数学模型课后详细复习资料
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析高校数学模型竞赛是一项重要的学术竞赛活动，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
为了帮助参赛同学更好地准备比赛，本文将提供一些复习资料和习题解析。
一、复习资料1. 教材复习高校数学竞赛通常以大学数学课程为基础，因此熟悉相关教材是复习的基础。
首先，需要掌握大学数学分析、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，并理解其基本概念和定理证明。
其次，需要学习相关课程的应用部分，如微分方程、最优化理论等。
2. 历年竞赛试题了解历年竞赛试题是复习的重要环节。
通过分析历年试题，可以了解竞赛的出题风格、难度以及题型变化趋势。
同时，可以找到一些典型的解题方法和思路，从而提高解题的效率和准确性。
历年试题可以通过高校数学竞赛官方网站、竞赛论坛或相关参考书籍获取。
3. 竞赛辅导材料为了帮助同学们更好地理解数学模型竞赛，一些教育机构和个人编写了一些辅导材料。
这些材料通常包括模型建立的方法、问题求解的思路以及典型题目的解析等内容。
可以选择一些受欢迎的辅导材料进行学习和参考。
二、习题解析在进行习题解析之前，有几点需要注意。
首先，对于每道习题，应该明确其所属的数学领域和解题思路。
其次，应该注重练习各种类型的题目，包括理论证明题、计算题和应用题等。
最后，要理解题目中所给条件和要求，并灵活运用所学知识进行解答。
接下来，我们将通过解析两道典型习题，来帮助大家更好地理解数学模型竞赛的解题方法。
1. 习题一：某公司生产产品A和产品B，每单位A产品需要花费2小时，每单位B产品需要花费3小时。
公司共有1000小时的生产时间。
如果公司希望利润最大化，应该生产多少单位的A产品和多少单位的B产品？解析：设生产A产品的单位数为x，生产B产品的单位数为y。
根据题目条件，可以列出如下两个方程：2x + 3y ≤ 1000目标函数：z = 3x + 2y通过解方程组可以求得最优解。
2. 习题二：某地区共有A、B、C三个汽车租赁公司，每个公司分别提供不同型号的车辆租赁服务。
数学模型复习知识点
内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
数学建模专题复习讲义
数学建模专题复习讲义导言数学建模是应用数学的一种重要方法，通过数学模型对实际问题进行描述、分析和求解，旨在解决现实生活中的一系列问题。
为了帮助学生顺利复数学建模专题，本讲义提供了相关知识点的概述和复要点，帮助学生快速回顾和掌握数学建模的核心内容。
一、数学建模基础1. 模型的定义和特点：- 模型是对实际问题的简化和抽象，描述问题的关键要素和规律。
- 模型应具备准确性、简洁性、实用性和可验证性等特点。
2. 建模的步骤：- 问题的分析与理解- 模型的假设和建立- 模型的求解和分析- 模型的验证和评价二、数学建模方法1. 数理统计方法：- 样本的收集和统计分析- 参数的估计和假设检验- 相关性分析和回归分析2. 最优化方法：- 线性规划和整数规划- 非线性规划和动态规划- 多目标规划和随机规划3. 随机模型和概率模型：- 随机过程和马尔可夫链- 概率分布和随机变量- 随机模拟和蒙特卡罗方法三、数学建模实例1. 交通流量预测：- 数据的收集和处理- 建立交通流量模型- 预测未来的交通流量2. 股票价格预测：- 历史数据的分析和挖掘- 建立股票价格模型- 预测未来的股票价格3. 自然灾害预警：- 监测数据的采集和分析- 构建自然灾害模型- 预警和防灾措施的制定四、数学建模技巧1. 问题分析的深入：- 充分理解问题的背景和限制条件- 归纳和提炼问题的核心要素2. 模型建立的简化：- 简化模型中的复杂因素- 利用适当的假设和近似方法3. 模型求解的有效性：- 使用合适的数学方法和工具- 分析模型的解的意义和合理性结语数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过对数学建模的复习和学习，能够增强学生的问题分析和解决能力，培养科学思维和创新意识。
希望本讲义对学生复习数学建模专题有所帮助，祝愿大家学有所成！。
数学建模复习完整版
数学建模复习HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x Nrx x ln = ，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程求差分方程的平衡点，推导稳定条件参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
《数学模型》复习提要(部分解)
07级信本《数学模型》复习提要(部分解）二.解答题2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=①当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x,且尽量接近2N ,但不能等于2N . 5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种 原材料 能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)甲 2 1 4 4 乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为Zy x y x y x y x y x t s y x S ∈≥≥≤+≤+≤++=,,0,020********6140032..54max模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0200024:24006:140032:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+54:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过31l l 与的交点时，S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+200024140032y x y x 解得：200,400==y x260020054004max =⨯+⨯=S （千元）.故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.6. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱）重量 （百斤/箱）利润 （百元/箱）甲 5 2 20 乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .7.深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速v 的表达式.解：设v ,λ,d ,ρ，g 的关系为),,,,(g d v f ρλ=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[λ]=LM 0T 0，[d ]=LM 0T 0，[ρ]=L -3MT 0， [g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.---------4分2ll1x1l2x量纲矩阵为A=)()()()()()()()(200010100013111g d v T M L ρλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧===+-++02y - y -0 y 03y y 51454321y y y 的基本解为1=),21,0,0,21,1(--2=)0,0,1,1,0(- 由量纲i P 定理 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==---2112121πλπλd g v∴g v λ=1π, )(21πϕπ=, λπd =2)(λϕλd g v =∴，其中ϕ是未定函数 .8.雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.9．一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数) 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r nnr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×+7×+7×（+++）=;G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10=当报童每天订300份时，收益的期望值最大.。
数学模型复习要点
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1.建模的基本概念，步骤，能举出具体模型，并加以说明。
2.初等数学模型的实际应用。
（如，椅子能在不平的地面上放稳吗：
实际问题用数学模型解释。
）
3.优化模型及其应用（如，森林救火）
4.规划模型及运用（如，最大利润模型、最优定价模型及产值最大
模型等等）。
5.微分方程模型的运用（如，人口的预测和控制：指数增长模型和
logistic模型）
6.离散模型及其应用，尤其是Q 值法的运用，要求会具体计算（如，
公平的席位分配）。
7.博弈模型及能求纳什均衡解、得益矩阵。
8.差分方程模型（如，市场经济中蛛网模型）及稳定性的判断。
9.马氏链模型（如，健康与疾病）
10.。
(完整版)数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题 作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV 。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：33111M V k l K L ρρ===……………………………模型一 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
数学建模复习资料 数学模型
广西科技大学数学建模数学模型复习资料刘丽华
题1：椅子能在不平的地面上放稳码？
书本第七页。
考试的时候会改成20也习题4。
下面是习题4的答案。
即，将课本第7页的90。
（π/2）改成180。
（π）包括后面的（π/2）全部改成（π）。
题2：
包汤圆（饺子）的数学模型
题3：填空题的内容：具体答案在书本13——19页
1、数学建模的基本方法和步骤
2、数学模型的特点和分类
3、数学建模能力的培养。
A、学习、分析、评价、改进别人做过的模型.。
B、培养创新精神和综合素质。
想象力、洞察力、判断力
C、数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
题5、计算题
存贮模型、生猪出售时机。
即课本59—63页。
主要重点是“存贮模型”。
应该会改数字吧。
主要留意60页的公式。
题6: 在130页的习题1、2. 本题主要是建模型。
答案：习题1的建模。
习题2的答案：建模
题7：去桂林、张家界旅游问题
小李准备国庆去旅游，桂林、张家界。
选择目的地的准则是景色、费用、旅途3个因数。
假设准则层对目标层的对比较矩阵是
题7：在323页习题2 要求写出303页的公式（2）和公式（5）下面是公式1
公式5
具体答案：只要写上面的公式2、5就行，文字不用写。
复习时留意一下：大概看一下，34页例题、85页的奶制品的生产与销售、184页的投入产出模型、302页的报童的诀窍、325页的牙膏的销售量、379页的让宝通订购更多的报纸。
以及可能在填空题出现的各个章节的理论。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
最新数学模型复习提纲完全版
《数学模型》复习提纲考试题型填空题(16分)（基本概念）简答题(24分)计算题(60分)（基本概念）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1 数学建模的背景及重要意义；§2数学建模的基本方法和步骤；§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；Ch2.初等模型（基本计算）§1公平席位分配§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；§3森林救火Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1 层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2 报童的诀窍；§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；典型题型（仅作参考）1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、 模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.答： 目标层准则层方案层8. ．写出数学建模过程的流程图.思想性艺术性娱乐性 票房A BC评选影片数学建模过程的流程图：9. 有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)1()( ===-k e A sA s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{A ，B ，D ，C}．实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数检验模型(用实例或有关知识)符合否评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益10．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元…（1分）依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）利润目标函数z=6x+12y …（8分）如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…（12分）11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.1 0.2 0.3 0.3普通0.3 0.2 0.1 0.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x 这是一个线性规划问题.模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x ，5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）.故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.12．试求Gompertz 模型：()Ex xNrx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性．记 Ex xNrx x F -=ln)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴非零平衡点为r ENe x -=0．又 ()E r xN r x F --=ln '，()00'<-=r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的. y6 5(3/2,9/2) 432 (9/2,3/2) L1 1 x0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L213开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力定律公式为：221rm m k f =）解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，001][T M L l = ，010][T M L m =，2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()()()()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=+02y - y 0 y y 0y 3y 414342 的基本解为)1,1,3,2(---=Y 由量纲i P 定理 得 1132---=k ml t π. ∴ km l t 3λ=，其中λ是无量纲常数.14. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．15．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNh N x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =.Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点： 2411rNh N N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x ， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N .16. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx dt t dx ln )(.= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为Ex xNrx dt t dx -=ln )(记Ex x N rx x f -=ln)( ，令0)(=x f ，即 Ex xNrx -ln ＝0 得到两个平衡点：（如图所示）rENex -=0，01=x可证0x 稳定，01=x 不稳定e rN xN rx ln （与E ，r 的大小无关）. ExE r xNr x f --=ln)('0)(0'<-=r x f ， o x∞=)(1'x f eN0x N （2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln≠=-x Ex x Nrx ∴ r EENe h -= r E r E e rEN Ne dE dh ---= 由0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量erN h m = 此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平eN x =*0.17. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出i dtdi~图形.精品文档精品文档P13618. 一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.(线性规划,同11题)。
数学模型复习提纲完全版
《数学模型》复习提纲考试题型填空题(16分)（基本概念）简答题(24分)计算题(60分)（基本概念）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1 数学建模的背景及重要意义；§2数学建模的基本方法和步骤；§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；Ch2.初等模型（基本计算）§1公平席位分配§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；§3森林救火Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1 层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2 报童的诀窍；§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；2典型题型（仅作参考）1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、 模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.答： 目标层准则层方案层8. ．写出数学建模过程的流程图.思想性艺术性娱乐性 票房A BC评选影片309级本科《数学模型》复习提纲 数学建模过程的流程图：9. 有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)1()( ===-k e A s A s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{A ，B ，D ，C}．实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数检验模型(用实例或有关知识)符合否评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益410．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元…（1分）依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）利润目标函数z=6x+12y …（8分）如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…（12分）11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.1 0.2 0.3 0.3普通0.3 0.2 0.1 0.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕09级本科《数学模型》复习提纲56点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x 这是一个线性规划问题.模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x ，5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）. 故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.12．试求Gompertz 模型：()Ex xNrx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性．记 Ex xNrx x F -=ln)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴非零平衡点为r ENe x -=0．又 ()E r xNr x F --=ln'，()00'<-=r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的. y6 5(3/2,9/2) 432 (9/2,3/2) L1 1 x0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L2709级本科《数学模型》复习提纲13开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力定律公式为：221rm m k f =）解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，001][T M L l = ，010][T M L m =，2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()()()()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=+02y - y 0 y y 0y 3y 414342 的基本解为)1,1,3,2(---=Y 由量纲i P 定理 得1132---=k m l t π. ∴ km l t 3λ=，其中λ是无量纲常数.14. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）80,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．15．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nx rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x N r ----（1）909级本科《数学模型》复习提纲 )4(42N hr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNh N x -±= ① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =.Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性.但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x f --= ，即0 dt dx ∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点： 2411rNh N N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x ， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N .16. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx dt t dx ln )(.= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为Ex xNrx dt t dx -=ln )( 记Ex x N rx x f -=ln )( ，令0)(=x f ，即 Ex xNrx -ln ＝010得到两个平衡点：（如图所示）rENex -=0，01=x可证0x 稳定，01=x 不稳定e rN xN rx ln （与E ，r 的大小无关）. ExE r xNr x f --=ln)(' 0)(0'<-=r x f ， o x∞=)(1'x f eN0x N（2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln≠=-x Ex xNrx ∴ r E ENe h -= r Er E e rEN Ne dE dh ---= 由0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量erN h m = 此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平eN x =*0.17. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出i dtdi~图形.P13611 09级本科《数学模型》复习提纲18. 一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.(线性规划,同11题)。
中考数学几何模型复习 专题 手拉手模型(学生版+解析版)
中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）2．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PABCDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．EDCBAC例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．例五：如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为( )A．9 B．9 C．18+D．18 例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．QPABCPABCPABCABCP三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90=；=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF∠=︒且AB ACBAC（2）如图2，当90≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若∠=︒且AB ACBAC不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OABC=时，求DE的长．=，连接DE，当5==，6AO CF3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60︒得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC=时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；∆，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ． （1）如图1，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．3．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）4．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PAB CDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB 、OC ，易证△OBD ≌△OCE ，∴OD =OE ，结论①正确；考虑∠FOG 是可以旋转的，△ODE 面积和△BDE 面积并非始终相等，故结论②错误；ECBACC∵△OBD ≌△OCE ，∴四边形ODBE 的面积等于△OBC的面积，142OBCS=⨯=，故结论③正确；考虑BD =CE ，∴BD +BE =CE +BE =4，只要DE 最小，△BDE 周长就最小，△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，故OD 最小，DE 便最小， 当OD ⊥AB 时，OD此时2DE ==，∴周长最小值为6，故结论④正确． 综上，选C ，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB 绕点O 旋转到△OEC 的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D 点及F 点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．【分析】连接PP '，则CPP '△是等边三角形，故6PP PC '==，易证△CPB ≌CP A '△，∴10AP BP '==， 又AP =8，∴APP '△是直角三角形，∴3sin 5PAP '∠=．D例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．【分析】分四边形为三角形．连接PQ ，易证△APQ 是等边三角形，△BPQ 是直角三角形，26APQS=168242BPQS =⨯⨯=， ∴四边形APBQ的面积为(．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．【分析】构造旋转．如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ， 可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形，21688242APBBPCAEPBEPSSSS+=+=⨯⨯+=+ 所以本题答案为24+QPABCQPABCPABCC搭配一：若222PA PB PC+=，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有222PA PB PC+=．例五：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为()A．9B．9C．18+D．18【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别123S S S、、考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC位置，可得：21331334642ADP PCDS S S S+=+=+⨯⨯=，同理可得：212143462S S++⨯⨯=，223153462S S+=+⨯⨯=，∴()123218S S S++，∴1239S S S++，故选A．CC CPABCS3S2S1PAB CC法二：如图，易证∠APB =150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，则1322AH AP ==，PH，4BH =)2229271625944S AH BH ==+=+++=+=⎝． 【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP 是等腰直角三角形，若使△PEB 也为直角三角形， 则原∠APD =135°，而线段PA 、PB 、PD 之间的关系为：2222PA PD PB +=．搭配一：若∠APD =135°，则2222PA PD PB +=；搭配二：若2222PA PD PB +=，则∠APD =135°．另外，其实这个图和点C 并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形． 大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB =135，构造旋转．可得：△APQ 是等腰直角三角形，△PQC 是直角三角形，且∠PQC =90°，另外还有条件PC =HPABC EAB CDEPABCPC重新梳理下条件，（1）有一条线段PC =（2）∠PQC =90°，则Q 点轨迹是个圆弧，（3）以PQ 为斜边在PC 异侧作等腰直角三角形，点A 是直角顶点．∴A 点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC22=．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF= ；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为 ． （2）小王同学继续将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF ∆旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE ∆的面积为 ．CPP PCCC【解答】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB ==， ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，2AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，∴=AE ∴，ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯==； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122AE DG =⨯⨯==2．（2021•贵港）已知在ABC ∆中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC ∆绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ∆，连接AE ，CF ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒且AB AC =时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ；（2）如图2，当90BAC ∠=︒且AB AC ≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD OA =，连接DE ，当5AO CF ==，6BC =时，求DE 的长．【解答】解：（1）结论：AE CF=．理由：如图1中，=，∠=︒，OC OB AB ACBAC=，90⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，AOC EOF90∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OCAOE COF SAS∴∆≅∆，()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，=，∠=︒，OC OBBAC90∴==，OA OC OB∠=∠，AOC EOF∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OC∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OEOC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OACF OC=，5 CF OA==，∴5 53 AE=，253 AE∴=，DE∴=．3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =； （2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，EA ED =，45EAD ∠=︒，45EAD EDA ∴∠=∠=︒，90AED ∴∠=︒，BF FD =，12EF DB ∴=， 90CAB ∠=︒，45CAD BAD ∴∠=∠=︒，1452ABC AED ∠=∠=︒， 45ACB ABC ∴∠=∠=︒，AC AB ∴=，AD ∴垂直平分线段BC ，DC DB ∴=，12EF CD ∴=． （2）解：如图②中，结论：12EF CD =．理由：取CD 的中点T ，连接AT ，TF ，ET ，TE 交AD 于点O ． 90CAD ∠=︒，CT DT =，AT CT DT ∴==，EA ED =，ET ∴垂直平分线段AD ，AO OD ∴=，90AED ∠=︒，OE OA OD ∴==，CT TD =，BF DF =，//BC FT ∴，45ABC OFT ∴∠=∠=︒，90TOF ∠=︒，45OTF OFT ∴∠=∠=︒，OT OF ∴=，AF ET ∴=，FT TF =，AFT ETF ∠=∠，FA TE =，()AFT ETF SAS ∴∆≅∆，EF AT ∴=，12EF CD ∴=．如图③中，结论：EF =．理由：取AD 的中点O ，连接OF ，OE ．EA ED =，60AED ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，AO OD =，OE AD ∴⊥，30AEO OED ∠=∠=︒，tan AO AEO OE ∴∠==∴OEAD =1302ABC AED ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，AB ∴，AO OD =，BF FD =，12OF AB ∴=，∴OF AC =， ∴OE OFAD AC =，//OF AB ，DOF DAB ∴∠=∠，90DOF EOF ∠+∠=︒，90DAB DAC ∠+∠=︒，EOF DAC ∴∠=∠，EOF DAC ∴∆∆∽，∴EFOECD AD =，EF ∴．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．【解答】（1）证明：90AOB MON ∠=∠=︒， AOB AON MON AON ∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=；（2）①证明：连接BN ，90AOB MON ∠=∠=︒，AOB BOM MON BOM ∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，45MAO NBO ∴∠=∠=︒，AM BN =，90MBN ∴∠=︒，222MB BN MN ∴+=，MON ∆都是等腰直角三角形，222MN ON ∴=，2222AM BM OM ∴+=；②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴-+=，解得：x =，AM BN ∴= 如图4，当点M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴++=，解得：x =，AM BN ∴=，综上所述，线段AM ． 5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP AC =时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且APQ ∆，求线段AP 的长度．【解答】解：（1）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒， ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=．（2）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒，ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒；BQ AP AC BC ∴===，AP AC =，90CAP ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，75ABP APB ∠=∠=︒，135CBP ABC ABP ∴∠=∠+∠=︒，45CBD ∴∠=︒，45QBD ∴∠=︒，CBD QBD ∴∠=∠，即BD 平分CBQ ∠，BD CQ ∴⊥且点D 是CQ 的中点，即直线PB 垂直平分线段CQ ．（3）①当点Q 在直线l 上方时，如图所示，延长BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒， ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 60BEF ∴∠=︒，设AP t =，则BQ t =，EQ t ∴=-，在Rt EFQ ∆中，)QF t =-，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即1)2t ⋅-=，解得t =t ．即AP ． ②当点Q 在直线l 下方时，如图所示，设BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，120BEF ∴∠=︒，60QEF ∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 设AP m =，则BQ m =，EQ m ∴=-，在Rt EFQ ∆中，QF m =，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即12m m ⋅-解得m m ==．综上可得，AP 6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， PB PD ∴=，AB AC =，PB PD =，60BAC BPD ∠=∠=︒， ABC ∴∆，PBD ∆是等边三角形，60ABC PBD ∴∠=∠=︒，PBA DBC ∴∠=∠，BP BD =，BA BC =，()PBA DBC SAS ∴∆≅∆，PA DC ∴=．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．PBA DBC ∆≅∆，BPA BDC ∴∠=∠，BOP COD ∠=∠，60OBP OCD ∴∠=∠=︒，即60DCP ∠=︒．（2）解：结论：CD =．理由：如图2中，AB AC =，PB PD =，120BAC BPD ∠=∠=︒，2cos30BC AB ∴=⋅⋅︒，2cos30BD BP =⋅︒=，∴BC BD BA BP= 30ABC PBD ∠=∠=︒，ABP CBD ∴∠=∠，CBD ABP ∴∆∆∽，∴CD BC PA AB=CD ∴=．（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ． 如图31-中，当PBA ∆是钝角三角形时，在Rt ABN ∆中，90N ∠=︒，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 60BN AB =⋅︒=2PN PB ==， 321PA ∴=-=，由（2）可知，CD = BPA BDC ∠=∠，30DCA PBD ∴∠=∠=︒， DM PC ⊥，12DM CD ∴=如图32-中，当ABP ∆是锐角三角形时，同法可得235PA =+=，CD =12DM CD ==综上所述，满足条件的DM ．．。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学模型总结复习专用资料
0.6 1.3
0.4615
BPA的Bayes近似（续2）
m1
({萨})
m1
({本})
m1({萨})＋m1({本, 1＋m1({萨})1＋m1({霍})
萨})＋m1() 1＋m1({本,萨})
2＋m1
()
3
0.3 0.1 0.1
0.41 0.31 0.11 0.1 2 0.13
0.5 1.3
m2
({萨})
m2
({本})
1＋m2
m2 ({萨})＋m2 ({本, ({萨}) 1＋m2 ({霍})
萨})＋m2 () 1＋m2 ({本, 萨})
2＋m2
()
3
0.2 0.5 0.05
0.21 0.21 0.051 0.5 2 0.053
0.75 1.6
0.4688
BPA的Bayes近似（续6）
0.3846
BPA的Bayes近似（续3）
m1
({霍})
m1
({本})
1＋m1({萨})
m1({霍})＋m1() 1＋m1 ({霍}) 1＋m1
({本,
萨})
2＋m1
()
3
0.1 0.1
0.41 0.31 0.11 0.1 2 0.13
0.2 1.3
0.1538
BPA的Bayes近似（续4）
m(B)
m(
A)
AB
，若A是单个假设集合
m(C) | C |
C
0,否则
BPA的Bayes近似（续1）
m1
({本})
m1
({本})
1＋m1
m1({本})＋m1({本, ({萨}) 1＋m1 ({霍})
数学建模 复习资料
《数学建模》复习资料(一)一、解答题1. 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)。
2. 记时刻t渔场鱼量为)(t x，在无捕捞时)(t x的增长服从Logistic规律，单位时间的捕捞量与渔场鱼量)x成正比，比例常数为E，试求满足什么条件时渔场鱼(t量稳定，怎样才能获得最大的持续产量？3. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。
问三人合作时如何分配获利？（1）求出协商解、最小距离解与Raiffa解。
（2）如果甲乙丙三人单独经商时各获利1元，用Shapley合作对策对三人合作时的获利进行分配。
（3）试用以上数据说明合作对策中三类分配方法的特点。
4. 生产与存贮问题：一个生产项目，在一定时期内，增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量，就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
因此,如何正确地制定生产计划，使得在一定时期内，生产的成本费与库存费之和最小，这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。
但由于生产条件的变化，该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。
今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示：月份( k)： 1 2 3 4 5 6月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10设库存容量H = 9，开始时库存量为2，期终库存量为0。
数学建模 复习资料
数学建模模拟复习资料一、单项选择题1、建模预测天气。
在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的非确定的信息。
这类模型属于（ B ）。
A 、白箱模型B 、灰箱模型C 、黑箱模型 2、在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ C ）。
A 、常量B 、变量C 、参数 3、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ( C ) 。
A 、机理分析法 B 、几何法 C 、系统辩识法D 、代数法4、在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ C ）。
A 、随机误差B 、系统误差C 、过失误差5、需对一类动物建立身长与体重关系的模型。
在对模型的参数进行估计时，如已有30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ B ）估计参数。
A 、图解法B 、统计法C 、机理分析法6、在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），由此带来一定的误差，此误差是（ A ）。
A 、截断误差B 、假设误差C 、舍入误差 二、填空题 1、若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 k kx y ,=是比例常数 .2、在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 )()(2211t n p m t n p m +<+ .3、马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 增长率是常数还是人口的递减函数 。
4、在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 类比 的方法建立了模型.5、力学中把质量、长度、时间的量纲作为 基本量纲 。
6、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。
三、简答题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
数学建模复习
的正整数 n 和相应的 y 值。
% 程序1： y = 0; for i = 1:inf y = y + i^2; if y > 2000 break; %跳出循环 end end n=i-1 y = y - i^2 n = 17 y = 1785
2015-4-8
ห้องสมุดไป่ตู้
某工厂有两条生产线，分别用来生产M和P两种型号的产品，利润分别为 200元/个和300元/个，生产线的最大生产能力分别为每日100和120， 每生产一个M产品需要1个劳动日（1个工人工作8小时称为一个劳动 日），而每个P产品需要2个劳动日，该厂工人每天共计能提供160劳 动日，假如原材料等其他条件不受限制，问应如何安排生产计划，才 能使获得的利润最大？
x3 1 lim 4 x 0 x 2
lim x 2
x 3
lim x a
a 3
syms x syms x limit((x^3+1)/(x^4+2)) limit(x+2,3)
syms x a limit(x+a,a,3)
3
lim( x x x)
2 x
5x 2 x lim 10 x x x 7
特殊矩阵
零矩阵：zeros
一矩阵：ones
单位阵：eye 对角阵：diag 随机阵：rand 魔方阵：magic
方阵的行列式。
>> A = [1 2; 3 4]; % 定义矩阵A >> d1 = det(A) d1 = -2 % 求数值矩阵A的行列式
逆矩阵。 >> A = [1 2; 3 4]; % 定义矩阵A >> Ai = inv(A) % 求A的逆矩阵 Ai = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000
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数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k1L3，因此，模型为：33111M V k l K Lρρ===……………………………模型一利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K1=0.014591，所以模型为：31M0.014591 L=上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k2d2L，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.61253 4 7622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。
解：将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系：记r 为第i 区的大学生人数，用0-1变量x ij =1表示（i ，j ）区的大学生由一个代售点供应图书（i<j ，且i ，j 相邻），否则x ij =0，建立该问题的整数线性规划模型。
i j iji.jMax r r x s.t.21,{0,1}i j i j ijjji j x x xix =+≤+≤∀∈∑∑∑∑相邻（）即：12132325344546566747121323242534454647566712131223242513233424455646Max 63*x 76*x 71*x 85*x 63*x 77*x 39x *x 74*x 89*x 92*x s.t.x x x x x x x x x x x 2 x x 1x x x x 1 x x x 1 x x x 1 x =+++++++++++++++++++≤+≤+++≤++≤++≤5667ij ij x x 1 x 0x 1++≤==或将上述建立的模型输入LINGO ，如下： modle:max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67<=2; x12+x13<=1;x12+x23+x24+x25<=1; x13+x23+x34<=1;x24+x45+x56<=1; x46+x56+x67<=1@gin(x12); @gin(x13); @gin(x23); @gin(x25); @gin(x34); @gin(x45); @gin(x46);@gin(x47); @gin(x67); End 运行，得到的输出如下：Local optirnal solution found at iteration Objective value: Vauable Value Reduced Costx12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x24 0.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.000000 0000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000 x67 0.000000 0000000从上述结果可以得到：最优解 2547x x 1==(其他的均为0)，最优值为177人. 即：第2、5区的大学生由一个销售代理点供应图书，代理点在2区或者5区，第4、7区区的大学生由另一个销售代理点供应图书，代理点在4区或者7区。
作业二3.P181.14 在鱼塘中投放n 0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。
(1)设尾数n(t) 的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。
分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
(2)用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量|ṅ/n| 表示，记作E ，即单位时间捕获量是En(t)。
问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大。
解： （1）鱼塘的初始鱼苗为n 0尾，且随着时间的增长，尾数将减少。
设尾数n(t) 的(相对)减少率为为k 1，因此由题意建立微分方程为：,(0)(0)dnkn k dt n n =->= 求解得：0()kt n t n e -=在鱼塘里，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，即：S αI(t)=在鱼塘里，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，即：m βD(t)=所以每尾鱼重量的净增长率r(t)为：S m αβ-r(t)=因此，建立微分方程为：dmS m dtαβ-= 因为该微分方程涉及多个变量间的数量关系，所以我们暂时无法求解该微分方程。
但是要想解决此微分方程还需要更多的信息，例如，每尾鱼表面积与其重量间的关系，一旦此关系确定，便可轻松解出每尾鱼的质量随时间的变化，即m(t)。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，假设t=T 时开始捕捞，且单位时间的捕捞率为E ，依题意建立微分方程：,()dnkn En t T dt=--≥ 因此得:()()0()t E t T n t n e e λλ--+-=所以单位时间的捕捞鱼的尾数为En(t)，因此从T 时刻开始的总捕捞量为：()()Ty m t En t dt ∞=⎰问题就转化为求E 和λ的值，使得y 最大，由于条件不足导致m(t)求解不出，因此无法求出y 的具体解释式。
4.P213.2 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在空气中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。
解：雨滴速度问题中涉及的物理量：雨滴的速度v ，空气密度ρ，粘滞系数μ,重力加速度g ，长度γ。
要寻找的关系是：(,,,)v g ψγρμ=更一般的将各个物理量之间的关系写作：0),,,,(=g v f μργ这里没有因变量与自变量之分，进而设：35124.................(1)y y y y y v g πγρμ=其量纲表达式为：0130110002[]LM T []L MT ,[]L MT []LM T []LM T g νρμγ-----=====,,，其中L ，M ，T 是基本量纲。
因此量纲表达式可以写成:5120000130110002(LM T )(L MT )(L MT (LM T (LM T )y y y L M T -----=34y y ))根据量纲原则可写成：⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y量纲矩阵为：11311()0011()10012()()()()()()L A M T v g γρμ--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解得方程的基本解为：1211(1,,0,0,)22......................(2)31(0,,1,1,)22Y Y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩将（2）代入（1）可得两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 为了得到形如(,,,)v g ϕγρμ=的关系，取12()πψπ=，其中ψ是某个函数，所以（2）式为：1/21/23/211/2()v g g γψγρμ-----=于是：3/211/21/21/2()()v g g ψγρμγ---=作业三5.P248.13 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。
爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存。
在适当假设下建立三者关系的模型，求其平衡点。
解：)(1t x 、)(2t x 、)(3t x 分别表示植物、哺乳动物、食肉爬行动物在时刻t 的数量。
假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。
设1r 为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是建立植物数量的模型：)()(21111x r x dtt dx λ-= 比例系数1λ反映了哺乳动物消耗植物的能力。
哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为2r ，则哺乳动物独自存在时有：222)(x r dtt dx -= 而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，于是建立哺乳动物数量模型：)()(312222x x r x dtt dx μλ-+-=其中比例系数2λ反映了植物对哺乳动物的供养能力，μ反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力。