《根号2是有理数吗》教学课件

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数学探究1-根号2的由来ppt

解题思路:根据"两个互相否定的思想不能同真"可知:(2)、(4)不能同真，必有一假。假设(2)说真话，则(4)为假话，即张明修过桌凳。又根据题目条件:只有1人说的是真话:可推:(1)和(3)都是假话。由(1) 说的可推:桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中"四个人中只有一个人说的是真话"相矛盾。因此，开头假设不成立，所以，(2)李平说的为假话。由此可推(4)张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或 “百牛定理”，我国叫勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时不会这样表示的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
学派的一个叫希帕索斯的学生，在研究1和2 的比例中项
时（若1:x=x:2,那么x就叫1和2的比例中项），怎么也想不
出这个比例中项的值，后来，，他画一边长为1的正方形，
设对角线为x，则x的平方为2，那么x必定是确定的书。但

有理数-无理数-根号2-勾股定理

有理数-⽆理数-根号2-勾股定理数学史上毕达哥拉斯学派对整数有着近乎疯狂的迷信，认为世界上所有的东西都是整数或者有理数-两个整数的⽐，据说发现了勾股定理。

任何⼀个直⾓三⾓形ABCaC--------Bb | /| / cA三个点对应的三个边为a,b,c，则 a*a + b*b = c*c据说后来毕达哥拉斯的门徒发现，如果等腰直⾓三⾓形，既a=b=1的时候，这个c⼤概为1~1.5之间长度，就发现这个边长不能表⽰为有理数，是怎么想到的呢? 肯定不是拿尺⼦量的，是靠思辨和证明的⽅法，⽅法是这样的：由a=b=1 及a*a+b*b=c*c则 2 = c*c先假设c = Z / M, 就是先假设c是个有理数，分⼦为整数Z, 分母为整数M, 且Z和M互质，就是说他们是不能再化简的，⽐如2/6还能化简为1/3, 所以Z和M不能同时为偶数则 2 = (Z*Z) / (M*M)推得2*(M*M) = (Z*Z)所以(Z*Z) 为偶数，由于偶数的平⽅还是偶数，奇数的平⽅还是奇数,（奇数可表⽰为2n+1, 则 (2n+1)*(2n+1) = 4n*n+4n+1, 仍然是个奇数)所以Z是偶数，Z表⽰为2*n则 2*(M*M) = (2*n*2*n)推得M*M = 2*n*n则M为偶数得到推论Z和M同时为偶数，这和假设Z和M互质⽭盾，所以：两个短边为1的等腰直⾓三⾓形的最长边不是个有理数分式，后来据说毕达哥拉斯学派把发现这个的门徒扔到海⾥，然后发现了许多不是有理数的长度，这些数就被称为⽆理数，据说这类数是"没有理性的数"，根号是计算⼀个数的开平⽅操作，C语⾔中的函数为sqrt(double),现在我们知道了sqrt(2)是个⽆理数。

在希腊数学哲学欧洲数学历史和传统中，我们发现有别于中国的经验性思维的是他们的思辨，演绎，推理性思维，也就是所谓的理性，这些思想既科学的思考⽅法导致了西⽅数学和科学技术上的巨⼤发展。

根号2是有理学吗精选教学PPT课件

例4、在数轴上表示数-3，0 ，4, 3 2
并比较这些数的大小，用“<”号连接起来。
例5、 a, b, c 是有理数，试探究
abc
的
值是多少？
abc
1.下面说法中正确的是（）
A．“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量；
B．如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米；
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
例2 把下列各数填入相应的集合中：
正数集合{ 负数集合{ 整数集合{ 分数集合{ 有理数集合{
…}； …}； …}； …}； …}；
例题3、某检修队从A 地出发，在东西方向的公路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修队一天中行驶的距离记录如下（单位千米）：－４，＋７，－９，＋８，＋６，－５，－３。若检修队所乘的汽车每千米耗油 0.3升，问在收工时在A地的什么位置？从出发到收工时总共耗油多少升？
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨，而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影；也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚；也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。

人教版七年级下册数学：阅读与思考为什么√2不是有理数 (13)

王戎是怎么知道李子是苦的呢？
讲授新课二证明根号2不是有理数
活动4：阅读思考教材P58页
关于“ 2 不是有理数”的
证明步骤，并与同伴交流。
欧几里德，古希腊数学家，所著《几何原本》闻名于世。
当堂练习
1.下列说法正确的是（ B ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C. 2 2 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数
2 1
讲授新课一对根号2的认识
其实根号2是一个无限不循环小数，不可以表示出分数的形式，它不是有理数！
讲授新课
二证明根号2不是有理数
王戎七岁时，与小伙伴游玩，看见路边的李子树结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎不动。伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说： “树在路边而多子，此必苦李。”小伙伴摘了一个尝了一下，果然是苦李。
■这一学派中的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线长不能用整数或整数比表示。
引入新课
第一次数学危机
■毕达哥拉斯学派却选择了逃避和沉默，继续拥护他们的统治地位引发了第一次数学危机；
■危机爆发30年后，数学家攸多克萨斯解决了关于无理数的问题，标志着第一次数学危机的结束。
引入新课
第一次数学危机
当堂练习
2.判断——看谁最快最准！（1）实数不是有理数就是无理数. （）
（2）无理数都是无限小数.
（）
（3）无限小数都是无理数.
（）
当堂练习
3.证明：3 2 不是有理数。
课堂小结谈谈本节课你有何收获？
名言警句
成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。
——约翰逊
布置作业
查阅资料：了解“根号2不是有理数”多种明方法。第六章实数

平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件

根”。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方根) 。
2.表示方法：
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什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数：无限不循环小数
含有～的数
有规律但不循环的数
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按性质分类：实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
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你能在数轴上找到表示的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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为什么说√2不是有理数

• 无理数，即非有理数之实数，无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，后的数字有无限多个，并且不会循环。不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，这与假设p, q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数，可能是整数，于是把它写成小数形式，成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话不是有限小数的话，果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q，同样是证明不存在整数p, q，使得p^2=2q^2 p^2=2q^2，使得p^2=2q^2，这个证明只需一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2，数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q 长为q的小正方形放在一个边长的大正方形里，为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和，色正方形面积之和，于是我们就找到了具有同样性质的更小的整仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C，积守恒”，如果A+B=C，那么A和重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有算过的。算过的。

人教版七年级数学下册《为什么说根号2不是有理数》教学设计 (1)

阅读与理解，激发学生的求知欲。）
二、讲授新课
1、5分钟时间带着2个问题自学58页阅读与思考。
（1）√2不是有理数这句话是命题吗？
（2）探究证明√2不是有理数需要应用哪些知识点？
2、学生发言“√2不是有理数”是否命题？
一般都能说出是真命题。题设是？结论是？
3、学生发言“探究证明√2不是有理数还需应用哪些知识点？”
题设：有一个数是√2，
结论：这个数不是有理数。
√2：不是有理数，是无理数
方法：反证法，奇偶分析法
4、教师给予所需知识点的补充说明证明真命题的方法：反证法。
反证法：通过断定与命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？题设成立，方法。
（1）先把结论否定，假设√2是有理数，用之前复习的有理数可写成分数形式
（2）利用分子=分数值*分母
《为什么说根号2不是有理数》
教学
目标
知识与技能
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
过程与方法
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
情感、态度与价值观
培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
课型
新授课
课时
第一课时
教学重点
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
教学难点
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
教学方法
通过创设情境引发学生思考，引导学生积极动手动脑进行探索。教学环节的设计与展开都以生活中的常见问题为出发点，让学生在自主探索的过程中，形成自己的观点。
教学准备
PPT课件
教学过程设计
教学过程
教学过程
教学内容

八年级数学下册 7.3 根号2是有理数吗学习要点素材 (新版)青岛版

7.3 √2是有理数吗
学习目标：
1．理解无理数的概念．
2．能用无理数估计√2的大致范围，明确无理数与有理数的区别与联系．
3．理解无理数也可以用数轴上的点表示．
学习要点：
1．无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否满足定义中的三条：（1）小数；（2）无限；（3）不循环三个条件缺一不可．
常见无理数的三种表现形式：
（1）开方开不尽的数，如√2，√3等．
（2）含有π的一类数，如π/2，-2π+1等．
（3）特殊形式的无限不循环小数，如0.2121121112…（小数点后面相邻的两个2之间依次多1个）等．
2．作长度为无理数的线段
作形如√2，√3，√5这些长度为无理数的线段可以通过构造直角三角形，借助勾股定理来确定，也可以在数轴上用几何作图的方法在数轴上表示出来．
注意：并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，
0.1010010001…（小数点后面相邻两个1之间依次多1个0）等．
3．有理数与无理数的区别
有理数是有限小数或无限循环小数，都能写成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式．
有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；每一个有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示．
拓展：整数、分数统称为有理数．无理数与有理数的和、差仍为无理数，无理数与不为0的有理数的积、商是无理数．。

阅读与思考：为什么根号2不是有理数

整数，n≠0）的数叫做有理数，为本节课的学习奠定了认知的基础，但是对于有
理数、无理数的由来，为什么 2 不是有理数，学生只是知其然并不知其所以然。
本节课所涉及的推理和证明过程中所涉及的反证法的数学思想，综合性较
1
强，学生在探究的过程中存在一定的思维障碍。 2.心理特征
此阶段的学生已经基本适应了初中的数学学习，学习的主动性和进步性进一步加强。
理由的。例如负数的负就是亏欠、负
债的意义，也表示其意义与正数的正
恰好相反。而有理数之所以叫做有理
数确实毫无道理的。它源于翻译中的
失误。
19 世纪，西方科学传入中国时，
我国数学家李善兰（1811-1882）在译
英国 De Morgan 的《代数学》时将
rational function 与 irrational function
学习了有理数和七年级下册学习无理数、实数内容的延续和拓展。数的范围从有理数扩充到实数，完善了初中阶段数域的意义，构建了实数与
数轴的完美结合与统一。
1.认知基础：
学情分析
本节课的授课对象为普通初中的学生，学生的学习基础一般。在先前的学习
中，学生已经了解有理数、无理数、实数的分类等内容，了解形如 m （m、n 是 n
数比表示，即 2 不是有理数时，毕达
哥拉斯学派感到狂恐不安，由此，引发了第一次数学危机。
让学生通过微课视频了解数系扩充的过程。
将数学文化融入数学课堂，激发学生学习数学的兴趣。
有理数是能表示成 m （m、n 是教师提出问题，学
n
生回答。
整数，n≠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）的数。我们知道有理数
3
包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？

根号2无理数证明

根号2无理数证明
为了证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。

第一步，我们假设根号2是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的比，即存在整数p和q（q ≠ 0）使得根号2 = p/q。

第二步，基于上述假设，我们可以得到2 = p^2/q^2，进一步得到p^2 = 2q^2。

第三步，根据整数的性质，我们知道p^2是偶数，那么p也必须是偶数。

因此，我们可以设p = 2r，其中r是整数。

第四步，将p = 2r代入p^2 = 2q^2，我们得到4r^2 = 2q^2，进一步得到q^2 = 2r^2。

第五步，同样根据整数的性质，我们知道q^2是偶数，那么q也必须是偶数。

第六步，根据第三步和第五步的结论，我们发现p和q都是偶数，这与我们的假设（p和q互质，即它们的最大公约数为1）相矛盾。

因此，我们的假设是错误的，根号2不能表示为两个整数的比，即根号2是一个无理数。

1。

七年级数学下册《为什么√2不是有理数》优秀教学案例

（二）讲授新知
1. 首先介绍无理数的定义，让学生理解无理数与有理数的区别。
2. 以√2为例，解释为什么它被认为是无理数。通过几何图形（正方形）和代数方法（反证法），向学生展示√2无法表示为两个整数的比。
3. 详细讲解反证法的过程，引导学生理解并掌握这一数学证明方法。
4. 介绍古希腊数学家希伯斯的发现过程，让学生了解无理数的由来和历史背景。
4. 反证法教学培养逻辑推理能力
本案例详细讲解了反证法的证明过程，让学生在实际操作中掌握这一数学证明方法。通过反证法的训练，学生能够提高自己的逻辑推理能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
5. 融入数学历史文化，提升数学素养
本案例在教学中融入了数学历史，让学生了解无理数的发现过程，认识古希腊数学家的贡献。这种教学方式有助于提升学生的数学素养，培养他们对数学的敬畏之心，激发探索数学奥秘的热情。
在我国初中数学教育中，有理数的概念较早被引入，学生对其有一定的了解和操作基础。然而，无理数的出现对学生而言是一次认知上的挑战。为此，本案例将通过实际操作、历史故事和逻辑推理等多种教学手段，让学生在轻松愉快的氛围中感受到数学的严谨性和美妙，进而激发他们对数学的热爱和探索欲望。通过本章节的学习，学生将真正理解为什么√2不属于有理数的范畴，并在今后的数学学习中更好地运用这一概念。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地投入到“为什么√2不是有理数”的学习中，我将创设一个生动有趣的情景。通过讲述古希腊数学家希伯斯发现无理数的故事，激发学生的好奇心和探索欲望。在故事中，学生将了解到希伯斯是如何通过几何方法发现√2无法表示为两个整数之比的，从而引出无理数的概念。这样的情景创设不仅让学生感受到数学的趣味性，还能使他们认识到数学知识背后的历史背景。

根号2是无理数的证明

根号2是无理数的证明一、引言数学中有许多有趣且重要的数，其中之一就是根号2。

在本文中，我们将探讨根号2是否为无理数，并给出相应的证明。

二、什么是无理数在开始证明之前，让我们先回顾一下无理数的概念。

无理数是指不能表示为两个整数之间的比值的数。

换句话说，无理数不能以分数的形式表示出来。

三、根号2的定义根号2是一个特殊的数，其定义为正数平方等于2的数。

我们用√2来表示根号2。

四、假设根号2是有理数我们首先假设√2是一个有理数，即可以表示为两个整数之间的比值。

假设√2可以表示为a/b，其中a和b是不相同的整数，并且a/b是最简形式。

五、对√2进行平方将方程两边平方，得到2=(a/b)²。

这可进一步转化为2b²=a²。

由此可知，a²是2的倍数。

1. 情况一：a为偶数在这种情况下，设a=2c，其中c为整数。

将这个值代入方程2b²=a²中，得到2b²=(2c)²，简化后得到b²=2c²。

同样地，b²也是2的倍数。

2. 情况二：a为奇数在这种情况下，设a=2c+1，其中c为整数。

将这个值代入方程2b²=a²中，得到2b²=(2c+1)²，简化后得到b²=(2c+1)²-2。

展开括号并简化后得到b²=4c²+4c-1。

此时，b²也是2的倍数。

3. 结论无论a是偶数还是奇数，b²都是2的倍数。

这意味着，b也是2的倍数。

六、矛盾的证明我们已经得出结论，即a和b都是2的倍数。

然而，我们最初假设a/b是最简形式，即a和b没有相同的约数。

这与a和b都是2的倍数的结论相矛盾。

因此，我们可以得出结论：√2不是有理数，而是一个无理数。

七、证明的意义证明根号2是一个无理数的意义在于揭示了数学中一类特殊的数。

无理数在实际应用中具有重要的作用，例如在几何学中的勾股定理中经常涉及到根号2。

数学探究1 根号2的由来ppt

2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，他对数学的研千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，千多年前究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“ 究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“毕达哥拉斯学派” 其中有这样一个观点：斯学派”。其中有这样一个观点：宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外， “宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了” 有什么了”。毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方” 证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理” 百牛定理” 大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。勾股定理。可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题：边长为1的正方形的正方形，他研究了这样的问题：“边长为的正方形，其对角线的长是多少他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 当然，呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号（当然，当时不会这样表示），并发现根号即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑，并发现根号2 的），并发现根号即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，根据老师的观点，根号是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“ 现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号是一种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。

《根号2是有理数吗》word“同课异构”获奖教案优质教学设计2

数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。

第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。

数学核心素养的六个方面在小学、初中、高中、本专科、研究生教育等五个阶段的内涵、学科价值和教育价值、表现等方面的要求各不相同，要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。

第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。

本课正在基于此，在教学设计与环节的应用上，设计都非常适合学生初学。

这一点在分层教学中也有体现。

7.3 2是有理数吗？（第二课时）【教学目标】1.用不同的方法理解无理数2、3、5等的几何解释.2.会利用勾股定理在数轴上或方格纸上表示2、3、5等无理数，感悟数形结合的思想.【课前准备】1.在数0,1，0.1235，2,5，7,25中无理数的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.边长为1的正方形的对角线是（）A.整数B.有理数C.分数D.无理数3. 求出下列含直角的图形中线段c 的长度:c= . c= . c= . c= .【自学提示】一、自学教材第52页-53页内容，完成下列题目：1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩形对角线）①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为； ②若两条直角边分别为2和1，则斜边的长为； ③若两条直角边分别为3和1，则斜边的长为； ④若两条直角边分别为4和1，则斜边的长为；⑤若两条直角边分别为5和1，则斜边的长为；⑥若两条直角边分别为6和1，则斜边的长为；……2、要作出斜边的长为10的直角三角形，两条直角边的长可为较为简单.3、任何一个无理数都可以用的点来表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是 .【共同释疑】(用多媒体出示)1、在Rt△ABC中，如果∠B是直角，AB=6，BC=5，则AC的长为 .2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC中边长为无理数的边有（）条A、0B、1C、2D、33、例2【课堂小结】在学习中还存在哪些疑问？【当堂测试】1、判断正误：（1）所有的无理数都能在数轴上表示.（）（2）数轴上的点都表示无理数.（）2、如图所示，OA=OB，点A表示的数是 .3、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的边长都是无理数。

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任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
••
, 1.23,
22 , 36
2
7
1.232232223(两个3之间依次多一个2)
••
有理数是： 1.23 ,
22
,
36
7
无理数是：
6,
2
1.232232223,(两个3之间依次多一个2)
思考：无理数一般有哪些形式?
(1)开方开不尽的数是无理数;(2) 是无理数;(3)不循环的无
限小数（4）无理数与有理数的和、差一定是无理数；(5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
例判断题
？
()有限小数是有理数; （ √ ）
()无限小数都是无理数; （ ╳ ）
()无理数都是无限小数; （ √ ）
()有理数是有限小数. （ ╳ ）
20、赚钱之道很多，但是找不到赚钱的种子，便成不了事业家。 21、追求让人充实，分享让人快乐。
22、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。 23、上帝助自助者。
24、凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。 25、如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
D.面积为1.44的正方形.
课堂展示
、下列说法：（）有理数都是有限小数（）有限小数都是有理数（）无理数都是无限小数
其中正确（的）为无。(限) (小) 数都是无理数，
、一个面积为的正方形，它的边长是
13
、已知正数满足，则的整数部分是
拓
判断 13在哪两个相邻
整数的范围之间。
展
9 < 13 < 16
……
B 4D
2C
1.4 ___<_ 2 __<__1.5 1.41___<_ 2 ___<_1.42 1.414 ___<_ 2 ___<_1.415 1.4142 ___<_ 2 ___<_1.4143 1.41421___<_ 2 ___<_1.41422
……
18、我终于累了，好累，好累，于是我便爱上了寂静。 19、只有收获，才能检验耕耘的意义；只有贡献，方可衡量人生的价值。
2
回顾 & 思考☞
什么叫有理数？
正整数：如：，，，…
有整数理数
分数
零：
负整数：如，，，…
正分数：如 1 , 1 , , … 23
负分数如 1 ， 5
5
6
.除了有理数外还有没有其他的数呢？
，, …
?
2
2 显然不是整数，那它是分
数吗?
,
,
32 9，
越来越大，所以不可能是整数
2 可能是以为分母的分数吗?
2=
分析: )
我们不知道的2具体值，那么它的大小
在什么范围内呢？
2
2
通过画图我们发现，面积为的正方形的边长是，面积为的正方形的边长为，而面积为的正方形边长为 ,即比大比小,所以它的边长应该在和之间．2
不正确
2=
2 介于哪两数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
1
2
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52 1.412 _<___( 2)2 __<__1.422 1.4142 _<___( 2)2 _<___1.4152 1.41422 _<___( 2)2 _<___1.41432 1.414212 _<___( 2)2 __<__1.414222
26、没有退路的时候，正是潜力发挥最大的时候。 27、没有糟糕的事情，只有糟糕的心情。
（）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
（）圆周率及一些含有的数都是无理数
（）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数
。
课堂练习:下列各数哪些是无理数？
, …,
2
5,
3,
9
,
2 1
无理数有 0.1010010001… , 3 , , 2 1
方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)看它是不是无限不循环小数. （2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能；具体从以下几方面来判断:
课堂展示
.把下列各数分别填在相应的集合中；
3.1415926
—
√7
—
√ 36 0 ～
—
0.6
√ -8
33
22
0.191191119…
7
每相邻两个9之间依次多一个1
有理数集合
无理数集合
课堂展示
、以下各正方形的边长是无理数的是（
）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形；
25
C.面积为8的正方形；
∴1.4 < 2 < 1.5
1.412 < 2 < 1.422 ∴1.41 < 2 < 1.42
1.4142 < 2 < 1.4152
∴1.414 < 2 < 1.415
…………
2=
2 ......
它是一个无限不循环小数
b A1
C 1 1B
是有理数吗？
议一议
你能设法用多种方法找出几个这样的非有理数吗？请说明理由.
模板：
素材：
背景：
图表：
下载：
教程：
资料下载：
范文下载：
试卷下载：
教案下载：
论坛：
课件：
语文课件：数学课件：
英语课件：美术课件：
科学课件：物理课件：
化学课件： 3 9 ...... 2 2 4,
结果都为分数，所以 2 不可能是以
2为分母的分数。
2 可能是以为分母的分数吗?
（）面积为、、等非平方数的正方形的边长；（）边长为的等边三角形的高；（）通过构造直角三角形；（）列方程.如².等等
强调
像…，…，… …等这些数的小数位数都是无限的,而且是不循环的,是无限不循环小数.
无限不循环小数叫无理数。
（圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故 π是无理数，像上面提到的 2 等都是无理数)
应
∴3 < 13 < 4
用
练习：估计出与 30 最接近的两个整数。
试一试
如图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，（可）得每到人一至些少找线出段条. 长度为非有理数的线段；
（）最长的非有理数线段是哪一条？最短的非有理数线段是哪一条？为什么？
几个的常用近似值：
2 1.414 3 1.732 5 2.236
,
,
, ...... ,
结果都为分数，所以 2不可能是以
3为分母的分数。
2可能是分数吗? 试说出原因。
两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以 2 不可能是分数。
数是分
2 有多大呢？ 12 < 2 < 22
∴1 < 2 < 2
1.42 < 2 < 1.52