1随机事件与事件间的关系与运算介绍
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注:(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法:
A B AB.
事件的关系与运算
8. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件,若其 满足:
完
随机事件
在随机试验中,人们除了关心试验的结果本身外,
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征,概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 , 它分三类:
随机事件
1. 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的 事件; 2. 必然事件:在每次试验中都必然发生的事件; 3. 不可能事件:在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如,在抛掷一枚骰子的试验中,我们也许会关
A : “点数为奇数”,B : “点数小于5”.
则 A B {1,2,3,4,5}; A B {1,3};
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时,
稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需 对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象
随机事件的关系与运算
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
目 录
前一页
后一页
退 出
后一页
退 出
5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
目 录
前一页
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容(互斥)
7) 对立事件 (逆事件)
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别!
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如,在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件;
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1:设 A, B, C 为三个随机事件,用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1)A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan(德摩根)定律:
随机事件及其运算
Ω 1={正面,反面}
E2:投掷一枚硬币两次,观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3:测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4:观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系:
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A=“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件,但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的,记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件:A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次,事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 : (1)A1 A2 A3 ;(2) A2 (4)A1 A2 A3 ;(3) A1 A2 A3 ;
(8)三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验;
结
2.随机事件;
两个特殊事件:必然事件,不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业: 习题一 2 ;3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件, 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组(或称事件的划分). 当n为2时,完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 (1)A,B,C构成完备事件组. (2)AB=Φ,即A,B互不相容,但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
1-1随机事件的关系与运算
E6: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况; 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况;
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH,HTT,THT,TTH, TTT } , , ,
E7: 将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
B= A
请注意互不相容与对立事件的区别! 请注意互不相容与对立事件的区别!
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件Biblioteka 概率例如, 例如,在S4 中 产品是次品” 事件 A={t|t<1000} 表示 “产品是次品” < 产品是合格品” 事件 B={t|t ≥ 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t≥1500} 表示“产品是一级品” ≥ 表示“产品是一级品” 则 A与 B 是互为对立事件; 与 是互为对立事件; A与 C 是互不相容事件; 与 是互不相容事件;
经济、科技、教育、 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 军事等方面已得到广泛应用。 在生活当中,经常会接触到一 现象: 在生活当中,经常会接触到一些现象: 确定性现象:在一定条件下必然发生的现象。 确定性现象:在一定条件下必然发生的现象。 随机现象:在个别实验中其结果呈现出不确定性 随机现象:在个别实验中其结果呈现出不确定性; 不确定性; 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 统计规律性的现象 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科,是重要的一个数学分支。 性的一门学科,是重要的一个数学分支。
简述随机事件之间的关系。
简述随机事件之间的关系随机事件之间的关系可以通过概率论中的概念来描述。
在概率论中,随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的结果。
这些事件之间的关系可以从以下几个方面来理解:1. 独立性:如果两个随机事件A和B的发生互不影响,即A的发生不影响B的发生,B的发生也不影响A的发生,那么我们称A和B是独立的。
数学上,如果P(A)和P(B)是事件A和B的概率,且P(A ∩ B) = P(A)P(B),则A和B是独立的。
2. 条件概率:在给定一个事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为A 在B发生的条件下的条件概率,记为P(A|B)。
条件概率反映了在一定的背景下,事件A发生的可能性。
3. 互斥性:如果两个事件A和B不能同时发生,即它们没有共同的样本点,那么我们称A和B是互斥的。
互斥事件的关系可以通过概率加法公式来描述,即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 包含关系:如果一个事件A的发生必然导致事件B的发生,那么我们称B是A的子事件,或者说A包含B。
这种关系可以用来描述事件之间的层次结构。
5. 并事件和交事件:事件的并是指两个或多个事件中至少有一个发生的情况,而事件的交是指两个或多个事件同时发生的情况。
并事件的概率不小于任何参与事件的概率,而交事件的概率小于等于任何参与事件的概率。
6. 对立事件:如果两个事件A和B互斥且并事件的概率为1,即P(A ∪ B) = 1,那么A和B是对立事件。
对立事件的概率和为1,即P(A) + P(B) = 1。
这些关系帮助我们理解和分析随机事件之间的相互作用,并在实际应用中如统计学、概率论、随机过程等领域中有着重要的应用。
通过这些关系的运用,我们可以更好地预测和理解随机现象。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律: A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件, 且 P(B)>0, 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然, 当 P(A)>0 时,P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p): 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量, 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质: (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质: (4) 设 x 为 f(x)的连续点,则 F’(x)存在,且 (1) pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) (2) pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时,首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值,然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中,有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率, 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布,其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布: xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1,且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b,即[a,b] [c,d],则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系(包含,相等,互不相容,对立)(1)包含关系:若事件,A B 满足A B⊂,则称事件B 包含事件A ,用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .(2)相等关系:若A B ⊂,且A B ⊂,即B A =,则称事件A 与事件B 相等(或等价),为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.(3)互不相容关系,也称互斥关系:对于事件A 、B ,如果不可能同时发生,则A 、B 称为互不相容事件,此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.(4)对立关系:如果两个事件A 、B 中,=B “A 不发生”,则A 、B 称为具有对立关系(或互逆关系),又称B 为A 的对立事件,记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算(和,积,差,交换律,结合律,分配律,结合律,对偶律)(1)事件的和:事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件,记为A B 或A B +,即{}|A B x x A x B =∈∈ 或,如图所示的阴影部分.显然,当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时,事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件,即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
(2)事件的积(或交):事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积(或交)事件,事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件,即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
(3)事件的差:事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件,记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
随机事件
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件. 的随机事件, 简称事件. 中某个样本点出现时, 当且仅当子集A中某个样本点出现时,称 发生. 事件A发生.
特别地: 特别地: 基本事件
由一个样本点组成的单点集
实例 “出现1点”, “出现 点”, … , “出现 点”. 出现 点 出现2点 出现6点 出现 出现 随机试验中必然发生的事件. 必然事件 随机试验中必然发生的事件. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 点数不大于 就是必然事件 随机试验中不可能发生的事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件 点数大于6” 就是不可能事件. 实例 上述试验中 “点数大于 就是不可能事件
A I ∅ = ∅.
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥 互斥) 互斥 不出现, 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 B 不出现,即 与 不能同时出现 不能同时出现, 出现也必然导致 A不出现 即A与B不能同时出现, 不出现 互不相容或互斥, 则称事件 A与B互不相容或互斥 即 与 互不相容或互斥
事件B 事件B的和事件 .
A和B至少有一个发生 ⇔ AU B发生
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU B A S
或 A1 A2 A3 A4 ;
( 3) A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 ;
(4) A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件,其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中,我们需要对其进行运算,以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度,对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件,其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括:样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合,记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集,即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件,记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件,记作∅。
随机事件具有以下性质:1. 互斥性:若两个事件A和B之间没有公共结果,则称它们互斥。
2. 相对补集:若事件A的发生导致事件B的不发生,则称事件A是事件B的补事件,记作A的补集,即A^c。
3. 包含关系:若事件A的发生导致事件B的发生,则称事件A包含事件B,记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中,我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作,用符号“∪”表示。
即:A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质:(1)交换律:A∪B=B∪A。
(2)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
(3)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作,用符号“∩”表示。
即:A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质:(1)交换律:A∩B=B∩A。
(2)结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件,用符号“-”表示。
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的, 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生,
集合A包含于集 合B:若对 A, 总有B, 则称集合A包含 于集合B,记成 AB。
4、称最大的子集(样本空间本身)为必然事件,
称最小的子集(空集)为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示,也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义:用来表示随机现象结果的变量称为随机变量, 用大写字母 X,Y,Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 , 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差: 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系?
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 , 直 到 打 中 为 止 , 令 i i= 射 击 次 数 ,
则
U 1 ,,, 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 , U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 , 上 任 取 一 数 , 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
有关随机事件关系和运算的例析
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念,是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中,我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算,以求得更为准确的结果。
下面,我们将通过一些例子,来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时,我们可以表示为 AB。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数是2。
显然,事件B包含在事件A中,即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时,我们可以表示为A=B。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然,事件A和事件B所包含的样本点完全相同,即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时,我们可以表示为A∩B=。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数是奇数。
显然,事件A和事件B所包含的样本点没有交集,即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时,我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数大于3。
显然,事件A和事件B的发生与否互不影响,即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时,我们可以表示为 A∪B。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数是3。
显然,事件A和事件B中至少有一个发生,即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时,我们可以表示为 A∩B。
例如:在掷一枚骰子的实验中,事件A表示掷出的点数是偶数,事件B表示掷出的点数是4。
显然,事件A和事件B同时发生,即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时,我们可以表示为 A'。
概率论与统计1-2 事件的关系和运算
AB = ∅
A发生则 发生则 B必发生 必发生
集合论
A是B的 是 的 子集 A与B相等 与 相等
Venn图 Venn图
A⊂ B 且B ⊂ A
事件A与 不 与 不 事件 与B不 A与B不 能同时发生 相交 A的余集 A的对立事件 ① A U A = Ω ② AA = ∅
A
A
包含关系 出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 则称 事件 B 包含事件 A, 记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 长度不合格” 格”“产品不合格” “长度不合格”. 所以“ 包含“ 所以 产品不合格” 包含 长度不合格” 图示 B 包含 A. A B
抛掷一枚骰子, 实例 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 . “骰子出现 点” 互斥 骰子出现1点 骰子出现 “骰子出现2点” 骰子出现 点
图示 A与B互斥 与 互斥 A B
Ω
可将A∪ 记为 直和” 记为“ 说明 当A∩B= ∅时,可将 ∪B记为“直和”形式 ∩ 可将 A+B. 任意事件A与不可能事件 为互斥. 与不可能事件∅ 任意事件 与不可能事件∅为互斥
“二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 至少发生一个” 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A U B,显然 A U B = {e | e ∈ A或e ∈ B }.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU BA
( 3 ) A, B, C中恰有两个发生 .
随机事件及其运算
随机事件及其运算
例7
解
(1)A1 A2 A3 :只击中第一枪 ; (2)A1 A2 A3 :至少击中一枪 ; (3)A1A2 A3 :三枪都击中; (4)A1A2 A1A3 A2 A3 :至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果,我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如,有 1000张彩票,其中有2张一等奖,现有1000人各取一张,则每个人得到一等奖的机会有多大? 又如, 100件产品中有90件合格品,10件次品,从中任取2件,则恰好有1件次品的机会有多大? 对于这类 随机事件,我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示,记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内},事件B={点落在大圆内},如图9-1所示.显然, 若所投掷的点落在小圆内,则该点必落在大圆内,也就是说,若事件A 发生, 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生,必然导致事件 B 发生,则称事件 B 包含事件 A ,记作A B . 若 A B且B A ,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征:(1)基本事件总数有限;(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中,若基本事件总数为n ,事件A包含的基本事件数为m ,则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
3.1 随机事件及其运算
3. 1随机事件及其运算.教学要求本节要求学生掌握随机试验及随机事件的概念,能够熟练掌握事件之间的关系,并会运用事件运算的性质求解一些具体问题.知识点1.随机试验的概念2.随机事件的概念3.事件间的关系4.事件运算的性质3.1.1 随机试验的概念在客观世界中, 存在着两类不同的现象.1.确定性现象: 在一定的条件下, 必然要出现某一种结果的现象. 我们前面所学的微积分﹑线性代数等都是用来研究客观世界中的“确定性现象”的数量规律及其存在形式的.例如, 在标准大气压下, 水加热到100℃, 必然沸腾等都是确定性现象.2.随机性现象: 在一定的条件下, 可能结果不止一个而事先无法确定的现象,例如,抛一枚硬币, 其结果可能是正面向上, 也有可能反面向上, 每次抛掷之前无法确定其结果是什么;一袋中装有红﹑白两种颜色的球, 从袋中任取一球, 其颜色有可能是红色的, 也有可能是白色的, 在每次取球之前无法确定其颜色;这些都是随机性现象. 概率统计就是研究随机现象数学规律的一个数学分支.随机现象广泛地存在于客观世界的各个领域, 其内在规律一般可在相同条件下通过大量重复试验而获得.定义. 在概率统计中, 我们把对随机现象的一次观测称为一次随机试验, 简称为试验.概率论中所研究的试验具有如下特点:(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,并且事先能明确试验的所有可能结果;(3)每次试验之前不能确定该次试验将出现哪一种结果.一次试验结果的不确定性, 表现了随机现象的偶然性的一面, 而在大量重复试验的条件下, 显现出来的统计规律性, 表现了它的必然性一面, 这就是随机现象的二重性——偶然性和统计必然性之间的辨证关系. 随机现象的二重性充分说明, 随机现象是可以认识的. 研究随机现象是为了掌握随机现象的统计规律性.1813.1.2 随机事件的概念定义. 在随机试验中, 可能出现或可能不出现的结果称为随机事件, 简称为事件, 常用大写字母A、B、C等表示.定义. 在一定条件下, 必然发生的事件, 称为必然事件,记为Ω.定义. 在一定条件不, 必然不发生的事件, 称为不可能事件, 记为Φ.定义. 我们把随机试验的每一可能出现的直接结果即不可能再分解的事件称为基本事件, 记为ω.定义: 基本事件的全体所组成的集合称为基本事件组. 因此, 基本事件组作为一个事件, 它是必然事件, 仍记为 Ω.定义. 从几何意义看, 随机试验的每一个可能的结果叫做样本点, 样本点的全体称为样本空间, 故样本空间与基本事件组的关系是 1一 1对应关系, 记为:Ω={ω1,ω2,… ,ωn}样本空间(基本事件组)、基本事件、随机事件之间的关系见图:显然,事件就是样本空间的某种子集.例3.1.1抛一枚骰子的试验中E, 观察其出现点数.A1=“出现1点”, A2=“出现2点”, A3=“出现3点”, A4=“出现4点”, A5=“出现5点”, A6=“出现6点”都是基本事件;A7=“出现偶数点”, A8=“出现点数大于3点”等都是事件, 但不是基本事件;A9=“出现点数小于7”是必然事件,A10=“出现点数大于6”是不可能的事件, 在此试验中,Ω={ A1,,A2, A3,A4, A5, A6}.1821833.1.3事件间的关系事件既然是样本空间的某种子集, 所以事件的关系与运算应与集合的关系与运算完全对应.设随机试验E 的样本空间为Ω, 而A 、B 、A k ( k =1, 2, …)是E 的事件.(1)包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生, 则称事件B 包含事件A , 记为B ⊃ A 或A ⊂ B , 特别地规定: Φ⊂ A , 且A ⊂Ω.若A ⊂ B 且B ⊂ A ,则称事件A 与B 相等记为A = B .(2)事件的和(或并)事件A 与事件B 至少有一个发生所构成的事件称为事件A 与B 的和事件, 也称为事件的并, 记为A + B .一般地, 推广到n 个事件, 事件A 1,A 2,…,A n 中至少有一个发生所构成的事件称为A 1,A 2,…,A n 这n 个事件的和事件(或并), 记为:∑==+++ni in A A A A 121L.(3)事件的积(或交) 事件A 与事件B 同时发生所构成的事件称为事件A 与事件B 的积事件, 也称为事件的交, 记为AB .一般地, 推广到n 个事件, 事件A 1,A 2,…,A n 同时发生构成的事件称为A 1,A 2,…,A n 这n 个事件的积事件(或交),记为C L n i i n A A A A 121==.(4)事件的差184 若事件A 发生, 而事件B 不发生所构成的事件, 称为事件A 与事件B 的差, 记为A – B.(5)互不相容(互斥)事件 若事件A 与事件B 的积是不可能事件, 即A B =Φ, 则称A 与B 两事件互斥, 或称为互不相容事件。
1.1 随机事件及其运算
例如,在E1中
{1, 2, 3,4,5,6} 表示必然事件 ;
A {1, 3,5} B {1, 2, 3}
表示出现奇数点的事件;
表示出现点数小于 4 的事件;
C {2, 4, 6} 表示出现偶数点的事件 ; D {4,6}
表示出现大于2 的偶点事件 。
{出现7点}
表示不可能事件。
A
B A B ; A B A B. 和之逆即逆之积 ; 积之逆即逆之和
例1 电路如图所示。用A表示事件“信号灯点 亮”,用B,C,D 依次表示“继电器Ⅰ闭合” , “继电器Ⅱ闭合”,“继电器Ⅲ闭合” 。试给出 用 B,C,D 间的运算关系表示事件 A 的关系式。
AB
(C
D)
A BC
BD
ABC
ABC
6)A、B、C 中只有一个发生; ABC 8)A、B、C 中恰有两个发生. ABC
ABC ABC
ABC ABC
7)A、B、C 中不多于两个发生; ABC
ABC
集合的运算
一、补集与全集
定义: 一般地,设S是一个集合,A是S的一个 子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做S中子集A的补集,记作
概率论与数理统计
数学教研室
贺 丽 娟
一、概率论的诞生及应用
概率论与数理统计 是研究和揭
示随机现象统计规律性的数学学科。
1. 概率论的诞生——分赌本问题
甲、乙二人赌博,各出赌注30元,共60 元,每局甲、乙胜的机会均等,都是 1/2。约定:谁先胜满3局则他赢得全部 赌注60元,现已赌完3局,甲2胜1负,而 因故中断赌情,问这60元赌注该如何分 给2人,才算公平? 点
Ω
Ω
1_1随机事件
下页
2.和事件 事件A与B至少有一个发生,记作A∪B
2’ n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生,记作
下页
i 1
Ai
n
3.积事件 : A与B同时发生,记作 A∩B=AB
3’ n个事件A1, A2,…, An同时发生,记作 A1A2…An
下页
4.差事件 :A-B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生
下页
有关赌博的最早一个数学问题出现在1494年意大利修 士、数学家巴乔罗(Luca Pacciolo)的著作《算术,几何,比 例和比值要义》中.
应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本 .比如: s 3, a 2, b 1 就按2:1分配. 热衷于占星术和掷骰子的代数学家卡丹 (J.Cardan) 和 塔塔利亚(N.Tartanlia)指出巴乔罗的分法是错误的,认为巴 的分法没有考虑甲乙双方取得最终胜利还需要赢的局数 . 但是他们两人也没有给出正确的解法.
任课教师:
部 门:信息学院数学系 办公室:北校区文理大楼718室 E-mail:计
超纲内容 (不讲)
研究和揭示随机现象的 统计规律性的数学学科 在一定条件下必然发生的现象 向空中抛一物体必然落向地面; 水加热到100℃必然沸腾; 异性电荷相吸引; y f ( x) 放射性元素发生蜕变; ……… 随机现象 在试验或观察前无法预知出现什么结果 抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上; 向同一目标射击,各次弹着点都不相同; 某地区的日平均气温; 掷一颗骰子,可能出现的点数; ………
米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限 , 而作为公理 就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通常称为客观概率.
目前,绝大多数教科书都是采用柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
四
事件间的运算法则
1)幂等律: A A A,
AA A
2)交换律: A B B A, A B B A 3)结合律: 4)分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2:已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”,则
A 表示什么含义?
§1
随机事件的概率
练习:设 A, B, C 为三个随机事件,用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生,B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ,B , C 至少有一个发生.
A B C.
目 录
前一页
后一页
退 出
(5) A ,B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ,B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ,B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例:若A=“不大于7的整数”,B=“小于或者等于7 的整数”,则A=B。
目 录 前一页 后一页 退 出
3) 和(并)事件 :“事件A与B至少有一个发生”,称 为A与B的和事件,记为 例:某产品分为一,二,三,四 等品,其中一、二等品为合格品, 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1,2,3 ,4); B=“合格品”,C=“不合格品”, B A 则: B= A1+ A2 , C= A3+ A4
A B A B , A B A B
5) De Morgan律 :
目 录
前一页
后一页
退 出
例1:向指定的目标射三发子弹,若
Ai “第 i 发子弹击中目标” ( i 1, 2 ,3),
试用
A1 , A 2 , A 3
表示下列事件:
(1) 只击中第一发;(2)只击中一发;(3)三发都 没有击中;(4)至少击中一发 ;(5)最多击中一发 解: (1 ) A 1 A
S
注:同一个样本空间中的任意两个基本事件一定互不 相容的。
目 录
前一页
后一页
退 出
7) 相互对立(互逆、互补): 则称A和B相互对立(互逆、互 A 补),B叫做A的逆(补)事件, 记做: A, 即 A B 。 S 同样, B A 。 逆运算的性质:
(1) A A , A A S. A S-A. (2) A A , (3)A-B A B
§1.1 随机事件与事件间的关系与运算
一 随 机 事件
二 事件间的关系与运算
目 录
前一页
后一页
退 出
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系 如果事件A发生必导致事件B 发生,则称B包含A,或者说 A是B的子事件。记为:
A
B S
例:若A=“老王能活到85岁”,B=“老王能活到 80岁”,则A B (填 ) 2)相等关系
A B C AB C A BC A B C ABC AB C A BC
A B C.
(8) A ,B , C 至少有两个发生.
ABC AB C A BC ABC AB AC BC.
目 录 前一页 后一页 退 出
A
B
S
目 录
前一页
后一页
退 出Leabharlann 注:A B目 录
前一页
后一页
退 出
5) 差事件:“ A 发生同时 B 不发生”,
称为A与B的差事件,记为 A-B。 性质:A-B=A-AB
A A B
S
A
B S
目 录
前一页
后一页
退 出
6) 互不相容(互斥):若A和B不能够同时发生, 即 ,则称A和B互不相容。
A B
S
注: Ai 表 示 A1 , A 2 , , A n 的 和 事 件 , 即
i 1 A1 , A 2 , , A n 中
n
至少发生一个发生.
目 录 前一页 后一页 退 出
4) 积(交)事件: “事件A与B同时发生”,称为A与B的 乘积(交)事件,记为A•B ,或AB,或者 AB 。
例:某圆柱产品的直径与长度同 时合格才算是合格品。 若A=“直径合格” , B=“长度合 格” C=“合格品” 。则:C=A • B
请注意互不相容与对立事件的区别: 相互对立 互不相容
3
样本空间的一个划分
定义:若
A1 , A 2 , , A n
,
两两互斥,且 A1 A2 An S
则称A 1 , A 2 , , A n 构样本空间S的一个划分,或者 说 A 1 , A 2 , , A n 构成S的一个互斥事件的完备 组。 注:样本空间S中所有的基本事件一定可以构成一个S 的 一个划分。