由概率分布的性质知a+3a+4a+2a=1，所以a=0．1．(2)E(X)=0×0．1+1×0．3+2×0．4+3×0．2 =1．7．26.解答题参考解析：27.解答题(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转-周所得旋转体的体积．参考解析：(1)(2)28.解答题求函数f(x，y)=x2+y2在条件x2+y2-xy-1=0下的最大值和最小值．参考解析：。
2023年成人高考专升本高等数学(二)真题+参考答案解析
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（二）真题一、选择题（1~10小题，每题4分，共40分。
在每小给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的）1.x→∞x2+1 x2+xlim=()A.-1B.0C.12D.12.设f(x)=x3+5sin x,f'(0)=()A.5B.3C.1D.03.设f(x)=ln x-x,f'(x)=()A.xB.x-1C.1x D.1x-14.f(x)=2x3-9x2+3的单调递减区间为()A.(3,+∞)B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.(0,3)5.x23dx=()A.x32+CB.35x53+C C.x53+C D.x13+C6.设函数f(x)=x ,则1-1f(x)dx=()A.-2B.0C.1D.27.连续函数f(x)满足x0f(t)dt=e x-1,求f'(x)=()A.e xB.e x-1C.e x+1D.x+18.设z=e xy,dz=()A.e xy dx+e xy dyB.e x dx+e y dyC.ye xy dx+xe xy dyD.e y dx+e x dy9.设z=14(x2+y2),∂2z∂x∂y=()A.x2B.0 C.y2D.x+y10.扔硬币5次，3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.二、填空题(11~20小题，每题4分，共40分)11.x→31+x-2x-3=lim。
12.x→∞(x+1 x-1)lim x=。
13.f(x)=e2x,则f(n)(0)=。
14.f(x)=x2-2x+4在(x0,f(x))处切线与直线y=x-1平行，x=。
15.曲线y=xe x的拐点坐标为。
16.y=2x1+x2的垂直渐近线是。
17.xx2+4dx=。
18.曲线y=x2与x=y2所围成图形的面积是。
19.+∞0xe-x2dx=。
20.z=x2+y2-x-y-xy的驻点为。
三、解答题(21~28小题，共70分。
2022年成人高等《高等数学(二)》(专升本)真题及答案
2022年成人高等《高等数学(二)》（专升本）真题及答案1.选择题（江南博哥）设函数f(x)=sinx， g(x)=x'时，则f(g(x)（）。
A. 是奇函数但不是周期函数B. 是偶函数但不是周期函数C. 既是奇函数也是周期函数D. 既是偶函数也是周期函数正确答案：B参考解析：2.选择题（）A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：A参考解析：3.选择题设函数f(x)在x=0处连续，g(x)在x=0处不连续; 则x=0处（）A. f(x)g(x) 连续B. f(x)g(x)不连续C. f(x)+ g(x)连续D. f(x)+g(x)不连续正确答案：D参考解析：此题暂无解析4.选择题函数y= arccosx，则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析5.选择题函数y=ln(x+e-x),则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析6.选择题设函数y(n-2)=x2 +sinx,则y(n)=（）A. 2- sinxB. -cosxC. 2- cosxD. 2 + cosx正确答案：A参考解析：7.选择题设函数f(x)的导函数f"(x)=-x+1，则A. f(x)在(-∞,+∞)单调递增B. f(x)在(-∞,+∞)单调递减C. f(x)在( -∞,1)单调递增D. f(x) 在(1,+∞)单调递减正确答案：C参考解析：此题暂无解析8.选择题（）A. y=0B. y=1C. y=2D. y=3正确答案：C参考解析：9.选择题函数f(x)= arctanx, 则（）A. arctanx + CB. -arctanx+C'C.D.正确答案：A参考解析：此题暂无解析10.选择题设z=ex+y；则dz|(1,1)=（）A. dx+dyB. dx + edyC. edx + dyD. e2dx +e2dy正确答案：D参考解析：11.填空题_____正确答案：参考解析：【答案】-1【解析】12.填空题当x→0时，函数f(x)是x高阶无穷小量，则极限______ 正确答案：参考解析：【答案】013.填空题设函数y=3x2 +In3，则y'=正确答案：参考解析：【答案】bx14.填空题曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为_______正确答案：参考解析：【答案】15.填空题正确答案：参考解析：【答案】016.填空题正确答案：参考解析：【答案】17.填空题正确答案：参考解析：【答案】π/418.填空题设z=x3y+xy3，则正确答案：参考解析：【答案】3x2+3y219.填空题设z= f(u,v)的具有连续偏导数，其中u=x+y,v=xy;则正确答案：参考解析：【答案】f’(u)+yf’v20.填空题设两个随机事件A,B, P(4)=0.5，P(AB)=0.4; 计算P(B|A)= 正确答案：参考解析：【答案】0.8【解析】21.解答题求a参考解析：22.解答题参考解析：23.解答题参考解析：24.解答题参考解析：25.解答题 (本题8分)设离散型随机变量X的概率分布如下表:(1) 求x的分布函数F(x)(2) 求E(X);参考解析：E(x)=XIP(Xi)=0.926.解答题 (本题10分)设函数z=z(x,y)由方程2y2 +2xz+z2=1所确定，求参考解析：27.解答题 (本题10分)设D为曲线y=x2与直线y=0, x=2所围成的平面图形;(1) 求D所围成图形的面积。
陕西师范大学 网络教育 《高等数学(二)》作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 VIII 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 2(,)t f x y .3x y y-的定义域为 {}(,)0x y x y ≥> 。
4．设25(,),f f x y x y y x y∂=-=∂则245x x y - 。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得111(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰或。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰=2 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 （2，-2，1） 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为{222(1)90x y x z ++-== 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x-4y 。
10．函数z x y =-的定义域为 }{2(,)0,0,x y x y x y ≥≥> 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到222211111(,,)x x x y dx f x y z dz ---+⎰⎰ 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰ 5615-。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 3 ；向量12M M 的方向余弦cos α=1/3 ，cos β= -2/3 ，cos γ= 2/3 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 34 。
高等数学第二册教材答案
高等数学第二册教材答案解答：第一章：函数与极限1.1 函数的基本概念和性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 函数的导数与可导性2.3 常用函数的导数2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数的导数与高阶导数第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 导数的应用：函数的单调性与极值第四章：不定积分4.1 不定积分的定义4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分4.5 特殊函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 反常积分5.3 微积分基本定理5.4 定积分的换元法5.5 定积分的分部积分法5.6 定积分的应用：几何应用与物理应用第六章：定积分的几何应用6.1 曲线的弧长与曲面的面积6.2 平面区域的面积第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的定义与极限7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数的偏导数与全微分7.4 多元函数的极值与条件极值第八章：多元函数积分学8.1 重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的计算8.4 曲线积分和曲面积分第九章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的性质9.3 幂级数与函数展开9.4 函数的傅里叶级数展开第十章：常微分方程10.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性10.2 一阶线性微分方程10.3 可降阶的高阶微分方程10.4 齐次线性微分方程与常系数齐次线性微分方程10.5 非齐次线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程以上是高等数学第二册教材各章节的答案。
希望能帮助你更好地理解和应用数学知识。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 ，直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（2） ，其中 为折线 ，这里 、 、 、 依次为点 、 、 、 ；
（3） ，其中 为摆线的一拱 ， .
2.有一段铁丝成半圆形 ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
复习题十一
1.计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 .
（2） ，其中 为摆线 ， 上对应 从 到 的一段弧.
（3） ，其中 为上半圆周 ， 沿逆时针方向.
2.计算下列曲面积分：
（1） ，其中 是界于平面 及 之间的圆柱面 ；
（2） ，其中 为锥面
的外侧.
（3） ，其中 为半球面 上侧.
3.证明： 在整个 平面除去 的负半轴及原点的区域 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。
（3）沿上半圆周 从点 到点 .
4.设 为曲线 ， ， 上相应于 从 变到 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分。
习题11-3格林公式及其应用
1.利用曲线积分，求星形线 ， 所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分 ，其中 为圆周 ， 的方向为逆时针方向。
3.证明曲线积分 在整个 面内与路径无关，并计算积分值。.
（1） ；
（2）
6.计算 ，其中 为由点 到点 的曲线弧
解
原积分与路径无关， 故原式
习题11-4对面积的曲面积分
1.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分。
2.计算下列对面积的曲面积分：
（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分；
（2） ，其中 为球面 上 的部分；
3.求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .
（1） 是平面 在第一卦限的部分的上侧；
（2） 是抛物面 在 面上方的部分的上侧；
习题11-6高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分：
（1） ，其中 为平面 ， ， ， ， ， 所围成的立体的表面的外侧.
（2） ，其中 是界于 和 之间的圆柱体 的整个表面的外侧；
（3） ，其中 为平面 ， ， ， ， ， 所围成的立方体的全表面的外侧；
2.计算 ，其中 是：
（1）抛物线 上从点 到点 的一段弧；
（2）从点 到点 的直线段；
（3）先沿直线从点 到点 ，然后再沿直线到 的折线；
（4）曲线 ， 上从点 到点 的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中 为：
（1）在 面内沿直线从点 到点 ；
（2）沿抛物线 从点 到点 ；
4.计算曲线积分 ，其中 是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。
解法一
在 内作一圆 ： ，方向逆时针
由格林公式有
=
：
法二:由参数法将得积分代入四部分之和
2.计算曲面积分 ，其中 是曲面 的外侧.
解 添加平面 ，取上侧，使 构成封闭，应用高斯公式地
习题11-7斯托克斯公式
1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（2） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（3） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
4.计算 ，其中 为锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
解 ， ，在 上，
， 在 面的投影为
在 上， ，计算下列对坐标的曲面积分：
（1） ，其中 为球面 的下半部分的下侧.
（2） ，其中 为连续函数， 是平面 在第四卦限部分的上侧.
2.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，其中
解曲线 的参数方程为
依题意 ，所求质量
习题11-2对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分：
（1） ，其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧；
（2） ，其中 为圆周 （按逆时针方向绕行）；
（3） ，其中 是从点 到点 的一段直线；
（4） ，其中 为有向闭折线 ，这里 、 、 依次为点 、 、 ；
解：积分与路径无关，取路径 ，则有
4.利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为三顶点分别为 、 和 的三角形正向边界；
（2） ，其中 是从 沿 到点 的一段弧.
解：原式
取
，所以上述第一个积分与路径无关，取点 到点
的直线积分得：
又 的参数方程为 从 变到 ，所以
于是，原式
5.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分，并求这样的一个 ：