数字电路与逻辑设计第二章

数字电路与逻辑设计
第二章——逻辑代数基础

本章内容
“2.1 “2.2 “2.3 “2.4
逻辑代数的基本概念 逻辑代数的基本定理和规则 逻辑函数表达式的形式与变换 逻辑函数化简

2.1 逻辑代数的基本概念
“ 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由
一个逻辑变量集K，常量0和1以及 “或”、“与”、“非”三种基本运算所构 成， “ 记：L={k, +, • , - , 0, 1}
“ 这个系统应满足以下公理：

2.1 逻辑代数的基本概念
公理1 交换律 A+B=B+A A •B=B •A 公理2 结合律 (A+B)+C=A+(B+C) (A •B) •C=A •(B •C) 公理3 分配律 A+(B •C)=(A+B) •(A+C) A •(B+C)=A • B+A • C 公理4 0-1律 A+0=A A+1=1 A •1=A A • 0=0 A •A=0
公理5 互补律 A+A=1

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
数字电路的特点及描述工具 “ 数字电路是一种开关电路； “ 输入、输出量是高、低电平，可以用 二元常量（0，l）来表示 “ 输入量和输出量之间的关系是一种逻 辑上的因果关系。
“ 仿效普通函数的概念，数字电路可以用
逻辑函数的数学工具来描述。

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 逻辑代数和普通代数一样，也是用字母
表示变量。 “ 在普通代数中，变量的取值可以是任意 实数，逻辑代数是二值代数系统，即任 何逻辑变量只有0和1两种取值。 “ 在数字系统中，逻辑变量的取值是用来 表征矛盾的双方和判断事件的真伪的形 式符号，无大小、正负之分。 “ 用“或”、“与”、“非”三种基本运算来反 映一个系统中各开关元件之间的联系。

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 1、“或”运算
只要一个或一个以上条件成立，事 件便可发生 用并联开关电路描述 P20

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 1、“或”运算：F=A+B+C
A 0 0 0 0 1 1 1 1 输入 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 输出 F 0 1 1 1 1 1 1 1

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 2、“与”运算
多个条件同时成立，事件才发生
用串联开关电路描述
P21

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 2、“与”运算：
输入 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
F=A • B • C
输出 F 0 0 0 0 0 0 0 1

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 3、“非”运算
事件的发生取决于条件的否定，也叫 做求反运算。 用开关与灯并联电路描述 P21 （开关断开时，灯亮；开关闭合时，灯灭。）
实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，或“反相器”。

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
“ 3、“非”运算:
F=A
A 0 1
F 1 0

2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等
“◆ “
逻辑函数的定义
A1 A2 An
逻辑电路
F
F＝f(Al，A2，…，An) “ 其中：Al，A2，…，An为输入逻辑变 量，取值是0或1； F为输出逻辑变量，取值是0或1； F称为Al，A2，…，An的逻辑函数
“ 注：函数和变量之间的关系是由“或”、
“与”、“非”3种基本运算决定的。
…

2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等
“◆ “ “ “ 若对应于逻辑变量Al，A2，…，An的任
逻辑函数的相等 F1＝f1(Al，A2，…，An) F2＝f2(Al，A2，…，An)
何一组取值， F1和F2都相同，则称两函 数相等。

2.1.3 逻辑函数的表示法
描述逻辑函数的方法不是唯一的，常用的方法有 逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。 “ ◆ 逻辑表达式 “ 逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、 “非”3种运算符所构成的式子。 “ ◆ 真值表 “ 采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系， 其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能组 合，输出部分给出相应的输出逻辑变量值。 “ ◆ 卡诺图法 “ 卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和简 化逻辑函数表达式。
“

2.2 逻辑代数的基本定理和规则
基本定理 “ 定理1
“ 2.2.1
0＋0＝0 0＋1＝1 0 • 0＝0 0 • 1＝0
1＋0＝1 1＋1＝1 1 • 0＝0 1 • 1＝1

2.2 逻辑代数的基本定理和规则
基本定理 “ 定理2 A+A=A A•A=A 公理4：0－1律 证明：A + A = (A+A) • 1 = (A+A) • (A+A) 公理5：互补律 = A + (A • A) 公理3：分配律
“ 2.2.1
=A+0 =A
公理5：互补律 公理4：0－1律

2.2 逻辑代数的基本定理和规则
“ 定理3（吸收律）
A+A•B=A A • (A+B) = A “ 定理4 （吸收律） A+A•B=A+B A • (A + B) = A • B “ 定理5 A=A

2.2 逻辑代数的基本定理和规则
“ 定理6（反演律）
A+B=A•B A•B=A+B
“ 定理7
A • B+ A • B = A (A + B) • (A + B) = A
“ 定理8
P25