110第十章常微分方程概率论应运而生

对拉普拉斯的评价
拉普拉斯大学毕业后到处找不到职位，他就给 达朗贝尔写信并附上一篇论文。达朗贝尔由于 欣赏他的才华，复了一封充满热情的信，说： “你用不着别人介绍，你自己就是很好的推荐 书。” 革命后他任巴黎高等师范学校教授，还当过内 政部长、议会委员、议会大臣并被封为伯爵。 1814年又被路易十八封为侯爵和贵族。“---作 为一个政治上的机会主义者，在法国革命动荡 不安的日子里，无论那个党偶然得势，他都去 逢迎。”（伊夫斯：《数学史概论》，P327）
§1、常微分方程
所谓常微分方程（ 所谓常微分方程（ordinary differential equation），是指包括一个自变量和它的未知函数以 ），是指包括一个自变量和它的未知函数以 ）， 及未知函数的微商的等式。 及未知函数的微商的等式。 常微分方程几乎是同微积分同时发展起来的。 早在牛顿、莱布尼茨创立微积分之时，他们就已经接 触到常微分方程了。牛顿提出的“由含流数的方程求 流量之间的关系”实际上就是一个通过含有导数的方 程（常微分方程）来求原函数的问题。 “微分方程”的名称最早是由莱布尼茨提出的，他曾 尝试用现在的“求积分法”来解某些类型的一阶常微 分方程。
拉格朗日
拉格朗日是法国数学家、 力学家、天文学家， 1736年1月25日生于意 大利的都灵，祖父是法 国人，祖母是意大利人。 1813年4月10日卒于巴 黎。 拉格拉格朗日是一个治 学严谨的数学家，他写 作时很精心，写得很清 楚、很优美。
拉普拉斯---拿破仑的主考
1749年3月23日生于法国 的诺曼底，1827年3月5日卒 于巴黎。拉普拉斯的虚荣心， 使他不能充分肯定他对手的 工作，他利用了拉格朗日的 许多概念而不作声明；他创 造了许多新的数学方法，后 来发展成为数学的分支，但 是他在遇到数学问题时，解 决得比较随便，仅仅说： “容易看出---”，他仅仅把数 学问题当成副产品。当拿破 仑问拉普拉斯在《天体力学》 中为什么没有提到“上帝” 时，他非常直截了当地回答： ： 我不需要这种假设” “我不需要这种假设”。
2、19世纪中叶到现在—定性理论 阶段（1）
1841年刘维尔证明了黎卡提方程在一般 情况下没有初等函数解等于向人们宣告： 初等函数解等于向人们宣告 初等函数解等于向人们宣告： 从17世纪起人们所走过的那条寻求微分 世纪起人们所走过的那条寻求微分 方程初等解的道路，前途极为有限， 方程初等解的道路，前途极为有限，因 而迫使人们考虑一个新问题， 而迫使人们考虑一个新问题，即不解方 能否确定方程的解（即积分曲线） 程，能否确定方程的解（即积分曲线） 的性态，这就是所谓定性理论。 的性态，这就是所谓定性理论。
偏微分方程（3）
蒙日为偏微分方程的几何理论奠定了基础。他 不仅给非线性一阶方程引进几何解释，而且还 引进一个重要的新概念—特征曲线。对非线性 二阶方程，蒙日也引进了特征理论。 到了18世纪末叶，偏微分方程在引入了奇解、 通解、全积分、通积分、特积分等概念之后， 已经自成体系，成为一门独立的科学。
偏微分方程（4）
17世纪到19世纪中叶—求解阶段 （4）
拉普拉斯在微分方程上的重要贡献是从 行星运动入手研究微分方程组 研究微分方程组，后来， 研究微分方程组 他又创立了拉普拉斯变换 创立了拉普拉斯变换，这对解微分 创立了拉普拉斯变换 方程起了重大作用。 拉普拉斯与拉格朗日是巴黎师范学院的 同事，他们有经常的联系，但是他们的 个性与工作很不相同。
偏微分方程（2）
与现在的教科书相反，历史上的一阶偏微分方 程的研究是在二阶偏微分方程之后开始的。 达朗贝尔研究了常系数线性方程 拉哥朗日指出：解偏微分方程的技巧在于把它 解偏微分方程的技巧在于把它 们化为常微分方程。 们化为常微分方程。 拉哥朗日和欧拉还开创了一阶非线性方程的一 般理论研究，从而奠定了一阶偏微分方程 偏微分方程的理 偏微分方程 论基础。
19世纪中叶到现在—定性理论阶 段（2）
在庞加莱之后，挪威数学家班狄克生发展了庞 加莱的定性理论；俄国数学家李雅普诺夫于 1892年建立了稳定性理论；美国数学家伯克霍 夫于1927年建立了既在整个存在区域又在奇点 的邻近研究解的性质的理论。从而使定性理论 得到进一步发展。 属于定性理论的希尔伯特第16问题，自1900年 问世以来，一直是数学家们颇有兴趣的园地。
哥西和柯娃列芙斯卡娅
偏微分方程（5）
实际问题除要求定解问题的解存在唯一 外，还要求当定解条件有微小变化时， 当定解条件有微小变化时， 当定解条件有微小变化时 引起解的相应变化也是微小的， 引起解的相应变化也是微小的，即解连 续依赖于定解条件。 续依赖于定解条件。满足上述要求的定 解问题，称为适定的。偏微分方程中定 解问题，称为适定的 解条件的确定，常因方程的类型而异， 以保证定解问题的适定性。这一工作是 阿达玛1923年提出的，并使得二阶双曲 型方程的哥西问题得以完满解决。
17世纪到19世纪中叶—求解阶段 （7）
有了存在性与唯一性定理，一方面有力地推动 着人们对各种方程求解，另一方面促进人们探 索在什么情况下方程的解不存在或不唯一。奇 奇 解！ 1836-1837年斯图姆做了一些工作，1841 年刘维尔证明了黎卡提方程在一般情况下没有 初等函数解。但有超越函数解 超越函数解。例如由贝塞尔 初等函数解 超越函数解 方程所确定的贝塞尔函数便是一例。特别是庞 加莱和克莱因创立的自守函数，使微分方程的 可解范围大大扩充，成为特殊函数的丰富来源， 产生了微分方程的解析理论 微分方程的解析理论。 微分方程的解析理论
第十章
常微分方程、偏微分方程、 常微分方程、偏微分方程、 积分方程、 积分方程、概率论的应运而生
数学来源于实践
微积分学、线性代数来源于实践。在解 决实际问题的过程中又得到了发展。于 是常微分方程、偏微分方程、积分 常微分方程、偏微分方程、
方程、便应运而生。概率论的产生 方程、便应运而生。概率论的产生 特殊一些，但也来源于实践， 特殊一些，但也来源于实践，即使 不是生产实践。 不是生产实践。
庞加莱
1881年—1886年庞加莱连续发表了《由微分方 程所确定的积分曲线》的4篇文章，对积分曲 线的形态作环的概念，从而奠定了微分方 程定性理论的基础。 庞加莱是公认的19世纪末 世纪末20世纪初的领袖 “庞加莱是公认的 世纪末 世纪初的领袖 数学家， 数学家，是一位对数学及其应用具有全面知识 的雄观大局的大师。 的雄观大局的大师。他在数学和物理方面的业 绩是划时代的， 绩是划时代的，当时数学的几乎所有分支都可 溯源于他。 溯源于他。”
∫
到1888年，积分方程这个名词才出现在杜布尔. 雷蒙的著作中。
ϕ ( x ) dx τ −x 0
= F (τ )
积分方程(2)
1890年，皮卡采用化常微分方程的初值 问题为等价的积分方程的方法，证明了 解的存在唯一性定理。 解的存在唯一性定理 积分方程一般理论的第一个创立者是意 大利数学家伏尔泰拉；接着，1900年， 瑞典数学家弗雷德霍姆（E.L.Fredhold,18661897）研究了两类“弗雷德霍姆方程”。
偏微分方程（6）
19世纪到20世纪40年代，对偏微分方程 做出重要贡献的还有傅立叶（分离变量 法、傅立叶变换）、拉普拉斯（拉普拉 斯变换）、高斯（位势函数理论）、柯 朗（差分方法）、索伯列夫（泛函分析 方法）等。
§3、积分方程(1)
积分方程（ 积分方程（integral equation）是未知函数 ） 出现在积分号内的方程。 出现在积分号内的方程。虽然微分方程是与微 积分学几乎同时发展起来的，但积分方程却迟 至19世纪才得以发展。积分方程起源于物理问 题。第一个自觉地直接应用并解出积分方程的 人是阿贝尔。1826年，他在解决一个力学问题 时，得到一个含有未知函数ϕ (x) 的积分方程 τ
庞加莱
定性理论是法国数学家 庞加莱创立的。 庞加莱创立的。庞加莱 1854年4月29日生于法 国的南希，那里是数学 家荟萃之地。1912年7月 17日在巴黎逝世。1875 年，庞加莱毕业于工科 学院，1879年获巴黎大 学科学博士，以后他在 巴黎大学任数学和理学 院教授，直到去世。
庞加莱
庞加莱的研究领域十分广泛； 他不仅是微分方程定性理论的创立者， 也是拓扑学的奠基者，他关于三体问题 的研究，整整半世纪还没有人超过他。 他特别善于对问题做定性研究而不停留 在定量研究上；他从不停留在自己开创 的领域内，而是大踏步前进，后人曾说： “他是一个征服者，而不是殖民者。”
偏微分方程产生于数学物理问题，因此 像常微分方程一样，人们寻求的常是它 们适合某些附加条件的解。这些条件称 为定解条件 定解条件，这些条件给出了所考察物 定解条件 体的初始状况或所处的边界状况，并分 别称为初始条件和边界条件 初始条件和边界条件。 初始条件和边界条件 哥西—柯娃列芙斯卡娅定理，偏微分方 程古典理论中最重要的结果。
希尔伯特—数学史难得的通才
20世纪开始，对积分方 程做出突出贡献的是希 尔伯特。他是20世纪上 半叶世界上杰出的数学 家。1862年生于德国的 哥尼斯堡，1884年获哥 尼斯堡大学博士学位， 1895年始任哥廷根大学 教授，直到1943年去世。
17世纪到19世纪中叶—求解阶段 （3）
18世纪对微分方程做出卓越贡献的还有拉格朗 日（1736-1813）和拉普拉斯。 拉格朗日在微分方程上的突出贡献是：通过常 数变易法求变系数微分方程的特解；深入地研 究了奇解的性质，给出了由方程自身或由通解 求奇解的方法，并从几何观点出发，把奇解解 释为积分曲线的包络；他关于三体问题的研究 及一些精确结果丰富了微分方程的内容。
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17世纪到19世纪中叶—求解阶段 （2）
18世纪关于微分方程论最杰出的工作属 于欧拉。欧拉给出了有关全微分方程的 一系列理论，其中包括全微分方程的概 念、判别条件、通过积分因子将一个非 全微分方程化为全微分方程的方法。欧 拉还是微分方程近似解法 近似解法的创始人，--近似解法 1750年欧拉又给出了我们现在通用的微 分方程的级数解法。 级数解法。 级数解法