求线段和最小值试题解法探析
例谈线段和的最小值问题的解法
例谈线段和的最小值问题的解法作者：曾晖来源：《新校园·中旬刊》2015年第06期在初三中考总复习中，我们常见到这样的题型：1.如图1，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？2.如图2，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？这就是我们所说的几条线段和的最小值问题。
今天，我们将结合几个典型的例题，用三个不同的模型，从三个方面谈一谈线段和的最小值问题的基本解题思想，总结切实可行的解题方法，以期帮助初三学生提高复习的效率。
模型一：两定一动型。
解题原理：两点之间，线段最短。
说明：在一条直线的同侧有两个定点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例1：如图3，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，2），在y 轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。
思路分析：分别作点A关于Y轴的对称点A′，点B关于X轴的对称点B′，连接A′B′，分别交Y轴于P′，交X轴于点Q′，点P′、Q′即为所求。
模型二：一定两动型。
解题原理：直线外一点到直线的所有距离中，垂线段最短。
说明：在一条直线的同侧有一个定点，一个动点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例2：如图4，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠CAB=45°，AD平分∠CAB，M、N分别是AD、AB上的动点，试求MN+MB的最小值。
思路分析：在AC上截取AE=AN，连接BE.∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN.∴BM+MN=BM+ME≥BE.∵BM+MN有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°。
初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析
初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析一、一般处理方法常用定理两点之间，线段最短垂线段最短三角形三边关系PA+PB最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧具体例题分析类型一利用两点之间线段最短1.立体图形平面展开图求最短路径例1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开成平面图形再利用两点之间线段求解即可。
解：AB =，BC为底面周长的一半即BC =πAC = ==答：蚂蚁爬行的最短距离为cm。
2.通过作轴对称求距离之和的最小值例2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长是试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。
解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN.连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形. 联盟∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.故选A.3.利用平移求线段和的最小值例3：荆州护城河在CC’处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B处，需经过两座桥DD’、EE’，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD’E’EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D’F、E’G，即可得到桥所在位置解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=GE’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短二、利用垂线段最短求最值1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值例1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是C. D.试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中B为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把BM转化成关于线段AD对称的线段EM. 从而把两条线段之和的最值转化为点E到直线AB的最短距离。
求两线段长度之和的最小值问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD 上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD 是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD ＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B 的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C.如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年XX）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
求线段和最小值试题(周长)解法探析
求线段和(周长）最小值试题解法近年来很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析． 一、“定——动——定”型试题 例1．（09山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．例2．（09福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，O A O B ⊥，60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点，求P A P C +的最小值；评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力．三、“定——动——动——定”型试题 例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，故△PQR 周长的最小值为102．例5．（09湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法． 从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题P 2P 1ABPRQ O图4B C D NM N ′ 图3 B 1A 1 QY X P O B A C 图5图1A ′ABC P O 图2一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．四、应用：1 ：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
浅谈线段最小值问题
初中几何中的最值问题江西省南康市龙岭中学 梁晓君在解决平面几何问题时,经常会遇到求线段（或线段和）最值的问题。
遇到这类题目时学生常常没有思路，不知从何下手。
其实，解决这类问题最常的思路就是：其解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”，“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之各大于第三边”。
（一）利用轴对称解决线段和最小值解决线段和最小的问题时又常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段通过等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。
人教版教材八年级在学习作轴对称图形时有一个例题：A 、B 两镇在燃气管道L 的同旁，现在要修一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？这是学生最先接触用轴对称知识来解决线路最短问题。
在这个例题的解答中，是作其中一个点关于L 的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L 的交点P ，即为到两镇之间距离和最短的地方。
同时教材上也作出证明，让同学生们理解为什么这点就是最短的点。
在掌握这个例题后我们就有很多的题目可以通过作轴对称来解决。
我们可以看下面两题：1．在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则△PEC 周长的最小值是2、正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE=2，P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。
这两题是可以直接转化成例题来解答，这种题形可归纳为“两点一线型”。
我们再看下一个题目：如图∠AOB=450，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两动点Q 、R （均不同于点O ），则△PQR 的周长最小值是———————— 。
本题只有一个点P ，却有两条直线OA ，OB 。
本题思路是边点P 分别作OA ，OB 的对称点同，再连接两对称点与两直线的交点即为Q ，R ，此时△PQR 的周长最小。
这种题目可归纳为一点两线型。
像教材后面的习题，马从马厩出来到河边喝水，再到草地吃草所走的路线最短就属于这种题型。
14 5线段的最大值与最小值的解题策略
14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
????6,0?6,0BA xOy ABC，中，，三个点的坐标分别为1. 例如图，在平面直角坐标系1??AC30,4C,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点，延长AC到点D,使CD=E.2（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的b?y?kx分成周长相等的两个四边形，确定此CDFE直线将四边形b??kxy yP从直线与设直线的解析式；（3）G为y轴上一点，点y点在点，若P点，再沿GA到达Ay轴的交点出发，先沿轴到达G点的位试确定倍，G轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2（要求：简述确A点所用的时间最短。
置，使P点按照上述要求到达 G点位置的方法，但不要求证明）定看数据的特殊性，30°这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形→转化题意→由果索因→画图说理P点在y轴上运动的速度是它在如图，在△ABC中，AC=BC=2，1课堂练习：。
GA上运动速度的2倍．直线边的中点，是∠ACB=90BC，DE是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________P点在GH上运动速度等于它在°?2，BAC?45?AB4中，2在锐角，ABC△直线GA上运动速度．于点分别的平分线交BCN、MD，BAC?是和上的动点，则的最小值是__MN?BMABAD的最小值．GH+GA求分别是，若点P,Q的边长为4，∠DCB的平分线CE交DB于点E例2、如图2，正方形ABCD2422 C.4 D. A.2 B. ）则DQ+PQ的最小值（ CD和CE上的动点，a:探究下列问题为边作等边三角形ABC中，BC=ABD. ，AC=b，以AB已知:在△°，则，且∠ACB=60D1，当点与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3（1）如图 CD= ；°，则，且∠ACB=90D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6）如图（22，当点 CD= ；的最大值及相 CD且点D与点C位于直线AB的两侧时，求（3）如图3，当∠ACB变化, .应的∠ACB的度数C DCAB CABBAD D32 图图1 图二、三角形两边之和大于第三边其他两边是求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，在转化较难进则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
贵阳专版中考数学命题研究第三编综合专题闯关篇专题四线段和的最小值问题试题020714【含解析】
专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大．预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度．,中考重难点突破)线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图①，若点A ，B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小，做法如下：作点B 关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m 的交点就是所求作的点P ，线段AB′的长度即为AP ＋BP 的最小值．如图②，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求作的点P ，故BP ＋PE 的最小值为________．(2)实践运用如图③，已知⊙O 的直径CD 为2，︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，则BP ＋AP 的最小值为________．(3)拓展延伸如图④，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB ，BC 上作出点M ，点N ，使PM ＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【解析】(1)利用作法得到CE 的长为BP ＋PE 的最小值；由AB ＝2，点E 是AB 的中点，根据等边三角形的性质得到CE ⊥AB ，∠BCE ＝21∠BCA ＝30°，BE ＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE 的长度．CE 的长为BP ＋PE 的最小值．∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，∴CE ⊥AB ，∠BCE ＝21∠BCA ＝30°，BE＝1，∴CE ＝BE ＝.故答案为；(2)过B 点作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，OE ，OA ，PB ，根据垂径定得到CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图①，过B 作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，OE ，OA ，PB.∵BE⊥CD，∴CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称．∵︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠EOC＝30°，∴∠AOE＝60°＋30°＝90°，∵OA＝OE ＝1，∴AE＝OA ＝，∵AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．故答案为；(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图②.1．(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值是( B )A．10 B．8 C．5 D．6,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为( B )A．3 B．5C．6 D．无法确定3．(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是( B )1A．2 B．1 C. D.24．(2016原创)几何模型：条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图①，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接PE，PB，则PB＋PE的最小值是________；(2)如图②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值；(3)如图③，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．解：(1)；(2)如图②，延长AO交⊙O于点A′，则点A，A′关于直线OB对称，连接A′C与OB相交于点P，连接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90°，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2；(3)如图③，分别作P 点关于OB ，OA 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于点Q ，交OB 于点R ，∴OP＝OP 1＝OP 2，∠P 1OB ＝∠POB ，∠P 2OA ＝∠POA ，∴∠P 1OP 2＝2∠AOB＝60°，∴△P 1OP 2是等边三角形，P 1P 2＝OP ＝8，∴三角形PQR 的周长＝PR ＋PQ ＋RQ ＝P 1R ＋P 2Q ＋RQ ＝P 1P 2＝8，即△PQR 的周长的最小值为8.5．(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC ＝45°，∠ACD ＝30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E，D ′E 交AC 于F 点．若AB ＝6 cm .(1)AE 的长为__4__cm ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得DP ＋EP 的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D′到BC 的距离．解：(1)4；(2)∵Rt △ADC 中，∠ACD＝30°， ∴∠A DC ＝60°. ∵E 为CD 边上的中点， ∴DE＝AE, ∴△ADE 为等边三角形．∵将△ADE 沿AE 所在直线翻折得△AD′E, ∴△AD′E 为等边三角形， ∠AED′＝60°， ∵∠EAC ＝∠EAD －∠DAC ＝30°， ∴∠EFA＝90°， 即AC 所在的直线垂直平分线段ED′， ∴点E ，D′关于直线AC 对称， 连接DD′交AC 于点P, ∴此时DP ＋EP 值为最小，且DP ＋EP ＝DD′， ∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD′＝2×21AD ×＝2×6＝12, 即DP ＋EP 最小值为12 cm ；(3)连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC 于点G,∵AC 垂直平分线ED′， ∴AE＝AD′，CE ＝CD′， ∵AE＝EC ，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，AD ′＝CD ′，BD ′＝BD ′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS ), ∴∠D′BG＝45°， ∴D′G＝GB, 设D′G 长为x cm ，则CG 长为(6－x)cm ，在Rt △GD′C 中，x 2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意舍去), ∴点D′到BC 边的距离为(3－)cm .6．(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ＝2，当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)解：(1)MP ＝＝5；(2)如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，则点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N.∵AM ＝AD －MP －PD ＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，∴∠CEP＝∠MEP ，而∠CEP ＝∠MPE ，∴∠MEP＝∠MPE ，∴ME＝MP ＝5，在Rt △ENM 中，MN ＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF ∥NE ，∴△AFM′∽△NEM′，∴M ′N M ′A ＝EN AF ，即114＝4AF ，解得AF ＝1116，即AF ＝1116时，△MEF 的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M′是点M 关于AB 的对称点，连接MG ，在EN 上截取ER ＝2，连接M′R 交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE＝GR.∵GM ＝GM′，∴MG＋QE ＝GM′＋GR ＝M′R，此时MG ＋EQ 最小，四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M′RN 中，NR ＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵ME＝5，GQ ＝2，∴四边形MEQG 的最小周长值是7＋5.。
从几何角度探究线段和最小值问题的解决策略
2021年第1期中学数学教学参考（下旬）+想方法_1从/I何角度探究线段和最小值问题的解决策王绍忠（山东省诸城市东鲁学校）摘要：线段和最小值问题在近几年各地中考数学试卷中出现的几率很大。
本文借助例题分析这类问题的三种几何解题策略。
关键词：线段和；最小值；解决策略文章编号：1002-2171 (2021) 1-0048-03在中考中，线段和最小值问题是常见的题型，其 解决策略主要有两种：一是代数法，即利用函数讨论极值问题；二是几何法。
遇到这类问题，学生受常规思路的影响，一般更倾向于代数法。
本文尝试从几何 角度，通过模型归类，给出解决这类问题的一般方法。
1 “牛喝水”模型“牛喝水”模型是由固定的河流、家、牛构成，需要 通过对称的方法在河流上找到牛喝水的最短路径[1]，如图1所示。
这种线段和最小值解题模型的典型代反思：因为角的平分线上的点到角两边的距离相 等，所以A C J W F的边C M上的高和A C E F的边Cf：上的高相等，因此有|^=^。
^>ACEF L t解法3:如图4,过点C作C M丄E F，垂足为M，交E F的延长线于M。
由于=Z C E F，Z A=Z E M C=90。
，得A AB E c^A M£C0所以謚=4,易得C M=#，B E=f。
因此V5C F CM10 1 B F B E所以S AC奸=+~X — X S a=占X香X1X1=去。
反思：本解法通过构造相似三角形并应用“同高 的两个三角形的面积之比等于对应底边之比”先求出的值，即求出的值，而s ABCE易求，从而顺利^ AB CE 求出S A C E f的值。
思路2:构造A C£F的相似三角形。
由已知条件 易证Z A B E=Z C E F，而Z C=45°,因此只需再构造 一个45°的锐角。
解法4:如图5,以A E为直角边构造R t A M A E。
由于 Z A B£=Z C£：F，Z M=Z C=45°，得 A M B E o q A C E F。
三条线段之和最小值问题
三条线段之和最小值问题三条线段之和最小值问题.重庆南开中学初2013级l1班周华吴朱泓郦0重庆南开中学初20i3级I2班王丁刘珈言.指导教师:张克近几年,中考数学试卷中出现了求三条线段之和最小值的试题.题目多变,风格清新,但万变不离其宗.下面举三例:霸(2009福建彰州改编)如图1,厶40B--450r腥厶4OB内一点.E图13(1)--角板绕点0旋转.acoFfl邑否成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出ACO腥等腰直角三角形时B珀勺长);若不能,请说明理由.(2)---角板绕点0旋转,线段OE和0间有什么数量关系?用图l2或图13加以证明.(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图14),当:AC4时.和贿怎样的数量关系?证明你发现的结论222012/02图14CQ-..?..图1APO=IO,Q,R分别是,OB上的动点,求PQ+PR+RQ的最小值点跟角内部的一个定点.要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小.只需将这三边的和转化为以两定点为端点的藤(1)△c匕成为等腰直角三角形.包括:当点雕曰C中点时, CF=OF,曰÷;当点B与点腹合时,Z OF=oC.Bl0.(2)如图12,连结DB,则对于△OEB和△OFC.有OB=OC;OBE=/0CF--45..因为E0露+/--BOF=/-COF+L_BOF=90..所以/_EOB=C0F所以△D朋△OFC.所以DEl_D(图13的证明方法与此类似) (3)如图14,过点尸作肼上AB,垂足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为厶EPM+厶EPN=厶EPN+/_FPN=90~. 所以厶EPM=FpN.叉因为EMP= FNP=90~.所以AEPM'-"AFPN.所以—PM—:丝.因为AAMP~APNC:BJPP}为等腰直角三角形,所~'XRt△PMA RtAPNC.所以:.又因为一AP pNPCAC一1所以一PE::三4PPC以上试题建立在三角板旋转的基础上.同学们在解题过程中通过实验操作,观察,猜想,论证,可发现图形(三角板)旋转过程中几何基本元素之间的数量关系.涉及的主要知识有三角形旋转后构造的重叠部分的面积,有关线段和角的数量关系(相等)或位置关系(垂直或平行),三角形全等与相似的判定和性质,直角三角形的性质和圆的有关内容.以上试题.突出体现了以下特点:第一.试题结合三角板的具体情境,考查了同学们对基本几何图形的形状,大小,位置关系及变换的认识, 对重要几何基本事实(核心概念)的理解和应用.第二,试题注重让同学们在应试过程中经历操作,观察,推理,想象等探索过程.强调在图形运动(重叠,旋转,平移)变化过程中研究几何图形的基本要素及其关系的能力.第三.试题更加突出"合情推理"与"演绎推理"相辅相成的关系.考查了同学们优化解题途径及方法的能力.囝一条直线即可.鬟分别作点P关于∞,OA的对称点尸I,P2,连结PlP2,根据轴对称性易知DP=OP2=OP=IO,PlO=2AOB=90.,因而P,=l0'2,故PQ+PR+RQ的最小值为10,/2.(2010福建宁德)如图2,四边形ABCD是正方形.&ABE是等边三角形,为对角线BD(不含B点)上任意一点,将嗍点逆时针旋转60o得到BN,连结EN,AM,CM.E.图2(1)求证:AAMB~AENB.(2)①当点臃何处时,AM+CM的值最小?②当点在何处时,A肘+8肘r+c的值最小?说明理由.(3)当AM+BM+CM的最小值为,/了+1时,求正方形的边长嘲易证△AAENB,以及△删为等边三角形.所以A肌BM+CM就可以转块氓EN+NM+CM. 而E,C两点已定,则连结EC,利用两点之间线段最短便可求解.(1)因为△A舾是等边三角形,所以=胞,ABE=f0~.因为MBN:而.致以厶MBN一/_ABN= 厶ABE～LABN.即LMBA=厶NBE. 又因为枷=.所以AAMB~AENB (SAS).(2)①当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小.(墓>如图3,连结佃.当点位于BD 与CE的交点处时.A删+C的值最小.理由如下:连结MN,由(1)知,△A△ENB.所以AM;叭因为MBN:而.MB=NB.纸,扶BMN足等边三角形.所以BM=MN.所以A肌BM+CM:EN+MN+CM.根据"雨点之间线段最短"得,当删+删+CM=EC时最短,所以当点位于BD与CE的交点处时,AMf+BM+CM~值最小即等于点的长.,AD(3)过点E作EF上BC交CB的延长线于点F.则LEBF--90.—60.=30..设正方形的边长为.~1BF=.,2E.在Rt△E中.因为E2EC:,所以+(孚)=(,/了十1),解得l=,/,X2一,/(舍去),所以正方形的边长为,/.黼辫(20l1四川南充)如图4.在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD= AB=CD=-2,LC=60~,幌BC的中点.(1)求证:AMDC~等边三角形.(2)将△c绕点旋转,当MD(即)与AB交于一点E,MC(即MC)同时与AD交于一点邝寸,点层.F 和点A构成AAEE试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不存在.请说明理由;如果存在,请计算出△A肼周长的最小值.BQMPC图4鳓(1)过点D作DPJ-Bc于点P,过点A作AQ_I_BCff-AQ,得到CP=BQ=÷B,CP+BQ=AB--AD.由矩形AD尸Q,AD=PQ,推I~BC=2AD.由拓展延伸点是BC的中点,推出BM=CM=AD= AB=CD.根据等边三角形的判定即可得到答案.(2)连结AM,由ABMD是菱形可得出AMAB.AMAD和AMCD是等边三角形.进而有胀ME证出△BMEAAMF'(ASA)后可得出占F,ME=MF,从而△璇等边三角形.根据的最小值为点J】If到AD的距离,/了,即的最小值是,/了.即可求出△AE肭周长.翻(1)过点D作DP~BC于点尸,过点A作口上C于点Q,因为lLC=LB=60.,所以CP=BQ=÷AB, CP+BQ--AB--AD.又因为ADPQ是矩形,AD=PQ,~k.BC=2AD.由已知,点妯C的中点.所以删=CM=AD=AB= CD.即在△MDC中,C=CD,C= 60..所以△c是等边三角形.(2)AAEF的周长存在最小值,理由如下:连结AM,由(1)易知平行四边形ABMD是菱形,△MAB, AMAD和AMCD是等边三角形.所以有BMA=BME+/AME=60.. EMF:厶AMF+厶AME=60o.所以BME=AMF.在△BME与△AMF 中,,EBM=FAM=60.,BME=AMF.致以BMEi△AMF(ASA).所.以BEF.ME= MF.A+AF=AE+砸丑因为厶EMF=LDMC=60o.故△EMF是等边三角形.E肼F因为MF的最小值为点到AD的距离.即的最小值是,/了.所以△A的周长=AE+AF+EF=ABEF.纸以△AEF的周长的最小值为2+.此类题的最大特点是找"替身"以实现"等量转化",主要途径是利用轴对称的性质和两点之间线段最短来求解.全等,等边三角形的性质等知识都是解决此类问题的得力助手.圜韧巾教学辅导23。
一类线段最小值问题的解法探讨
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５０数学学习与研究㊀２０２１ １９一类线段最小值问题的解法探讨一类线段最小值问题的解法探讨Һ马永庆㊀（山东省垦利实验中学，山东㊀东营㊀２５７５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文从一道西藏中考题入手，分析其题目特点㊁解题规律，并归纳出一类线段最小值问题的解题思路，渗透了寻找运动轨迹的解题策略并加以训练，使学生通过某种图形结构联想到动点的轨迹是一个圆或者圆的一部分，动点必须是到定点的距离等于定长时的动点．线段最小值有三个基本事实，一是 垂线段最短 ，二是 三角形两边之和大于第三边 ，或者说 两点之间线段最短 ，三是 圆外一点到圆上各点中，这个点与圆心连线与圆的交点和圆外这个点距离最小 ．ʌ关键词ɔ线段最小值；运动轨迹；隐形圆２０２０年西藏中考数学试题的第１８小题是一道动态几何题，由三角形的折叠过程提供点的位置变化，由点Ｐ的位置变化导致点Ｆ的位置改变以及ＣＰ长度的变化，而在这个变化过程中蕴含着点Ｆ位置变化的规律：点Ｆ永远在一个圆上运动，从而将变与不变有机统一起来．动态变化的过程增加了问题的难度，许多基础较差的学生望而却步，因此这一道综合能力检测题就具有了较高的区分度．此题呈现在西藏自治区试卷中，标志着西藏中考命题水平的提高，反映出初中数学命题对学生创造性思维品质的要求．这道试题把折叠㊁线段最短㊁动点等三条信息有机地融合在一起，以折叠为外衣，动点为本质，寻找到点Ｆ的运动轨迹就能将线段最短问题转化为两点间距离．要想解决此题，必须要从读题中获得数量关系：ＥＡ＝ＥＢ＝ＥＦ，也就是找到点Ｆ在以ＡＢ为直径㊁以Ｅ为圆心的定圆上运动的规律，这是解题的关键．分析题目条件㊁发现和探索Ｆ点的运动轨迹的过程是有创造价值的思维过程，其综合性㊁创新水平也属于比较高的，考查学生较强的探究能力和思维基础．在找㊀图１到思路的瞬间，稍加计算，无须太多的推理，就能轻松得分．２０２０年西藏第１８题：如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｐ为ＢＣ边上的任意一点，把әＰＢＥ沿ＰＥ折叠，得到әＰＦＥ，连接ＣＦ．若ＡＢ＝１０，ＢＣ＝１２，则ＣＦ的最小值为．图２㊀㊀图３解析：ȵ点Ｅ是ＡＢ的中点，ʑＥＡ＝ＥＢ．ȵ把әＰＢＥ沿ＰＥ折叠得到әＰＦＥ，ʑＥＦ＝ＥＢ，ʑＥＡ＝ＥＢ＝ＥＦ，ʑ点Ｆ在以ＡＢ为直径的圆上，圆心为Ｅ（如图２）．如图３，连接ＣＥ交☉Ｅ于点Ｆ１，ＣＦ１的长度即为ＣＦ长度的最小值．ȵＥＡ＝ＥＢ，ＡＢ＝１０，ʑＥＢ＝５．又ȵＢＣ＝１２，且øＥＢＣ＝９０ʎ，ʑＣＥ＝ＥＢ２＋ＢＣ２＝５２＋１２２＝１３，ʑＣＦ１＝ＣＥ－ＥＦ１＝１３－５＝８，ʑＣＦ的最小值是８．从最值类型上看，这道西藏中考题属于 圆外一点到圆上各点距离 的最小值问题，其实它也是 两点之间线段最短 的具体运用．为了让大家能够归纳出这类题型的特点，下面再欣赏几道中考题．２０２０年四川绵阳中考数学试题第１７题：如图４，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢʊＣＤ，øＡＢＣ＝６０ʎ，ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝４，点Ｍ是四边形ＡＢＣＤ内的一个动点，满足øＡＭＤ＝９０ʎ，则点Ｍ到直线ＢＣ的距离的最小值为．图４㊀㊀图５解析：如图５，延长ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｐ，作ＭＨʅＰＢ于Ｈ．ȵＡＢʊＣＤ，ʑＰＤＡＤ＝ＰＣＢＣ，øＡＢＣ＝øＤＣＰ＝６０ʎ．ȵＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝４，ʑＰＤ＝ＰＣ，ʑәＰＤＣ为等边三角形，ʑＰＤ＝ＰＣ＝ＣＤ＝４，øＰ＝６０ʎ．由øＡＭＤ＝９０ʎ，可知点Ｍ在以ＡＤ为直径㊁点Ｅ为圆心的☉Ｅ上，且是四边形ＡＢＣＤ内的一个动点，根据垂线段最短可知Ｅ，Ｍ，Ｈ三点共线时ＭＨ最小．在ＲｔәＰＥＨ中，ＥＰ＝６，øＰ＝６０ʎ，ʑＥＨ＝６ˑｓｉｎ６０ʎ＝３３，ʑＭＨ的最小值＝ＥＨ－ＥＭ＝３３－２．如果我们从最值类型分析，那么这道题属于 垂线段最短 这一性质的运用，这是它与西藏中考题的不同．还有一个不同点就是：它是用 ９０度的圆周角所对的弦为直径 这一命题来设计题目条件． 点Ｍ是四边形ＡＢＣＤ内的一个动点，满足øＡＭＤ＝９０ʎ 让我们很容易想到点Ｍ在以ＡＤ为直径的圆上，而把它放到特殊的梯形中是另一种巧妙设计．与西藏中考题相比，它没有使用折叠来出示动点，它的动点Ｍ的轨迹更容易想到．至此，我们已掌握了此类线段最小值问题的特点与解题方法，它们的共同特点就是动点的运动轨迹都是一个圆，它们共同的解题思路也是找到这个圆．２０２０年广西河池市中考数学试题第１８题：如图６，在ＲｔәＡＢＣ中，øＢ＝９０ʎ，øＡ＝３０ʎ，ＡＣ＝８，点Ｄ在ＡＢ上，且ＢＤ＝３，点Ｅ在ＢＣ上运动，将әＢＤＥ沿ＤＥ折叠，点Ｂ落在点Ｂᶄ处，则点Ｂᶄ到ＡＣ的最短距离是：．图６解析１：由折叠性质知，ＢＤ＝ＢᶄＤ，无论Ｅ点位置如何变化，点Ｂᶄ到点Ｄ的距离是不变的，永远等于ＢＤ的长３，以. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５１㊀数学学习与研究㊀２０２１ １９Ｄ为圆心，以ＢＤ长为半径画半圆，点Ｂᶄ的轨迹是这个半圆的一部分．如图７所示，过点Ｄ作ＤＨʅＡＣ于点Ｈ，则Ｂ１Ｈ的长度就是点Ｂᶄ到ＡＣ的最短距离．ȵøＡ＝３０ʎ，øＢ＝９０ʎ，ＡＣ＝８，ʑＡＢ＝ＡＣ㊃ｃｏｓ３０ʎ＝８ˑｃｏｓ３０ʎ＝４３．ȵＢＤ＝３，ʑＡＤ＝３３，ʑＤＨ＝ＡＤ㊃ｓｉｎ３０ʎ＝３３ˑｓｉｎ３０ʎ＝３３２．又ȵＢ１Ｄ＝３，ʑＢ１Ｈ＝ＤＨ－Ｂ１Ｄ＝３３２－３＝３２，ʑ点Ｂᶄ到ＡＣ的最短距离是３２．图７㊀㊀图８解析２：如图８，过点Ｄ作ＤＨʅＡＣ于点Ｈ，过点Ｂᶄ作ＢᶄＪʅＡＣ于点Ｊ．在ＲｔәＡＣＢ中，ȵøＡＢＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝８，øＡ＝３０ʎ，ʑＡＢ＝ＡＣ㊃ｃｏｓ３０ʎ＝４３．ȵＢＤ＝３，ʑＡＤ＝ＡＢ－ＢＤ＝３３．ȵøＡＨＤ＝９０ʎ，ʑＤＨ＝１２ＡＤ＝３３２．ȵＤＢᶄ＋ＢᶄＪȡＤＨ，ＤＢᶄ＝ＤＢ＝３，ʑＢᶄＪȡＤＨ－ＤＢᶄ＝３２，ʑ当Ｄ，Ｂᶄ，Ｊ共线时，ＢᶄＪ的值最小，最小值为３２，故答案为３２．这个题就是前两个题的结合，如果问题改为求 ＢᶄＣ长度的最小值 就变成了西藏中考题．而将 直角三角形折叠 变为 直角三角形斜边不动，直角顶点运动 ，这个题就变成了四川绵阳中考题．给出 解析２ 的老师也是绞尽脑汁，没运用动点轨迹也解决得很圆满，他巧妙地运用 垂线段最短 直接锁定最小值，即 当Ｄ，Ｂᶄ，Ｊ共线时，ＢᶄＪ的值最小 ． 寻找动点轨迹 和 直接确定最小值 都能解决此类题目．但相比之下，运用动点轨迹的做法更形象㊁直观，学生容易理解．２０２０年广西贵港市中考数学试题第１１题：如图９，动点Ｍ在边长为２的正方形ＡＢＣＤ内，且ＡＭʅＢＭ，Ｐ是ＣＤ边上的一个动点，Ｅ是ＡＤ边的中点，则线段ＰＥ＋ＰＭ的最小值为（㊀㊀）．Ａ．１０－１㊀㊀㊀Ｂ．２＋１㊀㊀㊀Ｃ．１０㊀㊀㊀Ｄ．５＋１图９㊀㊀㊀图１０解析：如图１０，作出点Ｅ关于线段ＣＤ的对称点Ｅᶄ，以ＡＢ的中点Ｏ为圆心㊁以ＯＡ长为半径画个半圆，连接ＯＥᶄ，交半圆Ｏ于点Ｍ１，则ＰＥ加ＰＭ的最小值为ＥᶄＭ１的长．ȵＡＥᶄ＝ＡＤ＋ＤＥᶄ＝２＋１＝３，ＯＡ＝１２ＡＢ＝１，ʑＯＥᶄ＝ＡＯ２＋ＡＥᶄ２＝１２＋３２＝１０，ʑＥᶄＭ１＝１０－１，故选Ａ．试想一下，如果把这个中考题中的Ｍ点换成Ｂ点，那么这道题是多么平常的一道路径最短问题，其中点Ｐ是唯一动点，而当把Ｍ点变成有固定轨迹的动点，经典的线段和最小值问题就被转化为一个双动点的动态几何创新题．如果将西藏２０２０年中考数学试题第１８题进行变式，将 正方形 改成 菱形 ，便可以得到下面的一道好题：如图１１，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ中，øＡ＝６０ʎ，Ｍ是ＡＤ边的中点，Ｎ是ＡＢ边上的一动点，将әＡＭＮ沿ＭＮ所在的直线翻折得到әＡᶄＭＮ，连接ＡᶄＣ，则ＡᶄＣ长度的最小值是．图１１㊀㊀㊀图１２解析：如图１２所示，ȵＭＡ的长度保持不变，ʑ点Ａᶄ的运动轨迹应是以点Ｍ为圆心㊁以ＭＡ的长度为半径的圆Ｍ的一部分，当Ａᶄ运动到点Ｃ与圆心Ｍ的连线上时，ＡᶄＣ的长度最小，最小值就是Ａ１Ｃ的长．ȵＭ是ＡＤ的中点，ʑＭＡᶄ＝ＭＡ＝ＭＤ＝１２ＡＤ＝１２ˑ２＝１．过点Ｍ作ＭＦʅＣＤ，交ＣＤ的延长线于点Ｆ，ȵ菱形ＡＢＣＤ中，øＡ＝６０ʎ，ＡＢʊＣＤ，ʑøＭＤＦ＝６０ʎ，ʑＭＦ＝ＭＤ㊃ｓｉｎ６０ʎ＝１ˑ３２＝３２，ＦＤ＝ＭＤ㊃ｃｏｓ６０ʎ＝１ˑ１２＝１２，ʑＣＦ＝ＣＤ＋ＦＤ＝２＋１２＝５２，ʑ在ＲｔәＭＦＣ中，ＭＣ＝ＭＦ２＋ＣＦ２＝３４＋２５４＝７，ʑＡ１Ｃ＝ＭＣ－ＭＡ１＝７－１，ʑＡᶄＣ的最小值为７－１．教师在教学中要渗透寻找运动轨迹的解题策略并对学生加以训练，这样才能使学生通过某种图形结构联想到动点的轨迹．如果动点的轨迹是一个圆或者圆的一部分，那么动点一定是到定点的距离等于定长时的动点．这样的动点一般为动态直角三角形的直角顶点，这个顶点到定点（辅助圆的圆心）的距离不变（等于斜边一半），这样的动点也可以用不确定的折叠过程来给出，被翻折的某条线段一端是定点，另一端则是动点．线段最小值有三个基本事实，一是 垂线段最短 ，二是 三角形两边之和大于第三边 ，或者说 两点之间线段最短 ，三是 圆外一点到圆上各点中，这个点与圆心连线与圆的交点和圆外这个点的距离最小 ，第三个也可由第二个得到．熟知这三个基本事实，并能找到动点的运行轨迹，此类题就会迎刃而解．. All Rights Reserved.。
求线段最小值常见解法探析
数理化学习求战段最小值素见鮮法採析■马先龙摘要：求线段长的最小值一直是解题的难点.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法，则可化难为易，顺利解题.关键词：线段；最小值；解法解答几何题时，经常需求线段的最小值.此类问题 往往具有一定的难度,有时甚至让答题者望而生畏.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法等解法，则可化难为易，顺利解题.一、化斜为垂法 例1如图l ，RtA 4B C 中，AACB - 90°,AC = 4,BC = 2,P 是斜边上的动点（不与/l 、B 重 合），过点P 分别作丄<4C 于点丄S C 于点£,连接则£)£的最小值为分析:如图1，连接CP ,由条件，易知四边形P Z )C £ 是矩形，所以£»£ = C /3,易求C P 的最小值，从而得£»£ 的最小值.解：如图1，连接CP .因为乙= 90°，/lC = 4,BC = 2,^])1AB = 742 + 22 = 2/S "•因为丄/tC ，P £ 丄 fiC ,所以乙PDC == 90。
，又因为 Z 4CB =90°，所以四边形是矩形，所以= CP .过点C作CM 丄/1B 于点M ，根据“垂线段最短”，知CP _ =CM ,所以 = CM •因为 SA 4S C = 士/lC • BC = 士仙2/5 5 5的最小值是4/5".评注:本题先连接CP ,运用矩形的性质进行等线 段代换，得到£»£ = CP .接下来，自然会想到化斜为垂， 去求垂线段CM 的长，问题立刻变得简单了.例 2 如图 2,E 74B C Z > 中，= 2/3,AD =\,L A B C =60°,A E ,F 分别在边AB 、B C 上，A B E F 与BM F C关于直线对称，点B 的对称点落在边/I Z )上，则长的 图2最小值为_______•分析:如图2,由题意，易知= /TF ,易求S T 长的最小值，从而得S F 长的最小值.解：如图2,因为与关于直线£厂对 称，所以因为四边形/1BCD 是平行四边形， 所以/!£> // SC .由条件，点B '、F 分别在/!0、SC 上，过点 4作/1M 丄BC 于点M ，则ZTF m i … = <4紙所以=•在 RtA 4ftW 中，/Ifi = 2v ^"，乙4BC = 60。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
换一种思路求线段和的最小值
2020^.^1i m换一种思路求战段和的最小值■马先龙摘要：解答几何题时，经常需求线段和的最小值. 对于有的问题，直接求解，非常困难；若换一种思路，则 柳暗花明，别有洞天.关键词：线段和；最小值;折叠解线段和的最小值问题时，换一种思路，往往别有 洞天，易于求解.一、加上定长线段例1 如图丨，矩形中，/lB JM D ==6,点 M 、/V 分别是边 4Z )、 \ 'P <Q nC D 上的动点，且M i V =4,点五是线段”M N 的中点，点P 是边B C 上的动A , B c求P/l +■的最小值.分析:如图1，直接求+洲的 ，最小值比较困难.依题意，易知线段 图！况的长为定值，故欲求/M +P £的最小值，可加上定长线段£>£，先求出+ /^ + 的最小值，然后再减去线段的长即可.解：如图1，因为四边形4B C D 为矩形，所以乙S /1D =/1/1B C = zlCZM = 90。
•在 R t A M /V D 中，因为 乙M Z W = 90。
，£；为 M)V 的中点，MTV = 4,所以 £>£ =^■娜=2.延长仙到点水,使似，=仙，则点关于直线B C 对称.连接/M '，则/M = /M ',所以/M +P £ + Z )£ =凡4' + P £ +连接I D ，根据“两点之间线段最短”，知线段的长就是W +洲+训即/M +洲+ £>£ 的最小值•在 Rt中，= 90°，/i4,== 8,/lD = 6,由勾股定理，得 47) = VAA'2 + AD2=782 + 62 = 10,所以（以+J P £ + £)£)mm = 10,所以 (/M +P £；)m i … = 10-2 =8,即/M +™的最小值为8.点评:本题把求两条线段和的最小值问题转化为 求三条线段和的最小值问题.其中，发现定长线段并能灵活转化是解题的关键.本题考查了“直角三角形 斜边上的中线等于斜边一半”这一重要性质，考查了 矩形的性质，考查了勾股定理的应用，考查了“两点之 间线段最短”这一公理，考查了转化、轴对称、等线段 代换、化折为直等基本的数学思想和方法[1].例2 如图2,矩形4BCZ?中 ==5,A/、7V 分别是边上的动点，点£在边上，且=1，将沿财£所在的直线折叠 得到 A /4'O Z ,连接 n/V D ，求/t 'i V+ /V D 的最小值.分析:如图2,直接求A W +图2的最小值比较困难.由图形的折叠,知线段的长为 定值，故欲求的最小值，可加上定长线段 ^先求出f /V + /VZ)的最小值，然后再减去线段4'£的长即可.解:如图2,由图形的折叠，知= 1.因为 四边形为矩形，所以乙fiCD == 90。
探析线段和最小值解法
探析线段和最小值解法新课程改革要求学生在学习中要改变学习方式，注意对图形的观察、归纳、论证的过程，运用推理证明，使对图形的认识得以延续，达到有机整合。
利用求线段之和最小值的试题在中考考试中越来越多．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与创新能力，这对初中数学教师的教学及学生的学习有着重要的意义。
1 “定—动—定”型题（如图1）例1：如图1，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，，，P是OB上一动点，求的最小值。
解：根据圆的对称轴性，延长AO交⊙O于点D，连结CD交BO于点P，在△ACAD中，DA=2OA=4，∠COA=60°∴∠CDA=30°，AD是⊙O的直径，∴∴=DC ∴的最小值是。
评析：例1涉及两个定点一个动点，属求“定—动—定”型折线最小值问题，源于课本“在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，将这个问题作为基本图形，应用于正方形或圆中．间接的应用课本上知识的解题，以此考查学生的探索能力和灵活运用知识的能力。
2 “定—动—动”型题（如图2）例2：如图2，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和上的动点，求BM+NM的最小值。
解：因为AD是∠BAC的平分线，所以点N关于直线AD的对称点N′一定在AC上．连接BN′交AD与点M，由垂线段最短可知，当BN′⊥AC时，线段BN′为最短。
即BM+MN′的值为最小，BN′=，∠BAC=45°BN′=，∴ BM+NM的最小值是4。
例3：在平面直角坐标系中，矩形0ACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在x轴，Y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，点D为边OB的中点，E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
用数学模型求线段和的最小值问题的教学探讨
用数学模型求线段和的最小值问题的教学探讨摘要本文从求线段和的最小值问题入手，建立三种数学模型，通过教学培养学生初步掌握数学模型方法，提高数学素养和创新能力.关键词数学模型模型方法数学素养思维能力“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构. ”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式. 《数学课程标准》中提到数学课程改革的核心理念和灵魂主线是“数学应该面向全体学生，提高学生的数学素养”，笔者在平时的教学过程中重视培养学生数学思考的习惯，帮助学生学会从数学的角度去思考问题，努力揭示数学的本质. 数学模型教学能够使学生发现其中所存在的数学现象并运用数学的知识与方法去解决问题，本文试图从求线段和的最小值问题入手，探究数学模型教学.一、两点一线型如图1所示，已知直线l同侧有A、B两点，在直线l上找到一点P，使PA+PB最小.解析：如图2所示，以直线l为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线l于点P，此时PA+PB最小.在直线l上任取一点Q（不与点P重合），利用对称轴的性质可得PA=PC，QA=QC，所以PA+PB=PC+PB=BC，QA+QB=QC+QB，利用三角形两边之和大于第三边可得QC+QB>BC，即PA+PB最小.例1 如图3所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 .解析：从图3中抽象出两点一线型：点D、点M和线段AC. 根据正方形的性质可得点D和点B关于AC对称，所以连接BD交AC于一点，当N运动到此点时，DN+MN=BM最小，在Rt△BCM中利用勾股定理计算，所以最小值为.例2 如图4所示，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，D在AC上，且AD=2CD，点P为半径OC上的动点，那么AP+DP的最小值为 .解析：从图4中抽象出两点一线型：点A、点D和线段OC. 根据圆的性质和已知条件可得点A和点B关于OC对称，所以连接BD交OC于一点，当P运动到此点时，AP+DP=BD为最小，可以证得△ABD是30°直角三角形，所以最小值为.二、一点两线型如图5所示，已知两条直线m、n所夹的角内有一点A，可以在直线m、n上分别找到点D、E，使DA+DE+EA最小.解析：如图6，以直线m为对称轴，作点A的对称点B，以直线n为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线m于点D，交直线n于点E，此时DA+DE+EA最小.在直线m上任取一点F（不与点D重合），在直线n上任取一点G（不与点E重合），利用对称轴的性质可得DA=DB，EA=EC，FA=FB，GA=GC，所以DA+DE+EA=DB+DE+EC=BC，FA+FG+GA=FB+FG+GC，利用两点之间线段最短可得FB+FG+GC>BC，即DA+DE+EA最小.例3 如图7所示，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q、R（均不同于0），且P、Q、R不在同一直线上，求△PQR周长的最小值.分析：从图7中抽象出一点两线型：点P和射线OA、OB. 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连结CD，分别交OA、OB于点E、F，当点Q与点E重合，点R与点F重合时，C△PQR=PQ+QR+RP=CD最小，可以证得△COD为等腰直角三角形，所以最小值为.三、两点两线型如图8所示，已知两条直线m、n所夹的角内有两点A、B，在直线m、n上分别找一点E、F，使EA+EF+FB最小.解析：如图9所示，以直线m为对称轴，作点A的对称点C；以直线n为对称轴，作点B的对称点D，连结CD，交直线m于点E，交直线n于点F，可以证明EA+EF+FB最小.在直线m上任取一点G（不与点E重合），在直线n上任取一点H（不与点F重合），利用对称轴的性质可得EA=EC，FB=FD，GA=GC，HB=HD，所以EA+EF+FB=EC+EF+FD=CD，GA+GH+HB=GC+GH+HD，利用两点之间线段最短可得GC+GH+HD >CD，即EA+EF+FB为最小.例4 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）和C（5，0）两点. 若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E）再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F）最后运动到点A. 求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
(完整word版)专题：阿氏圆与线段和最值问题(含答案),推荐文档
专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cos C，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC•BC sin C＝2m sin C＝2m，由余弦定理可得cos C＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝P A，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD•CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD•CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2P A+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2P A+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。
线段和最值问题解法探讨
BC 取得最小值时，t2 必
然取得最小值 .
AC 2
+
BC
的 最 小 值 求 解 ，涉 及
A、B、C
三 点 ，需 要 对
其
中的
AC 2
进行转
化
.
可
以联
想直
角三角
形中
30°
角
所
对的直角边等于斜边的一半，作 ∠DAD' = 30°，然后构造
直角三角形 ACE，如图所示，则 AC = CE，问题转化为求 2
2 2
PB
的最小值
.
图 8-1
图 8-2
图 8-3
解析：点 P 的轨迹为圆，需要对其中的
三 点 共 线 ，且 NH ⊥ CF 时 ，QN +
1 2
CQ=
NQ
+QH=NH
可
取最
小
值
.
图7
利用点坐标可求出直线 CF 和 NH 的解析式，联立可求得
( ) 交点H
- 12, -
3 2
，且 NH=3，即当点 Q 的坐标为（-1，0）
时，QN+
1 2
CQ 可取得最小值 3.
2“. 阿氏圆”问题
形如“a+k·b”型的线段最小值问题，在初中数学中
时 线 段 BQ ⊥ AD，则 最 小 值 为 AB · sin60°=3 3 ，即 PB +
3 2
PD
的最小值为
3
3.
二、问题溯源，模型提炼
1. 问题溯源
实际上，上述考题源自于苏教版教材八年级下册中
的“胡不归”问题：从前有一个在 A 地当学徒的小伙子，
得知家乡 B 地年老的父亲病危的消息后，便向掌柜请假
中考线段最小值问题四种常见解法
方法一：利用几何性质解决问题知识点1：垂线段最短（点到直线的距离，垂线段最短）知识点2：两点之间线段最短（即“将军饮马”问题）知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种情况：情况1：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）情况2：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）在中考中最常用的是“知识点2”、“知识点3”方法二：利用代数法直接证明知识点1：利用配方法求三次二项式的最值知识点2：运用二次函数中顶点求最值代数方法较为常见，所以我们本篇暂时不会涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题知识点1：垂线段最短常出现几何图形问题中，通常在初二会见到，中考中不会涉及。
例：如图，在△ABC中有一点D在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6则AD+BD+CD的最小值为_______.分析:题目中问“AD+BD+CD”的最小值，通过图形我们可以知道“AD+CD”是定值，所以问题可以转换为求BD的最小值.那么求BD的最小值即为求一点B到某一直线AC上的最小值，所以可以利用“垂线段最短”的性质来求解.过点B作AC垂线即可解决问题.知识点2：两点之间线段最短这类问题常出现在函数的大题中，考生如果函数知识不过关也不能拿到满分，因为仅作出图形别不能得出答案，还需要利用函数知识进行求点坐标.解题思路：通常做定点关于动点所在直线的对称点（两个动点所在直线就做两个对称点），然后连接对称点与另一点与动点所在直线的交点即为动点位置。
例1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是______.分析：典型的“将军饮马”问题。
通过作点B关于y轴的对称点即可解决问题.例2：如图所示，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是_______.分析：本题中存在两个动点，分别是点D、点E所以我们只需要做点C关于直线AB、关于y轴的对称点即可解决问题.知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.分析：由翻折得到，DF=DB=3.所以点F在以点D为圆心以3为半径的圆上.连接A与圆心D，AD与圆的交点即为F'所以AF的最小值是AD-DF'=5-3=2.例2：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°.所以点H在以AB为直径的圆上，所以以AB中点为圆心，以AB长的一半为半径画圆，连接D与圆心交点即为点H.所以DH'=OD-OH'中考中常见的求最值方法就是上面所提到的这些。
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求线段和最小值试题解法探析
江苏省泗阳中学（223700）洪晓岐
电子信箱hxq5678@
2009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同行们在教学中参考并请指正．
一、“定——动——定”型试题
例1．（山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），
（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动
点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．
分析：由于A 、C 两点在对称轴l 的同侧，所以要在对称轴l 上找一点D 使AD+CD
最小，关键是求出A 、C 两点中任一点关于直线l 的对称点．
解：因为l 是抛物线的对称轴，所以A 、B 两点关于直线l 对称．
设直线BC 的解析式为b kx y +=，因为其过点B （3，0），C （0，3），所以1-=k ，3=b ．即直线BC 解析式为3+-=x y ，又因为对称轴为1=x ，所以点D 坐标为（1，2）．
例2．（福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、
在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
分析；题中A 、C 是两个定点，OB 是一条定线段，因此确定点P ，关键是要找
出A 、C 两点中任一点关于直线OB 的对称点．由于过圆心的任一直线都是圆的对称
轴，所以直线AO 与圆的另一交点A ′就是点A 关于直线OB 的对称点．
解：延长AO 交⊙O 于点A ′，连结A ′C 交⊙O 于点P ，由于在△OA ′C 中O
A ′=OC ，∠COA ′=120°，所以322
32260sin 2=⨯⨯=︒⋅=OC AC ． 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力．
二、“定——动——动”型试题
例3．（陕西省）如图3，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则MN BM +的最小值是_________ ．
分析；由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以点N 关于AD 的对称点一定在AC 上．因此本题可以转化为在AD 找一点M ，在AC 上找一点N ′，使BM+MN ′的值最小．
解：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以点N 关于直线AD 的对称点N ′一定在AC 上．由垂线段最短可知当B N ′⊥AC 时，线段B N ′时最小．因此当点M 在直线B N ′上时BM+MN ′的值最小，最小值即为点B 到AC 的距离． A B C
D N M N ′ 图3 图1 A ′ A B C P O 图2
由于42
22445sin =⨯=︒⋅AB ，所以MN BM +的最小值是4． 评析：本题涉及两个动点一个定点，属求“定——动——动”型折线最小值问题，由于两个动点在定点的同侧，因此只能根据“垂线段最短”这一性质入手进行解题．
三、“定——动——动——定”型试题
例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，
根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 例5．（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗
山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,
请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 分析：由于AB 长为定值，所以要使P 、A 、B 、Q 为顶点的四边形
周长最小，就需使PA+QP+BQ 之和最小.由例4可得启发，先作出点A ，点B 分别关于直线X 与直线Y 的对称点，然后将两对称点连成线段，则这线段的长就是PA+QP+BQ 的最小值．
解：作点A 关于X 轴的对称点A 1，点B 关于Y 轴的对称点B 1，连结A 1B 1，分别交X 轴、Y 轴的交点就是所求的点P 和点Q ，即此时四边形PABQ 四边形的周长最小．
延长A 1A 和B 1 B 使它们相交于点C ，易知∠A 1 C B 1是直角，
AC=40－10=30，A 1 C=40+10=50，BC=4030502222=-=-AC AB ，
B 1 C=40+30×2=100， 5505010022212111=+=+=
C B C A B A ，
所以四边形ABQP 的周长最小值为)15(5050550+=+km ．
评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法．
从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．
本文发表在上海师范大学《上海中学数学》2010年第5期 P 2 P 1 A
B
P R Q O
图4
B 1
A 1 Q Y X P O
B A
C 图5。