概率论公式总结38425
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论公式大全
3、事件的独立性和伯努利试验
（1）两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ，则称事件
A 、 B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的） 。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P ( A) > 0 ，则有
P ( B | A) =
P( AB) P( A) P( B ) = = P( B) P( A) P( A)
f ( x)dx = 1
X ~ B(n, p) 。
X | P( X = k ) q n , npq n −1 , C 2 p 2 q n − 2 ,Λ , C k p k q n − k ,Λ , p n n n
容易验证，满足离散型分布率的条件。 当 n = 1 时，P ( X = k ) = p q
，k = 0.1 ， 这就是 （0-1）
分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量 X 的分布律为
P ( x < X ≤ x + dx) ≈ f ( x)dx
它在连续型随机变量理论中所起的作用与 P ( X = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
P( X = k ) =
4° 5°
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取 各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
F ( x + 0) = F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P ( X = x) = F ( x) − F ( x − 0) 。
有 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 时也用分布列的形式给出：
密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
考研概率论与数理统计公式大全
考研概率论与数理统计公式大全一、概率论部分：1.概率公式：-事件的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的可能性，n(S)表示样本空间S中的样本个数。
-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
-非互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.条件概率公式：-事件A在事件B发生的条件下发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.乘法公式：-事件A、B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)=P(B)*P(A，B)。
4.全概率公式：-事件A可以由一系列互斥且构成样本空间的事件B1、B2、..、Bn发生的概率：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)=ΣP(A∩Bi)。
5.贝叶斯公式：-已知事件A发生的条件下事件B发生的概率：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)=P(A，B)*P(B)/P(A)。
6.重要的离散概率分布：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次成功的概率。
-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ为单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。
7.重要的连续概率分布：-均匀分布：f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。
-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
二、数理统计部分：1.基本概念：-总体：研究对象的全体。
-样本：从总体中抽取的一部分个体。
-参数：总体的特征数值。
-统计量：样本的特征数值。
2.基本统计量：- 样本均值：x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n，其中x1、x2、..、xn为样本数据，n为样本容量。
- 样本方差：s^2 = ((x1-x̄)^2 + (x2-x̄)^2 + ... + (xn-x̄)^2) / (n-1)。
(完整版)概率论公式总结
(完整版)概率论公式总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤ba dx x fb X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=k k k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。
概率公式总结
一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质2、散型随机变量3、续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布2、离散型二维随机变量条件分布3、连续型二维随机变量（X ，Y )的分布函数4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：密度函数：5、二维随机变量的条件分布四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：连续型随机变量：2、数学期望的性质(1)若XY相互独立则：3、方差：4、方差的性质(1) 若XY相互独立则：5、协方差：若XY相互独立则：6、相关系数：若XY相互独立则：即XY不相关7、协方差和相关系数的性质8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若对于任意有或2、大数定律：若相互独立且时，(1)若相互独立,且则：(2)若相互独立同分布，且则当时:3、中心极限定理（1）独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为的独立同分布时,当n充分大时有：(2)拉普拉斯定理：随机变量则对任意x有：(3)近似计算:六、数理统计1、总体和样本总体的分布函数样本的联合分布为2、统计量（1)样本平均值：(2）样本方差：(3)样本标准差：(4)样本阶原点距:（5）样本阶中心距：(6）次序统计量：设样本的观察值,将按照由小到大的次序重新排列，得到，记取值为的样本分量为，则称为样本的次序统计量。
为最小次序统计量；为最大次序统计量.3、三大抽样分布(1)分布：设随机变量相互独立，且都服从标准正态分布，则随机变量所服从的分布称为自由度为的分布,记为性质：①②设且相互独立，则(2)分布：设随机变量,且X与Y独立，则随机变量:所服从的分布称为自由度的的分布,记为性质：①②(3)分布：设随机变量，且与独立，则随机变量所服从的分布称为自由度的分布,记为性质：设，则七、参数估计1、参数估计(1）定义:用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率论公式总结
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
若事件 、 相互独立，且 ，则有
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
《概率论与数理统计》公式汇总(全)
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
（完整版）概率论基本公式
（完整版）概率论基本公式概率论与数理统计基本公式第⼀部分概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==--例：证明：成⽴。
得证。
成⽴，也即成⽴，也即（不发⽣，从⽽发⽣，则不发⽣，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-?-?-==-=-?--)).)Θ 2、对偶率：.----==B A B A B A B A ； 3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ?-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=?-=?==-+=?=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB ΘΘ⼜即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则⾃成⼀双为：！！（解：分堆法：每堆⾃成⼀双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为⽆条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐⼦，1号装有2红1⿊共3个球，2号装有3红1⿊4个球，3号装有2红2⿊4个球，某⼈随机从其中⼀罐，再从该罐中任取⼀个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第⼀个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是⼀个完备事件、、，由题知取得是红球。
概率论的公式大全
概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。
2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。
3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。
二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。
三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。
7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。
四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。
六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。
七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni ini iA A 11=== ni ini iA A 11===2．概率的定义及其计算:)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B ， 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A ， B ， 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i ni i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni iik k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k（2) 二项分布 ),(p n B 若P （ A ） = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ（3） Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 （1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F（2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3） 正态分布 N （μ ， σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0，1） — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x tex xt d 21)(22π7。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理一、概率论公式：1.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)和P(B)表示事件A和B的概率，P(B，A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3.全概率公式：P(A)=∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，B(i)表示互斥事件组，且它们的概率之和为14.贝叶斯公式：P(B(j)，A)=P(A，B(j))×P(B(j))/∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，P(B(j)，A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。
5.期望值公式：E(X)=∑[x×P(X=x)]其中，X为一个随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X等于x的概率。
6.方差公式：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示X的期望值。
二、数理统计公式：1.样本均值公式：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中，x1、x2、..、xn为样本中的观测值，n为样本容量。
2.样本方差公式（无偏估计）：样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式（无偏估计）：样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式：Z=(X-μ)/σ其中，X为一个正态随机变量，μ为其均值，σ为其标准差，Z为标准正态分布的变量。
5.正态分布的累积分布函数：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
6.样本之间的协方差公式：Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中，X、Y为两个随机变量，x(i)、y(i)为X、Y的观测值，X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值，n为样本容量。
概率论公式大全
2
2
2
45 .两个总体比率之差的区 间估计 :
大样本
n1 p1 , n1 (1
p1 ),
n2
p 2 , n 2 (1
p2)
5时 ,
p1 p2
Z
S
p1 p2
2
46 .两个总体比率之差的检 验统计量 :
Z
p1
p 2 p1
p2
p1
p
2
总体比率合并估计
:
p
n1 p1
n2
p2
C
n N
,0
x
r
28.正态概率密度函数 f ( x)
1
e
x 2
2 2
2
29.标准正态分布变换 Z x
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30 . X 的数学期望和标准差
:
E (X ) ,
有限总体时
X
N n N 1 n
无限总体时
X
n
31 .比例 P 的数学期望和标准差
:
ij
e ij
R 1C 1
当前您正浏览第二十六页，共三十三页。
52 . 检验 K 个均值的相等性
第ｊ个处理的样本均值
nj
X ij
:X j
i1
nj
,
第ｊ个处理的样本方差
n j
2
X ij X j
:
S
2 j
i1
nj1
,
k nj
X ij
k
总样本均值
: X t
j1 i1
nt 1
,nt n j
Xi
( X , Y ) S XY
X i X Yi Y n 1
概率论公式总结38425
律为 P（）＝pk，k=1，2，…，n， 量 ， 其 概 率 密 度 为
（要求绝对收敛)
f(x),
(要求绝对收敛）
Y=g(X）
Y=g(X）
方差
D(X）=E［X-E(X）]2，
标准差
，
（2） 期望 的性 质
（1） E（C）=C （2） E(CX)=CE（X) （3） E(X+Y）=E（X）+E(Y)，
X 的分布函数为
正态分布
, x<0。
设随机变量的密度函数为
记住积分公式
其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯 (Gauss）分布，记为。 具有如下性质： 1° 的图形是关于对称的; 2° 当时，为最大值； 若，则的分布函数为
是不可求积函数，其函数值,已编制成表可供查用. Φ（-x）＝1-Φ（x)且 Φ（0)＝。如果～,则 .
连续型
离散型与 连续型的 关系 边缘分布 离散型
对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={（X,Y)|a<x〈b,c<y<d｝ 有 则称为连续型随机向量;并称 f（x，y）为=（X,Y)的分布密度 或称为 X 和 Y 的联合分布密度.分布密度 f(x,y)具有下面两个 性质: （1） f（x，y）≥0； （2）
相关系数
对于随机变量 X 与 Y,如果 D（X）>0, D（Y)〉0，则称
为 X 与 Y 的相关系数，记作(有时可简记为）。
｜|≤1，当｜｜=1 时，称 X 与 Y 完全相关：完全相关
而当时,称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：①；②cov(X，Y） =0；③E(XY)=E(X）E(Y);④D（X+Y)=D（X)+D（Y)；⑤D（X—Y)=D（X） +D（Y)。
概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
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1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（ 1）一 维随 机变 量的 数字 特征
期望 期望就是平均值
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其
设 X 是连续型随
分 布 律 为 P( X xk ) ＝ pk ， 机变量，其概率密度为
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
连续型
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy, 则称 为连续型随机向
D
量；并称 f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合
分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
设随机变量 X 的分布律为
泊松分
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2，
k!
布
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为
X ~ () 或者 P( )。
P( X
k)
CMk
•
C
nk N M
,
k
0,1,2, l
超几何
CNn
l min(M , n)
分布
随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n,N,M 的 超 几 何 分 布 ， 记 为
k
D(X ) [x E(X )]2 f (x)dx
(X ) D(X ) ，
（ 2）期 望的 性质
（ 3）方 差的 性质
（1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X)
（3）
n
n
E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E( Ci X i ) Ci E( X i )
i 1
i 1
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
（5）
八大分
布
布
二项分
X ~ B(n, p) 。当 n 1时， P( X k) p k q1k ，k 0.1，这
就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发 生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（2）
f (x, y)dxdy 1.
P(X x，Y y) P(x X x dx，y Y y dy) f (x，y)dxdy
离散型
X 的边缘分布为
Pi• P(X xi ) pij (i, j 1,2,) ；
j
Y 的边缘分布为
P• j P(Y y j ) pij (i, j 1,2,) 。
i
X 的边缘分布密度为
连续型
f X (x)
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
fY ( y) f (x, y)dx.
离散型 pij pi• p• j
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正
概率密度区间为矩形
随机变 量的函数
若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和 g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。
函数为：
Z=max, min(X1,X2,…
Fmax(x) Fx1 (x) • Fx2 (x) Fxn (x)
Xn)
Fmin (x) 1 [1 Fx1 (x)] • [1 Fx2 (x)][1 Fxn (x)]
设 n 个随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立，且服从标准正
态分布，可以证明它们的平方和
例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。
根据定义计算： FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
Z=X+Y
态分布的和仍为正态分布（ 1
2
,
2 1
2 2
）。
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
Cii ， 2
C
i2
2 i
i
i
函数分 布
若 X1, X2 Xn 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 Fx1 (x)，Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
与 连 续 理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
型随机
变量的
关系
设 X 为随机0-变1 分量布， x 是任意P(实X=数1)，=p则, P函(X数=0F)=(qx) P( X x) 称为随机变量 X 的分布 函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C）
全概公 式
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
贝叶斯 公式
第 1 章 随机事件及其概率
加法公 式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公 式
P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
n
W
X
2 i
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的
2
分布
i 1
记为
W～
2 分
布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量
分布中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
k
Z Yi ~ 2 (n1 n2 nk ). i 1
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
超几何分布
H (n, M , N)
均匀分布
U (a,b) 指数分布 e()
正态分布
N(, 2 )
1 p
nM N
ab 2
1
2分布
n
t 分布
0
期望
n
E( X ) xi pi• i 1
n
E(Y ) y j p• j j 1
率。
连续型
先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X) ≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
离散型 与连续型 的关系
边缘分 布
对于二维随机向量 (X,Y) ，如果存在非负函数 f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边
乘法公
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
式
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
t 分布
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), 可以证明函数 T X 我们称随机变 Y /n
量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～t(n)。 t1 (n) t (n)
设 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明
F 分布
F X / n1 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个 Y / n2
0
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N (, 2 ) 。
正态分 布
f (x) 具有如下性质： 1° f (x) 的图形是关于 x 对称的；
2° 当 x 时， f () 1 为最大值； 2
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i 1 ，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
连续
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，
均匀分 布
区间（ x1 , x2 ）内的概率为
f
(x)
1