离散数学历年考试证明题

1、试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．
证明：
设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )，
若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，
即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ． 因此T =S ．
2、试证明集合等式A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．
证明：设S = A ⋃ (B ⋂C )，T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
也即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．
因此T =S ．
3、试证明（∃x ）（P （x ）∧R （x ））⇒ （∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）．
证明：
（1）（∃x ）（P （x ）∧R （x ）） P （2）P （a ）∧R （a ） ES(1)
（3）P （a ） T(2)I （4）（∃x ）P （x ） EG(3)
（5）R （a ） T(2)I （6）（∃x ）R （x ） EG(5)
（7）（∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）T(5)(6)I
4、设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．
证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ． 设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ． 故得A=B ．
5、设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明G 与G 中的奇数度顶点个数相等(G 是G 的补图)．
证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数，因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数，所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等．
6．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加
2k 条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2
k 条边到图G 才能使其成为欧拉图． 7．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．
证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系．
∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ；
又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；
由元素a 的任意性，知R 是自反的．
所以，R 是等价关系．
8．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．
证明：.① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性； ②,,A y x ∈∀因为R ，S 是反对称的，
y x x y y x S x y S y x R x y R y x S x y R x y S y x R y x S R x y S R y x =⇔=∧=⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔⋂><∧⋂><),,(),,(),,(),,(,, 所以，R ⋂S 有反对称性．
③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的，
S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,
S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,,
S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,,
S R z x S z x R z x ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈⇒<,,,
所以，S R ⋂有传递性．
总之，R 是偏序关系．
9．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．
证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q
⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q
⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q )
⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )⇔⌝P ∧Q （吸收律）
⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）
10．试证明（∃x ）（P （x ）∧R （x ））⇒ （∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）．
证明：（1）（∃x ）（P （x ）∧R （x ））P
（2）P （a ）∧R （a ） ES(1) （3）P （a ） T(2)I
（4）（∃x ）P （x ） EG(3) （5）R （a ） T(2)I
（6）（∃x ）R （x ） EG(5) （7）（∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）T(5)(6)I
11．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
证明：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假设u 和v 不连通，即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与定理3.1.2的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．
12．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．
13．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加
2
k 条边才能使其成为欧拉图． 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．。