2019年重点大学自主招生数学讲义 (共389张PPT)
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高等数学PPT(电子高专)
y = f [ϕ(x)]
因变量 内部函数
外部函数
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税 个人所得税] 练习 [个人所得税 我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国 个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得 额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级 数 1 2 全 月 应 纳 税 所 得 额 不超过500元部分 不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分 超过500元至2000元部分 500元至2000 税 率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、 概念和公式的引出 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 分段函数． 分段函数
2019年高校自主招生考试数学真题分类Word版含解析精心整理(打包9套真题)
2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。
1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。
称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。
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解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
(共389张PPT)2019年重点大学自主招生数学讲义
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
44 45 46 47 46
x1 x2 x3 x4 x5
4
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
则
N
m
x
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
44 45 46 47 46
x1 x2 x3 x4 x5
4
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
则
N
m
x
2019年高校自主招生解读-PPT精选文档
招生流程和2019年自主招生流
程不会有大的变化，
程大致一致。唯一的区别在于
高校招生简章可能会
2019年高校自主招生简章公布
在2月底3月初公布，
的时间比2019年要晚。实际上
届时，请大家一定要
2019年公布招生简章时间相比
多多注意，不要错过
2019年整体晚一周时间左右，
报名时间！
其他时间安排和2019年时间基
G0
综合性文化 刊物
G2 各项文化
事业
G4 教育
Z 综合性期刊
目录
Directory
1 自主招生&自主招生3大好处 2 自主招生基本流程 3 2019年高校自主招生条件汇总 4 2019自主招生报名所需材料 5 2019年高校自主招生对论文发表要求汇总 6 国内正式期刊的刊号 7 高中生发表的期刊论文【图】
本一致。
• 提醒大家，最新的 自主招生政策是在 2019年开始实施的。 短期内不会有大的 变化，所以自主招 生考试依然会在高 考后进行！
目录
Directory
1 自主招生&自主招生3大好处 2 自主招生基本流程 3 2019年高校自主招生条件汇总 4 2019自主招生报名所需材料 5 2019年高校自主招生对论文发表要求汇总 6 国内正式期刊的刊号 7 高中生发表的期刊论文【图】
报名表
考生在网上报名后系统会生 成报名表，打印出来后由本 人签字并由学校审核、盖章。
高中阶段获奖证书及证明材料
高中时期参加的竞赛、比赛及各种活动奖 项的复印件，这些文件须有学校进行审核并 加盖学校公章。此类证书不仅仅包含各种文 理科竞赛、科创类竞赛，还包括各种发明专 利、论文发布、出版专著等等。
自荐信你想让 孩子的高考拿到双保 险，那么从现在开始 就要着手准备喽，让 自主招生为学生保驾 护航吧！
2019北京大自主招生考试数学(网传试题与解析)
综上可知 x 2ab ab
法二：
2
2
考虑到
x2
2ax a2
x2
2bx b2 =
x
2 2
a
a2
2
x
2 2
b
b2 可视为 2
点
P
x,
0
到点
A
2 a, 2
2 2
a
与点
B
2 b, 2
2 2
b ຫໍສະໝຸດ 的距离之和.显然 OA a, OB b ， AB a2 b2
A
显然有 PA PB AB ，结合题意，故 PA PB = AB
即 P 在 AB 上。
2a 2b
2a
由 kPA kPB 可得
2 2 a
2 2b
2 2 ax
22
2
O
P‘
P
B
求得 x 2ab ab
2. 复数 z1, z2 满足 z1 3i 2, z2 8 1 ，则由复数 z1 z2 所确定区域的面积是
解析：考虑到 z1 3i z2 8 z1 z2 3i 8 z1 3i z2 8
即1 z1 z2 3i 8 3
5+
2
5 + 5
5 2 62 3 1 2sin2 sin
2 5+ 5 5 5
5
1 5
故 IP 1 5 sin
8.已知数列an 满足： ak1 ak 4k 3k 1, 2, ，求 a2 a2020
解析：
a2 a1 a3 a2 a4 a3 a2019 a2018 a2020 a2019 a1 a2020 41009+4 2019+3=4043
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
自主招生数学试题解读ppt课件
（1）【证明】若 M ，显然有 M N 成立；
本题的若第M（ 1，）任取问x0主M要，考即有察f (了x0) x0 ， 集合间从的而 “f ( f 包(x0))含 f”(x0)关 x系0 ，即的x0概 N念. .
故M N .
9
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f (x) x}，N {x | f ( f (x)) x}. (1)求证：M N; (2)若f (x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明. （2）若 f (x) 是一个在 R 单调递增的函数，一定有 M N .证明如下：
x2 xy y2 3(x y 1) 恒成立.
15
1.1基础性
16
1.1基础性
分析二：由对称性，易知当x y 1时等号成立，
又x2 xy y2 1 x2 1 y2 1 (x y)2
试题分析的时间范围：2007年至2016年自主招生试题
5
一.高校自主招生数学试题特点解读
关注数学思维品质，加强数学学科和哲学方法的考查，呈现以 下几个特点：
盖； 重现实背景，轻纯粹形式； 重数学基础与时俱进，轻偏旧内容的循环考查。
自主招生数学试题解读
1
自主招生考试基本情况
我国实行自主招生的高校，到2017年已达到了90所. 自主招生选拔由高校自行组织，一般由笔试、面试两 部分组成．通过自主招生选拔的考生必须参加高考， 在高考录取时可获得降分10~60分不等的优惠，部分优
． 秀考生高考投档成绩达到当地同科类本科第一批次控
制分数线即可被录取。 根据教育部最新要求，自主招生人数不再对各高校
当且仅当x y 3 0 2
本题的若第M（ 1，）任取问x0主M要，考即有察f (了x0) x0 ， 集合间从的而 “f ( f 包(x0))含 f”(x0)关 x系0 ，即的x0概 N念. .
故M N .
9
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f (x) x}，N {x | f ( f (x)) x}. (1)求证：M N; (2)若f (x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明. （2）若 f (x) 是一个在 R 单调递增的函数，一定有 M N .证明如下：
x2 xy y2 3(x y 1) 恒成立.
15
1.1基础性
16
1.1基础性
分析二：由对称性，易知当x y 1时等号成立，
又x2 xy y2 1 x2 1 y2 1 (x y)2
试题分析的时间范围：2007年至2016年自主招生试题
5
一.高校自主招生数学试题特点解读
关注数学思维品质，加强数学学科和哲学方法的考查，呈现以 下几个特点：
盖； 重现实背景，轻纯粹形式； 重数学基础与时俱进，轻偏旧内容的循环考查。
自主招生数学试题解读
1
自主招生考试基本情况
我国实行自主招生的高校，到2017年已达到了90所. 自主招生选拔由高校自行组织，一般由笔试、面试两 部分组成．通过自主招生选拔的考生必须参加高考， 在高考录取时可获得降分10~60分不等的优惠，部分优
． 秀考生高考投档成绩达到当地同科类本科第一批次控
制分数线即可被录取。 根据教育部最新要求，自主招生人数不再对各高校
当且仅当x y 3 0 2
大学自主招生数学讲义(下)
自主招生讲义（下）
第九讲 圆锥曲线.............................................................................................................................93 一、知识方法拓展：...............................................................................................................93 二、热身练习：....................................................................................................................... 94 三、真题精讲：....................................................................................................................... 96 四、重点总结：.....................................................................................................................104 五、强化训练：.....................................................................................................................105
第九讲 圆锥曲线.............................................................................................................................93 一、知识方法拓展：...............................................................................................................93 二、热身练习：....................................................................................................................... 94 三、真题精讲：....................................................................................................................... 96 四、重点总结：.....................................................................................................................104 五、强化训练：.....................................................................................................................105
完整高数(一)PPT课件
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
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所以假设不能成立，即 M N.
注意：若把 f x 为单调增函数改为减函数，未必有 M N
如 f x x ，易得 M x f x x 0 ，
而 N x f f x x R ， 显然 M N
例 2：（2010 清华等五校联考）已知 f x 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x 0 时， f x 单调递增， f 1 0，设 x sin2 x mcos x 2m, ，集合：
集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔 也会综合其他知识点出现在大题中。
典型例题
例:(2013 年全国高中竞赛 1) 设集合 A {2,0,1,3}，集合 B {x x A, 2 x2 A}.则集合 B 中所有元素的和为_____.
解：由 x A知 B 2,0, 1,3，
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
M
m
x
0,
2
,
x
0 Nຫໍສະໝຸດ m x0,
2
,
f
x
0,
求M N
解：根据题意可知：当 x 0 时， f x 也是单调递增函数，且
f 1 0， f x 0 x 1或0 x 1
则
N
m
x
0,
2
,
x
1或0<
x
1,
所以： M
N
m
x 0,
2
,
x
1
方法1：
方法2 判别式法： 令 y 2 t2 (0 t 1) ，
2t
去分母整理得： t2 yt 2 y 2 0 ①，
2019重点大学自主招生讲义
数学
2018年8月
第一讲 集合与命题
集合是现代数学大厦的基石，是组合数学的基础。以集合为载 体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅 读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。
逻辑作为一门研究思维的科学，与我们学习生活有着情丝万缕 的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是 自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，
（2014 年华约 1 题）：已知正整数 x1, x2, x3, x4, x5 满足任取四个数
求和构成的集合为44,45,46,47 ，求整数 x1, x2, x3, x4, x5 的值。
解：五个数任取四个数，可以得到五个和值，故必有
（2） M N. 用反证法证明
假设 M N ，由于 M N ，必存在 x1 N ,
但 x1 M ，因此 f x1 x1 ，
① 若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾； ②若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾。 综合①、②可知 f x1 x1，因此 x1 M , 与假设矛盾，
当 x 2, 3时， 2 x2 2, 7 A, 满足要求；
当 x 0, 1时， 2 x2 2,1 A, 不满足要求。
从而 B 2,3，其元素的和为 5
例:设 A B C 1,2,3,4,5 且 A B 1,3，则符合此条件的 A,B,C 共有
因为①有实根，
所以 y2 4(2 y 2) 0 y2 8y 8 0
例：（2010 浙江大学） 设 M x f x x, N x f f x x,
（1）求证： M N;
（2） f x 为单调增函数时，是否有 M N ？并证明。
证明：（1）若 M ，显然有 M N;
若 M ，则存在 x0 M ，满足 f x0 x0 ， 所以 f f x0 f x0 x0 ，故 x0 N ，所以 M N;
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
x1
x2
x3
x4
x5
44
45
46 4
47
46
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A
注意：若把 f x 为单调增函数改为减函数，未必有 M N
如 f x x ，易得 M x f x x 0 ，
而 N x f f x x R ， 显然 M N
例 2：（2010 清华等五校联考）已知 f x 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x 0 时， f x 单调递增， f 1 0，设 x sin2 x mcos x 2m, ，集合：
集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔 也会综合其他知识点出现在大题中。
典型例题
例:(2013 年全国高中竞赛 1) 设集合 A {2,0,1,3}，集合 B {x x A, 2 x2 A}.则集合 B 中所有元素的和为_____.
解：由 x A知 B 2,0, 1,3，
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
M
m
x
0,
2
,
x
0 Nຫໍສະໝຸດ m x0,
2
,
f
x
0,
求M N
解：根据题意可知：当 x 0 时， f x 也是单调递增函数，且
f 1 0， f x 0 x 1或0 x 1
则
N
m
x
0,
2
,
x
1或0<
x
1,
所以： M
N
m
x 0,
2
,
x
1
方法1：
方法2 判别式法： 令 y 2 t2 (0 t 1) ，
2t
去分母整理得： t2 yt 2 y 2 0 ①，
2019重点大学自主招生讲义
数学
2018年8月
第一讲 集合与命题
集合是现代数学大厦的基石，是组合数学的基础。以集合为载 体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅 读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。
逻辑作为一门研究思维的科学，与我们学习生活有着情丝万缕 的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是 自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，
（2014 年华约 1 题）：已知正整数 x1, x2, x3, x4, x5 满足任取四个数
求和构成的集合为44,45,46,47 ，求整数 x1, x2, x3, x4, x5 的值。
解：五个数任取四个数，可以得到五个和值，故必有
（2） M N. 用反证法证明
假设 M N ，由于 M N ，必存在 x1 N ,
但 x1 M ，因此 f x1 x1 ，
① 若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾； ②若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾。 综合①、②可知 f x1 x1，因此 x1 M , 与假设矛盾，
当 x 2, 3时， 2 x2 2, 7 A, 满足要求；
当 x 0, 1时， 2 x2 2,1 A, 不满足要求。
从而 B 2,3，其元素的和为 5
例:设 A B C 1,2,3,4,5 且 A B 1,3，则符合此条件的 A,B,C 共有
因为①有实根，
所以 y2 4(2 y 2) 0 y2 8y 8 0
例：（2010 浙江大学） 设 M x f x x, N x f f x x,
（1）求证： M N;
（2） f x 为单调增函数时，是否有 M N ？并证明。
证明：（1）若 M ，显然有 M N;
若 M ，则存在 x0 M ，满足 f x0 x0 ， 所以 f f x0 f x0 x0 ，故 x0 N ，所以 M N;
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
x1
x2
x3
x4
x5
44
45
46 4
47
46
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A