线性代数大二期末考试重点复习、题目,不可不看哦!

等价组等秩
两等价的线性无关 向量组含向量个数相同 可由组B线性表出且 组A可由组 线性表出且 可由组 R(A)=R(B），则A与B等价 ），则 与 等价 ），
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被线性表出的向量组的秩小 被线性表出的向量组的秩小
向量组的秩 = 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩 若向量组可用个数相同的向量组线性表示 且系数矩阵满秩， 且系数矩阵满秩，则两向量组相关性相同 3. 求秩和最大无关组 最大无关组
方程组 Ax = o, Bx = o 有相同的解
反例： 反例：
0 1 0 0 a1 = , a2 = , b1 = , b2 = , 0 0 1 0
a1 , a2 线性相关，b1 , b2 也线性相关。但若 线性相关， 也线性相关。 λ1 a1 + λ2 a 2 = o , λ1b1 + λ2 b2 = o 同时成立， 同时成立，
复习： 复习：最大无关组与秩
1. 最大无关组 无关性 最大性 不唯一，但所含 不唯一， 向量个数唯一 2. 秩
任r+1个线性相关 个线性相关 再添一个就线性相关 A 能由 0 线性表示 能由A
A
B ⇔ A0
简单性质
A
~
A0
~
~ A0
B0
线性无关 ⇔ 秩 = 向量个数 线性 相关 ⇔ 秩 < 向 量个 数
1 0 0 0
0 3 2 1 2 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
（4）D3 = 2 −3 −5 = 32 3 3 −2 0
D =?
2
1
7
列也为A的列向量组的一个最大无关组 表示方法？ 第1，3，5列也为 的列向量组的一个最大无关组 表示方法？ 列也为
3 1 b2 = − b1 + b3 + 0b5 2 2 9 1 b4 = b1 − b3 + 0b5 2 2
λ1a1 + L + λm am + λ1b1 + L + λmbm = o 成立 ⇔ λ1 (a1 + b1 ) + λ2 (a2 + b2 ) + L + λm (am + bm ) = o
线性相关， 线性相关。 则 a1 , a2 ,L , am 线性相关，b1 , b2 ,L , bm 线性相关。 反例： 反例： 一般举二维向量
0 1 0 0
b 线性相关， （4）若向量组 a1 , a2 ,L , am 线性相关，1 , b2 ,L , bm 也线性相 关。 ） 则有不全为0的数 则有不全为 的数 λ1 , λ2 ,L , λm , 使
λ1a1 + L + λm am = o, λ1b1 + L + λmbm = o 同时成立 同时成立.
2 1 8 2 −3 0 A= 3 −2 5 1 0 3 7 7 −5 行 8 0 2 0 3
（5）第1，2，5列为 的列向量组的一个最大无关组 ） ， ， 列为A的列向量组的一个最大无关组 列为 第3列表示为 b3 = 3b1 + 2b2 + 0b5 第2列表示为 列表示为 列表示为 第4列表示为 b4 = 2b1 − b2 + 0b5 第4列表示为 列表示为 列表示为
1 0 −1 0 a1 = , a2 = , b1 = , b2 = , λ1 = λ2 = 1 满足 0 1 0 −1
λ1 a1 + λ 2 a 2 + λ1b1 + λ 2 b2 = o , b 线性无关。 线性无关， 但 a1 , a2 线性无关， 1 , b2 线性无关。
m = n时 n个n 维向量线性相关 个
LL ⇔ 不可表示基本单位向量组
⇔ 它们构成的方阵可逆
⇔ 不 与 单 位 组 e1 , e 2 , L , e n 等 价
n个n 维向量线性无关 个
LL ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 可线性表示基本单位向量组 与 单 位 组 e1 , e 2 ,L , e n 等 价 它们构成的方阵不可逆 它们构成的行列式 A ≠ 0
⇔
⇔
复习线性相关性 向量组A 向量组A:α1 ,α 2 ,L ,α m 线性相关
组中至少有一个向量能由其它向量线性表 示 存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数k1 , k2 ,L km , 使得
⇔
⇔ ⇔ ⇔
k1α 1 + k2α 2 + L + kmα m = O (∗)成立 方程组 k α + k α + L + k α = O 有非零解 1 1 2 2 m m
第四章习题 P.107 . 8: 举例说明下列结论错误
线性相关， （1）若向量组 a1 , a2 ,L , am 线性相关， a1 可由 a2 ,L , am ） 则 线性表示。 线性表示。 至少有一个向量可用其它向量线性表示， 至少有一个向量可用其它向量线性表示，而不一定是第一个 （2）若有不全为 的数 λ1 , λ2 ,L , λm , 使 ）若有不全为0的数 线性表示。 a1 ≠ o, a2 = a3 = L = am = o, 但 a1 不由 a2 ,L , am 线性表示。
练习： 练习：设
2 1 8 2 −3 0 A= 3 −2 5 1 0 3 7 7 −5 8 0 2 0 3
（1）判定 的列向量组的线性相关性 ）判定A的列向量组的线性相关性
（2）判定 的行向量组的线性相关性 ）判定A的行向量组的线性相关性 (3) 求A的秩 的秩R(A) 的秩 3 9 1 − 0 0 (4) 求A的一个最高阶子式 2 的一个最高阶子式 2 1 1 0 (5)求A的列向量组的一个最大无关组， 的列向量组的一个最大无关组， 求 的列向量组的一个最大无关组 0 1 − 2 2 并将其它向量用这个最大无关组表示 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解 （1）A的列向量组的线性相关 维数＜个数 ） 的列向量组的线性相关 维数＜ 的行向量组的线性相关性？ （2）A的行向量组的线性相关性？ 相关 ） 的行向量组的线性相关性 (3)R(A)＝３ ＝
（4）若向量组 a1 , a2 ,L , am 线性相关， , b ,L , b 也线性相 关。 ） 线性相关， 1 2 b m 则有不全为0的数 则有不全为 的数 λ1 , λ2 ,L , λm , 使
λ1a1 + L + λm am = o, λ1b1 + L + λmbm = o 同时成立
反例： 反例： a1 = , a2 = , b1 = , b2 = , 0 0 1 0
线性无关， 则 a1 , a2 ,L , am 线性无关，b1 , b2 ,L , bm 线性无 关。
λ1 λ1 a1 + λ 2 a 2 + λ1b1 + λ 2 b2 = = o 时，只有 λ1 = λ2 = 0 λ2
线性相关。 线性相关， 但 a1 , a2 线性相关，b1 , b2 线性相关。
k1α1 + k2α 2 + k3α 4 = α 3
(α 1
α2 α4
1 行 0 α 3 ) → 0 0
0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 0 0
⇒ k1 = k2 = −1, k3 = 0
α 3 = −α1 − α 2 + 0.α 4
k1 , k2 , k3 恰好是行最简形第 列的数字！ 也有 恰好是行最简形第3列的数字 列的数字！ α 5 = 4α 1 + 3α 2 − 3α 4 ?
（3）若只有当 λ1 , λ2 ,L , λm , 全为 时， ） 全为0时
λ1a1 + L + λm am + λ1b1 + L + λmbm = o 才成立
⇔ λ1 (a1 + b1 ) + λ2 (a2 + b2 ) + L + λm (am + bm ) = o
1 0 0 0 反例： 反例： 1 = , a2 = , b1 = , b2 = 满足 a 0 0 1 0
即同时有 0 0 λ2 0 = λ1 a1 + λ 2 a 2 = , = λ1b1 + λ 2 b 2 = λ , 0 0 0 1 则必有 λ1 = λ2 = 0
P.107 . 8:
(1).错.应为至少有一个,但不一定是α 1 , 应为至少有一个, 全为零时， 线性表示. 比如α 1 ≠ o, 而α 2 Lα m 全为零时，α 1不能由α 2 Lα m 线性表示.
矩 阵 方 程 Ax = O 有 非 零 解
矩阵A )的秩 矩阵A=(α1 , α 2 ,Lα m )的秩 R( A) < m
向量组A:α1 , α 2 ,L, α m的秩
R(α1 , α 2 ,L , α m ) < m
向 量 组 A : α 1 , α 2 , L , α m 线性无关 ⇔ 任何一个向量都不能由其它向量线性表出 全为零时， ⇔ 当且仅当k1 , k2 ,L km 全为零时，才有
⇔
方程组
⇔ 矩 阵 方 程 Ax = O 只 有 零 解 ⇔ 矩阵A=(α1 ,α 2 ,Lα m )的秩 矩阵A )的秩 ⇔
k1α 1 + k2α 2 + L + kmα m = O (∗)成立 k1α 1 + k2α 2 + L + kmα m = O 只有零解
R (A) = m
向量组A:α1 , α 2 ,L , α m的秩 R(α1 , α 2 , α 3 ) = R( A) = m
⇔L
⇔ 它们构成的行列式 A = 0
⇔L
结论； 结论；
部分组线性相关，则整体组也必定线性相关； (1) 部分组线性相关，则整体组也必定线性相关； 整体组线性无关，则部分组也必定线性无关。 整体组线性无关，则部分组也必定线性无关。 线性无关向量组的接长向量组仍线性无关； (2) 线性无关向量组的接长向量组仍线性无关； 线性相关向量组的截短向量组仍线性相关。 线性相关向量组的截短向量组仍线性相关。 向量组中向量个数大于维数时必线性相关； (3) 向量组中向量个数大于维数时必线性相关； 线性无关向量组中向量个数不大于其向量的维数。 线性无关向量组中向量个数不大于其向量的维数。 若线性无关的向量组添上一个向量就线性相关的话， (4) 若线性无关的向量组添上一个向量就线性相关的话， 则添上的向量可由这个向量组唯一地线性表出。 则添上的向量可由这个向量组唯一地线性表出。 调整向量组中向量的分量的排列顺序， 调整向量组中向量的分量的排列顺序， 向量组的线性相关性不改变。 向量组的线性相关性不改变。
定 定 (证 ) 证
逐一选择
列摆行变换
例11(P.93) )
2 −1 − 1 1 2 求列向量组的一个最大无关 1 1 − 2 1 4 组, 并把最大无关组之外的向量 设A = − 2 最简形， 将组中向量列摆 2 化为行最简形， 将组中向量列6 ，化为行4 用最大无关组线性表示出来 4 − 解 3 6 − 9 7 9 用最大无关组线性表示出来. 非零首元所在列对应最大无关组， −1 − 2 1 4 1 1 − 2 1 1非零首元所在列对应最大无关组，4 1 0 − 1 0 4 行 2 1 − 1 1 2 0 1 作为无关0 0 1 − 1 0 3 最 −1 1 其他列上的数字从上到下 从上到下作为 → A→ 4其他列上的数字从上到下作为无关 3 → 0 0 0 1 − 3 简 − 6 2 − 2 4 0 0 0 1 − 0 0 0 0 0 形 3 6 − 9 的系数 就得该列数对应0 组中向量的系数， 0 0 0 0 7 9， 组中向量的系数 ⇒ R ( A ) = 3, 的向量的线性表示。 的向量的线性表示。 α 3可由α1，α 2 , α 4线性表示 α 1 , α 2 ,α 4 是 A的一个最大无关组 , α 5 可由α1，α 2 ,α 4线性表示