傅里叶积分
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
傅立叶积分
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
傅里叶积分
∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列 以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简 单复习高 数知识： 周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其 中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
5.2傅立叶积分与傅立叶变换
0()()()()()()2,)()()(cos sin )(1)k k f x x f x g x l f x g x T l g x k x k xg x a a b l l ππ∞<<∞→∞→=→∞∞∞++一实数形式的傅里叶变换设为定义在-上的函数，一般说来，它是定义在无穷区间上的，非周期的，不能展开为傅里叶级数，为研究这样的函数的傅里叶展开问题，采取如下办法：将非周期函数看作是某个周期函数于周期2时的极限情形。
周期非周期(-则的傅里叶级数展开式：＝1()k l f x ∞=→∞∑在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换本节研究非周期函数的傅里叶展开、傅里叶变换及有关性质。
11kk k k k k l l l ωππωωωωπ+∆∆=-引入不连续参量=(k=0,1,2,...),=,则=下面仔细研究这一过程。
01()(cos sin )(2)k k k k k g x a a x b x ωω∞=++∑成为＝01()(cos )k k k k x k xg x a a l l ππ∞==+∑则(1)式：1()cos l k l kk a f d l l πξξξδ-=⎰其中：1()sin l k l k b f d l l πξξξ-=⎰1()cos();l k k l k a f d l ξωξξδ-=⎰其中：1()sin()(3)l k k l b f d l ξωξξ-=⎰001:lim ()lim lim ()02l ll ll l l l a if f d a f d l ξξξξ--→∞→∞→∞→∞=⎰⎰将(3)式代入(2)式，并取的极限，结果如何？对于有限，则＝余弦部分：11lim [()cos()]cos()l k k l l k f d x l ξωξξω∞-→∞=∑⎰1lim cos()k k l k a x ω∞→∞=∑1k l ωπ∆将=代入0k k k l l k πωωωω→∞∆→∴ ，，不连续变量(=)变成连续变量，记为对的求和变成对的积分。
简述傅里叶积分定理
简述傅里叶积分定理一、引言傅里叶积分定理是傅里叶分析的核心定理之一，它将信号在时域和频域之间的转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
本文将从定义、性质、应用等多个方面全面详细地阐述傅里叶积分定理。
二、定义傅里叶积分定理是指：如果函数f(t)和它的傅里叶变换F(ω)都绝对可积，那么它们之间存在一个相互逆的关系。
具体来说，函数f(t)可以表示为：f(t)=1/(2π)∫F(ω)e^(jωt)dω其中，j为虚数单位。
三、性质1.线性性：如果f1(t)和f2(t)的傅里叶变换分别为F1(ω)和F2(ω)，那么a1f1(t)+a2f2(t)的傅里叶变换为a1F1(ω)+a2F2(ω)，其中a1和a2为常数。
2.对称性：如果函数f(t)是实值函数，则它的傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω)=conj(F(ω))。
3.平移性：如果函数g(t)=f(t-t0)，那么它的傅里叶变换G(ω)=e^(-jωt0)F(ω)。
4.调制性：如果函数g(t)=f(t)e^(jω0t)，那么它的傅里叶变换G(ω)=F(ω-ω0)。
四、应用1.信号分析：傅里叶积分定理可以将信号在时域和频域之间进行转换，从而方便对信号进行分析和处理。
可以通过对声音信号进行傅里叶变换得到其频率分布，从而实现音频处理。
2.通信技术：傅里叶积分定理被广泛应用于通信技术中。
可以通过将数字信号转换为频域表示来进行调制和解调，从而实现高效的数据传输。
3.图像处理：在图像处理中，傅里叶积分定理也扮演着重要角色。
可以通过对图像进行傅里叶变换得到其频率分布，并利用这些信息实现图像增强、滤波等操作。
4.量子力学：在量子力学中，傅里叶积分定理也有着广泛的应用。
在薛定谔方程的求解过程中就需要使用到傅里叶积分定理。
五、总结傅里叶积分定理是傅里叶分析中的重要定理，它将信号在时域和频域之间进行转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
傅里叶积分变换
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换
1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
13 13 目录
课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数
F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：
f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .
0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l
l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
7 7 目录
第一+二节(傅里叶级数和积分)
代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可 对于系数a 如果 对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限 则有 有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的 的 叫做周期函数
傅里叶级数展开式 展开系数称为傅里叶系数 展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期 狄里希利定理: 若函数f(x)满足 狄里希利定理: 若函数 满足 处处连续或者在每个周期 中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值 在每个周期中只有有限个极值 中只有有限个第一类间断点 则级数收敛,且 点,则级数收敛 且 则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
7
(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数 则傅里叶系数的计算公式可得 是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得 若周期函数 是奇函数 a0及ak都等于零 则展开式变为 都等于零,则展开式变为 则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为 这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性 展开系数为 由于对称性 展开系数为:
13
又 l →∞
∆ω k =
大学物理-傅里叶积分变换
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
6.1 傅里叶积分定理
]
上连续或只有有限个第一类间断点;
2)
在
[
T 2
,
T 2
]
上只有有限个极值点,
则函数 f T(x)在
[
T 2
,
T2上] 可以展开成傅里叶级数.
在 fT (t) 的连续点处，
其中
，且
傅里叶级数的三角形式
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 0,1, 2,)
2
bn
2 T
T
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是 的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
(
)
cos(t
)d
d
可得 f (t) 1
0
f
(
) cos (t
)d
d
利用三角函数公式
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
dn
1 T
T T
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t)eintdt cn
上述两个系数可以合并为一个
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
n 0,1, 2,
推导过程如下
傅里叶级数积分计算技巧
傅里叶级数积分计算技巧傅里叶级数是一种将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它在信号处理、傅里叶分析、图像处理等领域中得到广泛应用。
傅里叶级数的计算可以通过积分来实现，以下是一些傅里叶级数积分计算的技巧。
1. 傅里叶级数的基本公式：周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中：a0 = (1/T) * ∫[0,T] f(t) dtan = (2/T) * ∫[0,T] f(t) * cos(nωt) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t) * sin(nωt) dt2. 利用对称性简化计算：如果函数f(t)是偶函数，则所有的正弦项都为零，只保留余弦项计算。
如果函数f(t)是奇函数，则所有的余弦项都为零，只保留正弦项计算。
3. 利用周期性简化计算：如果函数f(t)的周期是2π，即T=2π/ω，则可以将积分区间简化为[0,2π]。
这样，傅里叶级数的计算可以通过对[0,2π]上的函数进行积分来实现。
4. 利用正交性简化计算：傅里叶级数中的正弦和余弦函数具有正交性，即不同频率的正弦和余弦函数在区间[0,T]上的乘积的积分为零。
这意味着，如果要计算某个系数an或bn，只需将f(t)与cos(nωt)或sin(n ωt)相乘后再进行积分即可。
5. 利用欧拉公式简化计算：欧拉公式表示为e^ix = cos(x) + i*sin(x)，其中i为虚数单位。
可以利用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，从而简化傅里叶级数的计算。
以上是一些傅里叶级数积分计算的技巧，通过应用这些技巧，可以更高效地计算傅里叶级数，从而实现信号处理和傅里叶分析等领域的应用。
积分变换--傅里叶变换课件
x
前面计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
w
一般地, 对于周期T
1 jw n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 jw n t e dt T 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e Tjw n Tjw n 1 2 sin w n 2 sinc( w n ) (n 0,1,2, ) T wn T
1
例如变换核 k( t ,ω ) e jωt , 积分域 ( a,b ) ( , ), 则
F( ω )
f ( t )e jωt dt
变换核 k(t , s) e st , 积分域 (a, b) (0,), 则
F ( s)
0
f ( t )e st dt ( s为复变量)
T 2
则在T=8时,
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
1 T2 jnwt 合并为：cn fT (t )e dt n 0, 1, 2, T T 2
6.1 傅里叶积分定理
(2) f (t)在 (,) 上绝对可积, 即
则在 f (t)的连续点处
f (t) dt
f (t) 1
[
f ( )ei d ]eitd ,
2
收敛，
而在 f (t)的间断点处
Fourier积分的复指数形式
f (t 0) f (t 0) 1
[
f ( )ei d ]eitd .
则函数f的连续点处其中的间断点t处傅里叶级数收敛于傅里叶级数的三角形式其中利用可得推导过程如下上述两个系数可以合并为一个cossincossin取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上
第六章 傅里叶变换
第一讲 Fourier积分定理
01
CHAPTER
§1 Fourier积分定理
周期函数的Fourier级数
f
(
)ei (t
)
d
d
1
2
f
( )cos(t )d
i
f
(
)
sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是 的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
n-1 n
令n n n1 2 T (与n无关)，T 2 n
T n 0
记作
1
( )d
2
n 0
T ,
n 成为连续变量, T (n ) ()
1
2
f
( )ei d eitd
Fourier积分定理
设 f (t)在 (, )满足下列条件:
用傅里叶变换求积分
用傅里叶变换求积分文章题目：深入探讨傅里叶变换在积分计算中的应用引言：积分是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、经济学等。
为了提高积分计算的效率和准确度，傅里叶变换被引入其中。
傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的数学工具，它的应用不仅限于信号处理和频谱分析，还可以用于求解积分。
本文将深入探讨如何利用傅里叶变换求积分，并分析其优势和适用范围。
一、傅里叶变换的基本原理及公式推导1.1 傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数是将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，而傅里叶变换则是将非周期函数分解为一系列复指数函数的积分。
通过引入虚数单位i和指数函数的欧拉公式，我们可以推导出傅里叶变换的基本公式。
1.2 傅里叶变换的定义与逆变换傅里叶变换将函数从时域转换到频域，通过对函数在整个实数轴上进行积分，得到对应的频域表示。
而傅里叶反变换则将频域的表示转换回时域。
二、傅里叶变换在积分计算中的应用2.1 傅里叶变换求解定积分傅里叶变换的一个重要应用是用于求解一类特殊的定积分。
对于具有对称性质的函数，我们可以利用傅里叶变换将其转化为频域上的计算问题，进而简化计算过程。
2.2 傅里叶变换求解广义积分广义积分是一类无界函数的积分，常规的积分计算方法往往无法适用。
而傅里叶变换提供了一种有效的工具来求解广义积分，通过将函数在频域上的表示进行计算，再进行反变换得到最终结果。
三、傅里叶变换求积分的优势和适用范围3.1 提高计算效率传统的积分计算方法可能需要进行复杂的代数运算或数值计算，而傅里叶变换通过将函数转换到频域上，简化了计算过程，提高了计算效率。
3.2 处理周期性信号对于周期性信号的积分计算，傅里叶变换可以更加灵活地处理，因为傅里叶变换天然适用于周期函数的分析和变换。
3.3 分析频域特性傅里叶变换将函数从时域转换到频域，可以直观地展示频域上的特性，并为后续的频谱分析提供了基础。
结论：傅里叶变换在求解积分问题中作为一种有力工具，具有提高计算效率、处理周期性信号和分析频域特性等优势。
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
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➢ §1 齐次波动方程的第—边值问题 ➢ §2 齐次热传导方程的定解问题 ➢ §3 二维拉普拉斯方程 ➢ §4 非齐次定解问题的解法 ➢ §5 积分变换法 ➢ 习题二
§2 齐次热传导方程的定解问题
➢ 2.1 热传导方程的第二齐边值问题 ➢ 2.2 傅里叶积分 ➢ 2.3 齐次热传导方程的初值问题 ➢ 2.4 傅里叶积分解的物理意义
d ( ) cos( x)d
0
➢ 由于被积函数cos(-x)关于是偶函数,因此,上式可变形为
(x) 1
d ( ) cos( x)d
2
➢ 式(2.15)称为(x)的傅里叶积分。
(2.15)
2.2 傅里叶积分
➢ 可以证明，在(x)及(x)的连续点处， (x)的傅里叶积分 收敛于它在该点的函数值。
(2.11)
Cn
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .(2.12)
➢ 将(2.11), (2.12)代入 (2.10) 后, 级数(2.10)在形式
上既满足方程(2.1), 又满足边界条件(2.2)和初值条件
(2.3), 当函数φ(x)满足一定条件时, 级数(2.10)是收
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.5)和(2.6)可得特征值问题
X"(x) X (x) 0
X
' (0)
X
' (l )
0
(2.7) (2.8)
➢ 类似上一节求特征值的方法, 可得(2.7), (2.8)的全部
特征值为
n
n
l
2, n
0,1,2,
(2.9)
➢ 相应的特征函数为
X
n(Leabharlann ➢ 把u(x,t)= X(x)T(t) 代入齐次热传导方程(2.1)可得
➢即
T '(t) X "(x)
a2T (t) X (x)
T '(t) a2T (t) 0
(2.4)
X "(x) X (x) 0
(2.5)
➢ 由齐边值条件 (2.2)可得
➢
X'(0)T(t) =0, X'(l)T(t) =0 (2.6)
x)
c
os
nx
l
,
n
0,1,2,
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.4)和(2.9)可得
( na )2 t
Tn (t) Cne l
➢则
un
(x,
t)
(
Cne
na l
)2
t
cos
nx
l
,
n
0,1,2,
➢故
u( x, t )
C0
( na )2 t
n1
Cne
l
cos
nx
l
(2.10)
➢ 把(2.10)代入初值条件(2.3), 可得
(
( )ei d )eixd
2
➢ (2.17)称为指数型傅里叶积分公式。
(2.17)
➢ 由于函数 ( ) sin ( x)d 关于是奇函数,所以
0 lim i
A
d ( ) sin ( x)d
2 A
A
i
d ( ) sin ( x)d
2
(2.16)
➢ (2.15)+(2.16)，得
2.2 傅里叶积分
(x) 1
d
( )ei( x)d
2
1
敛的。因此，(2.10)确实代表定解问题(2.1)-(2.3)的
解。
2.2 傅里叶积分
傅里叶 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都
可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，
首次提出“任何非周期信号都 可用正弦函数的积分表示”
2.2 傅里叶积分
➢ 为了求解无限长杆的齐次热传导方程的初值问题, 我们先引 入傅里叶积分的概念。
➢ 我们前面讨论的定解问题的变量x的取值范围为[0,l],如果考 虑无限长杆的热传导,也就是l+,则前面的(x)和(x)的 傅里叶级数展开及傅里叶级数展开的唯一性将不再继续成立, 如何处理无限长杆的热传导问题呢?
➢ 一般的,我们可以用如下方法处理这一问题:我们先定义一个 函数l(x),在(-l,l)上, l(x)= (x),在(-l,l)之外, l(x) 是一个周期为2l的周期函数,那么
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
u(x,0)
C0
n1
Cn
cos
nx
l
➢ 将φ(x)按余弦级数展开,可得
➢ 其中
(x)
0
2
n1n
cos nx
l
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .
➢ 由函数展开成傅里叶级数的唯一性，可得
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
C0
0
2
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 考虑一维热传导方程的第二齐边值问题
a u
t
2
2u x2
,
0 x l,
u 0, u 0,t 0
x x0
x xl
t 0
(2.1) (2.2)
u (x),0 x l t 0
(2.3)
➢ 其中 φ(x)为已知函数。
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
lim
l
l
(x)
lim
l
1
n1 l
l ( ) cos n
l
l
(
x)d
➢ 若记
(2.14)
1
l
, 1
l
, 2
2 l
, 2
2
1
l
, ,
n
n l
, n
n
n1
l
➢ 则(2.14)可写成
2.2 傅里叶积分
(x) lim 1
n 0
n1
n
l
l ( ) cosn (
x)d
1
2.2 傅里叶积分
ll
( (
x) x)
( (
x), x),
x x
(l (l
, ,
l l
) )
➢ 根据傅里叶级数展开的理论, l(x)可以在(-l,l)上进行级数 展开。
l (x)
a0 2
n1(an
cos nx
l
bn
sin
nx )
l
(2.13)
➢ 其中
2.2 傅里叶积分
an
1 l
bn
1 l
l
l l l
l l
( ) cos ( ) sin
n
l
n
l
d ,
n
d ,
0,1,2,
➢ 把an,bn代入级数(2.13),可得
l
(x)
1 2l
l
( )d
1
l
n1 l
l ( ) cos n ( x)d
l
l
➢
设(x)在(-∞,+∞)上绝对可积,即
(x)
dx
为有限值,则当
l+时,
2.2 傅里叶积分