半导体光电子学第3章_平板介质光波导理论

2．偶阶TE模式的本征值方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E y(x, z,t) E y(x)exp j t z E y(x) Ae cos x Ao sin x
在 x < d/2 的有源区 内，偶阶TE模式为
(3.2 – l) (3.2 – 3)
E y(x, z,t) Ae cos (x)exp j t z
3.1 光波的电磁场理论
• 一、基本的电磁场理论
•
麦克斯韦方程组
B E t D H J t B 0
(3,1 －1a )
(3.1 - 1b ) (3.1 - 1c ) (3.1 - 1d )
D
• 设介质是均匀且各向同性的，且假设在低场强下不足以 产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在 的色散效应，而认为和与光波的频率无关。 (3.1 - 3a ) D E
0
(3.2 – 10)
为建立波导模式，光场在有源区外必须衰减．因此，波动方程
2 Ey x
2
2 n 2 k0 2 Ey 0


(3.2 – 2)
在有源区外(x > d/2)的指数解是实数而不是虚数，即
2 2 n 2k0 2 0 n 2k0 2
故在有源区外的电场分量为
(3.1 - 22)
(3.1 - 23)
• 由于式(3.1 – 22)和式(3.1 – 23)中不出现坐标x与y，因此与 z轴相垂直的某一平面内各点具有相同的位相。 • 等相位面为平面的光波称为平面光波。 • 将式(3.1 – 20)与式(3.1 – 22)比较，就可得出传播常数为

2

(3.1 - 24)
第三章 平板介质光波导理论
引言 3.1 光波的电磁场理论 3.2 光在平板介质波导中的传输特性
引言
• 从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式， 可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界 条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波 导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法， 就不难从数学上深入认识圆形光波导（如光纤）和其它形 状的光波导． • 分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解 麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式； • 传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（ TE ）和横磁 波 ( TM ) ； • 由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常 数。然后求出传输模的截止条件、相位延迟等与波导有关 的参数， • 分析平板介质波导的实际意义在于，许多半导体光电子器 件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异 质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的 光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传 播。
(3.2 – 12)
E y(x, z,t) Ae cos (d / 2 ) exp x d / 2exp j t z (3.2 – 11)
x / x j / A cos (d / 2 ) exp x d / 2exp jt z
X 2 Y 2 R2
d
d d tan 2 2 2
(3.2 – 16)
Y X tan X
(3.2 – 19)
根据式(3.2 – 18)和式(3.2 – 19) 作图，就可得到如图3.2 - 3所示 的图。 两个曲线的交点即为偶阶 TE 模 的本征值方程(3.2 – 15)的解
令：X
则
d
2
, Y
d
2
, R n n
2 2

2 12 1

k0 d 2
2

d d 2 2 k0 d n2 n1 2 2 2

2
2
(3.2 – 17) (3.2 – 18)
表示的是一个圆方程：
(3.1 - 12) (3.1 - 13)
(3.1 - 14)
• 最简单的情况是设光波的电矢量 沿y方向偏振、沿z方向传播的平 面电磁波，即有 • E = Ey、Ex = Ez = 0。
• Ey在z方向以角频率 = 2发生 周期变化， • 因为只在z方向有空间变化，故 有/ x = / y = 0 • 由式(3.1 – 13)可以得到以z和t作 为函数的Ey：
3.2 光在平板介质波导中的传输特性
• 一、平板介质波导的波分析方法 1 ．光在对称三层介质板波 导中传播 在 z = 0 处是半导体与空气 的界面， x = 0 处是有源层的中线。 设波导沿y方向是无穷的， 故有/y = 0 。 对于TE模，有Ez = 0
利用/y = 0 及 B H E 0 t t D E H J r 0 t t
表示为
2 2 n 2k0 2
的物理意义： Ey在x方向的传播常数． 将麦克斯韦方程组应用到厚 度为、长为dl的一个界面面 积元ds = dl内，就得到电场 或磁场的边界条件： E1l = E2l (3.2 – 5) H1l = H2l (3.2 – 6) 即电场和磁场的切向分量在 界面上必须是连续的
(3.2 – 12)
n k d tan 2 n22 k02
2

2 2 12 1 0 2 12

(3.2 – 15)
本征值是不能用显函数表示的未知量 为说明模式数目和截止条件等性质，将上式改写为
d
2 2 n22k0 2
d d tan 2 2 2
(3,1 －5a )
(3.1 - 5b )
可以得出：Hy = Ex = 0 因此，只有y方向电场存在 利用分离变量法对波动方程(3.1 – 13)求解，便可得到平板 介质波导的场模表示式为
E y(x, z,t) E y(x)exp j t z
其中Ey(x)及模传播常数满足
(3.2 – l)
B H J E
(3.1 - 3b ) (3.1 - 4)
在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认 为相对导磁率r = 1。同时，电磁波在时间上是交变的， 在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷大，因而可忽略 传导电流密度J 。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组 可简化为
• 故波动方程(3.1 – 13)的解为
E y(z,t) A exp jz B exp jz exp jt E y(z,t) A cost z
(3.1 - 19)
• 如果只取正z方向传播的波，则其三角函数的行波表达式为
(3.1 - 20)
• 将式(3.1 – 20)代入式(3.1 – 5b)可求出与Ey相垂直的磁场 分量Hx为 H z z, t r 0A cost z (3.1 - 21)
0 e
H x(x, z,t)
式中为衰减系数，与传播常数有如下关系；
(3.2 – 12)
2 2 n12k02
(3.2 – 13)
这种在垂直于结平面方向 x > d/2的区域内指数衰减的场称为 消失场，更确切地称为倏(shu, 极快地;疾速地)逝场 (evanescent)。 其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介 质吸收所引起的，而是由于在一定深度范围内进入限制层（折 射率为n1）的入射光能量完全反射回有源层中引起的，这在古 斯一亨森（ Goos - Honche 。）的实验中得到了证实，因此 消失场是一种平行于界面运动的均匀界面波。
E y(z,t) E y(z) exp jt
(3.1 - 15)
• 将式(3.1 – 15)代入式(3.1 – 13)得到
2Ey z 2
0 r 0 2 E y
(3.1 - 16)
令 2 0 r 0 2
2Ey z 2 2 E y
(3.1 - 17) (3.1 - 18)
(3.2 – 16)
(3.2 – 8)
2 2 n12k02
2
(3.2 – 13)
将式(3.2 – 8)和式(3.2 – 13)相加消除，得到

k0 d d d n n 2 2 2
2 2 2 1

2
2
(3.2 – 17)
在 x = d/2 处，利用 j (3.2 – 10) H x(x, z,t) Ae cos (x)exp j t z 0 H x(x, z,t) x / x j / 0 Ae cos (d / 2 ) exp x d / 2exp j t z 可以得出偶阶 TE 模的本征值方程；
2 2 2 2 2 2 2 x y z
(3.1 - 8) (3.1 - 9)
(3.1 - 10)
E和H的方程可以分别分解为三个独立的标量波动方程
2 Ex 2 E x 0 r 0 t 2 2 Ey 2 E y 0 r 0 2 t 2 E 2 Ez 0 r 0 2 z t
(3.2 – 7) 由 给出
2 2 n22k0 2 2 2 n 2k0 2
(3.2 – 4)
(3.2 – 8)
将
B H E 0 t t
(3,1 －5a )
应用到本情况中，即：波导沿y方向是无穷的， /y = 0；对于 TE模，有Ez = 0；及Hy = Ex = 0 可得到 E y H x (3.2 – 9) 0 x t 将 E y(x, z,t) Ae cos (x)exp j t z (3.2 – 7) 代入(3.2 – 9) j H x(x, z,t) Ae sin (x)exp j t z
B H E 0 t t D E H J r 0 t t H 0
(3,1 －5a ) (3.1 - 5b ) (3.1 - 5c ) (3.1 - 5d )
E 0
二、光学常数与电学常数之间的关系 2 E 2 E 0 r 0 2 t 2 H 2 H 0 r 0 2 t
• 根据波传播的概念，式(3.1 – 20)和式(3.1 – 21)还可分别表示为
z E y(z,t) A cos 2 t
z H z z, t r 0A cos 2 t
• 式中为光波波长，2(t – z/)称为位相。
2 Ey x
2
2 n 2 k0 2 Ey 0


(3.2 – 2)
2 Ey x
2
2 n 2 k0 2 Ey 0


(3.2 – 2)
(3.2 – 3) (3.2 – 4)
E y(x) Ae cos x Ao sin x 该方程的解为 式中Ae和Ao为常数
E y(x, z,t) Ae cos (d / 2 ) exp x d / 2exp j t z (3.2 – 11)
由
H x 0 x t H x(x, z,t)
0 e
E y
(3.2 – 9)
x / x j / A cos (d / 2 ) exp x d / 2exp jt z