方差分析中的交互作用分析

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带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模

统计与决策2021年第1期·总第565期摘要：文章引入虚拟变量，将带交互作用的双因素方差分析进行了线性回归模型重构，给出了模型的参数估计，证明了回归分析的误差分解与方差分析的离差分解是一致的，得出方差分析的因素显著性F 检验与回归模型的显著性检验的等价性。

同时对方差分析的多重比较t 检验和线性模型的回归系数检验做了比较，指出了他们之间的联系和差异性，分析了差异来源是由于样本的选择差异，最后通过实例给出了两种方法的具体实现。

关键词：方差分析；多元线性回归；虚拟变量；多重比较中图分类号：O212.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）01-0010-05带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模黄伯强1，李启才2（1.南京师范大学中北学院；2.南京师范大学数学科学学院，南京210023）基金项目：国家自然科学基金资助项目（11701288）；南京师范大学青蓝工程项目（2016）；南京师范大学中北学院优秀教学团队建设项目（2018jxtd007）作者简介：黄伯强（1981—），男，江苏宜兴人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。

李启才（1979—），男，安徽东至人，博士，副教授，研究方向：随机控制理论及其应用。

0引言方差分析与回归分析是数理统计中重要的两种统计方法，方差分析主要用来讨论不同试验因素对结果的影响是否存在差异性，分为单因素方差分析与双因素方差分析；回归分析是研究自变量与因变量之间函数关系的模型，比较常见的是线性回归模型。

一般的统计学教材都是单独介绍这两个内容，但这两种统计方法存在一定的相互关系。

许多学者对此做过研究，如刘晓华等（2012）讨论了单因素方差分析与虚拟变量回归，研究了这两种方法下显著性差异检验的等价性，但没有给出双因素方差分析下的回归建模；傅莺莺等（2019）将单因素方差分析纳入线性回归的理论体系，给出了回归系数的几何解释，并比较了单因素方差分析方法下两种统计方法的t 检验基本一致，但也只有单因素方差分析的讨论，缺乏双因素方差分析下回归模型的重构。

方差分析

标的观察值，列于表 1-2。
上一张下一张
表1-2
因素 B 因素 A
A1 A2

B1 x1 1 x 21

B2 x1 2 x 22

Bj

Bb x1b x2b

x i x 1 x 2

x1 j x2 j

Ai

x i1

xi 2

x ij
x ib

xi

Aa
2 2
X i 1 , X i 2 , , X in ，它们来自具有相同方差，均 i
2
i , 均为未知，并且不同水平 Ai 下的样本之间相
互独立。取下面的线性统计模型：
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ), i 1, 2 , , a , j 1, 2 , , n i (1 .1)
处理未切去胚乳切去一半胚乳切去全部胚乳每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
问：每株粒重是否受到切胚乳的影响？（ 0.05 ）
上一张下一张
解：设每株粒重为
x i j i ,i
上一张下一张
二、单因素试验的方差分析
设单因素 A 有 a 个水平 A1 , A2 , , Aa ，在水平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下，进行 n i 次独立试验，得到试验指标的观察值列于表 1-1。
表１-１
1
A1 A2 Ai Aa x1 1 x 21 x i1 x a1

6-2交互作用双因子方差分析解读

三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值；称为水平 Ai 下的样本均值；称为水平 B j 下的样本均值。
r r r i 1
s
0
i 1
s
i 1
s
ij uij ui u j u uij ui su i su i 0
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零；如果 H 03 成立，那么 ij 0
2 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零记
SE
SA
2
xijk xij
r s t
2
2
xi x
i 1 j 1 k 1 r s t i 1 j 1 k 1 r s t
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB
s 1
，可得若控制犯第一类错误的概率不超过
x 2 s1 , x 2 s 2 , , x 2 st
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs 1 , x rs 2 , , x rst

交互作用的r语言结果解读

交互作用的r语言结果解读在统计学和数据分析中，交互作用（Interaction）是指不同变量之间的相互影响程度。

在R语言中，可以使用线性回归模型（lm函数）和方差分析模型（aov函数）来探索和解释交互作用。

当我们使用lm函数来分析交互作用时，首先需要在模型中添加交互项。

交互项由两个或多个自变量相乘组成，并用冒号（:）连接。

例如，假设我们的数据集包含两个自变量x和y，我们可以用以下代码建立一个包含交互项的线性模型：```model <- lm(y ~ x + x:y, data = dataset)```在模型拟合之后，可以使用summary函数来查看交互作用的结果。

具体地，我们关注的是交互项（x:y）的系数估计值和显著性水平。

如果交互项的系数显著不为零，则表明存在交互作用。

另一种分析交互作用的方法是使用aov函数进行方差分析。

与lm函数类似，我们需要在模型中添加交互项。

例如：```model <- aov(y ~ x + x:y, data = dataset)```然后，我们可以使用summary函数查看结果。

在方差分析表中，我们关注的是交互项（x:y）的显著性水平（Pr(>F)）。

如果交互项的显著性水平小于设定的阈值（通常为0.05），则表示存在交互作用。

在解读交互作用的结果时，除了关注交互项的显著性，还需要考虑各自变量的主效应。

主效应是指自变量对因变量的独立贡献。

如果存在交互作用，那么自变量的主效应可能会受到交互作用的调节。

交互作用的R语言结果解读包括两个方面：首先，我们需要关注交互项的显著性水平，以确定是否存在交互作用；其次，我们还需要考虑各自变量的主效应，以综合分析交互作用的影响。

在实际应用中，可以结合可视化方法来更好地理解和展示交互作用的结果。

报告中如何有效分析实验结果的影响因素与交互作用

报告中如何有效分析实验结果的影响因素与交互作用导言实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以直接观察和控制因素，以验证或推翻假设。

然而，在实验结果分析过程中，仅仅通过简单的单因素分析可能无法全面认识因素对结果的影响，更不能准确把握各因素之间的交互作用。

本文将从统计学的角度出发，介绍如何有效地分析实验结果的影响因素与交互作用。

一、控制实验设计良好的实验设计是可靠分析实验结果的前提。

在设计实验时，应注意控制除研究因素外的其他因素，并将实验样本尽可能随机分配到不同处理组中，以减少干扰因素的影响。

二、单因素分析单因素分析是最常见的实验结果分析方法，通过对各因素的独立效应进行比较，确定其对实验结果影响的强弱。

在单因素分析时，可以使用t检验、方差分析等方法，对不同处理组之间的差异进行比较。

三、因素交互作用的概念因素交互作用是指不同因素之间相互作用产生的效应，其效果不能简单地由各因素的独立效应累加而得。

因素交互作用的存在增加了实验结果分析的复杂性，需要采用一些特定的统计方法进行分析。

四、因素交互作用的检验为了验证因素交互作用的存在，可以使用方差分析中的交叉效应分析方法。

该方法可以比较不同组别之间的差异，并判断此差异是否来源于不同因素之间的交互作用。

另外，还可以通过建立线性回归模型，引入交互项，来检验因素交互作用的存在。

五、因素间的交互作用模式除了检验因素交互作用的存在外，了解因素之间的交互作用模式也是实验结果分析的重要内容。

常见的交互作用模型包括加性模型、乘性模型和混合效应模型等。

在建立模型时，需要根据实验设计的具体情况选择适合的模型。

六、结果解释与应用在得到实验结果后，需要对其进行解释和应用。

在解释结果时，应尽量对影响因素和交互作用进行全面分析，同时注意将结果与实际问题联系起来，提出合理的解释。

在应用结果时，可以根据对影响因素和交互作用的认识，对现有问题进行进一步研究，并为相关决策提供科学依据。

结语实验结果的分析是科学研究中的重要环节，只有通过有效的分析方法，才能全面、准确地认识各因素对实验结果的影响和交互作用。

方差分析

所以：所以：|X1-X2|=SX1-X2×t=√2MSe/n×t √ × t值与两个平均数差数的标准误的乘积直接反映了两平均数的差异程度。平均数的差异程度。因而：因而：L S D a= SX1-X2ta=√2MSe/n×ta √ × 给它命名为：给它命名为：least significant difference 上面第一个例子的五个品系的株高平均数的多重比较(LSD): 上面第一个例子的五个品系的株高平均数的多重比较 SX1-X2=√2MSe/n=√2×0.779/5=0.5582 √ √ × 查表： t0.01,20=2.845 查表：d f =20 t0.05,20=2.086 LSD0.05=0.5582×2.086=1.1644 × 结论：）号品系与其余 LSD0.01=0.5582×2.845=1.5881 结论：1）4号品系与其余 ×
多重比较的字母标记法：多重比较的字母标记法：
队别二四三一年度 1979 843.5 1978 830 1977 663.25 1976 561.25 754.5 731.25 724.25 688 P0.05 a ab b c P0.05 a a b c P0.01 A AB B C P0.01 A A B C
308025 21609 79021 15317
270400 329476 929510 69076 83454 246868
(一)求总变异一求总变异 SST=∑∑Xij2-C=246868-3922/16 = 237264 C=∑(X ij)2/ab=2922/16 = 9604 d f T= n – 1 = 16-1=15
温度B 温度 35 73 150 184 407 40 72 62 108 242

商务统计学课件-有交互作用双因素方差分析问题描述

有交互作用双因素方差分析问题描述
因素B 因素A
B1
A1
X111, X112 ,
..., X11t
… Bj
… X1 j1, X1 j2 , ..., X1 jt
…
…
…
…
Ai
X i11, X i12 , ..., X i1t
… X ij1, X ij2 , ..., X ijt
…
…
…
…
X k11, X k12 ,
ij
ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
X ij
ij ai bj (ab)ij ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
… ..., X krt
… Tr
… Xr
…
Ti
Xi
…
…
Tk
Xk
总和总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为 A、B
因素 A共有 k个水平因素B 共有 r个水平
Xijs ~ N ( ij , 2 )(i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,...,t) 其中，ij , 2 均未知
1r
i
r ij j1
1k
k j
ij
i1
ai
i
bj
j
i 1, 2,..., k
j 1, 2,..., r i 1, 2,..., k j 1, 2,..., r

交互作用双因子方差分析

st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1

商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中，鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt

方差分析

4
5 平均
42
44 42
28
32 30
48
50 44
单因子方差分析
我们要研究的指标是电池的寿命，工艺是影响寿命的一个因素，三种工艺分别是该因素的三个水平. 在试验中我们假设其它因素都处于相同的状态. 这里我们希望利用上面得到的数据来考察“工艺”的不同是否对“寿命”这个指标有影响？
单因子方差分析
双因子方差分析
第一张表给出两因子交互作用的方差分析模型是显著的， F值为7.87，P值为0.0001。第二张表给出两个因子以及交互作用的检验结果。因素A、B、A*B的P值分为0.0001、 0.1363、0.0006，说明因素A 和因素A*B对Y的影响是显著的，因素B对Y的影响不显著。
方差分析的基本原理
4.方差的分解假设：某一影响因子A有a（a≥3）个水平的处理，在每一水平上有m个重复观测值，则该资料共有am个观测值，试分析因子A的各个水飞平之间有无显著差异。
方差分析的基本原理
总平方和分解为组间平方和和误差平方和。
组间平方和:
误差平方和:
单因子方差分析
1.单因素方差分析过程 2.SAS实现过程
双因子方差分析
程序如下：Data new;
Do a='a1', 'a2', 'a3', 'a4'; Do b='b1','b2','b3'; Input y@@; Output; End; End; Cards; 164 172 174 155 157 147 159 166 158 158 157 153 ; Proc print data=new; Run; Proc anova; Class a b; Model y=a b; Run;

交互作用双因子方差分析

交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。

在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。

交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。

与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。

在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。

然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。

主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。

交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。

显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。

双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。

通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。

然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。

首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。

此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。

总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。

通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。

单因素、交互作用、简单效应分析

8
解测验
区组4 区组5
3 5
2 4
7
7
5
12
分区组6 7
5
6
13
数区组7 5
3
7
12
区组8 2
3
6
11
数据录入
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: SCORE
S ou rc e Corrected Model
Type III Sum of Squares 216.000a
(I-J)
Std. Error
-2.1250* .68211
3.00
-4.5000* .68211
2.00
1.00
2.1250* .68211
3.00
-2.3750* .68211
3.00
1.00
4.5000* .68211
2.00
2.3750* .68211
Based on observ ed means.
结果2：事后检验即 Post hoc
选中主效应显著，且水平≥3的自变量
通常用LSD
结果2：事后检验即 Post hoc
Dependent Variable: 成绩 LSD
Multiple Comparisons
(I) 生字密度 (J) 生字密度
1.00
2.00
Mean
Difference
F值
p值
自由度组内均方
研究报告中的方差分析结果
One-Way ANOVA通常用文字陈述结果
自由度、均方、F、P 因素较多时则用三线表呈现

双因素方差分析

双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。

设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。

以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13）上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。

各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。

各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18）对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。

试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。

8.9有交互作用双因素方差分析问题描述

r
mij
j =1
=1 k
k
1
i=1 mi鬃= r
r
mj
j =1
å1 r
mi× = r
mij
j =1
å m×j
=
1 k
k i =1
mij
ai = mi× - m
bj = m×j - m
i =1, 2,..., k
j =1, 2,..., r i =1, 2,..., k j =1, 2,..., r
(ab)ij = mij - mi鬃- m j + m
ì ï
X ij
= mij
+ ai
+bj
+ (ab)ij
+e ijs
ï ïï
e ijs
~
N (0,s
2 ), 各e ijs独立
í ï
i
=1, 2,..., k;
j
=1, 2,..., r; s
=1, 2,..., t
邋邋 ï k
r
k
r
ï ïî
ai
i =1
= 0; bj
i =1
= 0; (ab)ij
i =1
… ..., X krt
… T鬃r
… X 鬃r
…
Ti鬃
X i鬃
…
…
Tk鬃
X k鬃
总和总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为
因素共有个水平因素共有个水平
Xijs ~ N(mij ,s 2)(i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r; s =1, 2,...,t) 其中，

如何进行有交互多因方差分析

如何进行有交互多因方差分析
1、为了说明如何进行有交互作用多因素方差分析，我们使用盈质统计分析软件打开一个包含例子数据的Excel文件。

这是某烘焙店推出的某新款面包试吃评分，为了得到最优的口感，分别调整了糖含量和添加剂含量，在5%的显著性水平上，我们用有交互的方差分析对评分结果进行分析和分组。

2、在“方差分析菜单”下，点击“多因素方差分析”。

3、响应选择“面包试吃评分”，因子，单击“点击添加按钮”，选择“含糖量”、“是否含添加剂”，添加至右边，确认提交，勾选交互作用选项。

4、点击确定，会自动生成有交互作用的双因素方差分析结果和Tukey多重比较分组结果。

5、我们来看这个例子的分析结果，首先看因子信息，列出了两个因子的各个水平。

重点看方差分析表各个因子的P值，含糖量P值为0，小于显著性水平0.05，说明含糖量对面包的试吃评分有影响；是否含添加剂，P值为0.001，说明是否含添加剂对试吃评分也有影响；含糖量:是否含添加剂的P值为0，说明含糖量与是否含添加剂对面包试吃评分有交互作用的影响。

6、最后看通过Tukey方法给出的多重比较结果分组。

分别按因子进行了比较和
分组。

“含糖量”因子，“中”和“高”同属A组，“低”和“无”分属B和C组。

“是否含添加剂”因子，“不含”和“含”分属A和B组；重点看“含糖量”和“是否含添加剂”交互作用的分组，按评分由高至低排列，得到评分最高的A组为含糖量中等，且含有添加剂，所以，店家决定按这个配方制作该款面包，以得到最优口感。

7、如需查看完整视频或了解更多信息，请百度搜索“盈质统计分析软件”进行查看。

生物统计学之二因素方差分析

二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型
来描述：
总平均值
B因素第j水平的效应
xijk = μ +αi +β j+(αβ)ij +εijk
αi 和β j的
交互作用
A因素第i 水平，B因素第j 水平和第k次重复的观测值
A因素第i水平的效应
随机误差
模型中εijk彼此独立且服从标准正态分布（ 0 ,σ2）
在两因素单独观察值试验情况下，因为A因素(pH值)每一水平的重复数恰为B因素的水平数。故A因素的标准误
不同硫酸铜浓度下平均数间的比较
在两因素单独观察值试验情况下，B因素(硫酸铜浓度)每一水平的重复数恰为A因素的水平数，故B因素的标准误
查SSR值表，当dfe=6，M=2，3，4时的SSR值及由此计算的LSR值列于下表
i=1,2,…,a;
j=1,2, …,b
αi 和βj 是A因素和B因素的效应，可以是
固定的，也可以是随机的，且
，εij是随
机误差，彼此独立且服从N(0，σ2)。
（1）平方和的分解为：
（2）与平方和相应的自由度的分解为
（3）各项的方差分别为（4）F值的计算：
【例】为了考察蒸馏水的pH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血
平均
472
2
471
512
32
496
40
25
492
17
显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之
亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。
互作效应可由 (A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。上表中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15

8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

(kr(t - 1)) Nhomakorabea=
SSB/(r SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSB MSE
~
F (r
-
1, kr(t
-
1))
FA
=
SSA s2
(k - 1)
SSE s2
(kr(t - 1))
=
SSA/(k SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSA MSE
~
F(k
-
1,
kr(t
-
1))
FA´
B
提出假设
检验假设 H0 : a1 = a2 = ... = ak = 0 H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0¢: b1 = b2 = ... = br = 0 H1¢: b1,b2 ,..., br不全为零
检验假设 H0ⅱ: (ab)ij = 0 H1ⅱ: (ab)ij 不全为零 (i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r)
得出检验结论
表有交互作用双因素方差分析表
差异来源离差平方和自由度
F值
F 临界值
P值
因素 A 因素 B
交互作用
SSA k - 1
SSA/(k - 1) FA =
SSE / (kr (t - 1))
Fa (k - 1, kr (t - 1))
SSB r - 1
SSB /(r - 1) FB =
SSE / (kr (t - 1))
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合

方差分析

Contrast Variable: TIME.5 Source DF MEAN 1 Error 11
Contrast Variable: TIME.6 Source DF MEAN 1 Error 11 Contrast Variable: TIME.7 Source DF MEAN 1 Error 11
Type III SS 10920.33333333 691.66666667
Mean Square 10920.33333333 62.87878788
F Value 173.67
Pr > F 0.0001
Type III SS 12096.75000000 416.25000000
Mean Square 12096.75000000 37.84090909
3.实例
例为研究5个不同剂量的甲状腺提取液对豚鼠甲状腺重的影响，考虑到鼠的种系和体重对观测指标可能有一定的影响，设计实验时最好将这2个重要的非处理因素一并安排，根据专业知识得知,这3个因素之间的交互作用可忽略不计,试选用合适的试验设计方案,并对所收集的定量资料进行统计分析。
本例有3个因素,每个因素有5个水平: 剂量:A 273 B 308 C 319 D 391 E 410 种系:1 2 3 4 5 体重:一二三四五
Nx
2
SSB r ( x. j . x ) r
2
x
2 . j.
Nx
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SSC r ( x .. K x ) r
F Value 0.66
Pr > F 0.4332
F Value 35.87
Pr > F 0.0001

二元方差分析

A B B1
A1
X11
B2 …… Bs
X12
……
X1S
A2
X21
X22
……
X2S
…… …… …… …… ……
Ar
Xr1
Xr2
……
Xrs
我们假定Xij ~ N (ij , 2 ),如果因子B对试验指标没有
显著影响,那么Xi1, Xi2 ,
,
X
的分布相同,即
is
H0B : i1 i2 is
如果因子A对试验指标没有显著影响,那么X1 j , X 2 j , ,
( X ijk X ij )2
i1 j1 k 1
i1 j 1 k 1
则有
SST SSA SSB SSAB SSE
记
Xijk ij ijk ijk N (0, 2 )
则 ij
1 c
c
ijk
k 1
i
1 s
s
ij, j
j 1
1 r
r
ij ,
i1
1 rs
r i1
s
ij
j 1
E(SSB)=(s-1) 2
(4)我们还可以证明
FA
SSA SSE (r
(r 1) 1)(s 1)
在H
0
为真时
A
FA F(r 1, (r 1)(s 1))
FB
SSB SSE (r
(s 1) 1)(s 1)
在H
0
为真时
B
FB F(s 1, (r 1)(s 1))
由上面讨论,我们找到了一种检验H0A和H0B方法: 选取统计量
FA
SSA SSE (r
(r 1) 1)(s 1)

统计学中的方差分解与交互作用

统计学中的方差分解与交互作用统计学是通过收集、分析和解释数据来研究和推断关于整个群体的特征和规律的学科。

在统计学中，方差分解是一种重要的分析工具，用于研究变量之间的关系和变差的来源。

同时，交互作用也是统计学中的一个重要概念，用于描述两个或更多变量之间的相互影响。

本文将探讨方差分解和交互作用在统计学中的应用和意义。

一、方差分解方差分解是将总体或总体样本的变异性分解为几个部分以了解各部分对总体变异性的贡献程度的分析方法。

它可以帮助我们理解数据的来源和影响因素，并量化各种因素对总体变异性的解释程度。

在方差分解中，常常使用方差分析（ANOVA）来进行分析。

方差分解可以将总变异性分为组内变异性和组间变异性。

组内变异性表示同一组内个体数据之间的差异，而组间变异性则表示不同组之间数据的差异。

这种分解可以帮助我们识别影响变量的因素，并量化这些因素对整体变异性的贡献。

方差分解可以用于不同领域的研究，比如医学研究、社会科学研究和经济学研究等。

通过方差分解，研究人员可以深入分析不同因素对总体变异性的影响，从而提供更精确的研究结论和实证分析。

二、交互作用在统计学中，交互作用描述了两个或更多变量之间存在的相互影响。

当变量之间的关系受到其他变量的干扰或调整时，就可能产生交互作用。

交互作用可以帮助我们理解变量之间的复杂关系和相互作用模式。

在回归分析中，交互作用通常通过引入交互项来评估。

交互项是两个或多个变量相乘的结果，并提供了关于变量之间关系的更详细的信息。

通过分析交互作用，我们可以揭示不同变量之间的相互作用效应，从而更好地理解数据背后的机制。

交互作用在统计学中的应用非常广泛。

在医学研究中，交互作用可以帮助探究不同因素对治疗效果的影响。

在市场研究中，交互作用可以帮助分析消费者对产品特性的反应。

通过运用交互作用的概念，我们可以更加全面地了解变量之间的关系和影响，从而做出更精确的推断和决策。

三、方差分解与交互作用的关系方差分解和交互作用在统计学中起着不同的作用，但也存在一定的联系和关联。