21不等关系
历年高考数学真题精选21 不等关系与不等式解法
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题21 不等关系与不等式解法（学生版）一．选择题（共19小题）1．（2016•北京）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( ) A ．110x y-> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>2．（2015•上海）对于任意实数a 、b ，2()a b kab -均成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．{4-，0} B ．[4-，0] C ．(-∞，0] D ．(-∞，4][0-，)+∞3．（2015•陕西）设()f x lnx =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=，1(2r f =（a ）f+（b ）)，则下列关系式中正确的是( ) A ．q r p =<B ．p r q =<C ．q r p =>D ．p r q =>4．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2aba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 5．（2012•福建）下列不等式一定成立的是( ) A ．21()(0)4lg x lgx x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≠∈ C ．212||()x x x R +∈D ．211()1x R x >∈+ 6．（2015•重庆）函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( ) A ．[3-，1]B ．(3,1)-C ．(-∞，3][1-，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞7．（2013•重庆）关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ，且：2115x x -=，则(a = ) A ．52B ．72C ．154D ．1528．（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式2601x x x -->-的解集为( )A ．{|2x x <-，或3}x >B ．{|2x x <-，或13}x <<C ．{|21x x -<<，或3}x >D ．{|21x x -<<，或13}x <<9．（2009•山东）在R 上定义运算:2a b ab a b =++⊗⊗，则满足(2)0x x -<⊗的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(2,1)-C ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞D ．(1,2)-10．（2009•天津）设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩则不等式()f x f >（1）的解集是( )A ．(3-，1)(3⋃，)+∞B ．(3-，1)(2⋃，)+∞C ．(1-，1)(3⋃，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，3)11．（2014•浙江）已知函数32()f x x ax bx c =+++．且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-，则() A ．3cB ．36c <C ．69c <D ．9c >12．（2014•大纲版）不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >13．（2013•江西）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞14．（2013•安徽）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}2x >，则(10)0x f >的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x lg >-B ．{|12}x x lg -<<-C ．{|2}x x lg >-D ．{|2}x x lg <-15．（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(2,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞16．（2012•重庆）不等式102x x -<+的解集为( ) A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(2,1)-D ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞17．（2011•辽宁）函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,)l -∞-D ．(,)-∞+∞18．（2012•新课标）当102x <时，4log x a x <，则a 的取值范围是( )A ．B ．1)C ．D ．2)19．（2009•湖南）若2log 0a <，1()12b >，则( )A ．1a >，0b >B ．01a <<，0b >C ．1a >，0b <D ．01a <<，0b <二．填空题（共6小题）20．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 21．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 ． 22．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 ．23．（2015•江苏）不等式224xx-<的解集为 ．24．（2013•全国）不等式2(2)1lg x x -->的解集为 ．25．（2006•重庆）设0a >，1a ≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题21 不等关系与不等式解法（教师版）一．选择题（共19小题）1．（2016•北京）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( ) A ．110x y-> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>【答案】C【解析】：x ，y R ∈，且0x y >>，则11x y <，sin x 与sin y 的大小关系不确定，11()()22x y <，即11()()022x y -<，lnx lny +与0的大小关系不确定．故选：C ．2．（2015•上海）对于任意实数a 、b ，2()a b kab -均成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．{4-，0} B ．[4-，0] C ．(-∞，0] D ．(-∞，4][0-，)+∞【答案】B【解析】2()a b kab -，222a b kab ab ∴++，即22(2)a b k ab ++恒成立， 故222k -+，故[4k ∈-，0]，故选：B ．3．（2015•陕西）设()f x lnx =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=，1(2r f =（a ）f+（b ）)，则下列关系式中正确的是( ) A ．q r p =< B ．p r q =< C ．q r p => D ．p r q =>【答案】B【解析】由题意可得若11()22p f ln lnab lna lnb ====+，()()()22a b a b q f ln ln ab p ++===，1(2r f =（a ）f +（b ）1)()2lna lnb =+，p r q ∴=<，故选：B ．4．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+<【答案】B【解析】0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =． 则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+． 故选：B ．5．（2012•福建）下列不等式一定成立的是( ) A ．21()(0)4lg x lgx x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≠∈ C ．212||()x x x R +∈ D ．211()1x R x >∈+ 【答案】C【解析】A 选项不成立，当12x =时，不等式两边相等； B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出1sin 2sin x x+； C 选项是正确的，这是因为2212||()(||1)0x x x R x +∈⇔-；D 选项不正确，令0x =，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C 选项是正确的．故选：C ．6．（2015•重庆）函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( ) A ．[3-，1]B ．(3,1)-C ．(-∞，3][1-，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞【答案】D【解析】由题意得：2230x x +->，即(1)(3)0x x -+> 解得1x >或3x <-所以定义域为(-∞，3)(1-⋃，)+∞ 故选：D ．7．（2013•重庆）关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ，且：2115x x -=，则(a = )A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A【解析】因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为1(x ，2)x ， 所以122x x a +=⋯①，2128x x a =-⋯②， 又2115x x -=⋯③，①24-⨯②可得2221()36x x a -=，代入③可得，221536a =，解得15562a =±=±， 因为0a >，所以52a =． 故选：A ．8．（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式2601x x x -->-的解集为( )A ．{|2x x <-，或3}x >B ．{|2x x <-，或13}x <<C ．{|21x x -<<，或3}x >D ．{|21x x -<<，或13}x <<【答案】C【解析】2601x x x -->-⇔(3)(2)0(3)(2)(1)0(1)x x x x x x -+>⇔-+->- 利用数轴穿根法解得21x -<<或3x >， 故选：C ．9．（2009•山东）在R 上定义运算:2a b ab a b =++⊗⊗，则满足(2)0x x -<⊗的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(2,1)-C ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】(2)(2)220xx x x x x -=-++-<，∴化简得220x x +-<即(1)(2)0x x -+<，得到10x -<且20x +>①或10x ->且20x +<②，解出①得21x -<<；解出②得1x >且2x <-无解．21x ∴-<<．故选：B ．10．（2009•天津）设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩则不等式()f x f >（1）的解集是( )A ．(3-，1)(3⋃，)+∞B ．(3-，1)(2⋃，)+∞C ．(1-，1)(3⋃，)+∞D ．(-∞，3)(1-⋃，3)【答案】A【解析】f （1）3=，当不等式()f x f >（1）即：()3f x > 如果0x < 则63x +>可得3x >-，可得30x -<<． 如果0x 有2463x x -+>可得3x >或 01x < 综上不等式的解集：(3-，1)(3⋃，)+∞ 故选：A ．11．（2014•浙江）已知函数32()f x x ax bx c =+++．且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-，则() A ．3c B ．36c < C ．69c < D ．9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，则32()611f x x x x c =+++， 由0(1)3f <-，得016113c <-+-+，即69c <，故选：C ． 12．（2014•大纲版）不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C【解析】由不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩可得2,011x x x ⎧-⎨-<<⎩或，解得01x <<，故选：C ．13．（2013•江西）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】A【解析】利用特殊值排除选项，不妨令12x =-时，代入21x x x <<，得到11224-<-<，显然不成立，选项B 不正确； 当12x =时，代入21x x x <<，得到11224<<，显然不正确，排除C ； 当2x =时，代入21x x x<<，得到1242<<，显然不正确，排除D ．故选：A ．14．（2013•安徽）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}2x >，则(10)0x f >的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x lg >-B ．{|12}x x lg -<<-C ．{|2}x x lg >-D ．{|2}x x lg <-【答案】D【解析】由题意可知()0f x >的解集为1{|1}2x x -<<，故可得(10)0x f >等价于11102x -<<， 由指数函数的值域为(0,)+∞一定有101x >-，而1102x<可化为121010lg x<，即21010x lg -<，由指数函数的单调性可知：2x lg <- 故选：D ．15．（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】因为2()1x x a -<，所以12xa x >-， 函数12xy x =-是增函数，0x >，所以1y >-，即1a >-， 所以a 的取值范围是(1,)-+∞． 故选：D ．16．（2012•重庆）不等式102x x -<+的解集为( ) A ．(1,)+∞ B ．(,2)-∞-C ．(2,1)-D ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞【答案】C 【解析】不等式102x x -<+等价于(1)(2)0x x -+<，所以表达式的解集为：{|21}x x -<<． 故选：C ．17．（2011•辽宁）函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,)l -∞-D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】设()()(24)F x f x x =-+， 则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R ∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->， 即()F x 在R 上单调递增， 则()0F x >的解集为(1,)-+∞， 即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞． 故选：B ．18．（2012•新课标）当102x <时，4log x a x <，则a 的取值范围是( ) A． B．1)C ．D ．2)【答案】B 【解析】102x<时，142x < 要使4log x a x <，由对数函数的性质可得01a <<， 数形结合可知只需2log a x <， ∴201a a a log a log x<<⎧⎨<⎩ 即201a a x <<⎧⎨>⎩对102x <时恒成立∴20112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩解得21a << 故选：B ．19．（2009•湖南）若2log 0a <，1()12b >，则( )A ．1a >，0b >B ．01a <<，0b >C ．1a >，0b <D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知01a <<，0b <，故选：D ． 二．填空题（共6小题）20．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 【答案】2(1,)3-【解析】2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；21．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 ． 【答案】(,0)-∞ 【解析】由11x x->得： 111100x x x->⇒<⇒<， 故不等式的解集为：(,0)-∞，第11页（共11页）故答案为：(,0)-∞．22．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 ． 【答案】15(,)44【解析】1122log (41)2log 4x ->-=，∴410414x x ->⎧⎨-<⎩，∴1544x <<， x ∴的取值范围为15(,)44． 故答案为：15(,)44． 23．（2015•江苏）不等式224xx -<的解集为 ． 【答案】(1,2)- 【解析】224x x -<，22x x ∴-<，即220x x --<，解得：12x -<< 故答案为：(1,2)-24．（2013•全国）不等式2(2)1lg x x -->的解集为 ．【答案】{|3x x <-或4}x >【解析】y lgx =是单调增函数，∴不等式2(2)1lg x x -->转化为：2(2)10lg x x lg -->，2210x x ∴-->，即2120x x -->，解得：3x <-或4x >，∴不等式的解集为：{|3x x <-或4}x >．故答案为：{|3x x <-或4}x >．25．（2006•重庆）设0a >，1a ≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 ．【答案】(2,)+∞【解析】由0a >，1a ≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值可知1a >，所以 不等式log (1)0a x ->可化为11x ->，即2x >．故答案为：(2,)+∞。
不等关系知识点八年级
不等关系知识点八年级在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的不等关系问题。
有些问题可能看起来很简单，但是涉及的知识点却十分复杂。
不等关系是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、经济学、物理学以及其他许多领域都有广泛的应用。
在本文中，我将为大家介绍八年级不等关系的知识点。
一、数轴上的不等关系在数学中，我们常常需要比较两个数的大小。
比如，我们需要判断 3 是否大于 4。
这时候就需要用到不等关系符号（<、>、≤、≥）。
在数轴上，任意两个数的大小关系都可以用不等关系符号表示。
例如，图中的数轴上，3 大于 -2，可以用 3 > -2 表示。
同样地，5小于等于 5，可以用5 ≤ 5 表示。
二、解不等式不等式是不等关系的代数表达式。
它将一些数或者变量联系在一起，并且使用不等关系符号来表示它们之间的大小关系。
解不等式是找出有解集合的过程。
有解集合就是所有使不等式成立的实数的集合。
例如，对于不等式 2x - 1 ≤ 5，我们需要找出所有 x 的值，使得 2x - 1 小于等于 5。
我们可以将不等式变形，得到2x ≤ 6，然后将 x 的取值范围限制在实数范围内，即得到x ≤ 3。
因此，解集合为 (-∞, 3]。
三、一元二次不等式一元二次不等式就是含有二次项的一元不等式。
它可以表示为ax²+bx+c≤0 或者 ax²+bx+c>0。
对于一元二次不等式ax²+bx+c≤0，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 将不等式转化为标准形式2. 标出二次函数的图像3. 求出二次函数解析式的根4. 根据函数图像分析求解区间5. 将解集用不等式表示四、多项式不等式多项式不等式是含有多项式的不等式。
它的求解方法与一元二次不等式略有不同。
我们需要将不等式转化为标准形式，并且使用图像法或者代数法求解。
五、不等式的本质不等式之所以比等式更难理解和求解，是因为它涉及到了变量之间的复杂关系。
在不等式中，我们需要考虑到变量之间的大小关系、符号关系以及函数的特性等因素。
2.1不等关系
练一练（三）
◦ （5）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生 素ｃ含量及购买这两种原料的价格如下表： 维生素及价格 原料 甲种原料 乙种原料
维生素C（单位/千克） 原料价格（元/千克） 600 8 100 4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200 单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量X （千克）应满足的不等式 如果还要求购买甲乙两种原料的费用不超过72 元，请写出x应满足的另一个不等式
1 不等关系
注：
不等关系符号
”， ” 表示。
“不大于” 指的是 “ 小于或等于 通常用 符号 “
≤
例如，x 不大于10 可以表示为 x≤10（读作：“于或等于10”）。 类似地，“不小于”指的是“大于或等于”。
4、你能得到什么猜想？改变ℓ 的取值再试一试。
1
做一做
通过测量一棵树的树围（树干 的周长）可以计算出它的树龄， 通常规定以树干离地面1.5m的地 方作为测量部位. 某树栽种时的树 围为5cm, 以后树围每年增加约3cm。 这棵树至少生长多少年其树围才能 超过 2.4 m？ 解：设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m， 依题意得： 5＋3x＞240
s1＞s2
m1 ＞ m2
练一练（一）
1、用适当的符号表示下列关系： a ≥ 0 （1）ａ是非负数； （2）直角三角形斜边ｃ比它的两 直角边ａ，ｂ都长；C>a且c>b （3）ｘ与17的和比它的5倍小。
Ｘ+17＜5ｘ
练一练(二)
2、用适当的符号表示下列关系： （1）ｘ的3倍与8的和比ｘ的5倍大； （3）老师的年龄比你年龄的2倍还大； （4）铅球的质量比篮球的质量大。
艺体类高考数学必备考点21 不等关系与不等式
考点二十一 不等关系与不等式知识梳理1．不等式在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．注意：“a ≥b ”是指“a ＞b 或a =b ”，等价说法是“a 不小于b ”，对于“a ≥b ”而言，只要a ＞b 和a =b 中有一个成立，a ≥b 就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a ≤b ”是指“a ＜b 或a =b ”，等价说法是“a 不大于b ”，只要a ＜b 和a =b 中只要有一个成立，a ≤b 就成立． 2．同向不等式我们把a ＞b 和c ＞d (或a ＜b 和c ＜d )这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式． 3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若a b ＞1，b ＞0，则a ＞b ；若ab ＞1，b ＜0则a ＜b )”的原则进行判断． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)． 5．不等式的倒数性质(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b ＜c ⇒a ＜c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；若无c ≠0这个条件，a ＞b ⇒ac 2＞bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．典例剖析题型一 不等关系例1 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解析 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆， 则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)① ② ③ ④答案 ④解析 ∵x 不低于95分，∴ x ≥95. ∵y 是高于380分，∴y >380. ∵z 超过45分．∴z >45.解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：文字语言不超过，至多，小于等于不低于，至少，大于等于超过，大于，高于少于，小于，低于题型二 比较大小例2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ； (2)x 1＋x 2与12. 解析 (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝(x －32)2＋34≥34＞0，∴x 2＋3＞3x .(2) ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2) ≤0，∴x 1＋x 2≤12. 变式训练 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析 (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵x <1，∴x －1<0.又(x －12)2＋34>0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]<0，∴x 3－1<2x 2－2x .解题要点 “作差比较法”的一般步骤为: (1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)作出结论．题型三 不等式的性质例3 (2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有__________．(填序号) ① a c >bd②a c <b d ③a d >b c④a d <bc答案 ④解析 方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，所以①，②错误；a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc ，所以③错误．故选④.方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <bc .故选④.变式训练 设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是__________．(填序号) ① a 2<b 2 ②ab 2<a 2b ③1ab 2<1a 2b④b a <ab答案 ③解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故①错． 因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定， 所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故②错． 因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故③正确．④项中b a 与ab的大小不能确定．解题要点 在利用不等式的性质比较不等式时，如果可以赋值，就用赋值法，这样可使问题快速得解；如果赋值不能排除，则应通过推理判断，结合不等式的性质作出判断. 题型三 不等式的性质的应用例4 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.变式训练 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．答案 [1，7]解析 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围是[1，7]．解题要点 在利用同向不等式相加求解表达式范围时，一般可用待定系数法.注意，如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．当堂练习1．若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的__________条件．答案 既不充分也不必要解析 若0<ab <1，当a <0时，b >1a ，反之，若b <1a ，当a <0时，ab >1.故为既不充分也不必要条件.2．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是__________．(填序号) ① a >ab >ab 2 ② ab 2>ab >a ③ ab >a >ab 2 ④ ab >ab 2>a 答案 ④解析 ∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0. ∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故应选④.3. 设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则__________．(填序号) ① ac ＞bc ② 1a ＜1b ③ a 2＞b 2 ④ a 3＞b 3答案 ④解析 ①项中，若c 小于等于0则不成立；②项中，若a 为正数b 为负数则不成立；③项中，若a ，b 均为负数则不成立．故选④.4．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是__________．答案 (－3π2，0)解析 ∵－π2<α<β<π，∴－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，又α－β<0， ∴－3π2<α－β<0.5．若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a ≥2中一定成立的是__________．(填序号) 答案 ①②解析 ①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不成立； ④若a ＜0，则a ＋1a ＜0.∴①②一定成立.课后作业一、 填空题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是__________．(填序号) ①a －b >0 ② a ＋b >0 ③ a 2－b 2>0 ④ a 3＋b 3<0 答案 ②解析 由b >|a |，可得－b <a <b .由a <b ，可得a －b <0，所以选项①错误．由－b <a ，可得a ＋b >0，所以选项②正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项③错误，由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项④错误.2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是__________．(填序号) ①1a >1b ②1a －b >1a ③|a |>－b ④－a >－b 答案 ②解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a 不成立．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是__________．(填序号) ①a ＋1b ＞b ＋1a ②b a ＞b ＋1a ＋1 ③a －1b ＞b －1a ④2a ＋b a ＋2b ＞a b答案 ①解析 ∵a ＞b ＞0，∴1b ＞1a ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，选①项．4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的__________条件． 答案 充分而不必要解析 若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件． 5．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号) ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ②若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 ③若a ＜b ＜0，则1a ＜1b ④若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案 ②解析 对于①，只有当a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，不等式才成立；③中由a ＜b ＜0，得1a ＞1b ，故③不正确，又b a －a b ＝b 2－a 2ba ＝(b ＋a )(b －a )ab ，又a ＜b ＜0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，∴b a ＜ab ，故④不正确；对于②，∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ＞b 2，故选②. 6．若a ，b ∈R ，下列命题中①若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b |. 其中正确的是__________．(填序号) 答案 ②和③解析 条件|a |＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b |可保证a 是正数， 故①不正确，③正确．a 2＞b 2⇒|a |＞|b |≥b ，故②正确，④不正确．7．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是__________．(填序号) ①c a ＜b a ②b －a c ＞0 ③b 2c ＜a 2c ④a －c ac ＜0 答案 ③解析 ∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0，a ＞0，∴c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．选③项． 8．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是__________．(填序号) ①a 2>b 2 ②a |c |>b |c | ③1a <1b ④a c 2＋1>bc 2＋1答案 ④解析 方法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入①，②，③，④中，可知①，②，③均错，故选④. 方法二：(直接法)∵a >b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选④.9．若a >b >c ，则1b －c 与1a －c的大小关系为________． 答案1a －c <1b －c解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c.10．现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个． 答案 2解析 ①∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故①不恒成立； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0， ∴a 2＋b 2>2a －b －32恒成立;③∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242， 又∵70>42， ∴17＋270>17＋242， ∴7＋10>3＋14，成立．11．若x ＞y ，a ＞b ，则在 ①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．(写出所有恒成立的不等式的序号)． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． 又∵ax ＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推 出②④成立． 二、解答题12．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式． 解析 设铅笔买x 枝，练习本买y 本(x ，y ∈N *)，总钱数为 0.6x ＋0.7y ，且不大于10，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.6x ＋0.7y ≤10，x ≥7，x ∈N *，y ≥6，y ∈N *.13．设x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，试比较x 与y 的大小．解析 ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8＝－7<0，∴x <y .。
北师大初中数学八下《21不等关系》word教案(1)
《不等关系》教学目标（一）教学知识点：1、理解不等式的意义．2、能根据条件列出不等式．（二）能力训练要求：通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力．（三）情感与价值观要求：通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣．教学重难点教学重点：用不等关系解决实际问题．教学难点：正确理解题意列出不等式．教学过程一、创设问题情境，引入新课［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题．本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用．二、新课讲授［生］可以．举身边的例子．［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的周长计算公式，另一个是了解“不大于”、“大于”等词的含意．［生］正方形的周长等于边长的4倍．圆的周长是πR，其中R是圆的半径．两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于．二）［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答．［生］（1）正方形的边长为a，所以正方形的周长为4a，要使正方形的周长不大于25 cm，就是4a≤25．（2）因为圆的直径为a，所以圆的周长为πa，要使圆的周长不小于100 cm，就是πa≥100．（3）当a=8时，正方形的周长为4x8=32cm．圆的周长为π8≈25.12cm．∵25.12＜32．∴此时正方形的周长较长．当a=12时，正方形的周长为12x4=48cm．圆的周长为π12≈37.68cm．此时还是正方形的周长较长．（4）我们可以猜想，对于边长为a的正方形和直径为a的圆，无论a取何值，圆的周长总小于正方形的周长，即πa＜4a．［师］请大家互相讨论后列出关系式．［生］设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m，得3x+5＞240．【议一议】（1）a2+1＞0 （2）a+b=0 （3）8＜9 （4）3x-1≤x（5）4-2x（6）x-y≠1【答一答】根据下列数量关系列出不等式：（1）x的2倍与1的和大于x．（2）y不小于1与y的差．（3）a的2倍比a的平方的相反数小．［生］（1）2x＋1＞x（2）y≥1-y（3）2a< -a2［师］列不等式时先抓住关键词，再选准不等号．。
§1-1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式
第三章 不等式
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面 温度的 4.5 倍还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足 的关系式是________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度，即 4.5 t<28 000. 答案：4.5t<28 000.
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第三章 不等式
(1)运用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭 想当然随意捏造性质； ②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注 意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要 简单，便于验证计算．
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第三章 不等式
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第三章 不等式
利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一 次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等 价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大 其取值范围．
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第三章 不等式
又316＜1b＜115，所以1326＜ab＜6105. 所以13＜ab＜4. 所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.
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第三章 不等式
本例条件不变，试求 3a－2b 的取值范围． 解：因为 12＜a＜60，15＜b＜36， 所以 36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30. 所以－36＜3a－2b＜150.
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第三章 不等式
用不等式(组)表示不等关系 配制 A，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一 剂 A 种药需甲料 3 克，乙料 5 克；配一剂 B 种药需甲料 5 克， 乙料 4 克．今有甲料 20 克，乙料 25 克，若 A，B 两种药至少 各配一剂，设 A，B 两种药分别配 x，y 剂(x，y∈N)，请写出 x， y 所满足的不等关系． 3x＋5y≤20，
《不等关系》课件
总结
定不等（不等于）的关系，包 括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
应用
掌握不等关系能够帮助开发者编写更加复杂的程序，并进行更加复杂的数据分析。
重要性
理解不等关系有利于掌握程序的逻辑性，避免因数据关系而出现程序BUG。
不等关系PPT课件
了解不等关系，掌握编程中应用技巧。
什么是不等关系
定义
不等关系指两个数据之间的关系不是相等（等于）的关系，而是不等（不等于）的关系。
范例
包括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
提醒
理解不等关系有助于理解Python的复杂逻辑。
大于和小于
大于
用符号">"表示。例如：5 > 3
小于
用符号"<"表示。例如：3 < 5
应用
数轴上的点也可以用大于小于描 述，如x > 3。
大于等于和小于等于
1 大于等于
2 小于等于
3 几何意义
用符号">="表示。例如： 5 >= 5
用符号"<="表示。例如： 3 <= 5
不等式可以用来描述数值 的大小关系，从而表示数 量关系、大小关系等几何 意义。
2
循环语句
使用while和for循环，根据不等关系执行不同的次数。例如：for i in range(1,10): print(i)。
3
逻辑运算
使用逻辑运算符（and、or、not）结合不等关系，判断多个条件的复杂情况。 例如：if x >= 10 and x < 20: print("x在10到20之间")。
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
2.1《不等关系》 课件 (共16张PPT)
l
为__2_π____，要使圆的面积不小于100 cm2，就是 _π___2l_π__2 _≥_1_0_0__.
新知探究
2.如图，用两根长度均为l cm 的绳子分别围成一个正方形和一 个圆.
（3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？ l =12呢？ 分析：（3）当l =8时，正方形的面积为__4_c_m__2_，
2.如图，用两根长度均为l cm 的绳子分别围成一个正方形和一 个圆.
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.
分析：（4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的
两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论 l取何 值，圆的面积总大于正方形的面积，即_π__2_lπ__2_＞__4l__2 _.
x + 2≤5 2
课堂小结
1.这节课我学到的知识是什么？ 2.本节课所学知识中容易出错的地方 是什么？
布置作业 教材第38~39页习题2.1第1，2，3题.
（3）x与17的和比它的5倍小； x+17＜5x （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍.
x2+y2≥2xy
补充练习
用适当的符号表示下列关系：
（1）a的绝对值是非负数； |a|≥0 （2）y的一半比-3大，比5小； -3 < 1 y < 5
2 （3）m的5倍与2的差不大于6； 5m-2≤6 （4） x除以2 的商加上2，至多为5.
（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2 ，那么绳 长l应满足怎样的关系式？
（3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？ l =12 呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.
新知探究
不等关系数学教案
不等关系数学教案
标题：不等关系数学教案
一、教学目标：
1. 了解并掌握基本的不等关系及其表示方法。
2. 能够运用不等式的性质解简单的不等式。
3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：
1. 教学重点：理解和掌握不等式的性质，能灵活运用这些性质解简单的不等式。
2. 教学难点：理解和应用不等式的性质。
三、教学过程：
（一）引入新课
通过生活中的实例，如身高、体重等，引出不等关系的概念，让学生对不等关系有一个直观的认识。
（二）新知探究
1. 不等关系的表示：讲解大于号“>”、小于号“<”、大于等于号“≥”、小于等于号“≤”的含义和用法。
2. 不等式的性质：讲解不等式的性质，并通过具体的例子进行说明。
（三）例题解析
选择一些典型的题目，引导学生运用不等式的性质来解题，以此加深学生对不等式性质的理解和应用。
（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生独立完成，以此检验学生对本节课知识的掌握程度。
（五）小结与作业
总结本节课的主要内容，布置适当的课后作业，巩固和深化学生对不等关系的理解和应用。
四、教学反思：
在教学过程中，教师要时刻关注学生的学习状态，及时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
同时，教师还要注重培养学生的思维能力和创新能力，使他们能在实际生活中运用所学的知识解决实际问题。
21知识讲解_不等关系与不等式_基础
不等关系与不等式学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R，贝y x 0 （x为正数）、x 0或x 0 （x为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：a 0,b 0 aa 0,b 0 a b 0②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a 0,b 0 ab 0；a 0,b 0 ab③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a 0,b ab④任何实数的平方为非负数，0 的平方为0符号语言：x R x20 ，x 0 x20.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a、bb；b；b.对于任意实数a、b,a b,a b,a b三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小 作差比较法的步骤: 第一步：作差;第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将(1)对称性：a>bb<a⑵ 传递性： a>b, b>ca>c⑶ 可加性： a ba cb cc 0 ac bc⑷ 可乘性：a>b , c 0 ac bcc 0 ac bc(c €R)运算性质有:(1)可加法则: b,cd. (2)可乘法则: b>0,c d>0 b d>0 (3)可乘方性: b 0,n b n 0(4)可开方性:b 0,nN ,n要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法: 任意两个代数式可以作差a b 后比较a b 与0的关系，进一步比较 a 与b 的大小。
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式课件北师大必修5
2．若 m≠2 且 n≠－1，则 M＝m2＋n2－4m＋2n 的值与－5 的
大小关系为( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M＝－5
D．不确定
解析：选 A.因为 m≠2，n≠－1，所以 M＝(m－2)2＋(n＋1)2 －5>－5.
3．已知 a>b>c，则a－1 b＋b－1 c＋c－1 a的值为__________(填“正 数”“非正数”“非负数”)． 解析：因为 a>b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以 a－1 b>0，b－1 c>0，a－1 c<b－1 c， 所以a－1 b＋b－1 c－a－1 c>0， 所以a－1 b＋b－1 c＋c－1 a为正数． 答案：正数
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
5x＋4y≤25， 【解】 根据题意可得x≥1，x∈N，
y≥1，y∈N.
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示.
《艺术生新高考数学百日冲刺》考点21 不等关系与不等式20200901
言，它们与不等号的对应关系如下表：
不超过，至 不低于，至 超过，大于， 少于，小于，
文字语言 多，小于等于 少，大于等于
高于
低于
不等号
≤
≥
＞
＜
题型二 比较大小
例 2 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2) 1＋x x2与12.
解析 (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－32)2＋34≥34＞0，∴x2＋3＞3x. (2) ∵1＋x x2－12＝22x(－1＋1－x2x)2＝－2((x1－＋1x)22) ≤0，
变式训练 设 a，b 是非零实数，若 a<b，则下列不等式成立的是_________．(填序号)
① a2<b2 答案 ③
②ab2<a2b
③a1b2<a12b
④ba<ab
解析 当 a<0 时，a2<b2 不一定成立，故①错． 因为 ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab 符号不确定， 所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定，故②错． 因为a1b2－a12b＝aa－2b2b<0，所以a1b2<a12b，故③正确．
答案 －π6，π
解析 由题设得 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－6π＜2α－β3＜π. 变式训练 若 α，β满足－1≤1≤αα＋＋2ββ≤≤31，，则 α＋3β 的取值范围为________． 答案 [1，7] 解析 设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则x＋y＝1， 解得x＝－1，
辆，B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，
八年级数学下册21不等关系教案1北师大版
1 不等关系【教材分析】不等式是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且也是学习函数等知识的基础。
它是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组之后的后续内容，贯穿于数学学习的始终，起着承上启下的作用，所以说不等式是初中数学的重要内容之一。
不等关系是本章的第一课时，主要学习一个概念——不等式，只有让学生理解、掌握好这个概念，才能顺利的学好本章。
【教学目标】①理解不等式的意义。
②能根据条件列出不等关系（一）知识与技能（二）过程与方法经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感。
（三）情感态度与价值观使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获。
【教学重、难点及突破方法】本节课的教学重点是通过探寻实际问题中的不等关系，认识不等式。
怎样建立量与量之间的不等关系是本节的难点。
教师通过活动一这一环节引入情境、提出问题，引导学生观察、讨论、归纳得出不等式的概念。
另外通过小组合作教师参与引导学生观察表示不等关系的关键词语怎样转化为不等关系，重点强调，加强记忆，突出本节课的重点，同时也突破了本节的难点。
【学情分析】在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。
在此之前，学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一切实际问题的数学化过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，为不等式的学习奠定了基础。
【教法】创设情境—引导探究—类比归纳—鼓励创新，期间贯穿启发式和讨论式教学方法，启发、引导贯穿教学始终，师生共同研究、探讨，整个过程以学生为主体、练为主线。
【学法】根据新课改理念和学生的认知水平，设计了由易到难的四个活动环节，通过独学，对学，群学的方式完成。
接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：一、创设问题情境，引入新课二、讲授新课1。
探究案的第一个活动环节，我要求同学们独立完成，通过所列出的七个关系式，让学生总结它们的共同特点，从而引出不等式的概念。
八年级不等关系知识点
八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。
在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。
一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。
在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。
以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。
二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。
1. 对称性。
不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。
2. 传递性。
不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。
3. 反对称性。
不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。
三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。
在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。
1. 应用于数学领域。
不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。
2. 应用于物理学领域。
在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。
3. 应用于经济学领域。
不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。
总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。
北师大初中数学八下《21不等关系》word教案(3)
《不等关系》教学目标1．知识与技能：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．2．过程与方法：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．3．情感、态度和世界观：通过感受和学习不等式知识，认识到不等关系是刻画现实世界客观对象之间联系的一种绝对关系，由此培养学生的辩证唯物主义思想．教学重难点教学重点：通过具体情境，建立不等式模型．教学难点：从具体问题中如何抽象出数学模型建立不等式．教学过程：一．问题情境现实世界和日常生活中，有很多的相等关系然而更多的是不等关系．（书写课题）师：联系到我们数学上也有很多这样的实例．（学生答，课件体现，并用数学语言描述）总结：在数学上这样的种种不等关系，我们就用不等式来体现．二．学生活动问题2．在日常生活中我们经常能发现食物的包装上会注明此食物的成分含量，这些值都必须满足一定的要求现在这有某酸奶的质量检查规定．结论：生活中的实例也可以用不等式来描述．怎样把生活中的这些问题转化成数学上的不等关系就是我们今天所要讨论的主要内容．三．建构数学（本节主要内容的流程图） 实际问题：不等关系−−−→−抽象概括数学问题：不等式 数学问题：不等式−−→−刻画实际问题：不等关系四．数学应用问题：（学生讨论得到8×20≤10x ）解：设x 人（x <20)买20人的团体票不比普通票贵．则有8×20≤10x ．评析：这是一个一元一次不等式模型．问题：解：设每本杂志价格提高x 元，根据题意，得：4.222x 510x 2>-+））（（ 化简得08.41052<+-x x评析：这是一元二次不等式模型．五．当堂反馈（不求解）解：设该植物适宜的种植高度为xm ，则20100x 55.0-2218≤≤ 六．回顾反思①解决实际问题的常规步骤实际问题（不等关系）−−−→−抽象、概括数学问题（不等式），数学问题−−→−刻画实际问题 ②本堂课建立的模型主要是——不等关系．③现实世界中存在着很多的这种不等关系．。
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l
2
2
≥100
即
l2
4
≥100
3. 如图，用两根长度均为8 cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆.
问:正方形和圆的面积会有怎样的关系?
3.如图，用两根长度均为12 cm 的绳子，分别 围成一个正方形和圆。
问:正方形和圆的面积哪个大?
3.如图，用两根长度均为l cm 的绳子，
分别围成一个正方形和圆.
。
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？ 2. 对同学说，你有什么温馨提示？ 3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，
习题2.1 1. 2. 3.
奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元
，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不
等式是 5x+3（20-x）≤56
。
4、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均 每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值 将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式
是
100(1+x％)2＞a
你能得到什么猜想?
我们可以猜想，用长度均为ℓcm的两根绳子分别围成
一个正方形和圆，无论ℓ取何值，圆的面积总大于正
方形的面积， 即
l2
＞ l2
4
16
做一做：
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：
每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设
行李的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm，请你列出
平川四中 温丽萍
教学目标
1．了解不等式的意义,会用不等号表示简单 的不等关系.
2．经历“把实际问题抽象为不等式”的思维 过程，培养分析判断能力和逻辑推理能力， 发展符号感与数学化的能力.
3．通过用不等式解决实际问题，认识数学与 人类生活的密切联系，激发学习数学的信 心和兴趣.
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工 作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两 端的重量对比来工作的．
形.
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使正方形的面积不大于25cm2，就是l 4来自2≤25
即 l 2 ≤ 25 16
2. 如图，用一根长度为 ℓ cm 的绳子，围成一个圆.
如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于100cm2，就是
看一看
A
A
B
B＜A＜C C
看一看
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作 原理，根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起，
我们开始学习不等关系．
想一想
用两根长度均为 ℓ cm 的绳子，分别围成一个 正方形和圆。
想一想
如下图，用两根长度均为 ℓ cm 的绳子， 分别围成一个 正方形和圆。
议一议：
观察由上述问题得到的关系式，比如： x2/4π＞x2/16 ，a+b+c≤160，6+3x＞30， 它们 的共同特点：都是用不等号连接的式子。
一般地，用符号“＜”（或 “≤”）、“＞”（或“≥”）、“≠” 连接的式子叫做不等式。
随堂练习
1、用适当的符号表示下列关系： （1）ａ是非负数；
a≥0
（2）直角三角形斜边ｃ比它的两直角边 ａ，ｂ都长；
c>a且c>b
（3）ｘ与17的和比它的5倍小。
x+17＜5ｘ
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。
x2+y2 ≥ 2xy
2、表达式①x2≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④
x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式有 ① ② ④
（填序号）。
3、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买
1、如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
3、当 ℓ = 8 时，正方形和圆的面积哪个大？ ℓ = 12 呢？ 改变ℓ 的取值再试一试。你能得到什么猜想？
1. 如图，用一根 长度为ℓ cm 的绳 子，围成一个正方
行李的长、宽、高满足的关系式
。
a+b+c ≤160
做一做：
(2)通过测量一棵树的树围（树干的周长）可 以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围 为6cm，以后10年内每年增加约3cm，设经过x
年这棵树树围超过30m，请你列出x满足的 关系式.
6＋3x＞30