2010年数学文科试题(课标1)真题精品解析

2010高考真题精品解析—文数（课标1）
【教师简评】2010年黑龙江、海南、宁夏、吉林高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2009年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

从考生角度来说，试卷总体相对基础。

有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。

1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2010年《考试说明》。

2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。

全卷结构、题型包括难
度基本稳定。

填空题比较平和。

不需要太繁的计算，考生感觉顺手。

许多试题源于课本，
略高于课本。

附加题部分，选做题对知识的考查单一，解决要求明确，学生容易入手。

3. 多题把关，有很好的区分度。

能有效区分不同能力层次的考生群体。

4. 深化能力立意。

知识与能力并重。

全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能
力。

许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。

关注联系，有效考查数学思想方法，如函数与方程思想，分类讨论思想等。

5. 加大数学应用题考查力度，体现“学数学，用数学的基本思想。

”
参考公式：
样本数据12, n x x x 的标准差 锥体体积公式
222121
()()()n s x x x x x x n ⎡⎤
=
-+-++-⎣⎦ =
13
V sh
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 2
3
34,4
S R V R ππ==
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B =
（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查集合的概念和基本运算中的交集问题。

【解析】}{}|22,0,1,2A x x B =-≤≤=∴ 选D
（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于
（A ）
865
（B ）865
-
（C ）
1665
（D ）1665
-
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查向量的运算及夹角公式
【解析】由题知()()16
4,3,5,12cos ,65||||
a b a b a b a b ⋅==-∴==
选C （3）已知复数2
3(13)
i z i +=-
，则i =
(A)
14
（B ）12
（C ）1 （D ）2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查复数的除法运算问题，以及复数模的含义
【解析】(
)
331||4
2
213i i Z Z i
+-=-
=-
∴=
+
选B
（4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查导数的几何意义的运用，求曲线的切线方程。

【解析】2
321y x k '=-∴= 切，由点斜式得切线方程为1y x =-选A
（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的
离心率为 （A ）6 （B ）5
（C ）
62
（D ）
52
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查双曲线方程的设法，及离心率的求法
【解析】由题双曲线为标准双曲线设为：2
2
221x y
a b
-=⇒淅近线为：b y x a =±又因点()
4,2-在淅近线上所以22
522
c a b a b e a
a
+=⇒=
=
=
选D
（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，
其初始位置为0p （2，2-），角速度为1，那么
点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查观察能力 【解析】由图知当0t =时2d =
，且开始时d 先减小再增加故选C
(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa
2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查长方体外接球半径的求法 【解析】因长方体的外接球球心为体角线的中点()
2
22
262
2
a a a a R R ++∴=⇒=
，所以
2
6S a π=球选B
（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于
（A ）
54
（B ）
45
（C ）65
（D ）5
6
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查程序框图的运用，重点是理解循环结构的表示的含义 【解析】由图知，当N=5时循环体共运行5次，因
()
11111
k k k
k =
-
++所以输出数为
11111115...1 (12)
56
2
2
3
5
6
6
++=-+-++-=
⨯⨯选D
(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查函数的奇偶性质的运用及不等式的解法
【解析】当0x <时，则0x ->，因()f x 为偶函数，()()2
4x
f x f x -∴=-=-。

故
解()0f x >得22x x <->或所以()202222f x x x ->⇔-<-->或故选B
（10）若sin a = -45
，a 是第一象限的角，则sin()4
a π
+
=
（A ）-7210
（B ）7210
（C ）2 -
10
（D ）
210
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查角的诱导公式，两角和的正弦公式 【解析】α 为第三象限3
sin 1cos sin sin sin 544ππαααα⎛
⎫∴=--=-
⇒+= ⎪⎝
⎭ 72cos cos
4
10
π
α+=-
选A
（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）
在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查线性规划的运用
【解析】因四边形为平行四边行，所以AC 中点与BD 中点重合，得点D 为()0,4-在平面直角坐标系内做出A B C D ，如图所示作直线:250l x y -=，平移直线l 到过点D 时z 最大为20，过点B 时z 最小为-14，又因直线过平行四边行内部的点所以选B
-1,2()
3,4()
4,-2()
04()
2x-5y=0
D
C
B
A
x
y
–1–2–312345678910111213
–132
1o
（12）已知函数f(x)=lg 1,010
16,0
2
x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，
则abc 的取值范围是
（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查数形结合思想来解求范围问题。

【解析】()f x 在()()()0,1,1,10,10,↑↑+∞↓且()1101,10f f ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
()()1120f f ==作草图如图所示，不妨设a b c <<， ()()()f a f b f c t
===则()10,10,12201t
t
a b c t t -===-<<
所以()12210,12abc t =-∈选C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个
试题考生都必须做答。

第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为-----------。

【答案】222=+y x ．
【命题意图】本题主要考查圆的标准方程的求法------待定系数法．
【解析】由已知，可设圆的方程为222r y x =+，因为圆与直线02=-+y x 相切，即圆
心到直线的距离等于r ，即21
1200=
+-+=r ．
（14）设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有
()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0
y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和
1, 2.....n
y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N
-。

再数出其中满足1()(1,2.....)
y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为
___________
【答案】
N
N 1．
N
N S 1=
．
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的
_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
【答案】①②③⑤．
【命题意图】本题主要考查三视图中的正视图与一个几何体之间的关系．
【解析】①②③⑤中的几何体，其正视图均有可能是三角形，而③④⑥三个几何体不管怎么放，其正视图均不可能是三角形，③④几何体的正视图是四边形，⑥这个几何体的正视图可以是矩形，也可能是个圆，就看几何体怎么放．
(16)在ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若
2AC AB =
,则BD=_____
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

【答案】
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本的通项公式以及前n 项和公式，第（1）问求数
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P A B C D -的底面为等腰梯形，AB ∥C D ,A C B D ⊥,垂足为H ，P H 是四棱锥的高。

{}
n
a
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD;
（Ⅱ）若6
AB=,APB AD B
∠=∠=60°,求四棱锥P A B C D
-的体积。

【答案】
(2)因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC⊥BD,AB=6.
所以HA=HB=3.
因为∠APB=∠ADR=600
所以PA=PB=6,HD=HC=1.
可得PH=3.
等腰梯形ABCD的面积为S=1
2
AC x BD = 2+3. ……..9分
所以四棱锥的体积为V=1
3
x（2+3）x3=
323
3
+
……..12分
【命题意图】本题主要考查立体几何中点线面位置关系及几何体体积的求法，以我们熟悉的
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：
【答案】解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为
7014%
500
=. ……4分
(2) 2
2
500(4027030160)
9.96720030070430
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从
（20）（本小题满分12分） 设1F ,2F 分别是椭圆E ：2
x +
22
y b
=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与
E 相交于A 、B 两点，且2A
F ，AB ，2B F 成等差数列。

（Ⅰ）求AB
（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。

【答案】
解：
（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB |+|B |=4 又2A B =A F F A B 224||||+|B |,||=3
得
（2）
即 21423x x =
|-| .
则
2
2
42
12122
2
2
2
84(1)4(12)8()49
(1)
11b b b
x x x x b b
b
--=+-=
-
=
+++
解得 22
b =
.
（21）本小题满分12分） 设函数()()21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=
12
，求()x f 的单调区间；
（Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围
【答案】
解：
（Ⅰ）12
a =
时，2
1()(1)2
x f x x e x
=--
，'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。

当
(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >。

故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）()(1)a f x x x ax =--。

令()1a g x x ax =--，则'()x g x e a =-。

若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.
若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当
()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0.
综合得a 的取值范围为(],1-∞
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧
AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于
E 点，证明：
（Ⅰ）A C E ∠=B C D ∠。

（Ⅱ）2BC =BE x CD 。

【答案】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线1C ：{ {t 为参数}。

图2C ：{ {θ为参数} （Ⅰ）当a=
3
π
时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当a 变
化时， 求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【答案】解：
（I ）当3
π
α=
时，C 1的普通方程为3(1)y x =-，C 2的普通方程为221x y +=.
联立方程组
{
2
2
3(1),
1,
y x x x y =
-=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），13(,)2
2
-
（II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.
A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为
21sin 21
sin cos 2
x a
y a a ==-⎧⎨⎩ （a 为参数） P 点轨迹的普通方程为221
1()416
x y -+=
故P 点是圆心为1(,0)4
，半径为
14
的圆
【命题意图】本题是选做题中的第二题。

以求点坐标及轨迹方程的形式来主要考查参数方程，也是一道相对基础的题目。

通过学生们各自的擅长，进行选做，发挥同学们的各自的优势，
X=1+tcosa y=tsina
X=cos θ y=sin θ
一个公平竞争的平台。

【点评】本试题是选修部分的试题考查，试题难度不大，只要能够对某两块知识比
较熟悉点的话，还是很容易拿下的。

这也提示我们在以后的学习中，对于这部分试题要用心些。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()x ⎰=24x - + 1。

（Ⅰ）画出函数y=()x ⎰的图像：
（Ⅱ）若不等式()x ⎰≤ax 的解集非空，求n 的取值范围
【答案】
……5分 （Ⅱ）由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-时，函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点。

故不等式()x f ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为
()1
,2,2⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪⎝⎭。

答案
一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D
(6) C
(7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C
二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。

（13）x2+y2=2 (14)1N
(15)①②③⑤
N
(16)2+5
三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(2)因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC⊥BD,AB=6.
所以HA=HB=3.
因为∠APB=∠ADR=600
所以PA=PB=6,HD=HC=1.
可得PH=3.
等腰梯形ABCD 的面积为S=
12
AC x BD = 2+3. ……..9分
所以四棱锥的体积为V=1
3
x （2+3）x 3=
323
3
+ ……..12分
（19）解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为
7014%
500
=. ……4分
(2) 2
2
500(4027030160)
9.96720030070430
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分 （20）解：
（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB |+|B |=4 又2A B =A F F A B 224||||+|B |,||=3
得
（2）
即
21423x x =
|-| .
则
2
2
42
12122
2
2
2
84(1)4(12)8()49
(1)
11b b b
x x x x b b
b
--=+-=
-
=
+++
解得 22
b =.
（21）解： （Ⅰ）12
a =
时，2
1()(1)2
x f x x e x
=--
，'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。

当
(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >。

故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）()(1)a f x x x ax =--。

令()1a g x x ax =--，则'()x g x e a =-。

若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.
若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当
()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0.
综合得a 的取值范围为(],1-∞
（23）解： （I ）当3
π
α=
时，C 1的普通方程为3(1)y x =-，C 2的普通方程为221x y +=.
联立方程组
{
2
2
3(1),
1,
y x x x y =-=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），13(,)2
2
-
（II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.
A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为
21sin 21
sin cos 2
x a
y a a ==-⎧⎨⎩ （a 为参数） P 点轨迹的普通方程为221
1()416
x y -+=
故P 点是圆心为1(,0)4
，半径为
14
的圆。