新高考数学考点29 抛物线及其性质考点分类讲义练习题附解析3

考点29 抛物线及其性质
1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 .
2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的实际问题 .
3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题
近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 1、求抛物线的标准方程以及其性质
2、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合
掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，掌握利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
1、【2020年北京卷】.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作
O F l P O P 于，则线段的垂直平分线（ ）．
PQ l Q FQ A. 经过点 B. 经过点 O P C. 平行于直线
D. 垂直于直线.
OP OP 2、【2020年全国1卷】.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y
轴
的距离为9，则p =（ ） A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
3、【2020年全国3卷】设为坐标原点，直线与抛物线C ：交于，两点，
O 2x =22(0)y px p =>D E 若，则的焦点坐标为（ ） OD OE ⊥C A. B. C. D.
1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
(1,0)(2,0)
4、【2020年山东卷】.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．
5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =
2231x y p
p
+
=A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
6、【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线
2
4y x =F l l 的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双22
221(0,0)x y a b a b
-=>>A B ||4||AB OF =O 曲线的离心率为
A B
C ．
D
27、【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于2
3
M ，N 两点，则= FM FN ⋅
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8、【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，
24y x =直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12
D ．10
9、【2017年高考全国II 理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交F :C 28y x =M C FM y
轴于点．若为的中点，则_______________．
N M FN FN =
题型一 抛物线的标准方程与性质
1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，
24y x =，A 为垂足.若直线AF 的斜率为
的面积为(
)
PA l ⊥PAF △A ．
B ．
C ．8
D ．
2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线22y px =0p >交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F
右侧的一点，若，，
||||3||NF EF MF ==MNE
S =△则（ ）
p =A ．1
B ．2
C ．3
D ．9
3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为
2:2C y px =()0p >F 且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若
F l C A B A D ，则以下结论正确的是（ ）
8AF =A ．
B ．
C ．
D ．
4p =DF FA =
2BD BF =4BF =4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的2:2C y px =(0)p >焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作交
的延长线于，作交线段于点QN PE ⊥EP N QM PF ⊥PF M
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
||||PE PF =||||PF QF =||||PN MF =||||PN KF =5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，P 24y x =P y M 点的坐标为，则的最小值是__________． A ()2,3PA PM +
6、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交
()2
20y px p =>抛物线于M ，N 两点，则p =_______，的最小值为______． 4
9
NF MF
-
题型二 抛物线与其它知识点的结合
1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，24y x =F x ()3,1M A 再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） B ABM ∆
A ．
B ．
C ．
D ．71
12
+9+83
12
9+
2、（北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）过曲线：的焦点
E 24y x =并垂直于轴的直线与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，
F x E A B A B M 2OM OA OB
λλ=+
，则（ ）
λ=A ．0
B ．3
C ．0或3
D ．
34
3、（北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末数学（文)试题）已知是抛物线
F 的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于
2
:2C y px =(0)p >C 22
22:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>
，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）
A B ABF ∆Γe =
A B C D 4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是E 24y x =l 40x y -+=P 直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛l P A B C A B 物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______. C PA PB M N PMN ∆
5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，
24y x =F A B 为线段的中点，则（ ）
M AB A ．以线段为直径的圆与直线相离 B ．以线段为直径的圆与轴相切 AB 3
2
x =-BM y C ．当时， D ．的最小值为4
2AF FB =
9
2
AB =
AB 6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与2:4C y x =F l F 抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ）
()11,P x y ()22,Q x y P l 1P A ．若，则 126x x +=8PQ =B ．以为直径的圆与准线相切 PQ l
C ．设，则
()0,1M 1PM PP +≥
D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
()0,1M C 7、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 2:8C y x =F l P l Q
是直线与的一个交点，若，则__________.
PF C 3PF QF =
||QF =
8、
（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是E 24y x =l 40x y -+=P 直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛l P A B C A B 物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______. C PA PB M N PMN ∆
解析附后
考点29 抛物线及其性质
1、【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，FQ ,F Q P PQ PF =，所以线段的垂直平分线经过点. FQ P 故选：B. 2、【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.
||122
A p AF x =+=1292p
=+6p =故选：C. 3、【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且， 2x =22(0)y px p =>,E D OD OE ⊥根据抛物线的对称性可以确定，所以，
4
DOx EOx π
∠=∠=
()2,2D 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为
，
44p =1p =1
(,0)2
故选：B. 4、【答案】
16
3
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F 坐标为， 24y x =(1,0)F
又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：
1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得， 231030x x -+=解法一：解得
121
,33
x x =
=
所以 12116|||||3|33
AB x x =-=-=解法二： 10036640∆=-=>设，则, 1122(,),(,)A x y B x y 12103
x x +=
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
,A B 1x =-,C D 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=
3
x x =+
故答案为：
163
5、【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆
的一个焦点，所以2
2(0)y px p =>(,0)2p
2231x y p p
+=，解得，故选D ．
23()2
p
p p -=8p =6、【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为， 24y x =l 1x =-双曲线的渐近线方程为， b
y x a
=±则有，
(1,),(1,b b A B a a ---∴，
，， 2b AB a =24b
a
=
2b a =∴
. c e a ===故选D. 7、【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为
的直线方程为， 23()2
23
y x =+与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又()22234y x y x ⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩
2680y y -+=()()1,2,4,4M N ，所以，
()1,0F ()()0,2,3,4FM FN ==
从而可以求得，故选D. 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=
8、【答案】A
【解析】设，直线的方程为，
11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-联立方程，得，∴， 214(1)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222
111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212
124k k +=同理直线与抛物线的交点满足， 2l 2
2342
2
24
k x x k ++=由抛物线定义可知 2112342124|||
|2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2
22
2
24
4k k ++=2212448k k ++≥，当且仅当（或）时，取等号． 816+=121k k =-=1-故选A ． 9、【答案】
6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点x F'MB l ⊥B
，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，
NA l ⊥A 2x =-||2,||4AN FF'=
=
在直角梯形中，中位线，
ANFF'||||
||32
AN FF'BM +=
=由抛物线的定义有：，结合题意，有， ||||3MF MB ==||||3MN MF ==故．
336FN FM NM =+=+=
题型一 抛物线的标准方程与性质 1、【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点为， 24y x =(1,0)F 设抛物线的准线与轴交点为，则，
24y x =x D 2DF
=又直线AF 的斜率为，所以，因此，； 60AFD ∠= 24AF DF ==60AFP ∠= 由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，
PA PF =PAF △4所以的面积为. PAF
△1
44sin 602
⨯⨯⨯= 故选：B.
2、【答案】C 【解析】
设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，，则
||||3||3NF EF MF a ===，，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为，
||||3NF EF a ==||MF a =,P Q 如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以， ||MP a =||3NQ a =MP NQ ||||
||||
PM RM QN RN =即
，解得，同理
，即，解得 ||3||4a RM a RM a
=+||2RM a =||||||||FT RF QN RN =||336FT a
a a
=，又，所以，，过M 作的垂线，垂足为G ，则 3||2FT a =
||FT p =32a p =2
3
a p =NQ
，所以
||MG ===1
||||2
MNE S EF MG =⋅=△
，解得，故. 132a ⨯⨯=2a =3
32p a ==故选：C. 3、【答案】ABC 【解析】如下图所示：
分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
A B C m E M
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线，
C m x P PF p =l 60 轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形， //AE x 60EAF ∴∠= AE AF =AEF ∆，则，，得，
60EFP AEF ∴∠=∠= 30PEF ∠= 228AF EF PF p ∴====4p =A 选项正确；
，又，为的中点，则，B 选项正确；
2AE EF PF == //PF AE F ∴AD DF FA = ，，（抛物线定义）
，C 选项正确； 60DAE ∴∠= 30ADE ∴∠= 22BD BM BF ∴==，，D 选项错误. 2BD BF = 118333
BF DF AF ∴===故选：ABC.
4、【答案】ABD
【解析】
由抛物线的定义，，A 正确；
PE PF =∵，是的平分线，∴，∴，B 正确；
//PN QF PQ FPN ∠FQP NPQ FPQ ∠=∠=||||PF QF =
若，由是外角平分线，，得，从而有，||||PN MF =PQ QN PE ⊥QM PF ⊥QM QN =PM PN =于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有
PM FM =QP QF =PFQ ∆60FPQ ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；
60FPE ∠=︒连接，由A 、B 知，又，是平行四边形，∴，显然EF PE QF =//PE QF EPQF EF PQ =，∴，D 正确．
EK QN =KF PN =
5、
1【解析】设抛物线的焦点是，
()1,0F 根据抛物线的定义可知
1PM PF =-，，
1PA PM PA PF ∴+=+-PA PF AF +≥ 当三点共线时，等号成立，
,,A P F 的最小值是， PA PM ∴+1AF -
，
AF ==
的最小值是.
PA PM ∴+1
16、【答案】
8p =13【解析】∵ 抛物线的焦点为F(4，0)，
()220y px p =>∴ ，
8p =
∴ 抛物线的方程为，
216y x =设直线的方程为，设，，
l 4x my =+()11,M x y ()22,N x
y
由得，
2164
y x x my ⎧=⎨=+⎩216640y my --=∴，，
1216y y m +=1264y y =-由抛物线的定义得
11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864
m y y m y y m y y ++=+++， 22216166412864m m m +=-++()()22161641
m m +=+14=∴， 49NF MF -11494NF NF
⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
419NF NF =+-1≥13=当且仅当
即时，等号成立， 49NF NF =6NF =故答案为：． 13
题型二 抛物线与其它知识点的结合
1、【答案】D
【解析】抛物线方程中：令可得，即， 1y =14x =1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为， ()1y k x =-与抛物线方程联立可得：，
()2222220k x k x k -++=据此可得：， 11,4A B B A
x x x x =∴==
且：， 254
A B AB x x p =++=将代入可得，故，
4x =24y x =4y =±()4,4B -故
MB ==故
△ABM 的周长为,
1253944MA AB BM ⎛
⎫++=-
+= ⎪⎝⎭本题选择D 选项.
2、【答案】C
【解析】由题中条件可得焦点为，即可求得：A (1，2)，B (1，-2)，
(1,0)F 设点M 坐标为(a ，b )，代入曲线方程可得，
24b a =由，得，
2OM OA OB λλ=+ (,)(,2)(2,4)(3,2)a b λλλλλλ=+-=-即，又因为，化简得，解得0或3. 32a b λλ
=⎧⎨=-⎩24b a =2412λλ=λ=故选：C.
3、【答案】D
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为：， ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2p x =-联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程， 2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩
解得，可得， 2pb y a =
±||pb AB a
=为等边三角形，可得，即有， ABF
∆pb p a
=
b a =则
c e a ====故选：D ．
4、【答案】 258
π
【解析】设三个切点分别为， 222
(,),(,),(,)444
a b c A a B b C c 若在点处的切线斜率存在，
A 设方程为与联立， 2
()4
a y a k x -=-24y x =得，，
222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=即， 222440,a k ak k a
-+=∴=所以切线方程为 ① PA 2
202
a x ay -+=若在点的切线斜率不存在，则，
A (0,0)A 切线方程为满足①方程，
0x =同理切线的方程分别为， ,PB MN 2
202
b x by -+=，联立方程， 2
202
c x cy -+=,PA PB ，解得，即 22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理，， ,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭
， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 设外接圆半径为，
PMN ∆R ，
||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-
11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=
∠=
1|||2PM PN ==
=， ||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R
---==
||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==时取等号，
0c =≥点在直线， P 40,4,8422
ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+
R =∴≥
==
≥=当且仅当或时等号成立，
1,6,0a b c =-==6,1,0a b c ==-=此时外接圆面积最小为
. PMN ∆258π故答案为:. 258
π5、【答案】ACD 【解析】对于选项A ，点到准线的距离为，于是以线段为直径的M 1x =-()1122AF BF AB +=AB 圆与直线一定相切，进而与直线一定相离： 1x =-32x =-
对于选项B ，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. AB 12
BM 对于选项C ，D ，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得
()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+，，，若设，则，于是2440y my --=124y y =-121=x x ()24,4A a a 211,4B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最小值为4；当可得， 21221424AB x x p a a
=++=++AB 2AF FB = 122y y =-
，所，. 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
212a =92AB =故选:ACD.
6、【答案】ABC
【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A 正确； 2p =122x x PQ ++=8PQ =对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得N PQ N l 1N Q l 1Q ,故B 正确； 111222PP QQ PF QF PQ NN ++===
对于选项C,因为,所以故C 正确； ()1,0F 1PM PP PM PF MF +=+≥=对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,
0x =1y =M 1y kx =+联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公214y kx y x
=+⎧⎨=⎩()222410k x k x +-+=0∆=1k =1y x =+共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；
故选：ABC
7、【答案】
83
【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M ，过Q 向准线，垂足是N ， l x l 作垂线∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，
2:8C y x =2,0F （）2x =-∵， 3PF QF = 2288,4,.3333
QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==
8、【答案】 258
π【解析】设三个切点分别为， 222
(,),(,),(,)444
a b c A a B b C c 若在点处的切线斜率存在，
A 设方程为与联立， 2
()4
a y a k x -=-24y x =得，， 222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=即， 222440,a k ak k a
-+=∴=所以切线方程为 ① PA 2
202
a x ay -+=若在点的切线斜率不存在，则，
A (0,0)A 切线方程为满足①方程，
0x =同理切线的方程分别为， ,PB MN 2
202
b x by -+=，联立方程， 2
202
c x cy -+=,PA PB ，解得，即 22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理，， ,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),4
2a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设外接圆半径为，
PMN ∆R ，
||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-
11||||sin ||||22
PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=
1|||2PM PN ==
=， ||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R
---==
||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==时取等号，
0c =≥点在直线， P 40,4,8422
ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+
R =∴≥
==
≥=当且仅当或时等号成立， 1,6,0a b c =-==6,1,0a b c ==-=此时外接圆面积最小为
. PMN ∆258π故答案为:. 258π。