解析几何教材分析+(打印)
《平面解析几何初步》教材分析共26页文档
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《解析几何初步》教材分析
教材分析：平面解析几何初步解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。
1．本章教学目标通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。
2．本章设计意图本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。
本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
解析几何教材分析
解析几何教材分析解析几何教材分析解析几何是用解析方法来研究变化的图形的性质。
它的基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规律的空间图形（点、线、面）同数量关系（坐标和它们所满足的方程）统一起来，从而把几何问题归结为代数问题来处理。
运用这种坐标法，可以研究比直线和圆更复杂的曲线，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线的性质，就成了解析几何学的两大基本问题。
在高中阶段我们只学习平面解析几何的基础知识。
知识准备：初中学习了学习了平面直角坐标系，学习了二元一次方程、一元二次方程及一次函数、二次函数，为解析几何的学习做了知识的贮备。
教材分析（1）教材知识结构（2）重点难点分析本章难点曲线与方程的关系，直线斜率和倾斜角的变化范围问题。
以及圆锥曲线的综和问题。
（3）主要教学内容、要求以及注意事项1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，用代数方法刻画直线斜率，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6．通过问题情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7．会求椭圆的标准方程，理解a、b、c的几何含义。
会求焦点、顶点坐标。
8．会求双曲线的标准方程，理解a、b、c的几何含义。
会求焦点、顶点坐标和渐近线方程。
9．会求抛物线的标准方程，理解p 的几何含义。
会求焦点、顶点坐标、准线的方程。
10．会求有关直线与圆锥曲线关系的相关问题。
11．理解坐标系的平移，会求不同坐标系下点、直线、曲线方程。
高中数学必修二平面解析几何的教材分析和教学建议
高中数学必修二平面解析几何的教材分析和教学建议一、课标要求（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索得出空间两点间的距离公式．二全国卷近四年直线与圆的高考题及分析A.2 C.设直线a=+xy2分析以上四年全国卷，我们可以看出：（1）文科年年都考查直线与圆的位置关系，其中2013、2014、2015年都考查了一道解答题，分值为12分，而2016年考查弱化了，只有一道选择题，分值5分，文科是否有种趋势，考查选择题；理科2013考查一道解答题，2014、2015一道选择题，,2016没有考查直线与圆.（2）试题难度为中等难度，直线与圆的试题没有压轴题，基本都在试卷的中间，选择题考查的偏多，时而为选择的最后一个较难的题.（3）直线与圆的综合题占主流，基本没有单纯考查直线方程的试题多数，多为直线与圆的位置关系、直线与圆中的几何度量（弦长、距离、面积等）、动点的轨迹问题，同时也强化了与其他知识（向量、不等式、函数、圆锥曲线等）的整合.（4）注重数学思想方法的考查，如坐标法、数形结合、函数与方程、化归转化的思想，凸显用代数的方法解决几何问题的能力.三解析几何的基本思想方法解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，解析几何的基本思想：用代数的方法解决几何问题．解析法，就是坐标法，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．它将形与数有机地结合起来，体现了数形结合的重要数学思想。
解析几何初步教材分析
第二章平面几何初步（一）教育分析1．解析几何的本质: 是用代数方法研究图形的几何性质,它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。
2．《课程标准》要求：要求学生在解析几何初步的学习中，经历将几何问题代数化，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题的过程。
这部分内容的学习有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想，形成正确的数学观；解析几何的内容强调几何，突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义；对解析几何内容采用的处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何学习的兴趣，克服几何学习可能会造成学生两极分化的弊端。
（二）数学分析1．解析几何的思想方法，就是代数和几何联姻，用代数方法研究几何，把对几何图形的研究代数化。
这一章实质上就是代数在几何中的应用。
解决问题的基本思路都是：在坐标系中，设动点的坐标，把图形的特征性质转化为代数表示,设未知数列方程或方程组解几何问题。
2．解析几何是数学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科，它是数学的两个基本对象——数与形的统一。
通过数形结合，使坐标方法成为一个双面的工具。
一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何解释。
使代数语言更直观、更形象地表达出来,其中蕴涵了数形结合思想。
3．体会解析几何的基本思想。
（1）几何→代数①将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系；②将几何问题转化为代数问题,处理代数问题,分析代数结果的几何含义；③解决几何问题；（2）代数→几何：强调借助几何直观理解代数关系的意义，即对代数关系的几何意义的解释，在这个过程中，让学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
（三）教学内容分析一、在新课标中的地位于整体分析理念: 构建共同基础,提供发展平台提供多样课程,适应个性选择2、必选:《平面解析几何初步》二、新课表与原教学大纲对比说明：1.删：两条直线的交角。
解析几何(教材)pdf
JJJJG 向量 r = OM 与有序数组 (x, y, z) 之间有一一对应关系:
JJJJG M l r = OM xi + yj + zk l (x, y, z) .
7
据此，可把向量 r 记作:
JJJJG r = OM ( x, y, z ) (向量坐标公式).
称有数组 (x, y, z) 为向量 r (在坐标系 Oxyz 中)的坐标； 而且 (x, y, z) 也称为点
式:
a = a a0
或写成
a =| a | e .即向量 a 等于它的模与它的单位向量乘积. a
规定当
O
z
0
时，
a O
1 O
a.
，则 a
的单位向量 公式为:
a0
a, 或 a
e a
a a.
这表示一个非零向量 a 除以它的模是同方向的单位向量 a0 . 利用 Oa 与 a 共线(平行)，可得向量的共线定理.
量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量. 我们只讨论自由向量.
JJJG
JJJG
向量的大小叫做向量的模或长度.向量 AB, a 的模依次记作| AB |与| a |.模
o
是 1 的向量叫做单位向量. 模是 0 的向量叫做零向量，记作 0 或 0 .注意,零向量
的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的.
M 的坐标，记作 M (x, y, z) .
JJJJG 这里, 向量 r = OM 称为点 M 关于原点 O 的向径.上述定义表明，一个点与该点
对角线、三条坐标轴为棱作长方体 RHMK - OPNQ .如图 12 所示，有
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG r OM OP PN NM OP OQ OR
高中数学必修2解析几何初步教材分析及教学建议之一
高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。
（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。
2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。
解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。
3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。
4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。
关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。
《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。
教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。
关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
(完整版)解析几何讲义详解
解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。
从这个意义上讲,解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形(2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系（4)代数运算。
图形：形状、位置、大小三个要素。
函数解析式(方程）⇒⇒⇒⇒点的坐标（描点）图像（图形）点代数式 因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。
看见“点”想位置：(1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。
如点（2，3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2,竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3.（2）“点”相对于其他点或线的位置关系。
点⎧⎪⎧⎧⎨⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎩表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置 一、 关于直线直线需要确定其形状和位置。
其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角α（或斜率k ，k=tg α）确定，位置由直线上的一个点000(,)P x y 确定。
因此，直线的代数表达式(称之为直线的方程）是00()y y k x x -=-（k 存在的前提下）。
(1)因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程就需要两个相互独立的条件.比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等.（2)如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x 或y 前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合.（如kx+y —2k+1=0，过定点（2，-1)的直线集合；X+ky+1=0,过定点(-1,0）的直线集合等等。
（3）如果直线的位置(即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定）,那么直线方程表达的就是平行线集合。
如x-2y+k=0，斜率为12k=的平行线集合2x+y+b=0,斜率为k=—2的平行线集合等等。
高中数学必修2解析几何初步教材分析及教学建议之四
高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之四三明九中 李宇宙第四课时 4.2.2圆与圆的位置关系 三维目标： 知识与技能：了解圆与圆的位置关系，了解圆系及应用，能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 过程与方法：以问题为载体，使学生经历分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决方法的过程，学会交流；类比直线圆的位置关系解决方法，进一步体会几何问题代数化，会利用方程组的解的判定圆与圆的位置关系。
情感、态度与价值观：尝试解决问题的过程中，培养学生转化化归意识；进一步加强“数形结合”的数学思想方法，培养学生类比分析、解决数学问题的能力。
教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系 教学过程： 一、复习准备1. 两圆的位置关系有哪几种？ 设圆两圆的圆心距设为d. 当d R r >+时，两圆 当d R r =+时，两圆 当||R r d R r -<<+ 时，两圆 当||d R r =+时，两圆 当|d R r <+时，两圆2.如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？(探讨) 二、讲授新课：1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断例1：已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？（配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系） 2.两圆的位置关系利用圆的方程来判断方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决例2：圆1C 的方程是：2222450x y mx y m +-++-= 圆2C 的方程是：2222230x y x my m ++-+-=，问m 为何值时，两圆(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含。
思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式法）→交点个数→位置关系）练习：已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=，问m 取何值时，两圆相切。
平面解析几何教材分析
（7）如何认识“回顾确定圆的几何要素， 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准 方程与一般方程”
三点确定圆的几何要素可以转化为圆心和 半径。圆心到三点的距离相等，因此，圆心是三 点确定的两条线段的垂直平分线的交点，这样就 可以确定圆心了，确定了圆心，半径是很容易确 定的。
本部分内容的知识结构是：
2．课程标准的要求 （1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定 直线位置的几何要素； ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画 直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直； ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程 的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式 与一次函数的关系； ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
这道题目给的条件比较自然，学生通过这道题可 以加深对于圆的几要素的理解，即三点可以确 定一个圆。
（8）如何认识“能根据给定直线、圆的方程， 判断直线与圆、圆与圆的位置关系”
判断直线与圆、圆与圆的位置关系也要突出 几何要素，把握好以下几点：
①圆心到直线的距离是刻画圆与直线的位置关系的 几何要素。通过比较圆心到直线的距离和与圆半径 之间的大小关系可以判断直线和圆的位置关系；
直线的斜率是用代数方法刻画直线相对于x轴
正方向的倾斜程度的，它的意义是当沿x轴正方 向运动一个单位时，直线上的点上升的高度。直 线的斜率可以用变化率来刻画，也可以用倾斜角 的正切值来刻画，斜率是一个数值。
理解斜率需要注意以下几点：
①两点可以唯一确定一条直线，因此，两点就唯 一确定了过这两点的直线的倾斜程度。直线斜率 的计算公式与两点的顺序无关，即两点的横、纵 坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；
高中数学(必修)模块2平面解析几何初步教材.doc
高中数学（必修）模块2平面解析几何初步教材高中数学（必修）模块2 “平面解析几何初步”教材分析大丰市教育局教研室陈克毅一.新旧比较.课时安排建议（约20课时）.教材分析和教学建议1.本章的引言部分的教学十分重要，首先拉格朗日的一段话是本章的精髓，既点明了本章的知识特点，又阐明了本章要用到的数学思想方法: ——数形结合。
2.当学习了拉格朗日的一段话后，可先复习初中阶段所学过的函数：一次函数、二次函数和反比例函数，将函数转化为方程，从而说明曲线与方程的关系，再提出本章的学习任务。
3.2.1的教学还可以围绕复习旧知来进行，请学生考虑在平面直角坐标系内，已知两点可以作一条直线，那么，已知一点还须加上什么条件才能作出相应直线呢？解决此问题后，再复习初中阶段“坡度”的有关知识。
4.在2.1中，“增量”是一个既新又难以理解的概念，在教学中不能一带而过，本节教材中的另一个难点是斜率与倾斜角的关系，应让学生加以深刻理解。
有关的电子表格，其主要目的还是让学生理解斜率与倾斜角的关系、钝角的正切以及“正切函数”的单调性和90°的正切值不存在。
5.本节只有两个例题，例1是已知两点求经过这两点的直线的斜率的题目，比较简单，旨在巩固理解直线斜率的概念。
例2可重点讲解，方法一可按书上的方法，方法二可按本节练习的第3小题的方法（两点确定一条直线）。
还可以再补充一道例题，以解决本节练习的第4、5两小题。
6.在2.1.2中，介绍了直线的斜裁式方程后，可设问“任一条直线都有斜裁式方程吗？”以进一步理解直线的斜率和倾斜角的关系。
7.的“思考”中，务必引导学生进行分析讨论，方便解决一些问题，如课本“思考•运用”第8题。
&在2.1.2结束时，可提出问题：“二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2 HO）表示一条直线，每一条直线都有相应的二元一次方程吗？"9.对于2.1.3的教学，可再一次请学生完成的“思考”中的第二问，然后让学生归纳出两直线平行的条件，或者用初中阶段两直线平行的性质（同位角相等），从而得到倾斜角相等、斜率相等的结论。
高中数学人教B版必修二 第二章 《平面解析几何初步》教材分析与建议
《平面解析几何初步》教材分析与建议一、新课标有关平面解析几何的内容安排和定位1、新课标有关平面解析几何的内容安排⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩2112144必修平面解析几何初步（文理科）选修圆锥曲线与方程（文科）平面解析几何选修圆锥曲线与方程（理科）选修参数方程与极坐标（理科） 2、新课标对解析几何的定位的解读（1）构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择必修二的解析几何初步是基础，为继续学习圆锥曲线做准备，是学生继续发展的需要，要求所有学生都要学习；而后面的圆锥曲线和参数方程与极坐标，为文理学生提供选择，适应文理学生的发展需求。
与原课程相比，《标准》更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。
《标准》改变了原来的缺乏层次，要求单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次，如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。
这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。
（2）突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。
强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。
学直线和圆的方程只是解析几何学习的初级阶段，直线和圆的学习过程就是带领学生认识和理解“什么是解析几何”的过程。
学习直线和圆，为学习“曲线与方程”概念做好了足够的感性材料的准备，直线与圆的教学要时刻记住自己在解析几何教学的过程中的这个打基础的使命。
在数学必修2中具体体现在：首先探索确定直线和圆的几何要素，再用坐标表示他们，根据确定直线和圆的几何要素探索建立直线和圆的方程的几种形式。
二、必修二《平面解析几何初步》内容解读（一）本章内容的地位与作用解析几何把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来.一方面，几何概念可以代数表示，几何目标可以代数方法达到；另一方面，又可以代数语言以几何的解释，使得代数语言更加形象地表达出来。
在初中阶段，学生已经掌握了正比例函数，一次函数，对两条直线平行以及直线倾斜程度与斜率之间的关系（一般斜率为正）可以给予一定的合情解释.在平面几何方面，熟练掌握直线与圆的位置关系，垂径定理，切线性质，直径所对的圆周角是直角；了解圆与圆的位置关系。
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高三平面解析几何一轮复习建议理工大学附属中学洁2011.11.18一、对高三一轮复习的一点认识新课标将解析几何分成了“平面解析几何初步”“圆锥曲线与方程”“坐标系与参数方程”三个部分，分别编入《数学2》、《选修1－1》（或《选修2－1》）、《选修4－4》中，采用这种螺旋式上升的编排方法，使学生在高一、高二的学习过程中有多次机会接触解析几何的容，反复体会、螺旋上升，但同时也使得学生对解析几何部分知识点的认识较为零散，不易形成较为系统的知识结构.因此，高三的复习课不同于起始年级的新授课，也不同于高一高二阶段的章节复习、学期复习课，它是学生在学习完全部高中数学容的基础上，站在“数学整体”角度对所学全部数学知识（概念、公式、法则、原理）、方法、技能、思想等回头再认识、再理解、再提高、再升华的过程；是学生的空间想象力、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力再发展的过程；是发现问题、分析问题、解决问题等综合能力再提升的过程；是注重联系、提高对数学整体认识的过程.二、新课程标准数学考试大纲的考点要求：2011考试大纲与以前考试大纲的对比，对容和要求的变化要给予特别关注. 其中，理科：三、根据课标要求、近年考题和学生情况把握解析几何复习方向：1、圆的方程、圆锥曲线的方程和简单的几何性质是最基础知识点，侧重点是圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质.2、解析几何中一些思维量大、灵活性高的题容易出现在选择和填空题的压轴位置，对学生综合各部分知识分析问题和解决问题的能力要求较高，具有较大的区分度.3、通过对直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的考查基本上为解答题，重点考查学生对坐标法的理解和运用，考查函数与方程、数形结合、分类思考等数学思想方法，考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力.试题分步设问，由易到难，侧重点是直线和椭圆的位置关系.应当注意到，在根据课标要求调整后的高考说明的指导下，新课标卷加大了对直线与圆位置关系的考察力度.同时，就2011年各省区的高考而言，在解答题中对双曲线的考察仅出现在和卷中，说明大多数实施新课标高考的省区对课标要求的理解是一致的，对我们的复习也具有一定的导向性.4、对新课标新增容参数方程与极坐标系的考察多为所谓“占点题”，较容易，关键在于落实基本概念和基本计算.5、学生学习解析几何的难点在于解析几何综合题具有较高的灵活性，要求在思考问题时能够突破章节知识的限制，充分依据条件，合理选用方法.在教学中需要经常引导学生进行探究训练，提高学生分析问题和解决问题的能力.沟通知识联系，加深学生对知识的综合性的认识.在平时学习中，客观上造成对知识之间联系的认识是比较肤浅的，综合运用知识解决问题的机会也相对较少，这需要在高三复习课上打破各部分容之间的屏障，沟通各部分容的在联系.更重要的是，打通代数与几何之间的转化通道，不断在几何问题——几何意义——代数表示——代数运算之间转换，以达到灵活求解问题的目的.表1——2011年高考海淀区分类校理科解析几何总分分析表分类人数满分值最大值最小值平均值标准差差异系数得分率一类校 1924 19.0 19.0 0.0 14.82 3.36 0.23 0.78 二类校 2102 19.0 19.0 0.0 12.18 3.71 0.30 0.64 三类校 3313 19.0 19.0 0.0 9.05 3.71 0.41 0.48 四类校 1388 19.0 17.0 0.0 6.32 3.97 0.63 0.33 分类整体 8727 19.0 19.0 0.0 10.64 4.68 0.44 0.56分类人数满分值最大值最小值平均值标准差差异系数得分率一类校 1860 19.0 19.0 0.0 13.65 2.89 0.21 0.72 二类校 1421 19.0 19.0 0.0 10.99 3.11 0.28 0.58 三类校 4386 19.0 19.0 0.0 7.91 3.91 0.49 0.42 四类校 1024 19.0 15.0 0.0 7.06 4.11 0.58 0.37 分类整体 8691 19.0 19.0 0.0 9.54 4.37 0.46 0.50 数据表明：一类校的考生在解析几何的答题中优势明显，从平均分看，一类校的平均分要明显高于二类校平均分(12.18),更远高于三类校和四类校.这种差距表明学生对解析几何这门学科的基本思想的认识深度和领悟的差距，特别是对于二类校三类校的学生来说，可以说突破了解析几何解答题就是占领了数学高考的制高点，而这些学生在解析几何知识板块尚有一定的提升空间，提高的关键在于能够提高学科思想的认识，学会用解析几何的思维看待问题和解决问题.四、复习建议及例题选编（一）注重基础知识、基本概念的理解，突出圆锥曲线概念的应用意识，从理解、把握概念和基本性质的角度去认识易错、易混题.没有基础就谈不上能力，复习要真正回到重视基础的轨道上来，要扎扎实实，不要盲目攀高，以免眼高手低.部分学生在第一轮复习时对基础题没有予以足够的重视，认为题目看上去会做就可以不加训练，结果常在一些“不该错的地方错了”，最终把原因简单地归结为粗心大意，从而忽略了基本计算的训练和常规方法的积累，造成了实际成绩与心理感觉的偏差.复习要把“三基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，学生只有“三基”过关，才有能力去做难题.例1（2011高考文科10）已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，则b=.例2（2010高考理科13、文科13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . (±4，0)，3x ±y =0例3（2009高考理科12、文科13）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 . 2,120︒例4 椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON ＝ 4 例5 若椭圆22222a x ay -=的一个焦点是(－2，0)，则a ＝_____________ 451- 例6（1）若椭圆的长轴长为2，离心率为12，则椭圆的标准方程为______________ 答案： 22413y x +=或22413x y += （2）若双曲线的渐近线方程为32y x =±，则该双曲线的离心率为____________答案：焦点在x 轴上e =；焦点在y 轴上e = （3）已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为___________． 答案：4=k 或45-=k （二）注意帮助学生提高数学的思维品质、概括数学的思维特点在复习中，教师有必要帮助学生提高数学的思维品质，引导学生概括出每个单元数学知识的思维特点和思维方法，逐步树立信心去解决所面对的数学问题. 同时，每一节复习课的教学定位要准确，课堂教学一定要能够揭示出数学的本质. 我们的有限的课堂教学不能仅仅告诉学生这道题怎么解.而是应把教学的落脚点放在思维过程的揭示上. 每节课一般都要分析一些典型的例题，但教师要能够从如何审题，如何分析题，如何思考问题入手展开教学.例7 若圆1O 的方程为()41)1(22=+++y x ，圆2O 的方程为()12)3(22=-+-y x ，则方程()1)2()3(41)1(2222--+-=-+++y x y x 表示的轨迹是（ ）DA ． 经过1O 、2O 的直线B ． 线段21O O 的中垂线C ． 两圆公共弦所在的直线D ． 一条直线且过该直线上点到两圆的切线长相等在本题部分学生没有考虑到两圆方程相减求得公共弦直线方程的前提条件必须是两圆相交，由此暴露出教师和学生平时解题时更重视解题方法的技巧性，而忽视了数学思维链条的完整性，即首先思考这个问题的存在性，对这个问题来讲就是“公共弦是否存在”.类似的问题其实屡见不鲜，比如：已知21,x x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x （k 为实数）的两个实数根，2221x x +的最大值是（ ）A ．19B ．18C ．550D ．不存在 这虽然是一个二次方程根与系数的关系问题，但究其根源与上例如出一辙，学生往往不假思索上来就用韦达定理，却忽视了韦达定理的适用条件，也就是方程首先要有两实根，即0≥∆. 再如：例8 已知双曲线的方程1222=-y x ，试问：是否存在被点)1,1(B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由.错解：设存在弦AC 被点)1,1(B 平分，其坐标为),(11y x A ，),(22y x C ，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x ))(())((221212121y y y y x x x x -+=-+⇒ 所以，22121=--=⇒x x y y k所以AC 所在的直线方程为)1(21-=-x y ，即.12-=x y在解析几何中，涉及直线与圆锥曲线相交于两点且与弦的中点有关的问题时，“点差法”采用设而不求的技巧可以实现数量之间的合理转化，使运算更加便捷，但必须判断满足条件的直线是否存在.对这类错误，学生经常归因为“忘了，没注意到”，至多能“深刻”到认为自己“思维不严谨，分析问题不全面”，而这些表面上看起来的“陷阱”、“坑”实际上揭示了学生对数学概念认识的模糊和对问题本质理解的不到位.（三）理解几何对象的几何特征，这是实现几何问题代数化的基础.解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题.思维的要点是：通过分析几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论. 在这个过程中，“培养几何直观能力是基本点”，“复习中，要能主动的去理解几何对象的本质特征，这是实现几何问题代数化的基础. 解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解. 解析几何审题的主要目的之一，就是要理解几何对象的几何属性，为准确的代数化打好基础.”要善于将代数式转化为几何对象，并主动地去理解几何对象的几何特征，这是实现几何问题代数化的基础.例9 点P 在2211620x y -=上，若19,PF =则2PF = 17例10（2010理数9）若直线y=x+b 与曲线3y =b 的取值围是A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，解得11b b =+=-因为是下半圆故可得1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以C 正确.例11 设(),P x y 1=上的点,()14,0F -,()24,0F ，则必有（ ）A （A ）1210PF PF +≤ （B ）1210PF PF +< （C ）1210PF PF +≥ （D ）1210PF PF +>例12（2010高考理科19）在平面直角坐标系xoy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.本题几何元素的几何特征是：动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±，点P 运动引起△PAB 与△PMN 的面积的变化，问是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等.问题的焦点是P 点.故有效的代数化方式是：设点00(,)P x y ,并以此建立直线AP 和BP 的方程，通过运算得出M,N 的左坐标，进而通过△PAB 与△PMN 的面积相等得出P 点的坐标.本题全面考查了学生用代数方法研究几何问题的意识和能力，对平面解析几何教学中准确把握学科的基本思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向. 本题方法很多，不同方法的区别源于对几何特征代数化的不同形式的选择，因此有必要引导学生对常见的几何特征代数化的形式做总结和梳理，使学生在数与形的相互转化过程中更有方向性和目的性.（四）在解析几何的复习中要注意对学生运算技能的训练，提高学生的运算求解能力和对运算的心理承受力.运算能力是最基础的能力.由于高三复习时间紧、任务重，部分教师和学生不重视运算能力的培养.一个问题，看一看知道怎样解就行了，这正是高三学生运算能力差的直接原因.其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生的考试成绩有着很重要的作用.因此，运算能力要进一步加强，学生要领悟运算的重要性和书写的规性，同时在运算中不断地反思解题过程的合理性、转化的等价性等.例13（2011高考理科19）已知椭圆22:14x G y +=. 过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.评析：本题主要考查椭圆基本性质，包括焦点，离心率，基本量的运算，直线和椭圆的位置关系，突出的是如何用代数方法来研究几何问题，在这个转化过程中考察对函数的相关知识，包括函数解析式如何建立，如何求函数的最值等等.应该说对理科学生分析问题和转化问题、代数变形、计算能力的要求较高.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(- 此时3||=AB当m =－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k mk x x +-=+=+ 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2 .3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=Y m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.例14（2011高考文科19）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为3().斜率为1的直线l 与椭圆G 交与,A B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -.（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ∆的面积.例15（2011高考全国课标卷20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，B 点在直线3-=y 上，M 点满足MB //OA，BA MB AB MA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ，（1） 求C 的方程；（2） P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.（四）注重分析能力的培养，提高思维的灵活性与深刻性 例16（轨迹问题）（1） (04)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线（2）(2006理科4)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （ ）A .一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支 （3）（2004 卷)如图，定点A 和B 都在平面α，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥，那么，动点C 在平面α的轨迹是( )A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点 （4） 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CD 的中点，点O 是侧面AA 1D 1D 的中心，若点P 在侧面BB 1C 1C 及其边界上运动，并且总是保持OP AM ⊥，则点P 的轨迹是要点： AM 为面AC 的线段，OP 为面AC 的斜线，依据三垂线定理，可将OP AM ⊥转化为OP 在面AC 的射影O ’P ’垂直的问题.所以，P 的轨迹是线段BB 1lABCα例17 （2011年高考理科14）曲线C 是平面与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则21PF F ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____________.②③本题考查了通过曲线方程如何来研究曲线的几何性质的基本方法，具有以下几个特点：（1）以动点轨迹问题为背景，考查考生对求动点轨迹问题一般方法的掌握情况，突出基础知识和基本方法的考查；（2）这道试题的背景来自于圆锥曲线的定义，由到平面两定点距离之和与两定点距离之差为常数的动点轨迹，会很自然地想到与两定点距离之积为常数的动点轨迹是什么？这无疑鼓励和倡导了学生在平时的学习中要善于思考，敢于提出新的问题，这种质疑精神正是学生发展所需要的；（3）解析几何的核心思想是如何用代数的方法来研究几何问题，其中由曲线的方程来研究曲线所具有几何性质的过程正是这种思想的集中体现，因此这一部分是最能体现学生对解析几何思想的认识和理解程度，突出核心思想方法的考查；（4）本题给出新的背景，考查考生在新情境中分析问题和解决问题的能力，体现了由“知识立意”向“能力立意”的转化.例18（2010海淀高三第一学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：① 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有两条；③ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条.其中所有真命题．．．的序号是 D A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④例19 （2009高考理科8）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”五、两点建议1.根据学生情况选题，难度不要太大，帮助学生树立解析几何可以学好的信心.可以想象，如果学生从进入高三复习以来从来没有独立地解对过一道解析几何解答题，那么我们是不可能指望他在高考中“创造奇迹”的.因此要特别注意例题的梯度，别让学生在茫茫题海中“望题兴叹”.2.题型教学要慎用.题型教学即使不能说是最没有效果的教学，至少也能说是最“短见”的教学，这种教学方式带来的效果充其量只能是表面的、有限的、短期的，它没有触到数学思维的本质的东西，是僵化的思维，是对学生理解数学问题、领会数学思维的限制和误导，剥夺了学生进行主动思考的权利，而把对问题的分析变成了和刻板记忆和简单的套题型.。