浅谈线性方程组和矩阵方程

鞍山师范学院

数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告

课题名称：浅谈线性方程组和矩阵方程

学生姓名：田鸽

专业：数学与应用数学

班级：10级1班

学号：10号

指导教师：裴银淑

2013年12月24日

一、选题意义

1、理论意义：基于线性方程组和矩阵在线性代数以及在各个领域的广泛应用，再加上计算机和计算方法的普及发展,为矩阵的应用开辟了广阔的前景.通过矩阵来解线性方程组大大简化了计算过程,为解决许多数学问题提供了一种研究途径.研究该课题的意义是为了对矩阵在解线性方程组中的广泛应用有一个更深的了解与掌握.。求线性方程组的一般解则是所有学习线性代数的人们必须掌握的基本技能。通过矩阵可以使许多抽象的数学对象得到具体的表示，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使代数学的研究在一定程度上化复杂为简单，变抽象为具体，变散乱为整齐有序，矩阵是线性代数中不可或缺的处理工具，它在其它的数学理论中也有着重要的作用。

2、现实意义；大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型，，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等.另外由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。如量子化学（量子力学）是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，不可能掌握量子化学。而量子化学（和分子力学）的计算在今天的化学和新药的研发中是不可缺少的。而矩阵是一种非常常见的数学现象，例如学校课表、成绩

单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。

二、论文综述

1、国内外有关研究的综述:

(1)《九章算术》是中国古代一部重要的数学经典著作。其“方程术”解线性方程组的方法是世界上最早、最完整的线性方程组解法,涉及方程的矩阵表示和直除法消元。刘徽提出了比较系统的方程理论。在西方,线性方程组的研究是莱布尼茨在17世纪后期开始的。论述线性方程组解结构的早期研究,理清Cramer's Rule的发展脉络。麦克劳林与克莱姆都是从线性方程组的求解入手,用线性方程组的系数给出解的表达式。在贝祖、范德蒙、凯莱、格拉斯曼、史密斯和道奇森等数学家的努力下,线性方程组解结构理论从零散的知识发展为系统的理论体系的形成过程。凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解,格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解;史密斯和道奇森进一步研究线性方程组的解结构。

(2)根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。 1850年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1878年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价.1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的

概念. 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。

2 本人对以上综述的评价：

《九章算术》据史学家考证，是历史数学家共同铸造而成，对中国数学发展与传承有着不可磨灭的作用。它的出现标志着古代数学完整的体系。他的线性方程组解法以及矩阵概念的提出，为后世研究奠定了基础。

莱布尼兹对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。为后来的数学理论奠定了基础。

西尔维斯特同凯莱一起，发展了行列式理论，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础，并且也是矩阵的创立者，他们发布的用矩阵表示线性方程及线性方程组的解，使解线性方程组更加简单严谨。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。目前，矩阵己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。

三、论文提纲

前言:-------。

一、广义逆矩阵求解线性方程组

1线性方程的相容性、通解与广义{1}-逆

(1)减号广义逆或{1}-逆定义

(2)证明线性方程组AX=b有解的充要条件是AA¯b=b

2、相容性方程的极小范数解与广义{1、4}-逆

3、矛盾方程的最小二乘解与广义{1、3}-逆

4、矛盾方程组的极小范数最小二乘解与广义逆矩阵A+

二、用MATLB辅助计算求解线性方程

1、矩阵在MATLB中的实现

（1）调用函数solve来求解代数方程或代数方程组（2）通过矩阵除法来求解.

2、MATLB辅助计算求解线性方程组

(1)调用函数solve来求解线性方程组

(2)调用函数rref求解

(3)矩阵求解线性方程组

结论 -----。

四、预期的结果:---------。

五、参考文献

1.、王萼芳石生明.高等代数[M].高等教育出版社,第三版

2、金朝嵩符名培.线性代数[M].重庆大学出版社,第二版

3、王笃正。线性方程组与矩阵[M].出版日期1980年06月第1版