(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理
人教版 初中数学 八年级上册第15章分式小结与复习
(其中M 不为0 的整式).
（2）分式的符号法则:
A
=
( -A
)
=
A
=
B
B
( -B )
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
⑶约分:把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分:把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 叫做分式的通分.
注意： 分式的分子、分母是多项式的，应先分解因式， 然后再约分. 注意： 通分的关键是找最简公分母(即各分母所有因式 的最高次幂的积).如果分式的分母是多项式，为便于确
y)
x y
（2）原式
x2 x-1
-
x1 1
x2（- x1）（ x-1） x-1
1 x-1
(4)整数指数幂 :
an
1 an
(a
0,
n是正整数)
(5)科学记数法 :
绝对值小于1的数可以表示成a 10n的 形式(1 a 10, n是正整数),这种表示 方法叫科学记数法.
【相关小结】
(1)am an amn (m, n是整数 )
(1) 16 (-2) 3 - (1)-1 (
3 解：原式
16
（-8）-
1 1
1
3
3 -1)0
2 3 1
4
（2） ( 2)0 ( 1)2 (2)2 2
解：原式 1 1 4 （- 1）2 2
1 44
1
【分式方程】
解分式方程的一般步骤: 分式方程 去分母 整式方程
目标
a是分式 方程的解
B
1.下列各式中，哪些是分式？
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.1知识点总结含同步练习及答案
x+1 2x + 3 ；（2） ． 2x 3x − 5 x+1 解：（1） 要使 有意义，则分母 2x ≠ 0，即 x ≠ 0； 2x 2x + 3 5 （2） 要使 有意义，则分母 3x − 5 ≠ 0，即 x ≠ ． 3x − 5 3 x+2 的值为 0 ？ 2x − 3 x+2 解： = 0 ，即 x + 2 = 0 ， 2x − 3 解得 x = −2 且 2x − 3 ≠ 0 ． 所以当 x = −2 时，该分式值为 0 ．
① 在分式 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即
约分 约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式 或者整式． 通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）． 各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母．
当 x 取何值时，分式
5xy ． 20y 2 5xy 5y ⋅ x x 解： ． = = 2 5y ⋅ 4y 4y 20y
化简
2a c x ， ， ． b ab 2ab 解：最简公母为 2ab ． 2a 4a2 ， = b 2ab c 2c ， = ab 2ab x x ． = 2ab 2ab
通分
四、课后作业
1. 使分式
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
2 有意义的 x 的取值范围是 ( x−2 A．x ⩽ 2 B．x ⩽ −2
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册课件：15章 分式--知识点复习(共48张PPT)
贵了8元，商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩
下10件按8折销售，很快售完.设第一批进货单价为x元，根据
题意得到的方程是
;在这两笔生意中，商家
共盈利
元.
43
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
4.某工厂对产品进行包装，引进了包装机器.已知台包装机的 工作效率相当于一名包装员的20倍若用这台包装机包装900件 产品要比15名包装员包装这些零件少3小时. (1)求一台包装机每小时包装产品多少个? (2)现有一项包装任务，要求不超过7小时包装完成3450个零 件.该厂调配了2台包装机和30名包装员，工作3小时后又调配 了一些包装机进行支援，则该厂至少再调配几台包装机才能
38
知识点五：分式方程及解法
合作探究
先独立完成导学案专题五，再同桌相互交流， 最后小组交流；
39
知识点六：分式方程的应用
知识回顾
分式方程的应用
请说出列分 式方程解应 用题的一般 步骤？
审找设列解 验 答
40
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
1.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的
知识回顾
分式的基本性质：
分式的基本性质用式子表示为： 其中A,B,C是整式.
11
知识点二：分式的基本性质
知识回顾
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身 这三处的正负号，同时改 变两处，分式的值不变 .
或
12
知识点二：分式的基本性质
巩固练习
1.写出下列分式中未知的分子或分母：
(1)
(2) 4n
3
知识点一：分式及其相关概念
最新人教版八年级上册数学第十五章分式知识点复习
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子相加减；
②异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再
加减
整数指数幂的运算性质可以归纳为：（1）am·an＝am＋n
（m，n是整数)；（2）（am) n＝amn（m，n是整数)；（3）
（ab)n＝anbn（n是整数）；（4）am÷an＝am－n（a≠0，m，
1
n是整数，m>n);（5）当a≠0时，a0=1；（6）a－n＝
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样
分式的基 的分式变形叫做分式的约分．
确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定：①
本性质
分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；②当分子
或分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；③约
分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须
先分解因式．
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式
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把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同
分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分
分式的基 的关键是确定最简公分母：①最简公分母的系数取各
本性质
分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取
各分母所有字母的最高次幂的积；③若各分式的分母
第十五章分式
本章知识结构图
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核心内容
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有
字母，那么式子 叫做分式
分式的概念 分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义
的条件是分母等于零
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零
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人教版8年级数学上册15章分式知识点
第十五章 分式一、知识概念：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A叫做分式，A 为分子，B为分母。
1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.6.分式有意义：分母不为0（0B ≠）7.分式无意义：分母为0（0B =）8.分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） 9.分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）10.分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） 11.分式值为1：分子分母值相等（A=B ）12.分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）二、分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 三、整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 四、分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理
第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。
特别注意：1π不是分式。
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。
§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。
3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。
4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习.doc
第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分 数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲 荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间 有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成 任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师 去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的 垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知 甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲 车少200元.（1） 求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和 用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
2018八年级数学上册第十五章【分式】全章复习
2018年初二上册第十五章分式全章复习【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式A B才有意义.1．约分2．通分a b c c ±（3）除法运算a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.（4）乘方运算()n n n a a b b=4．零指数01a =，(0)a ≠.5.负整数指数1p pa a -=（0a ≠，p 为正整数）6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为解例1、在1A.2例2、当x 例3、当x A.例（1）14231134a b a b +-；（2）0.30.20.05x y x y +-；（3）222230.41010.64x y x y +-．解：（1）14141261623231111431234a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+⨯+ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭．（2）0.30.20.05x y x y +-(0.30.2)1003020(0.05)1005100x y x y x y x y +⨯+==-⨯-5(64)645(20)20x y x y x y x y++==--.（3）原式22222222(0.40.3)1004030(0.250.6)1002560x y x y x y x y +⨯+==-⨯-222222225(86)865(512)512x y x y x y x y ++==--.【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时，要把小数先化成最简分数；相乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘．类型二、分式运算例1、计算：（1）2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-（2）2411241111x x x x +++-+++.例33(3)m n -解：如：（2）【变式1】计算：（1）332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2224222a a a a a a ⎛⎫- ⎪+--⎝⎭【变式2】计算111(1)(1)(2)(2)(3)a a a a a a ++++++++…1(2017)(2018)a a +++．类型三、分式条件求值的常用技巧例1、已知14x x +=，求2421x x x ++的值．解：方法一：∵42422222221(1)11x x x x x x x x x x ++++÷==++÷2221111x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而14x x +=，∴422115x xx ++=，∴2421x x x =++．方法二：115=．21x、4221x x x++例2、设把⎧⎨⎩值时，若将两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值．【变式】已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2xx y x y --的值．例1、解方程23222x x x -=+-例2、解方程263525(3)(5)(3)(5)x x x x x =+-+++-．解：原方程整理得：635(5)(5)(3)(5)(3)(5)x x x x x x =++-+++-方程两边同乘以(3)(5)(5)x x x ++-得：6(3)3(5)5(5)x x x +=-++∴x 使分【变式【变式3x k=+的∴1240x k =->．∴3k <．请问：（1）甲的说法正确吗？若正确，请在k 的范围内选取一个你喜欢的数值代入，求x 的值；若不正确，试举一反例说明．（2）乙的说法正确吗？例1、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的产品48件，乙厂有合格的产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率是多少？解：设质检部门抽取了x 件进行检测，则：48455%x x -=．解方程得：x ＝60．∴甲厂的合格率是：48100%80%60⨯=．答：甲厂的合格率是80%．例2、某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目，公司调查发现：20信息，解得：经检验∵当∴∴【变式小明上学．班多用了【变式2】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．现两队合做2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？【综合检测】一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（）A.a b a a x +=+1 B.x a b x b a +=-11C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-n x m x m x n x 2．ba b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（）A．b a ba +-B．b a ba -+C．2(b a b a -+D．14．)4）7.若关于x 的方程2403x x a x -+=-有增根，则a 的值为（）A．13B．-11C．9D．38.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（）A．a b b +倍B．b a b +倍C．a b b a +-倍D．b a b a-+倍二.填空题9．若分式1||2--x x x 的值为0，则x 的值为______．10．若2212x y xy -=，且xy ＞0，则分式yx y x -+23的值为______．11．化简2222936a b a b ab =-_____________；2426a a ab -＝________________．12．=-+---|3|)12()21(01______．13．计算()()2232a ab --并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．14．若分式方程127723=-+-x a x x 的解是0x =，则a =______．16.计算17.已知19.已知345x y z ==，求23x y x y z+-+的值．20.已知345x y y z z x ==+++，求()()()xyz x y y z x z +++的值．21.当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？22.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；2.【答案】B；【解析】2222(()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--.3.【答案】D；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根.4.【答案】B；5.【答案】A；【解析】原计划所用时间为480x ，实际所用时间为48020x +，选A．6.【答案】B；22111)xy y x xy -7.3x =．而代入得8.2v ，a b b a +-倍．二.填空题9.＞0，所以4x y =，代入原式得312x y x y +=-.11.【答案】32ab a b -；312b a -；12.【答案】4；【解析】101(1)|3|21342--+-=-+=.13.【答案】841a b ；【解析】()()2232624841a ab a a b a b-----==.14.【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.三.解答题16.解：（1）31221⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ---+⎝⎭⎝⎭3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦3186(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=÷+-+-3(6)(2)(2)3(2)(2)6a a a a a a ++-==+-+ ．（2）原式2(4)(2)(2)4222(2)(2)222x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++．当x 18.解：29=．所以a（2）因为=19.解：20.解：设3451x y y z z x k ===+++，则3x y k +=，4y z k +=，5z x k +=，解得2x k =，y k =，3z k =，所以332361()()()3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++ ．21.解：方程两边都乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-．当1a =时，方程无解．当1a ≠时，101x a =--．如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-；当2x =-时，1021a -=--，所以6a =．所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根．22.解：（1）设第一批购进书包的单价为x 元，则第二批购进书包的单价为(4)x +元，（2）200080。
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
最新人教版八年级数学上册第十五章《分式方程》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、分式方程的定义1.定义：一般地，分母上含有未知数的方程，叫分式方程.2.分式方程的特征：①含有分母；②分母中含未知数.其中②是分式方程与整式方程的根本区别.二、可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）的解法1.解分式方程的基本思路：解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母.2.解分式方程必须检验，检验的方法是：将整式方程的解代入最简公分母（或每个分母），如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（有的书上称为原方程的增根）.深化升华 为什么会出现增根呢？我们举例说明一下. 解方程：xx x -=--2121-2.① 方程两边都乘以x-2，得1-x=-1-2(x-2),②解这个方程，得x=2.我们把解题步骤简化为：①−−−−→−-2x 两边都乘以②→x=2,即①−−−−→−0两边都乘以②.这与等式的基本性质不相符.从另一个角度看，方程②中允许x=2，即x=2是方程②的解，但方程①中不允许x=2，在从方程①变形为方程②的过程中，x≠2这一限制条件被取消了，因此，出现了满足方程②但不满足方程①的解x=2.记忆要诀 解分式方程的步骤是：①分母能因式分解的首先要因式分解；②找出最简公分母；方程两边同时乘以最简公分母；③化成整式方程；解整式方程；④代入原方程各分母或最简公分母检验；如果整式方程的解使得原方程各分母或最简公分母不为零，则是原分式方程的根，否则就是增根.3.解含有字母已知数的分式方程以及公式变形是本节的难点和疑点.例如，解方程求x:1+-x n x m =0(m≠n). 题目中明确指出x 是未知数，那么m ，n 就是字母已知数.方程两边同乘x(x+1)，得,m(x+1)-nx=0.化简，得(m-n)x=-m,∵m≠n,∴m-n≠0,解得x=nm m --. 深化升华 上面的讨论（∵m≠n,∴m-n≠0）是不可缺少的，因为根据等式的基本性质，两边同乘（或除以）一个不为0的整式，才是一个恒等变形.由于x+1=n m m --+1=nm n --，m,n 的取值范围不清楚，所以我们要分几种情况进行检验： ①当m=0或n=0时，x=0或x+1=0, x=nm m --不是原方程的解，原分式方程无解； ②当m≠0且n≠0时, x=nm m --是原方程的解. 联想发散 公式变形不仅在数学学习中，而且在其他学科中也经常遇到，如并联电路总电阻R 与支路电阻R 1、R 2满足关系式21111R R R +=，试用含有R 1、R 2的式子表示R. 解法1：∵21212112121R R R R R R R R R R R +=+=, ∴R=2121R R R R +. 解法2：把R 看成未知数，R 1，R 2看成字母已知数,两边同乘RR 1R 2，得R 1R 2=R 2R+R 1R.化简，得(R 1+R 2)R=R 1R 2,显然R 1+R 2≠0,∴R=2121R R R R +. 三、列分式方程解决实际问题列方程解应用题的一般步骤是：①设未知数，有直接设法和间接设法两种，大多数情况下采用直接设法.②列式，用代数式表示未知量和已知量.要弄清和差倍分的表示法，增长率的表示法，顺水速度、逆水速度的表示法等等.③列方程，从不同角度寻求等量关系是列方程的前提和关键，它直接影响到问题的解决.有的等量关系是几个量之间的关系，如路程=时间×速度，总价=单价×数量等；有的等量关系隐藏在已知条件中，需要我们认真分析，仔细挖掘.④解方程，检验解的合理性（包括检验是否是方程的解，是否符合题意），写出答案. 学法一得 总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.(1)审——仔细审题，找出等量关系.(2)设——合理设未知数.(3)列——根据等量关系列出方程(组).(4)解——解出方程(组).(5)答——写出答案.典题·热题知识点一 分式方程的解法及有关注意事项例11112132-=+--x x x . 思路分析：此题重点考查了分式方程的解法.解：方程两边同时乘以（x ＋1）(x-1)，得3(x ＋1)-2(x-1)=1，整理并解得x=-4.检验：当x=-4时，（x ＋1）(x-1)=15≠0，∴x=-4是原方程的根.知识点二 公式变形的应用例2如果解分式方程2242---x x x x =-2出现增根，则增根为（ ） A.0或2 B.0 C.2 D.1思路分析：分式方程出现增根的原因是去分母化为整式方程后产生的，因此只要解这个分式方程即可.解：方程两边同时乘以x(x-2)，得4-x 2=-2x(x-2),整理并解得x=2，当x=2时,x(x-2)=0，∴x=2是原方程的增根.答案：C例3公式变形:在公式E=I （R+nr )中已知E ，I ，R ，r 且E≠IR,求n. 思路分析：题目中明确指出n 是未知数，那么E,I,R,r 就是字母已知数,按解分式方程的步骤求解即可.解：公式两边同时除以I ，得nr R I E +=. 两边同时乘以In 得：En=IRn+Ir.移项得：En-IRn=Ir.即:(E-IR)n=Ir.∵E≠IR,∴E-IR≠0.两边同时除以（E-IR ）得：n=IRE Ir -. 误区警示 要注意条件E≠IR 的应用.知识点三 分式方程的应用例4某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 m 3，求该市今年居民用水的价格.思路分析：本题涉及三个量，即用水量、单价（每立方米水费）和总价（水费），它们之间的关系是：总价（水费）=用水量×单价（每立方米水费）.认真审题，可以发现如下的等量关系： ……每立方米水费上涨31，即调价后单价=调价前单价×（1+31）；① 今年7月份的用水量=去年12月份的用水量+5；②去年12月份的水费是15元，即，去年12月份的用水量×调价前单价=15；③今年7月份的水费是30元，即，今年7月份的用水量×调价后单价=30；④设调价前单价为x 元/m 3，由①得,调价后单价（即今年居民用水的价格）为（1+31）x. 由③得,去年12月份的用水量为x15， 由④得,今年7月份的用水量为x )311(30+. 代入②，得x x 15)311(30=++5. 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3，则今年的水价为(1+31)x 元/m 3，根据题意，得,x x 15)311(30=++5,解得x=23. 经检验，x=23是所列方程的根.（1+31）x=(1+31)×23=2. 即该市今年居民用水的价格为2元/m 3.巧解提示 本题也可以设出去年的用水量，从价格上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例5为了方便广大游客到昆明参加、游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828 km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2 h ，比普通快车早4 h 到达昆明，求两车的平均速度.思路分析：由题意可知，直达快车的平均速度=普通快车平均速度的1.5倍；①直达快车走完全程所用的时间=普通快车走完全程所用的时间-6小时；②可设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，直达快车走完全程所用的时间=x 5.1828小时，普通快车走完全程所用的时间=x 828小时，由②得x 828-6=x 5.1828. 解：设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，依题意，得 x 828-6=x5.1828,解得：x=46. 经检验，x=46是方程的根，且符合题意.∴x=46,1.5x=69.答：直达快车和普通快车的平均速度分别为69 km/h ，46 km/h.巧解提示 本题也可以设直达快车走完全程所用的时间，从时间上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例6编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚.思路分析：此题重点考查大家的发散思维能力，在解答此题的过程中一定要符合题目给出的条件.这也体现了新课标要求的“数学来源于实践，又作用于实践”.解：所编应用题为：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做x 个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有2610-=x x , ∴x=5,x-2=5-2=3.答：甲每小时做5个，乙每小时做3个.巧解提示 此题答案不唯一，可从路程时间速度问题、劳力分配问题、浓度问题以及社会实际问题入手，但编写题目一定要符合条件.问题·探究思维发散探究问题 1 解分式方程,要先把分式方程化为整式方程,前面我们研究了最简公分母是两个多项式乘积的方程的解法,那么我们能否利用前面的方法解方程呢？（1）21611171-+-=-+-x x x x . （2）你发现方程的解有什么规律？ （3）利用你发现的规律，猜想方程d x c x b x a x +++=+++1111（a,b,c,d 表示不同的数，且a+b=c+d ）的解是什么？并加以验证.探究过程：用常规的方法去分母，计算量很大.如果我们能看到四个分母中的x-7与x-6差1,x-2与x-1也相差1;且把71-x 与61-x 相减，把21-x 与11-x 相减时,通分之后分子也都是1,这样变成整式,会非常简单.具体的计算过程如下:（1）把方程移项，得71-x -61-x =21-x -11-x , 两边分别通分，得)1)(2(1)6)(7(1--=--x x x x , ∴(x-7)(x-6)=(x-2)(x-1),∴x 2-13x+42=x 2-3x+2,化简，得：10x=40,即x=4.（2）观察结果我们会发现,(-7)+(-1)=(-6)+(-2), 且2)1()7(-+--=4. （3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-, 检验：左边=b b a a b a ++-+++-2121 =ba b a a b b a ---=-+-2222=0;右边=d c d c c d d c d d c c d c ---=-+-=++-+++-22222121 ∴x=2b a +-是方程的解. 探究结论：(1)可以用前面的方法解方程，但计算量很大.这道题有更简单的解法.（2）方程的解与各分式的分母中的常数项有关.（3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-,经验证，确实如此. 交流讨论探究问题2 解分式方程：14122-=-x x . 探究过程：小聪：这道题不难！去分母，转化为整式方程2(x+1)=4，解得x=1，大功告成了！ 小明：你还没检验呢！小聪：一定要检验吗？小明：是啊！你把x=1代入原方程，分母x-1=0，分式无意义！所以x=1是增根，应该舍去. 小聪：为什么叫增根呢？它是根吗？小明：增根也是根，譬如x=1就是方程2(x+1)=4的根，但它不是原分式方程的根，好像是分式方程身上长出的一个毒瘤，多余的，必须割去，所以称它为增根.小聪：我明白了！看来解分式方程时，检验是必不可少的啦！探究结论：方程两边都乘以最简公分母(x-1)(x+1)得:2(x+1)=4.解得x=1.检验：当x=1时，代入最简公分母，得(x-1)(x+1)=0,∴x=1是原方程的增根.。
八年级上册第十五章-分式知识梳理
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
(人教版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习【精美版】
第十五章 分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式2a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.把分式方程2x+4=1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.分式方程12x −9-2x−3=1x+3的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )A.8 600x= 9 800x+60B.8 600x= 9 800x−60C.8 600x−60=9 800xD.8 600x+60=9 800x5.若分式 2x−1 有意义，则x 的取值范围是 .6.若代数式 2x−1 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x 的分式方程xx−1=3a2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .8.化简：(a −1a)÷a 2−2a+1a.9.先化简，再求值：(1m −1n )÷m 2−2mn+n 2mn，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：(x+2x−x−1x−2)÷x−4x −4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题： 请求出篮球和排球的单价各是多少元?1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( ) A .b 2a 2 B .b ＋2a ＋2 C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( ) A .1a ＋2b ＝3a ＋bB ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( ) A ．a －2c B ．a ＋2 C .a －2a －3 D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x ＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m>2且m ≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A .24x ＋2－20x ＝1B .20x －24x ＋2＝1C .24x －20x ＋2＝1D .20x ＋2－24x ＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝ ．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝ ．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？第1节探究电流与电压、电阻的关系实验(建议时间：20分钟)1. (2019铜仁)小李为了探究“电流与电压的关系”，请你与他合作并完成以下实验步骤．(1)请你在虚线框中设计出相应的电路图．第1题图(2)小李在探究电流与电压的关系时，要控制________不变．通过实验探究，得到以下数据，在进行数据分析时，小李发现表格中有一组错误的数据，请你找出第________组数据是错误的．序号 1 2 3 4 5电压U/V 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4电流I/A 0.16 0.24 0.32 0.44 0.48(3)为了分析电流与电压的定量关系，请你利用正确的数据，在坐标中绘制出电流与电压关系的图像．2. (2019巴中)同学们想探究“导体中电流跟导体两端电压的关系”：(1)小明同学通过学习知道了________是形成电流的原因，因此做出了如下三种猜想：A. 电流跟电压成反比B. 电流跟电压成正比C. 电流跟电压无关(2)为了验证猜想，小明设计了如图甲所示的电路图，其中电源为三节新干电池，电阻R为10 Ω，滑动变阻器R标有“50 Ω 1 A”字样，电压表电流表均完好．第2题图实验次数 1 2 3电压U/V 2 2.6 3电流I/A 0.20 0.26 0.30第2题图丙①根据甲电路图将乙图实物电路连接完整；②闭合开关前，小明应将滑动变阻器滑片移到________阻值处(选填“最大”或“最小”)；③他检查电路时发现电压表、电流表位置互换了，若闭合开关电流表________(选填“会”或“不会”)被烧坏；④排除故障后小明进行了实验，得到表格中的实验数据．分析数据，可得出的正确结论是：电阻一定时，________________________________．(3)小明还想用这个电路测量小灯泡的额定功率，于是他将电阻R换成一只额定电压是4 V 的小灯泡(阻值约为13 Ω)，电阻一定时，并将电压表量程更换为15 V，闭合开关S后，调节滑片至电压表示数为4.0 V时，电流表示数如图丙所示为______A，小灯泡的额定功率为________W.3. (2019临沂)在“探究电流与电阻关系”的实验中，小明依次选用阻值为5 Ω、10 Ω、20 Ω的定值电阻进行实验．第3题图(1)图甲是实验的实物连线图，其中有一条导线连接错误，请在该导线上打“×”并画出正确连线．(2)改正错误后闭合开关，电流表有示数而电压表无示数，电路故障可能是________．(3)排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器的滑片至某一位置，电流表的示数如图乙所示，此时电路中的电流为________A.(4)断开开关，将5 Ω的定值电阻换成10 Ω的并闭合开关，此时应将滑动变阻器的滑片向______(选填“左”或“右”)端移动，这一过程中眼睛要一直观察________表示数的变化．(5)下表是实验中记录的数据，分析数据可知：①10 Ω定值电阻的功率为________W.②当导体两端的电压一定时，通过导体的电流与导体的电阻成________比．参考答案第十五章欧姆定律第1节探究电流与电压、电阻的关系实验1. (1)如答图甲所示第1题答图甲(2)电阻 4 (3)如答图乙所示第1题答图乙2. (1)电压(2)①如答图所示②最大③不会④导体中的电流与它两端的电压成正比(3)0.3 1.2第2题答图3. (1)如答图所示(2)R短路 (3)0.4 (4)右电压(5)①0.4 ②反第3题答图第十五章电流和电路摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷的转移正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷种类电荷负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥电量：q 单位：库伦简称：库符号：CC元电荷：最小电荷：e=1.6×1019组成：电源、开关、导线、用电器电源：提供电能开关：控制电路通断作用用电器：消耗电能导线：传输电能的路径导体：金属、人体、食盐水两种材料绝缘体：橡胶、玻璃、塑料电流产生条件①电路闭合②保持通路定义：正电荷移动的方向电路电流的方向在电源中电源的正极→用电器→电源的负极1617单位：A −→−310mA −→−310A μ 工具：电流表 ○A测量 使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联 电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流表的量程 ③必须正入负出④任何情况下都不能直接连到电源的两极 电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾 通路：接通的电路 三种状态 断路：断开的电路短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极 两种类型：一、电荷1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。