绝对值不等式的解法PPT
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绝对值不等式(共12张PPT)

• 对于不等式 |ax+b|<c (c>0),乃基本不等式 的推广,应用整体思想,视ax+b为一个整体, 可迅速地将原不等式转化为-c<ax+b<c.
第2页,共12页。
• 例1 解不等式 |3x-4|≥x+2 • 解绝对值不等式,重在去绝对值符号,回绕
此来展开思路,不难产生如下想法. • 思考一:讨论3x-4的符号去绝对值符号; • 思考二:讨论x+2的符号; • 思考三:直接去绝对值符号. • 原不等式可化为 • 3x-4≤-(x+2) 或 3x-4≥x+2 • 解得 x≤1/2 或 x≥3.
• 解得 x<-2 或 x>3
• 因此 ∁U A={x | -2≤x≤3 }. • ∵ ∁U A∩B=B,∴ B ∁U A • 当c≤0时,B=,显然B是A的子集.
• 当c>0时,由 |x+1|<c 得 -c<x+1<c,故 -c-1<x<c-1.
∵AB,∴c--c-1≤1≥3 -2
解得 c≤1. ∴ 0<c≤1.
例 解关于x的不等式 a|x-1|>2+a
• 当a<0时,x∈R. 当c≤0时,B= ,显然B是A的子集.
观察:|x-3|-|x+1|<1的点应位于点的右侧,故不等式的解集为 {x | x>1/2}. 当a=1时,y=a,此时函数 y=(1-a)x-a=-1为常函数,
• 当a=0时,x∈R且x≠0。 1) 函数y=|x-3|-|x+1|的值域为____.
Ⅲ)
x>3 (x-3)-(x+1)<1
I)
的解集为空集;Ⅱ)的解为
1 2
<x≤3;Ⅲ)的解为 x>3
综上所述,原不等式的解集为{x | x>12 }. 另解: 注意到式子|x-3|-|x+1|表示数轴上坐标为x的一点到坐标 为3的点的距离与到坐标为-1的点的距离的差.
含绝对值的不等式解法PPT教学课件

所。
1
证明: a 0, b 0, c 0, d 0, bcd a
a b 2 a • b 2 a ,
bc
bc
c
c d 2 c • d 2 c ,
da
da
a
又
a c 2 a
c 2 4 a • c 2,
ca
ca
ca
由以上可得
a b
b c
c d
d a
2
a c
c a
4.
定理:| a | | b || a b || a | | b |
上表皮 下表皮
气孔 保卫细胞
填图练习
叶肉 叶脉
气孔
表皮 保卫细胞
叶片的结构:表皮、叶肉、叶脉。
表皮:无色透明,有利于光线的透入;外有角质 层,有保护作用;表皮上有保卫细胞、以及由保 卫细胞围成的空隙——气孔,气孔是气体进出的 门户。
叶肉:分栅栏组织和海绵组织。栅栏组织细胞呈 圆柱形,排列整齐,细胞含叶绿体较多。海绵组 织细胞形状不规则,排列比较疏松,细胞含叶绿 体较少。
用毛笔蘸出最薄的一片,制成临时切片
二、观察叶片的结构 叶片的结构示意图
叶脉
叶片的立体结构和平面结构
叶脉
对照图,认识叶片各部分的结构,看一看叶 肉细胞排列是否一样?内部绿色颗粒数目是 否一样?想一想绿色颗粒与光合作用有什么 关系?说出各部分结构适于光合作用的特点。
栅 栏 组 织
叶肉
海 绵 组 织 叶脉
叶脉:有导管和筛管。导管运输水分和无机盐, 筛管运输有机物。
极 细 光 束
黑暗中
1装片中好氧菌集中在被 光束照射到的部位附近。
光照下
2装片中好氧菌集中在叶 绿体所有受照射的部位。
《绝对值不等式解法》课件

结语和总结
总结绝对值不等式的重点和难点,强调解题技巧和应用能力的培养。
《绝对值不等式解法》PPT课
件
探索并掌握绝对值不等式,了解其定义、性质以及解法思路,加深对于绝对
值不等式的理解,并通过综合的应用和练习题提高解题能力。
绝对值不等式的定义和性质
•
了解绝对值不等式的数学定义
•
掌握绝对值函数的性质和图像特点
•
理解绝对值不等式的基本概念和意义
绝对值不等式的解法思路
1
分段法
3
练习训练
提供大量练习题,加深对基本解法的理解与应用。
绝对值不等式的特殊情况解法
绝对值取最小值情况
绝对值与真数相等情况
探讨绝对值取最小值时不等式的特殊性和解法方法。分析绝对值与真数相等时的解集和 Nhomakorabea法思路。
绝对值不等式的综合应用
实际问题应用
数学建模
学习方法与技巧
将绝对值不等式应用于实际问题
在数学建模中运用绝对值不等式
分享学习绝对值不等式的方法和
中,如商业决策和人力资源管理。
解决实际问题,并展示实例。
技巧,提高数学解题能力。
练习题和解析
基础题目练习
提供一系列基础的绝对值不等式题目,附有详细解析和思考过程。
挑战性题目
推出一些较难的绝对值不等式题目,帮助学生更深入掌握解题方法。
实战模拟题
模拟真实考试情景,提供综合性的绝对值不等式题目,以检验学生的综合解题能力。
将绝对值不等式拆分成多个简单的不等式,并找出每个不等式的解集。
2
正负号讨论
通过讨论绝对值内的表达式为正数或负数的情况,确定不等式的解集。
3
绝对值性质运用
绝对值不等式的解法课件

绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<-a}{x∈R|x≠0}
R
|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 1.|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c . 2.|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
(1)解不等式|x+2|>|x-1|; (2)解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解,也可以讨论去绝对值符号求解,还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解;(2)可以分类讨论求解,也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解,还可以左、右两边构建相应函数,画图象求解.
【自主解答】 (1)|x+2|>|x-1|,可化为(x+2)2-(x-1)2>0,即 6x+3>0,
由 5x-x2≤-6,即 x2-5x-6≥0,∴x≥6 或 x≤-1, 所以原不等式的解集为{x|x≤-1 或 2≤x≤3 或 x≥6}.
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
1.第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类 讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件).
2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动 向.解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<-a}{x∈R|x≠0}
R
|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 1.|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c . 2.|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
(1)解不等式|x+2|>|x-1|; (2)解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解,也可以讨论去绝对值符号求解,还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解;(2)可以分类讨论求解,也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解,还可以左、右两边构建相应函数,画图象求解.
【自主解答】 (1)|x+2|>|x-1|,可化为(x+2)2-(x-1)2>0,即 6x+3>0,
由 5x-x2≤-6,即 x2-5x-6≥0,∴x≥6 或 x≤-1, 所以原不等式的解集为{x|x≤-1 或 2≤x≤3 或 x≥6}.
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
1.第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类 讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件).
2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动 向.解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.
绝对值不等式的解法最全PPT

负性,进而去掉绝对值符号;
在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之, ③通过构成函数,利用函数的图象,体现了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函
数的单调性)是解题的关键.
(2)若不等体式f(x现)≤0的了解集分为{类x|x≤讨-1}论,求a思的值想. ,从中可以发现,以绝对值的“零点”
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
课前探究学习
课堂讲练互动
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x|6 .
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
x2
x
2
5x 5x
6 6
xx2 2 5 5xx 6 6 0 0 x12或 xx63
1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) .
xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
x 1 ,或 x 5 , 或 1 x 3 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 .
答 案 :[10,5) (1,2]
3 3 3 课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1
在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之, ③通过构成函数,利用函数的图象,体现了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函
数的单调性)是解题的关键.
(2)若不等体式f(x现)≤0的了解集分为{类x|x≤讨-1}论,求a思的值想. ,从中可以发现,以绝对值的“零点”
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
课前探究学习
课堂讲练互动
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x|6 .
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
x2
x
2
5x 5x
6 6
xx2 2 5 5xx 6 6 0 0 x12或 xx63
1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) .
xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
x 1 ,或 x 5 , 或 1 x 3 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 .
答 案 :[10,5) (1,2]
3 3 3 课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1
绝对值不等式的解法ppt

延伸:
含参问题:
例 1.对于任意x不等式 x 1 x 2 a 恒成立, 则实数a的取值范围_______. 2.不等式
x 4 x 3 a 的解集非空,则
实数a的取值范围是______
例6 解不等式:
(1) x 3 x 3 3
x (2) x 3 2 x 1 1 2
方法一:根据绝对值的定义分段讨论 可化为 2x+1<0 2x+1≥0 或
2x+1>3x-2 -2x-1>3x-2 2x+1>3x-2
方法二:根据公式|x|>a可化为 或 2x+1<-3x+2
方法三:根据不等式的性质可化为
3x-2≥0 或 |2x+1|²>(3x-2)²
3x-2<0 X R
例 解不等式:
x (3) x 3 2 x 1 1 2
(4)
x 1 7 1 x 1
3
原不等式的解集是不等式①②的交集 {x|1<x<2,或3<x<4}
1
2
3
4
小结
• 解题步骤: 转化去掉绝对值符号 分别解各个不等式(组) 求解集
解不等式
-5x+5| >1 1、 |x²
(2) x 1 4 2
类型二:|f(x)|>g(x)或|f(x)|﹤g(x )型
解不等式
|2x+1|>3x-2
(1) 3x 1 x 3
(2)(1 x)(1 x ) 0
(3) 2x 1 2 3x
类型三:
x a x b c和 x a x b c
绝对值不等式的解法ppt课件

x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时,即x 2时,
x 1 0时,即x 1时,
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时,即x 1
2、当x 2且x 1时, 2 x 1 3、当x 2且x 1时,x 2
2
1
4、当x 2且x 1时,x
13
14
15
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
7
8
9
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解:由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义,掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式: ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
0
(2) x 9 x 1
解:由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考:解这个不等式的关键是什么?
如何去掉绝对值符号?
方法1、几何意义
记x对应的点为P
绝对值不等式的解法公开课PPT课件

| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x)
小试身手:
(1)|x2-3|>2x
解集为{x|x<1或x>3}.
x (2) x 2
x x2
解集为{x| -2< x<0}
对于(2)中, “>”换成“≥”解集变化了吗?如何变化?
例4:解不等式:|x-5|+|x+3|≥10.
解法一:
即为原不等式的解集
优点:利于分析最值以及相应的x的取值
变式:1. |x-5|+|x+3|≥a恒成立,则a的范围____ 2.方程 |x-5|+|x+3|=2a-5有无数解,则a的值为___
例4:解不等式:|x-5|+|x+3|≥10.
解法三:由绝对值的几何意义可知,|x-5|+|x+3|表示数轴上
复习回顾:|x|的意义:
一个数的绝对值表示:
x X>0
与这个数对应的点到
|x|= 0 X=0
原点的距离,|x|≥0,|x|≥x
- x X<0
x2
B
O
|x1| =|OA|
几何意义
x1
A
X
|x2|=|OB|
|AB|=| x2 -x1 |
代数意义
易得:不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。去掉a>0,解集还能这样表示吗?
解集为 ( 10 , 5] [1, 2)
33
3
例3:解不等式| 5x-6 | < 6 – x
解: 由绝对值的意义,原不等式转化为:
6-x>0
(Ⅰ)或
-(6-x)<5x-6<(6-x)
6-x≤0
(Ⅱ)
无解
解(Ⅰ)得:0<x<2; (Ⅱ) 无解 综合得解集{x|0<x<2}
高中数学绝对值不等式的解法 PPT课件 图文

绝对值不等式的解法
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x-x1|
x
x1
3、函数y=|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
-x ,x<0
1
-1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索:不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
-1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数,那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min, ∵f(x)=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=5, 即f(x)min=5,∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值,由题意a>f(x)min, 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min,可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x-x1|
x
x1
3、函数y=|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
-x ,x<0
1
-1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索:不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
-1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数,那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min, ∵f(x)=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=5, 即f(x)min=5,∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值,由题意a>f(x)min, 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min,可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
1.2.2绝对值不等式的解法课件人教新课标2

x2-3x+2≥1,② 2x2+mx-1<0,③ 若同时满足①②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围.
解析:由|x+3|>2|x|解得-1<x<3,
x+2 由x2-3x+2≥1
解得
0≤x<1
或
2<x≤4,
∴0≤x<1 或 2<x<3.
由 2x2+mx-1<0
解得-m-4
m2+8<x<-m+4
m2+8
下图所示.
如果给定的不等式符合上述情势,就可以直接利用它 的结果来解.
思考1 |x|<1的解集为_{_x_|-__1_<__x.<1} 第二种类型:设a为正数.根据绝对值的意义,不 等式|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}.
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点 的集合,是两个开区间(-∞,-a),(a,+∞)的并集,
所以原不等式的解集为{x|x>3 或 x<-2} (2)|4x-1|+2≤10⇔|4x-1|≤10-2⇔|4x-1|≤8⇔-8≤4x-1≤8 ⇔-7≤4x≤9⇔-47≤x≤49. 所以原不等式的解集为x-74≤x≤94.
题型二 绝对值不等式的综合性问题
例 2 已知不等式|x+3|>2|x|,① x+2
,
满足①②的 x 值也满足③,
-m- m2+8
4
<0,
则有
-m+ m2+8
4
≥3.
∴m≤-137,即 m 的取值范围是-∞,-137.
变式 训练
2.x2-2|x|-15>0的解集是________.
解析:∵|x|2-2|x|-15>0, ∴|x|>5或|x|<-3(舍去). ∴x<-5或x>5. 故不等式的解集为{x|x<-5或x>5}. 答案:{x|x<-5或x>5}
解析:由|x+3|>2|x|解得-1<x<3,
x+2 由x2-3x+2≥1
解得
0≤x<1
或
2<x≤4,
∴0≤x<1 或 2<x<3.
由 2x2+mx-1<0
解得-m-4
m2+8<x<-m+4
m2+8
下图所示.
如果给定的不等式符合上述情势,就可以直接利用它 的结果来解.
思考1 |x|<1的解集为_{_x_|-__1_<__x.<1} 第二种类型:设a为正数.根据绝对值的意义,不 等式|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}.
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点 的集合,是两个开区间(-∞,-a),(a,+∞)的并集,
所以原不等式的解集为{x|x>3 或 x<-2} (2)|4x-1|+2≤10⇔|4x-1|≤10-2⇔|4x-1|≤8⇔-8≤4x-1≤8 ⇔-7≤4x≤9⇔-47≤x≤49. 所以原不等式的解集为x-74≤x≤94.
题型二 绝对值不等式的综合性问题
例 2 已知不等式|x+3|>2|x|,① x+2
,
满足①②的 x 值也满足③,
-m- m2+8
4
<0,
则有
-m+ m2+8
4
≥3.
∴m≤-137,即 m 的取值范围是-∞,-137.
变式 训练
2.x2-2|x|-15>0的解集是________.
解析:∵|x|2-2|x|-15>0, ∴|x|>5或|x|<-3(舍去). ∴x<-5或x>5. 故不等式的解集为{x|x<-5或x>5}. 答案:{x|x<-5或x>5}
绝对值不等式的解法 课件(人教版)

构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=- -21x,--31,<xx≤ <1-,1, 2x-3,x≥1.
作出函数的图象(如下图).
函数的零点是-32,32.
从图象可知,当 x≤-32或 x≥32时,y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为-∞,-32∪32,+∞.
所以-3<t<0. 综上所述,-3<t<1. 因为t=logax,所以-3<logax<1. 当0<a<1时,a<x<a-3, 当a>1时,a-3<x<a,
所以原不等式的解集为:
当0<a<1时,{x|a<x<a-3}; 当a>1时,{x|a-3<x<a}.
几何意义写出解集. 思考2 不等式|x|+|x+1|<2的解集是__x_-_23_<_x<__21 .
题型一 |x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c)型不 等式的解法
例1 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对
于形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数.
例2 解关于x的不等式|logaax2|<|logax|+2.
分析:换元求解,令 logax=t. 解析:原不ax,所以|2t+1|<|t|+2,
两边平方得:
4t2+4t+1<t2+4|t|+4⇒ 3t2+4t-4|t|-3<0. 当 t≥0 时,3t2-3<0⇒ t2<1⇒ -1<t<1, 所以 0≤t<1; 当 t<0 时,3t2+8t-3<0⇒ -3<t<1,
距离之和都大于 3. 33
∴原不等式的解集是-∞,-2∪2,+∞.
方法二 当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x
-1)≥3,
绝对值不等式的解法 课件

归纳升华 1.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不 等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法.分区间讨论法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图 象法直观,但只适用于数据较简单的情况. 2.几何法的关键是理解绝对值的几何意义.
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)=|x+ a |-|x - 1-a|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥12的解集; (2)若对任意a∈[0,1],不等式f(x)≥b的解集为空 集,求实数b的取值范围.
[规范解答]
(1)当a=1时,f(x)≥
1 2
等价于|x+1|-|x|
≥12.(1分)
①当x≤-1时,不等式化为-x-1+x≥12,无解;
②当-1<x<0时,不等式化为x+1+x≥12,
解得-14≤x<0;
③当x≥0时,不等式化为x+1-x≥12,解得x≥0. (3分) 综上所述,不等式f(x)≥1的解集为-14,+∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集,所以b> [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值.
法一:因为f(x)=|x+ a|-|x- 1-a|(0≤a≤1), 当x≤- a时,f(x)=-x- a+x- 1-a=- a- 1-a<0. 当- a<x< 1-a时,f(x)=x+ a+x- 1-a= 2x+ a- 1-a≤2 1-a+ a- 1-a= a+ 1-a. 当x≥ 1-a 时,f(x)=x+ a -x+ 1-a = a + 1-a. 所以[f(x)]max= a+ 1-a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.
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2.本节课学完了,你还有什么困惑?
怎么解不等式 x 2 1 x x 1 2 2
22
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义,掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式: ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
2
15
练习:解下列不等式
(3)2x 1 x 1 2
16
(3)2x 1 x 1 2
17
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
18
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
对应的点到原点的距离.
3
一、你能用哪些方法解下列方程
或不等式?
(1)│x│=2
(2)│x│<2
2 x 2
(3)│x│> 2
x 2或x 2
4
小结1 如果a>0,下列不等式的解集是
什么?
x a x a x a
x a x x a或x a
如果a≤0,上述结论还成立吗?
成立,所以a R
5x 6 6 x 0
解:由原不等式得 5x 6 6 x 得5x 6 6 x或5x 6 (6 x)
解得:x 0或x 2 x (,0) (2,)
9
x a x a x a
x a x x a或x a
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
7
解下列不等式. (1)3 2x 5 (2) 3x 4 1
解:由原不等式得
5 3 2x 5
得33
2x 2x
5 5
解得 1 x 4
x [1,4]
解:由原不等式得 3x 4 1或3x 4 1
解得x 1或x 5 3
x (, 5] [1,) 3
8
[拓展2]解下列不等式.
14
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法3:构造函数法
解:由原不等式
x 2 x 1 5 0
令f (x) x 2 x 1 5 即f (x) 0
y
2
1
2x 6, x 2 f (x) 2,2 x 1
2x 4, x 1
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
3 2 0 1 2 x
当x 2 0时,即x 2时, 当x 1 0时,即x 1时,
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时,即x 2时,
x 1 0时,即x 1时,
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时,即x 1
2、当x 2且x 1时, 2 x 1 3、当x 2且x 1时,x 2
5
问题拓展 (1)如果把|x|<2中的x换成“x-1”,
即|x-1|<2如何解?
(2)如果把|x|>2中的x换成“3x-1”, 即|3x-1|>2如何解?
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解:由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
0
(2) x 9 x 1
解:由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考:解这个不等式的关键是什么?
如何去掉绝对值符号?
方法1、几何意义
记x对应的点为P
A
B
2
1
x 2 PA , x 1 PB
当x 3或2时,PA PB 5
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
12
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法2 思考:|x+2|去绝对值符号之后,式子是怎样的?当满足什么条件时是 本身(相反数)?
19
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0存在实数解,求m的范围
20
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0,求m的范围
21
1.通过本节课的学习,你学到了什么? 知识、方法、思想.
2
1
4、当x 2且x 1时,x
13
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
2
1
解:当 (xx22)时 1
x
5得xx2解得x 33当x 221xx1时5得3
2
5
x
1解得x
当x x
1时 2 x
1
5得xx
1 解得x 2
2
综上:x (,3] [2,)
零点分段法
求出使绝对值里面的式子等于0的x的值,在数轴上标出并分区间,在各段判 断绝对值里面式子的符号,并去绝对值
怎么解不等式 x 2 1 x x 1 2 2
22
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义,掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式: ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
2
15
练习:解下列不等式
(3)2x 1 x 1 2
16
(3)2x 1 x 1 2
17
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
18
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
对应的点到原点的距离.
3
一、你能用哪些方法解下列方程
或不等式?
(1)│x│=2
(2)│x│<2
2 x 2
(3)│x│> 2
x 2或x 2
4
小结1 如果a>0,下列不等式的解集是
什么?
x a x a x a
x a x x a或x a
如果a≤0,上述结论还成立吗?
成立,所以a R
5x 6 6 x 0
解:由原不等式得 5x 6 6 x 得5x 6 6 x或5x 6 (6 x)
解得:x 0或x 2 x (,0) (2,)
9
x a x a x a
x a x x a或x a
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
7
解下列不等式. (1)3 2x 5 (2) 3x 4 1
解:由原不等式得
5 3 2x 5
得33
2x 2x
5 5
解得 1 x 4
x [1,4]
解:由原不等式得 3x 4 1或3x 4 1
解得x 1或x 5 3
x (, 5] [1,) 3
8
[拓展2]解下列不等式.
14
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法3:构造函数法
解:由原不等式
x 2 x 1 5 0
令f (x) x 2 x 1 5 即f (x) 0
y
2
1
2x 6, x 2 f (x) 2,2 x 1
2x 4, x 1
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
3 2 0 1 2 x
当x 2 0时,即x 2时, 当x 1 0时,即x 1时,
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时,即x 2时,
x 1 0时,即x 1时,
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时,即x 1
2、当x 2且x 1时, 2 x 1 3、当x 2且x 1时,x 2
5
问题拓展 (1)如果把|x|<2中的x换成“x-1”,
即|x-1|<2如何解?
(2)如果把|x|>2中的x换成“3x-1”, 即|3x-1|>2如何解?
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解:由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
0
(2) x 9 x 1
解:由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考:解这个不等式的关键是什么?
如何去掉绝对值符号?
方法1、几何意义
记x对应的点为P
A
B
2
1
x 2 PA , x 1 PB
当x 3或2时,PA PB 5
原不等式得解集是
x (,3] [2,)
12
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法2 思考:|x+2|去绝对值符号之后,式子是怎样的?当满足什么条件时是 本身(相反数)?
19
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0存在实数解,求m的范围
20
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0,求m的范围
21
1.通过本节课的学习,你学到了什么? 知识、方法、思想.
2
1
4、当x 2且x 1时,x
13
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
2
1
解:当 (xx22)时 1
x
5得xx2解得x 33当x 221xx1时5得3
2
5
x
1解得x
当x x
1时 2 x
1
5得xx
1 解得x 2
2
综上:x (,3] [2,)
零点分段法
求出使绝对值里面的式子等于0的x的值,在数轴上标出并分区间,在各段判 断绝对值里面式子的符号,并去绝对值