问题1确定一条直线的条件有哪些
直线的点斜式方程 课件(共24张PPT)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
如图，设 P( x ，y) 是直线 l 上不同于点 P0 的任意一点，因为直线 l 的斜
率为 k，由斜率公式得 k
y y0
，即 y y0 k ( x x0 ) .
x x0
由上述推导过程可知：
（1）直线 l 上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式 y y0 k ( x x0 ) ；
4
4
8
−1=
( − 2)
15
的 2 倍，则直线 l 的点斜式方程为__________________.
解析：由 y
1
3
1
1
3
x ，得斜率为 ，设直线 y x 的倾斜角为 ，直线 l
4
4
4
4
4
的倾斜角为 ，斜率为 k，则 tan
1
2 tan
8
， k tan tan 2
轴上的截距.这样，方程 y kx b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的
截距 b 确定，我们把方程 y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称
斜截式.其中，k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距.
思考：方程 y kx b 与我们学过的一次函数表达式类似.我
们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度
3
直线的点斜式方程和斜截式方程.
对于直线 l1 : y k1 x b1 ，
l2 : y k2 x b2 ，
l1
l2 k1 k2 ，且 b1 b2 ；
l1 l2 k1k2 1 .
1. 已知直线的方程为 y 2 x 1，则( C )
人教A版高一年级数学必修二3.2.1《直线的点斜式方程》教案
3、2、1 直线的点斜式方程一、【学习目标】1、引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程；2、在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用；【教学难点】直线的点斜式、斜截式方程的意义及运用；根据条件熟练地求出直线的方程二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第92—93页内容，然后回答问题（点斜式方程）<1>如果已知直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),y x P （ 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，你能求出直线的方程吗？你怎么说明我们根据斜率所得到的方程就是我们所求的直线方程？<2>我们由<1>所得的方程是斜率存在的情况，若斜率不存在也就是倾斜角是直角的情况，方程怎么求？倾斜角为零度呢？ 结论：<1>由斜率公式得：=k （0y y -）/（0x x -），即)(00x x k y y -=-就是我们所求的方程.证明过程：由上述推导过程我们可知：01过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 的坐标都满足上述方程；反过来我们还可以验证.02坐标满足上述方程的点，都在过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上. <2>两种特殊情况的方程分别为：00y y x x ==、【例1】已知直线l 过点A(2，1)且与直线y －1＝4x －3垂直，求直线l 的方程．【解析】方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4(x －34)，由点斜式方程知其斜率k ＝4，又∵l 与直线y －1＝4x －3垂直， ∴直线l 的斜率为－14，又由l 过点A(2，1)． ∴直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)， 即x ＋4y －6＝0．练习一：教材95页练习1、2.2、阅读教材第94页思考上面的内容，回答问题（斜截式）<3>如果直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b ，代入直线的点斜式方程，我们能得到什么结论？结论：<3>我们可以得到)0(-=-x k b y 即b kx y +=，我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.我们把这个方程叫做直线的斜截式方程.练习二：①请同学们记住这个结论，并且思考，截距是距离吗？②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？k 和b 分别表示什么含义？③请同学们完成教材第95页练习3.3、阅读教材94页例2，回答问题（复习直线垂直、平行的条件）<4>已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，那么21//l l ，21l l ⊥ 的条件分别是什么？若反过来，成立吗？结论：<4>212121,//b b k k l l ≠=⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .（要注意特殊情况，譬如斜率不存在或斜率为零的情况）练习三：①完成教材第95页练习4；②习题3.2A 组1<1><2><3>.三、【作业】习题3.2A 组2、3、5、10；四、【小结】本节课主要学习了三大块内容，直线的点斜式、斜截式方程，以及两直线平行和垂直的条件.要重点理解点斜式、斜截式方程的推导过程和结构特征以及适用范围.五、【反思】教学，重要的是学生的学，而不是教师的教.老师要做到的是怎样推动学生积极的学习.个人认为推动学生学习，最重要的是给学生一个台阶，上得去的台阶.譬如上一章学习的立体几何，由于是新知识，学生学习起来比较吃力，课堂效果和作业效果都一般，但是直线这一章相比之下简单一些，学生的学习效果很不错，并且乐意学.所以调动学生的积极性，重要的是循序渐进，不要过分拔高，也就是说给学生一个台阶.。
直线的点斜式方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.1 直线的点斜式方程
已知直线l经过已知点P0（x0，y0），并且它的斜率是k，求直线l的方程。
y
. .l P P1
O
x
设点P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点.根据经过两点的直线斜率公式，得
k y y0 x x0
可化为y y0 kx x0
思考
坐标满足上面方程的每一点是否都在过点P（x0,y0），斜率为k的直线上？
3
60°
练习
1、写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是 （2）斜率是
，在3 轴上的y截距是 ；
2
，在2 轴上的y截距是 ；
2
y 3 x2 2
4 y 2x 4
2、判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)
l1
:
y
1 2
x
3,
l2
:
y
1 2
x
2
5
3
(2) l1 : y 3 x , l2 : y 5 x
当堂反馈：
P95 1、2、3、4
1.写出下列直线的点斜式方程
（1）经过点A（3，-1），斜率是
2
（2）经过点B
y 1 2 ( x 3)
( ，2倾,2)斜角是30°
y 2 3 (x 2) 3
（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°
y 3 （4）经过点D（4，-2），倾斜角是120°
y 2 3(x 4)
y
l
P0
O
x
（1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
y
P0
P1
O (2)若x1≠x0，则 （x0,y0），斜率为k的直线l上.
一条直线的位置由哪些条件确定呢？PPT教学课件
y
且x1 x2, y1 y2
tantan1(80)
y2
P2(x2, y2)
tan
y1
P1(x1,y1)
Q(x2, y1)
x o x1 x 2
在RtP2Q1中 P
tan P2Q y 2 y1 P1Q x1 x 2
0 ktany2y1y2y1 x1x2 x2x1
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
ktana 用小写字母 k 表示，即：
例如：
a
30 k
tan30
3
3
a 45 kt a4n51
a60 kta6n0 3
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
a120 kta1n2 0ta1n8 (0 12 )0
ta6n03
a135 kta1n3 5 ta1n8 (0 13 )5
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)
直线如何表示呢？ o
x
l
x
y
思考？
o
一条直线的位置由
哪些条件确定呢？
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
一条直线的位置由哪些条件确定呢？P PT名师 课件
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
2、直线倾斜角的范围： 播放
当直线 l与x轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
y
y
a
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。
2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图
2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。
3.2.1直线的点斜式方程
O
可化为
y - y0 = k x - x0
探 究
在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 的点的坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
l经
过的一个点 P x0 , y0 和斜率 k ，能否将直线上所有 0
注
1、过点 P0 ( x0, y0 ) ，斜率为 k 的 直线 l 上的每一点的坐标都满 足方程． 2、坐标满足方程的每一点都在过 点P0 ( x0, y0 )，斜率为 k 的直线 l 上．
复习回顾
1、直线的斜率公式
1)k = tana
y2 - y1 2)k = x2 - x1
注意：
(a 90 )
0
( x2 x1 )
不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线.
复习回顾
2、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别 为k1、k2，有
l1 // l 2 k1 = k 2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 = -1
作 业
1、习题3.2 A组 2、同步学案 1,5,10
l 平行： 1∥l2
k1＝k2.
条件：不重合、都有斜率
垂直：l1⊥l2
条件：都有斜率
k1k2=-1.
问题引入
问题1：在直角坐标系内确定一条直线，需要 哪些几何要素？ 1）已知直线上一点 P0(x0,y0) 和直线的倾斜 a 角（或斜率 k)． 2）已知直线上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ． 问题2：能否用给定的条件(点P0和斜率 k或 P1、P2的坐标)，将直线上所有点的坐标(x,y) 满足的关系表示出来 ？
1)斜率存在，直线方程为y - y0 = k ( x - x0 )；
两点确定一条直线的条件和结论
两点确定一条直线的条件和结论1. 什么是“两点确定一条直线”？说到“直线”，很多人可能会想起小学的几何课，那个时候老师拿着黑板上的粉笔，一边画线一边说：“只要你有两点，就能画出一条直线！”这话听上去简单，但里面的哲理可大了去了。
简单来说，两个不同的点就像是两个小伙伴，他们手拉手，就能把直线拉出来。
想象一下，你跟朋友在公园散步，A点是树下，B点是秋千旁，你们之间就形成了一条“直线”。
这就是生活中的直线，简单而又真实。
1.1. 点的意义这两个点，其实不仅仅是数学中的坐标，更像是生活中的选择。
你可以把它想象成你人生中的两个关键时刻，比如你第一次找到工作和第一次买房子。
它们之间的直线，就代表了你从起点到终点的成长旅程。
这条线可以是弯弯曲曲的，也可以是直直的，就看你在这两个点之间，经历了怎样的风风雨雨。
1.2. 生活中的直线而且，这种“直线”的思维在生活中也处处可见。
想象一下，朋友之间的友情，初次见面（点A）和多年后的相聚（点B），中间可能经历过争吵、误会，甚至大笑，但最终那条直线依旧在。
这就是人生的连接，给我们带来无限的可能性。
2. 两点之间的故事那么，这两点之间到底发生了些什么呢？就像我之前提到的，那些直线之间的故事往往是我们最珍贵的回忆。
比如，你和朋友一起旅行，从出发的那一刻（点A）到抵达目的地（点B），中间的点就可以是你们在路上碰到的小插曲——比如你们在路边吃到的美味小吃，或者遇到的有趣的当地人。
这些都是让你的“直线”变得丰富多彩的因素。
2.1. 人生的弯曲当然，人生并不总是一帆风顺。
有时候，我们会遇到意想不到的事情，比如突如其来的雨天、临时的计划变更，这些都可能让原本的“直线”变得曲折不已。
但别担心，这也是生活的乐趣所在！就像打怪升级一样，越是遇到挑战，你的故事就越精彩。
2.2. 点与点之间的连接想想看，点与点之间的连接不仅仅是直线，还可能是你我之间的默契。
就像朋友之间的心灵感应，时常你们一个眼神，就能明白彼此的心意。
高中数学 (3.2.1 直线的点斜式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.(2)(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系: (1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地. ∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△AB C 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. 知能训练课本本节练习1、２、３、４.拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2 A 组2、3、5.设计感想直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.。
3.2.1点斜式直线方程
.
即2 x y 5 0
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1
例2.①已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，
1 ，倾斜角是_____ 那么直线的斜率是____ 45 ，
(1, 2) ； 此直线必过定点______
3 ②已知直线的点斜式方程是 y 2 ( x 1) 3
点斜式方程
y
l
①倾斜角α°≠90
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l x0
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
O
xபைடு நூலகம்
x x0 0或x x0
练习：已知直线经过点P1,3 ，求
（1）倾斜角为 0 时的直线方程；
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
1 x
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 称为直线 l 的点斜式方程。
3– P
l
o
–
一般的，设直线l经过点 P 1 ( x1 , y1 )，斜 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。
－1
局限性：只适用于斜率存在的情形。
3 是______ ，倾斜角是 _______. 30 3
(1, 2) ，直线的斜率 那么此直线经过定点_______
例3.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程 y+5=-2(x-3) 2x+y-1=0
例4.求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
3.2.1直线的点斜式方程
三个平面交于一条直线的充要条件
三个平面交于一条直线的充要条件三个平面交于一条直线的充要条件是什么？让我们研究一下。
当三个平面在同一点相交时，我们可以通过以下条件来确定它们是否同时交于一条直线：
1. 共点：三个平面必须共享一个点，这个点是它们的交点。
2. 任意两平面相交：任意两个平面都必须相交于一条直线或平行。
3. 任意两个交线共线：如果我们取两个平面的交线，并与第三个平面相交，则这三条线必须共线。
这些条件可以作为充分且必要的条件判断三个平面是否交于一条直线。
如果我们研究这一问题的逆向，即给定一条直线，我们能否找到三个平面使得它们同时交于这条直线呢？答案是肯定的。
我们可以以这条直线为轴通过构造，找到三个平面使得它们在轴上相交。
同时，这三个平面也必须满足以上提到的条件。
这个问题在几何学中是一个经典的问题，可以用于解决许多有关平面和直线的几何问题，例如求解点到平面的距离等。
总而言之，三个平面交于一条直线的充要条件是它们有共同的交点，并且任意两个平面相交于直线或平行，同时其中任意两个交线也共线。
这个条件判断着三个平面是否同时满足这个要求。
高一数学直线的方程 点斜式1
对斜截式方程的探究：
探究一：截距是不是距离？是不是一定 要为正？
探究二：直线斜截式方程与一次函数关系？
探究三：直线y=kx+2和直线y=x+b有 怎样的特征？
牛刀小试！
练习1.根据下列条件,直接写出直线的方程 (1)经过点(4,-2),斜率为3
(2)经过点(3,1),斜率为 1 2
(3)斜率为-2,在y轴上的截距为-2 (4)斜率为 3 ,与x轴的交点横坐标为-7
今天我们研究了直线方程的点斜 式和斜截式,它们在使用时的优 点是什么?有何限制条件?
o P(x,y) x 的方程的实质？
得出真知:
直线的点斜式方程：
yy1kxx1
பைடு நூலகம்
千说不如一做：
例1.已知一条直线经过点 P(-2,3),斜率为2,求这条直 线方程.
自己动手体验畅快:
例2.已知直线l的斜率为k, 与y轴的交点是P(0,b),求直 线l的方程.
反思归纳: 直线的斜截式方程: y=kx+b
思考题1:
任一条直线都可以用点斜式 方程表示吗?斜截式方程可以 改写为点斜式方程吗?
思考题2:
已知直线l经过点（2，1）,且
它 的的 一倾半斜，角 求是 直直 线l线的l 方1 :y程= .3 x+2
思考题3:
若直线点P(0,1),它与两条 坐标轴围成的三角形的面 积等于4,求直线的方程.
小结:
2
看谁能先找出答案!
练习2.直线y=k(x+1)(k>0)的图象 可能是( B )
y 1 o 1x
A
y 1
-1 o
x
B
y
-1 o
x
-1
6.2.1直线、射线、线段-(课件)人教版(2024)数学七年级上册
(1)画射线CD；
(2)画直线AD；
(3)连接AB；
(4)画线段BD 与直线AC 相交于点O.
感悟新知
解题秘方：紧扣直线、射线、线段的概念画图. 解：(1)(2)(3)(4)如图6 .2-8 所示.
知3－练
感悟新知
5-1. 如图，在平面内有A，B，C 三点．
知3－练
(1)画直线AC、线段BC、射线AB；
综合应用创新
一条直线把平面分成2 部分， 两条直线把平面分成2 ＋2 =4 部分， 三条直线把平面分成2 ＋2 ＋3=7 部分， 四条直线把平面分成2 ＋2 ＋3＋4 =11 部分， 五条直线把平面分成2 ＋2 ＋3＋4 ＋5 =16 部分… 依此可得，n条直线把平面分成2＋2＋3＋4＋5＋… ＋n=
解题秘方：紧扣直线的定义、 表示方法以及与点的位置关系 进行解答.
知1－练
感悟新知
知1－练
(1)点B 在直线AD___上____，点C 在直线AD ____外___ ； (2)点E 是直线_A__F_(_或__A_E__或__E_F__) __与直线_C_D_(_或__D__E_或__C_E__)
感悟新知
知1－练
例 2 平面内有三个点，过其中任意两点画直线，一共可 以画几条直线？画图加以说明. 解题秘方：紧扣“直线的基本事实”，根据三点的 位置情况，逐一画出图形.
感悟新知
解：当三点在同一直线上时，可以画一条直线，如 图6.2 -3 ①； 当三点不在同一直线上时，可以画三条直线，如图 6.2 -3 ② .
知2－讲
图示
感悟新知
特别提醒
知2－讲
1.不论用大写字母还是小写字母表示射线，都必须标明
“射线××”.
2.由于射线可以向一个方向无限延伸，因此射线没有延长
两点在一直线上的判断条件
两点在一直线上的判断条件【引言】当我们看到一条直线上有两个点时，我们可以根据一些判断条件来确定它们是否在同一直线上。
这种判断不仅仅是数学上的问题，更是我们在日常生活中常常面临的情景。
下面将介绍几个判断条件，帮助我们判断两点是否在一直线上。
【判断条件一：共线点的距离】判断两点是否在一直线上的第一个条件是它们之间的距离。
如果两点之间的距离与其中一个点到第三个点的距离相等，那么这三个点就共线。
例如，我们可以考虑A、B、C三个点，如果AB的距离等于AC的距离，那么A、B、C就在一条直线上。
【判断条件二：斜率相等】判断两点是否在一直线上的第二个条件是它们之间的斜率。
斜率是一个直线上两个点之间的变化率。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的或重合的。
因此，如果两点之间的斜率与其中一个点到第三个点的斜率相等，那么这三个点就共线。
【判断条件三：向量共线】判断两点是否在一直线上的第三个条件是它们之间的向量。
向量是一个有大小和方向的量。
如果两个向量共线，那么它们的方向相同或相反。
因此，如果两点之间的向量与其中一个点到第三个点的向量共线，那么这三个点就共线。
【判断条件四：通过公共点】判断两点是否在一直线上的第四个条件是它们是否通过一个公共点。
如果两点分别与第三点共线，并且它们之间没有其他点，那么这三个点就在一条直线上。
例如，我们可以考虑A、B、C三个点，如果AB和AC都是直线，且没有其他点在AB和AC之间，那么A、B、C就在一条直线上。
【结论】通过以上的判断条件，我们可以判断两点是否在一直线上。
无论是在数学上还是在日常生活中，这种判断都是非常有用的。
只要我们掌握了这些判断条件，就能够快速准确地判断两点是否在一直线上，从而更好地理解和解决问题。
【结束语】通过本文的介绍，我们了解到了判断两点在一直线上的几个条件，并且明白了它们在数学和日常生活中的应用。
希望这些判断条件能够帮助我们更好地理解直线和点之间的关系，提高我们的判断能力和解决问题的能力。
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.1倾斜角与斜率》课件
3．斜率与倾斜角的对应关系
二、应用性——强调学以致用 2．利用斜率公式证明不等式：ba＋＋mm>ab(0<a<b 且 m>0)．
[析题建模] 分析所给式子结构特点 ―联―想→ 斜率坐标公式 ―构―造―法―分―析→ 不等式表达的几何意义 ―→ 得证
证明：∵0<a<b，∴点 P(b，a)在第一象限且位于直线 y＝x 的 下方．又 m>0，∴－m<0，∴点 M(－m，－m)在第三象限且 必在直线 y＝x 上．∴直线 MP 的倾斜角大于 OP(O 为坐标原 点)的倾斜角，即 kMP>kOP，又 kMP＝ba＋ ＋mm，kOP＝ab，∴ab＋ ＋mm>ab.
为锐角，则 m 的取值范围是
()
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵直线 l 的倾斜角为锐角， ∴斜率 k＝m12－－21>0，∴－1<m<1. 答案：C
2．[求参数值]已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条 直线上，则实数 a 的值为________．
[方法技巧] 求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情 况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在 的情况．
[对点练清] 1．设 A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线 AC 的斜率
四年级数学上册 两点确定一条直线教案 冀教版
教学目标：1.在实验和画直线的实践操作中，让学生经历认识两点确定一条直线的过程。
2.了解两点确定一条直线，会经过一点或两点画直线。
3.使学生能积极参加实验和动手操作活动，体验数学在日常生活中的广泛应用。
课前准备：长40厘米、宽8厘米的木板一块；每组准备图钉、硬纸板、硬纸条。
教学方案：实验。
提出实验要求并提醒学生注意安全。
3．全班交流。
提出汇报各组实验过程和结果的要求，先交流讨论钉一个钉的情况；再交流讨论钉两个钉子的情况；最后，讨论钉三个钉子、四个钉子全是什么样？使学生达成共识：把一块木板固定在墙壁上只用两个钉子就可以了。
师：刚才同学们就像一个个小科学家一样十分投入地进行了实验。
现在各组汇报一下实验的过程和结果。
先来说一说钉一个钉子情况。
你们怎么做，结果怎么样？学生可能回答：●我们在木板的一头钉了一个钉子，马上硬纸板就倒下来了。
●我们在硬纸板中间钉一个钉子也不行，用手一动就来回转动。
师：通过刚才钉一个钉子的实验大家得出一个什么结论呢？生：在木板上钉一个钉子，无论钉在什么位置，木板都可以转动，不能固定。
师：现在说一说钉两个钉子的情况。
生1：我们这样做的，把两个钉子钉在了两端，硬纸板就固定了。
生2：我们不是钉在两端，钉两个钉子也把硬纸板固定了。
师：通过刚才的实验，我们得出：在木板上钉两个钉子，就可以把木板固定在墙壁一定的位置上。
那如果钉三个钉子呢？结果会怎样？对木板的位置有什么影响？生：钉三个钉子只会增加木板的牢固程度，对木板的位置没有作用。
师：同学们说的对！现在就把木板固定在墙壁至少需要几个钉子的问题我们可以得出一个什么结论呢？生：把木板固定在墙壁上，有两个钉子就可以了。
师：大家再思考一下至少需要几个钉子？怎么理解？生：“至少”就是最少的意思，通过实验最少用2个钉子就可以将木板固定了。
师：通过实验和讨论我们都知道了，把一块木板固定在墙壁上至少要2个钉子。
也就是说，把一块木板固定在墙壁上，只用两个钉子就可以了。
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问题：确定一条直线的条件有哪些？
.由直线上一点和直线的方向确定，而直线 的方向由斜率确定，这便是点斜式的由来， 斜截式是点斜式的特例。
.由两点确定一条直线，这便是两点式的 由来，两点式也可以由点斜式而来，截 距式可看做是两点式的特例。
.方程＋＋＝（，不全为）叫做直线方程 的一般式，任何一条直线的方程不管是 用点斜式、斜截式、两点式还是截距式 表示的，都可以化成一般式。
二、巩固练习：
1.求过A(2a，b)，B(5 a，b 1)两点的直线方程。
2.求过M（2，1）点，倾斜角比直线3x 3y 4 0 的倾斜角大60的直线方程。
3.已知点M(1，6)，求过点M且在x，y轴上截距相等 的直线方程。
三、例题精讲：
例1．直l过 线点 P(1， 2)且与A以 (2， 3)、B(3， 0)
四、课堂小结：
1．求直线方程需要两个独立的条件. 2．求直线方程的方法：①直接法；②待定系数法. 3．注意各种直线方程的适用范围，求解时要防止 可能产生的遗漏情况. 4．注重数形结合、分类讨论思想的运用．
五、布置作业：
将两式联立，解得：
x 5 k 19 ， 3 5k
则 2 5 k 19 3， 3 5k
解得 k 1 ，或 k 5 . 2
k
，
1 2
5，
.
例2．设直 l的线 方程 (a1为 )xy2a0(aR)， (1)若l在两坐标轴上 等的 ，l截 的 求距 方相 程； (2)若l不经过第二象 数a限 的， 取求 值.实 范围
答 ( 1 ) 3 x y 案 0 ， x y ： 2 或 0 ； ( 2 ) a 1 .
例3．求过P点(5，4)，且满足下列条件线的直 方程： (1)与两坐标轴围成的形三面角积5为 ； (2)在x轴上的截距是 y轴在上的截距2倍 的.
答(1 )案 2x5y ： 1 0 0 ， 8x或 5y2 0 0 ； (2 )4x5y0 ， x 或 2y 1 3 0 .
练习:
、直线－的纵截距为（ ）
()
()－
()别为、、， 则（ ） （）<< （）<< （）<< （）< <
4 y 9
O
L3 L2
x L1
、过点（－，）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有 （）
()
()
()
()
、设Ａ、Ｂ是轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且ＰＡ＝ ＰＢ，若直线ＰＡ的方程为－＋，则直线ＰＢ的方程是（ ） (Ａ)＋－ ()－－ ()－＋ ()＋－
为端点的线段么 相直 交l的 线 ，斜 那率的取
围是
解法一：kPA
5，kPB
1 2
,
由图可知，
y P
o
B x
k
，
1 2
5，
.
A
解法二：设 l的方程为 y k ( x 1) 2，
而线段 AB 的方程为 y 3 ( x 3 )( 2 x 3 )， 5
两点式 截距式
点 P 1 (x 1 ， y 1 )和 P 2 (x 点 2 ， y 2 ) yy1yy12
xx1 x1x2
不垂直x、 于y轴的直线
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
x y 1 ab
不垂直x于、y轴的直线 不过原点的直线
一般式 两个独立的条件
A xB yC0A、B不同时为零
.直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于，的二元一次方程都表 示一条直线。
问题：直线方程归纳
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
斜截式 斜率k和y轴上的截距 ykxb 不垂直x于 轴的直线
点斜式 点P1(x1，y1)和斜k率 yy1k(xx1)不垂直x于 轴的直线