进制与位值原理

进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．
在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．
⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．
同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．
两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．
进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！
什么叫二进制
所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．
大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进
的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．
十进制与二进制的互相转化
今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．
为了叙述的方便，我们约定：用2（　）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（　）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．
二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，．那
经典精讲
第十一讲
进位制与位值原理
⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：
二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．
为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换：
n 进制数1
10()r r n a a a a -写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++．
十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：
3123434111313703452315035031201
余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．
⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为12
10r r r a a a a a --的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，
2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+．
这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：
一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；
二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．
⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．
［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为
例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是
37的二进制数.()()10237100101=.
例1
237218...129 (02)
4...122...021 0
...1
8
8888111...0813...781...50 (1)
同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：
()()1088881570=.
()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.
［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.
1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）
102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）
［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4
［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =
［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
()()()()543210210
43210
310
10100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.
［分析］（1）可转化成十进制来计算：
222101010102
(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22
(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；
例3
例2
（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．
原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+
8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；
（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：
32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．
［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法
()()()()()()222222100111111010101+=-=
［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二
当一”.
1001
1101011110110000
10101
+-
［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：
111101111
1011011011101101×101101101101
10011
1001110011
10101011100110011
得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）
［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化
()()216110010011011;= ()()16295A E =
［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.
那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,
=
()()2161011B =，因此()()2161100
100110119C B =.
第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,
A =
()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()1629510011010
01011110A E =.
［分析］利用尾数分析来解决这个问题：
由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．
例4
但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．
［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？
［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．
所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．
［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？
［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走
20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？
［分析］可用位值原理来进行计算.
()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.
()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.
［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.
164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得
1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.
［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；
29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．
于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．
因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．
所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．
于是，这个三位数在十进制中为248．
［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到
例5
大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？
［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．
而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．
那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．
［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，
于是64648888a b c a b c
=--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．
[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？
［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．
左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时
()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．
［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，2
2，
，9
2发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，
0000000010，
，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以
任意抽出：21010
11111023=（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，
，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．
［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？
［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为5
31322<=，所以用42，32，
22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4
216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．
［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中的39转化为2进制，应记为：2(100111)．
例6
所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有
523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．
［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？
［分析］称量1克，需要1克的砝码；
称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……
有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.
接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.
10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，，
()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个
()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克. 因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.
越玩越聪明： 超常挑战：
1. 把下面的二进制数改写成十进制数．
⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；
［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）
⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）
2. ①852567(((=== ） ） ）；
②在八进制中，1234456322--=________；
［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）
））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.
3. 计算：()()(
)222(1)1111101+=
()()(
)888(2)357521+=
［分析］()()()222111*********+=
家庭作业。