等差数列与等比数列复习小结

山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）

等差数列与等比数列

编写人：朱强基

考纲要求

1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

重点、难点归纳

1数列的有关概念

数列：按照一定的次序排列的一列数。

通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。 2数列的表示法

列举法：如a 1，a 2，a 3，…，a n ，… 图象法：用孤立的点(n ，a n )来表示 解析法：即用通项公式来表示

递推法：一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列

常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系

S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；a n ＝S 1(n ＝1时)，a n ＝S n －S n －1(n ≥2时)。

前n 项和公式

等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222

n n a a n n n d d

S na d n a n +-=

=+=+-。

Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列，其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为偶S ，那么，当项数为偶数2n 时，

1,

+=n n

a a S S nd S S ＝

－偶

奇奇偶；当项数为奇数2n ＋1时，11,n S n S S a S n

++-==奇奇偶

偶

Ⅱ.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+00

1

m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)

当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应

用。

Ⅲ.121(21),{}2

n n n s a d

s n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列.

等比数列{a n }前n 项的和为S n ＝na 1，(q ＝1时)；S n ＝q

q

a a q q a n n --=

--11)1(11，(q ≠1时)。

（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛

｝为等比数列且

（i=1,2……,n,……）

｛ ｝( 且 )为等差数列；若定义 ＝ ，则｛ ｝亦

为等差数列.

（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛ ｝

为等差数列 ｛ ｝为等比数列.

（3）｛

｝既是等差数列，又是等比数列

｛

｝是非零常数列.

学法探秘

1对数列的理解 用函数的观点理解数列

数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。

a.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.

若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.

b.对于等比数列：a n =a 1q n －

1.可用指数函数的性质来理解.

当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.

当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 注意数列与集合的区别与联系

数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。 数列的通项公式

数列的通项公式可以代表数列中的任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。

2等差数列与等比数列的判定方法

{}a n 为等差数列⇔a n ＋

1－a n ＝d(d 为常数)⇔2a n ＋

1＝a n ＋a n ＋

2(n ∈N)⇔a n ＝kn ＋b(k 、b 为常数)⇔S n ＝An 2＋Bn(A 、B 为

常数)

{a}为等比数列⇔n

n a a 1

+＝q(q 为非零常数)⇔a n ＋12＝a n a n ＋2(n ∈N)⇔a n ＝pq n (p 、q 为非零常数)⇔S n ＝mq n －m(m 、q 为非零常数)

3灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题速度。 如等差数列中有a n ＝a m ＋(n －m)d ，等比数列中有a n ＝a m q n －

m ；

又如已知三数成等差数列时，可设这三个数为a －d 、a 、a ＋d ，若已知四个数成等比数列时，可设这四个数为

3q

a 、q

a

、aq 、aq 3；（四个数同号）。 再比如在等差数列中，若a p ＝q ，a q ＝p ，则a p ＋q ＝0；若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n)等等。 4重点掌握方程思想

在求解“知三求二”的问题时，要恰当选用公式、积极减少运算量，在解题时要有目标意识：需要什么，就求什么，以便达到快速准确的求解目的。在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应注意对公比是否等于1进行分类讨论。

典型例析

例1完成下列各题