求线段和最小值试题解法探析

求线段和最小值试题解法探析

江苏省泗阳中学（223700）洪晓岐

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2009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同行们在教学中参考并请指正．

一、“定——动——定”型试题

例1．（山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），

（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动

点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．

分析：由于A 、C 两点在对称轴l 的同侧，所以要在对称轴l 上找一点D 使AD+CD

最小，关键是求出A 、C 两点中任一点关于直线l 的对称点．

解：因为l 是抛物线的对称轴，所以A 、B 两点关于直线l 对称．

设直线BC 的解析式为b kx y +=，因为其过点B （3，0），C （0，3），所以1-=k ，3=b ．即直线BC 解析式为3+-=x y ，又因为对称轴为1=x ，所以点D 坐标为（1，2）．

例2．（福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、

在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

分析；题中A 、C 是两个定点，OB 是一条定线段，因此确定点P ，关键是要找

出A 、C 两点中任一点关于直线OB 的对称点．由于过圆心的任一直线都是圆的对称

轴，所以直线AO 与圆的另一交点A ′就是点A 关于直线OB 的对称点．

解：延长AO 交⊙O 于点A ′，连结A ′C 交⊙O 于点P ，由于在△OA ′C 中O

A ′=OC ，∠COA ′=120°，所以322

32260sin 2=⨯⨯=︒⋅=OC AC ． 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力．

二、“定——动——动”型试题

例3．（陕西省）如图3，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则MN BM +的最小值是_________ ．

分析；由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以点N 关于AD 的对称点一定在AC 上．因此本题可以转化为在AD 找一点M ，在AC 上找一点N ′，使BM+MN ′的值最小．

解：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以点N 关于直线AD 的对称点N ′一定在AC 上．由垂线段最短可知当B N ′⊥AC 时，线段B N ′时最小．因此当点M 在直线B N ′上时BM+MN ′的值最小，最小值即为点B 到AC 的距离． A B C

D N M N ′ 图3 图1 A ′ A B C P O 图2

由于42

22445sin =⨯=︒⋅AB ，所以MN BM +的最小值是4． 评析：本题涉及两个动点一个定点，属求“定——动——动”型折线最小值问题，由于两个动点在定点的同侧，因此只能根据“垂线段最短”这一性质入手进行解题．

三、“定——动——动——定”型试题

例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，

根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 例5．（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗

山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,

请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 分析：由于AB 长为定值，所以要使P 、A 、B 、Q 为顶点的四边形

周长最小，就需使PA+QP+BQ 之和最小.由例4可得启发，先作出点A ，点B 分别关于直线X 与直线Y 的对称点，然后将两对称点连成线段，则这线段的长就是PA+QP+BQ 的最小值．

解：作点A 关于X 轴的对称点A 1，点B 关于Y 轴的对称点B 1，连结A 1B 1，分别交X 轴、Y 轴的交点就是所求的点P 和点Q ，即此时四边形PABQ 四边形的周长最小．

延长A 1A 和B 1 B 使它们相交于点C ，易知∠A 1 C B 1是直角，

AC=40－10=30，A 1 C=40+10=50，BC=4030502222=-=-AC AB ，

B 1 C=40+30×2=100， 5505010022212111=+=+=

C B C A B A ，

所以四边形ABQP 的周长最小值为)15(5050550+=+km ．

评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法．

从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．

本文发表在上海师范大学《上海中学数学》2010年第5期 P 2 P 1 A

B

P R Q O

图4

B 1

A 1 Q Y X P O

B A

C 图5