有理数的概念数轴绝对值

有理数概念数轴绝对值
一、正负数，有理数定义，有理数分类 〖知识回顾〗
1、正数与负数
（1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做 。

（2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做 。

（3）0既不是 也不是 ，0是正数与负数的 。

0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。

（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有 的意义。

（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a ，当a ＝0时，－a ＝ ，当a 表示负数时－a 是 ，只有当a 是正数时－a 才是 。

2、有理数的定义
、 、 统称为整数。

如：101，0，－10.正分数和负分数统称为 ，如：0.3，25
-，－3.1。

整数和分数统称有理数。

有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为 、 。

3、有理数分类
〖典型例题〗
例1、判断：（边读题边判断边讲解）
（1）前面带有“－”的数是负数（ ）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( ) 例2、填空：（将题抄写在黑板上）
-4.5， 3.14， -2， +43， .
0.6-， 0.618，
7
22
，0，-0.212，184-
负数： 个；分数： 个；正分数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个； 例3、（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
〖随堂练习〗
1、判断
（1）存在既不是正数，也不是负数的数（ ） （2）a 是正数（ ） （3）－a 是正数（ ） （4） a 和－a 一定有一个表示负数（ ） （5）a 和－a 表示一对相反数（ ） 2、将下列各数分别填入相应的大括号里：
-3.5， 3.14， -2， +43， .
0.6 ， 0.618，
7
22
，0，-0.202 正数： 个；整数： 个；负分数： 个；正整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个； 3、（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？ （2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？ （3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？
二、数轴
〖知识回顾〗
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；
（2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向；
（3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…
〖典型例题〗
例1、数轴上的点（2道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）
第 4 题 图
（1）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。

（2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。

〖随堂练习〗
1、如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．
2、 在数轴上点P 表示的数是2，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是 。

3、点A 为数轴上表示-2的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 。

4、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。

三、相反数，绝对值，倒数
〖知识回顾〗
1、相反数
几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。

代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。

（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。

如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6。

数a 的相反数是 ，0的相反数是 。

相反数是它本身的数是 。

（2）a,b 互为相反数⇔ 或 或 2、绝对值
几何定义：
a 的点与 叫做数a 的绝对值，记作 代数定义：∣a ∣
或 ∣a ∣=
注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。

3、倒数
定义： 的两个数互为倒数。

若ab ＝1，则a,b 互为倒数。

如：－3与-1∕3互为倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1.
特别提示：倒数和相反数的区别
（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）； （2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1； （3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。

〖典型例题〗
1、－｛＋〖－（＋6.6）〗｝＝ 。

2、（2009年福州）2010的相反数是 。

3、若a －2 的相反数是5，则a 的值为____．
4、求下列各数的绝对值
（1）－38； （2）3c(c ＞0)； （3）m －2(m ＜2)； （4）m-n(m ＜n) 5、求下面每个数的倒数
（1）－38； （2）－0.25； （3）-3.5； (4)0； (5)1，-1； 6、判断
（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a |一定是正数（ ）
7、
m m
= 。

（b ≠0)
〖随堂练习〗
1、判断(边读边判断边讲解）
（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ）
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）|21a |=－2
1
a ，则a 一定是非正数（ ）
（5）若|a |＝|b|，则a ＝b ； ( ) （6）
(0)b b
b b
b
=
≠ ；
（ ） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）
（1）0.15 （2）a(a ＜0) （3）a －2(a ＜2) （4）a-b(a ＞b) 3、若5=a ，则a 的值是 . 4、(2010巴中)-3∕2的倒数的绝对值。

5、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a 的绝对值，那么a 的值是 。

四、有理数大小比较
〖知识回顾〗
在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即 小于 。

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于 ；（2）两个负数，绝对值大的 。

〖典型例题〗
例1、比较下列每组数的大小：
（1）-2和+6； （2）0和-1.8； （3）-
3
2
和-4；
例2、指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。

-2
2
4
-3
-4
-1
1
3
D C
E B
〖随堂练习〗
1、比较下列每组数的大小：
（1）－10，－7； （2）3.8，－4.1，－3.9； （3）－
12，－14； （4）－89和－910
；
2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。

7，－45，－3.5，0，43
五、经典例题 范例1．
（1）最大的负整数是 ； 最小的正整数是 ； （2）既不是整数，也不是正数的有理数是 ； （3）所有的小数都能化成分数吗？ 。

[教师总结知识点]有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数．
范例2 （1）已知A 在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A 的距离是2个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数。

（2）已知A 在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A 的距离是3个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数。

范例3 判断下列直线[图4-2（1）（2）（3）]是否是数轴？ (1) -2 -1 0 1 2
(2)
(3) 图 4-2（1）
范例4 若3a 的相反数是－8，则a 的相反数是多少？
范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?
范例6已知以a<0，计算l+2a+∣1－2a ∣的值．
范例7 已知|2x ＋5|＋|x －y|＝0，试求x,y 的值．
范例8 如果a ≠0,则
||
a
a 有可能取什么样的值呢？
[教师总结知识点]一个非零数和它的绝对值的商为1或者－1
范例9 把下列各数，按从小到大的次序，用“＜”号连接起来： ＋2，－2，＋3，－3，0，＋2
1，－143．
范例10．比较－2
7
和－0.28的大小；
分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”
下结论．
解 （１）方法一：∣－27∣＝27＝50175， ∣－0.28∣＝28100＝725＝49
175．
∵
50175＞49175， ∴－2
7
＜－0.28 ． 方法二：∣－27∣＝27＝1449， ∣－0.28∣＝28100＝1450
．
∵
1449＞1450， ∴－2
7
＜－0.28 ． 方法三：∣－27∣＝2
7
＝0．281…, ∣－0.28∣＝0.28．
∵0.281…＞0.28,
∴－2
7
＜－0.28 ．
范例11．已知：|a|＝3，|b|＝2，且a ＞b ，求a+b 的值．．
范例12．(1)已知：|x|=x ，求x 的取值范围；
（2）已知1||x
x =-，求x 的取值范围．
范例13．已知三个有理数a 、b 、c ，b 是a 的相反数，c 是b 的倒数，比较a b +和ac 的大小？并简要说明理由．
[中考链接]
1.请你在数轴上用“．”表示出比1小2的数．
-3 -2 -1 0 1 2
2.m,n 互为相反数,则m+n= 。

3.若x 的相反数是3,∣y ∣=5,则x+y 的值是 。

六、课内练习
1．当0<a
时，=a ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 ．
2． 绝对值不大于4的整数是 ．绝对值不大于4的整数的和是 ．311-的倒数与2
1
-的相反数的差等于 ． 3． 满足
a a
=1
的数有 个，他们是 ；满足a a =-的数有 个，他们是 ；满足a a =的数有 个． 4．若
312=-x ，则=x ．代数式
ab
ab b b a a ++的所有可能的值为______________．
5．在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖
个点． 6．已知0>a ，0<b ，b a <，用“<”符号把a ，a -，b ，b
-连接起来的式子为 ．
7．如果
0)2
3
(22=++-y x ，那么=+y x ．已知3=a ，2=b ，则b a +的值为_________．
8．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则m cd c
b a b
a +++++ 的值是 ．
9．若
1=x x ，若x 0，若1-=x
x
，若x 0．当52<<-x 时，化简25+--x x =______________． 10．如果
6=m ，2=n ，m n n m -=-，那么=m ，=n ．
11．绝对值小于10的所有的整数的和是 ，积是 ．
12．若
0)1(32
=-++y x ，式子n
x y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
4的值（n 为整数）是 ．
13．若
0)2(12=-+-ab a ，计算代数式：
)
2001(20011)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ）（ =_________________. 14．如果收入20元记作+20元，那么-75元表示 ．如果-30%表示减少30%，那么+50%表示 ． 15．b a -的相反数为_______. 大于－4．5的非正整数有 个，大于－7．6且小于2．9的整数有 个． 16．)5(+-a 是 的相反数，若a a
-=，则=a ．绝对值最小的数是 ，绝对值等于6
- 的数是 ．
17．绝对值小于3的整数有 个，它们是 ．已知
1=-a ，3
2
=
b ，则=+b a ． 18．若
a a a 2=+，则a 0；已知031=-+-y x ，则
y
x xy
+的值为_____________________． 19．已知0<a ,0<b ，且b a <，用“<”号将a 、b 、a -、b -连接起来为____________________．
20．小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床后他立即用煤气灶煮早饭，早饭一共需要7分钟才能煮熟，他洗脸、漱口时间需要5分钟，吃早饭需要8分钟，吃完早饭就去上学，小明同学很会合理安排时间，他从开始起床到吃
21．已知
82=-x ，则x 的值为 ；绝对值不大于4的整数的和是 ．
22．0减去a 的相反数，结果是 ．31-的绝对值与2
1
2-的相反数的差是 ． 23．若8=a ，3=b ，且0>a ，0>b ，则=-b a ________; 已知032=-++b a ，则=-5
a
b ．
24．若0<ab ，且b a <，则a 0，b 0．
25．
0321=-+++-z y x ，则=+-+)3)(2)(1(z y x ．
26．若0)
3)(2(=+-x x ，则=x ．若a 为整数，012>+a ，010<+a ，则=2a ．
27．–54 的底数是 ，它表示 ．=-n
2)
1( ， =-+12)1(n
28．若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯+23)(m ab b
a
d c 29．=---32
3
，=⨯÷+--33
1
33322 ．
30．四个互不相等的整数a 、b 、c 、d 的积是9，则=+++d c b a ．
31．已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且
3=x ，求x d c ab 23+--的值．
32．绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 ．如果0>+b a ，并且a 、b 异号，a b >，则．
33． 如果492
=x ，0<x ，那么=x 2 ．3)7
3
(-的底数是 ，指数是 ．
34．=-+-20062005
)1()
1( ．一个有理数与它的倒数相等，这样的有理数是 ．
35．如果0>a ，0<b ，且0<+b a ，则（ ） A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．0<b 36．如果0<a
，0<b ，且b a >，那么b a -是（ ） A ． 正数 B ． 负数 C ． 0 D ． 以上都有可能
37．下列说法正确的是（ ）
A ． 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．
B ． 几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正．
C ． 几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个．
D ． 几个有理数相乘，当因数有偶数个时，积为正． 38． 已知：
0,5,4 ab b a ==，则b a +的值为（ ） A ． –1 B ．1 C ．1或-1 D ．9或-9
39．下列说法正确的是（ ）
A ．正数和负数互为相反数．
B ．数轴上，原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数
C ．除0以外的数都有它的相反数．
D ．任何一个数都有它的相反数． 40．下列说法正确的是（ ）
A ． 绝对值等于它本身的数一定是正数
B ．最大的负数是-1
C ．整数是由正整数和负整数所组成的
D ．有限小数是有理数
41．有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是 A ．
a b -> B ． b a -> C ．a b > D ．b a >
冬季预初数学讲义第二讲（140122）课后作业
本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）
班级： 姓名：
一．填空题 1．满足
b
≤3的整数b 是 ___________________
2．规定了 ， ， 的直线叫做数轴． 3．如果0a <，那么
a
--＝
4．如果2m +与－3互为相反数，那么m ＝ 5．如果0a b >>，那么
a b
--＝
6．13与 互为相反数，1
3
与 互为倒数．
7．比较大小：10(1)- 101-．（填“＞”、“＜”或“＝”号）
二、判断题．
1．互为相反数的两个数的绝对值的和一定大于零．( ) 2．所有的有理数都能在数轴上找到与它对应的点．( ) 3．对于任意有理数0x <，0y <，都有
x y x y
+=+．( )
4．1-的n 次方与1-的1n +次方互为相反数．( )
三、选择题：
1．在理数中，一个数的相反数等于它本身的有（ ）
Ａ．０个； B ．１个； C ．２个； D ．无数个． 2．下列说法正确的是（ ）
Ａ．－a 一定是负数； B ．数轴上原点两旁的数是相反数； C ．一个数的绝对值是正数； D ．．任何有理数都有相反数． 3．有a 、b 、－a 、－b 四个非零数，下列不等式不能成立的是（ ）
Ａ．b a a b -<-<< ； B ．b a a b <<-<- ； C ．a b b a <-<<-； D ． a b a b -<-<<． 4．下列说法错误的是（ ）
（A ）正数的倒数是正数； （B ）负数的倒数是负数； （C ）0没有相反数； （D ）0没有倒数． 5．如果a ＞b ，那么下列结论正确的是（ ）
（A ）2
a ＞2
b ； （B ）2
a ＜2
b ； （C ）2
a ≠2
b ； （D ）以上答案都有错误． 四、比较下列每组的大小：
（1）45 和34 ； （2）0．87和7
-；
(3)比较
999
1000
-和
998
999
-的大小．(4)已知10
a+<，试比较a、－a、１、－１的大小．
五化简：
（１）y x y x
-++
；（２）
x y y x
-+-
；（３）
121
a a a
-+++
，其中2
a<-．
六综合题
1．已知
6
a=
，
3
b=
，
a b b a
-=-
，求a、b的值．
2．已知|2|
2
x
x
-
-
，求x的取值范围．
3．一个数的绝对值的倒数等于
5
2
8
，这个数的绝对值是多少
4．设a、b、c三个有理数在数轴上对应的点A、B、C的位置如图所示，请化简：a b b c c a ---+-
．
七、简答题：
(1)已知甲数的绝对值大于乙数的绝对值，能断定甲数一定大于乙数吗？举例说明．
(2) 已知甲数小于乙数，能断定甲数的绝对值一定小于乙数的绝对值吗？举例说明．(３)如果甲乙两数的绝对值相等，甲乙两数的关系有哪几种可能？举例说明．
老师讲义
2014年冬季预初数学讲义第二讲（140122）
有理数概念数轴绝对值
一、正负数，有理数定义，有理数分类 〖知识回顾〗
1、正数与负数
（1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做 。

（2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做 。

（3）0既不是 也不是 ，0是正数与负数的 。

0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。

（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有 的意义。

（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a ，当a ＝0时，－a ＝ ，当a 表示负数时－a 是 ，只有当a 是正数时－a 才是 。

2、有理数的定义
、 、 统称为整数。

如：101，0，－10.正分数和负分数统称为 ，如：0.3，25
-，－3.1。

整数和分数统称有理数。

有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为 、 。

3、有理数分类
〖典型例题〗
例1、判断：（边读题边判断边讲解）
（1）前面带有“－”的数是负数（ ）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( ) 例2、填空：（将题抄写在黑板上）
-4.5， 3.14， -2， +43， .
0.6-， 0.618，
7
22
，0，-0.212，184-
负数： 个；分数： 个；正分数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个； 例3、（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
〖随堂练习〗
1、判断
（1）存在既不是正数，也不是负数的数（ ） （2）a 是正数（ ） （3）－a 是正数（ ） （4） a 和－a 一定有一个表示负数（ ） （5）a 和－a 表示一对相反数（ ） 2、将下列各数分别填入相应的大括号里：
-3.5， 3.14， -2， +43， .
0.6 ， 0.618，
7
22
，0，-0.202 正数： 个；整数： 个；负分数： 个；正整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个； 3、（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？ （2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？ （3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？
二、数轴
〖知识回顾〗
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；
（2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向；
（3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…
〖典型例题〗
例1、数轴上的点（2道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）
第 4 题 图
（1）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。

（2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。

〖随堂练习〗
1、如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．
2、 在数轴上点P 表示的数是2，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是 。

3、点A 为数轴上表示-2的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 。

4、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。

三、相反数，绝对值，倒数
〖知识回顾〗
1、相反数
几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。

代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。

（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。

如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6。

数a 的相反数是 ，0的相反数是 。

相反数是它本身的数是 。

（2）a,b 互为相反数⇔ 或 或 2、绝对值
几何定义：
a 的点与 叫做数a 的绝对值，记作 代数定义：∣a ∣
或 ∣a ∣=
注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。

3、倒数
定义： 的两个数互为倒数。

若ab ＝1，则a,b 互为倒数。

如：－3与-1∕3互为倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1.
特别提示：倒数和相反数的区别
（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）； （2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1； （3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。

〖典型例题〗
1、－｛＋〖－（＋6.6）〗｝＝ 。

2、（2009年福州）2010的相反数是 。

3、若a －2 的相反数是5，则a 的值为____．
4、求下列各数的绝对值
（1）－38； （2）3c(c ＞0)； （3）m －2(m ＜2)； （4）m-n(m ＜n) 5、求下面每个数的倒数
（1）－38； （2）－0.25； （3）-3.5； (4)0； (5)1，-1； 6、判断
（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a |一定是正数（ ）
7、
m m
= 。

（b ≠0)
〖随堂练习〗
1、判断(边读边判断边讲解）
（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ）
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）|21a |=－2
1
a ，则a 一定是非正数（ ）
（5）若|a |＝|b|，则a ＝b ； ( ) （6）
(0)b b
b b
b
=
≠ ；
（ ） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）
（1）0.15 （2）a(a ＜0) （3）a －2(a ＜2) （4）a-b(a ＞b) 3、若5=a ，则a 的值是 . 4、(2010巴中)-3∕2的倒数的绝对值。

5、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a 的绝对值，那么a 的值是 。

四、有理数大小比较
〖知识回顾〗
在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即 小于 。

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于 ；（2）两个负数，绝对值大的 。

〖典型例题〗
例1、比较下列每组数的大小：
（1）-2和+6； （2）0和-1.8； （3）-
3
2
和-4；
例2、指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。

-2
2
4
-3
-4
-1
1
3
D C
E B
〖随堂练习〗
1、比较下列每组数的大小：
（1）－10，－7； （2）3.8，－4.1，－3.9； （3）－
12，－14； （4）－89和－910
；
2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。

7，－45，－3.5，0，43
五、经典例题
范例1．
（1）最大的负整数是；最小的正整数是；
（2）既不是整数，也不是正数的有理数是；
（3）所有的小数都能化成分数吗？。

答案：
(1)负整数是小于零的整数，所以最大的负整数是－1，同样可以得到最小的正整数是l
(2)不是整数的数是分数，不是正数的数是负数和零，从而既不是整数也不是正数的有理数是负分数；
(3)只有有限小数和循环小数可以化为分数．而无限不循环小数是不能化为分数的，例如，我们知道著名的圆周率π就不能化为分数．
[教师总结知识点]有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数．
范例2 已知A在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A的距离是2个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数
答案：
(1)先在数轴上找到表示－2的点A；
(2)在数轴上距离点A 2个长度单位的点有左右两个，一个在A的右侧，一个在A的左侧；
(3)从A出发往右走两步得到的就是零点O，而往左走两步得到的是－4，就是图中的B点，从而图中的O和B 就是我们要找的点，同时这两个数分别是0和－4．
[教师总结知识点]利用数轴我们可以方便的找到一些我们要找的数．
范例3 判断下列直线[图4-2（1）]是否是数轴？
(1)
-2 -1 0 1 2
(2)
(3)
图4-2（1）
答案: (1)缺少正方向
（2）缺少单位长度；
（3）缺少原点．
a+的相反数是－8，则a的相反数是多少？
范例4 若3
解因为8的相反数是－8，
a+＝8．
根据题意，得3
解方程，得a＝5．
所以a的相反数是－5．
范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?
答案：
(1)设这个数是a,那么a 的相反数是－a ；
(2)原问题转化为“a 与－a 的差为2,求a 的值”； (3)列出方程：a －(－a)＝2,也就是a ＋a ＝2； (4)最后得到以a ＝1．
范例6已知以a<0，计算l+2a+∣1－2a ∣的值．
分析: 还是要判断绝对值之中数的符号，也就是要判断l －2a 的符号．
答案:(1)因为a ＜0，所以2a ＜0，从而1—2a 必然大于0，从而|1－2a|＝1－2a (2)1＋2a+ |1－2a|＝1+2a ＋1—2a ＝2．
范例7 已知|2x ＋5|＋|x －y|＝0，试求x,y 的值．
答案:(1)由于|2x ＋5|，|x －y|都是非负数，而它们的和又是0，所以只有2x ＋5＝x －y ＝0； (2)由2x ＋5＝0得到x ＝－52
，又由x －y ＝0得到y ＝x ＝－52
； (3)从而x ，y 的值都是－52．
范例8 如果a ≠0,则
||
a
a 有可能取什么样的值呢？ 答案: 我们知道∣a ∣有可能等于a 也有可能等于－a ，从而
||
a
a 有可能等于1和－1； [教师总结知识点]一个非零数和它的绝对值的商为1或者－1
范例9 把下列各数，按从小到大的次序，用“＜”号连接起来： ＋2，－2，＋3，－3，0，＋
2
1，－143．
分析：比较几个有理数的大小，可以先用数轴上的点来表示这些数（如果题目没有特别要求，只要画一个大致的
草图即可），然后按照数轴上左边的数较小，右边的数较大的原理把这些数按从小到大的次序用“＜”连接起来． 答案：
把题中的各数表示在轴上，得到
－1
43＜－3＜－2＜0＜＋2
1＜＋2＜＋3．
[教师总结知识点] 数轴上的点从左到右的排列次序与有理数大小的排列顺序是一致的．解这类习题时，特别要注意审题清楚，即这些数的比较是按从小到大次序排列还是按从大到小的次序排列．
范例10．比较－2
7
和－0.28的大小；
分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论．
解 （１）方法一：∣－27∣＝27＝50175， ∣－0.28∣＝28100＝725＝49
175．
∵
50175＞49175， ∴－2
7
＜－0.28 ． 方法二：∣－27∣＝27＝1449， ∣－0.28∣＝28100＝1450
．
∵
1449＞1450， ∴－2
7
＜－0.28 ． 方法三：∣－27∣＝2
7
＝0．281…, ∣－0.28∣＝0.28．
∵0.281…＞0.28,
∴－2
7
＜－0.28 ．
[教师总结知识点] 解本题的三种方法都是应用同一条法则进行比较的，区别在于比较绝对值大小的方法不同．方法一是化作分母相同的分数进行经较；方法二是变成分子相同的分数进行比较；方法三则是把分数化成小数，再按小数大小比较的法则进行的(实际比较时，分数化小数，只要取比已知小数多保留一位的近似值即可)．
范例11．已知：|a|＝3，|b|＝2，且a ＞b ，求a+b 的值．．
分析: 由绝对值的含义可知：a ＝±3，b ＝±2．又a ＞b ，所以a ＝－3不能取，只能取3，又±2＜3，所以b 可以取±2．
答案: 解 由|a|＝3得到a ＝±3，由|b|＝2得到b ＝±2， 因为a ＞b ，所以a ＝3，b ＝±2， 即a+b=5或a+b=1．
[教师总结知识点] 一个数的绝对值等于一个正数，这个数应该是这个正数或它的相反数，在本题中另外要注意的是题目听“a ＞b ”这个条件，不能盲目地得出a ＝±3，必须排除a ＝－3这一可能性．
范例12．(1)已知：|x|=x ，求x 的取值范围；
（2）已知1||
x
x =-，求x 的取值范围．
分析 : 第（1）小题由“一个正数的绝对值是它本身”和“零的绝对值是零”可知：一个数的绝对值等于这个数，这个数就是正数或零．
第（2）小题中|x|= -x 时，1||x
x =-（但这里的x ≠0），由“一个负数的绝对值是它的相反数”可知：这里的x
只能取负数．
答案:解 （1）x 的取值范围为正数或零，即x ≥0． (2)x 的取值范围为负数，即x ＜0．
[教师总结知识点]在第（1）题中应注意零和正数的绝对值就是它们本身，不能忽视了“零”;
第（2）小题中应注意零与负数的绝对值就是它们的相反数，因为零不能为除数，所以这里的x 不能为零，如果是单纯的|x|= -x ，那么x 的取值应是x ≤0．
范例13．已知三个有理数a 、b 、c ，b 是a 的相反数，c 是b 的倒数，比较a b +和ac 的大小？并简要说明理由．
解：∵a 、互为相反数，∴a+b ＝0．
∵c 是b 的倒数, c 是a -的倒数．∴()1c a ⋅-=，那ac ＝1． ∵0＞－1, ∴a b +＞ac ．
[中考链接]
1请你在数轴上用“．”表示出比1小2的数． (2006 吉林)
-3 -2 -1 0 1 2
2若m,n 互为相反数,则m+n= (2006 江西) 答案:0
3若x 的相反数是3,∣y ∣=5,则x+y 的值是( ) (2006 哈尔滨) (A)-8 (B)2 (C)8或-2 (D)-8或2 答案:D
六、课内练习
1．当0<a
时，=a ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 ．
2． 绝对值不大于4的整数是 ．绝对值不大于4的整数的和是 ．311-的倒数与2
1
-的相反数的差等于 ．
3． 满足a a
=1
的数有 个，他们是 ；满足a a =-的数有 个，他们是 ；满足a a =的数有 个．
4．若312=-x ，则=x ．代数式
ab
ab b b a a ++的所有可能的值为______________．
5．在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖
个点． 6．已知0>a ，0<b ，b a <，用“<”符号把a ，a -，b ，b
-连接起来的式子为 ．
7．如果
0)2
3
(22=++-y x ，那么=+y x ．已知3=a ，2=b ，则b a +的值为_________．
8．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则m cd c
b a b
a +++++ 的值是 ．
9．若
1=x x ，若x 0，若1-=x
x
，若x 0．当52<<-x 时，化简25+--x x =______________． 10．如果
6=m ，2=n ，m n n m -=-，那么=m ，=n ．
11．绝对值小于10的所有的整数的和是 ，积是 ．
12．若
0)1(32=-++y x ，式子n
x y ⎪⎭
⎫
⎝⎛--
4的值（n 为整数）是 ．
13．若
0)2(12=-+-ab a ，计算代数式：
)
2001(20011)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ）（ =_________________. 14．如果收入20元记作+20元，那么-75元表示 ．如果-30%表示减少30%，那么+50%表示 ． 15．b a -的相反数为_______. 大于－4．5的非正整数有 个，大于－7．6且小于2．9的整数有 个． 16．)5(+-a 是 的相反数，若a a
-=，则=a ．绝对值最小的数是 ，绝对值等于6
- 的数是 ．
17．绝对值小于3的整数有 个，它们是 ．已知
1=-a ，3
2
=
b ，则=+b a ． 18．若
a a a 2=+，则a 0；已知
031=-+-y x ，则
y
x xy
+的值为_____________________． 19．已知0<a ,0<b ，且b a <，用“<”号将a 、b 、a -、b -连接起来为____________________．
20．小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床后他立即用煤气灶煮早饭，早饭一共需要7分钟才能煮熟，他洗脸、漱口时间需要5分钟，吃早饭需要8分钟，吃完早饭就去上学，小明同学很会合理安排时间，他从开始起床到吃完早饭仅需要 分钟，请你以后在生活中实践一下． 21．已知
82=-x ，则x 的值为 ；绝对值不大于4的整数的和是 ．
22．0减去a 的相反数，结果是 ．31-的绝对值与2
1
2-的相反数的差是 ．
23．若8=a ，3=b ，且0>a ，0>b ，则=-b a ________; 已知032=-++b a ，则=-5
a
b ．
24．若0<ab ，且b a <，则a 0，b 0．
25．
0321=-+++-z y x ，则=+-+)3)(2)(1(z y x ．
26．若0)
3)(2(=+-x x ，则=x ．若a 为整数，012>+a ，010<+a ，则=2a ．
27．–54 的底数是 ，它表示 ．=-n
2)1( ， =-+12)1(n
28．若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯
+23)(m ab b
a
d c 29．=---32
3
，=⨯÷+--33
1
33322 ．
30．四个互不相等的整数a 、b 、c 、d 的积是9，则=+++d c b a ．
31．已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且
3=x ，求x d c ab 23+--的值．
32．绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 ．如果0>+b
a ，并且a 、
b 异号，a b >，则．
33． 如果492
=x ，0<x ，那么=x 2 ．3
)7
3(-的底数是 ，指数是 ．
34．=-+-20062005
)1()
1( ．一个有理数与它的倒数相等，这样的有理数是 ．
35．如果0>a ，0<b ，且0<+b a ，则（ ） A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．0<b 36．如果0<a
，0<b ，且b a >，那么b a -是（ ） A ． 正数 B ． 负数 C ． 0 D ． 以上都有可能
37．下列说法正确的是（ ）
A ． 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．
B ． 几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正．
C ． 几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个．
D ． 几个有理数相乘，当因数有偶数个时，积为正． 38． 已知：
0,5,4 ab b a ==，则b a +的值为（ ） A ． –1 B ．1 C ．1或-1 D ．9或-9
39．下列说法正确的是（ ）。