2019年重点大学自主招生数学讲义 (共389张PPT)
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（2） M N. 用反证法证明
假设 M N ，由于 M N ，必存在 x1 N ,
但 x1 M ，因此 f x1 x1 ，
① 若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾； ②若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾。 综合①、②可知 f x1 x1，因此 x1 M , 与假设矛盾，
则
N
m
x
0,
2
,
x
1或0<
x
1,
所以： M
N
m
x 0,
2
,
x
1
方法1：
方法2 判别式法： 令 y 2 t2 (0 t 1) ，
2t
去分母整理得： t2 yt 2 y 2 0 ①，
所以假设不能成立，即 M N.
注意：若把 f x 为单调增函数改为减函数，未必有 M N
如 f x x ，易得 M x f x x 0 ，
而 N x f f x x R ， 显然 M N
例 2：（2010 清华等五校联考）已知 f x 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x 0 时， f x 单调递增， f 1 0，设 x sin2 x mcos x 2m, ，集合：
因为①有实根，
所以 y2 4(2 y 2) 0 y2 8y 8 0
由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，
（2014 年华约 1 题）：已知正整数 x1, x2, x3, x4, x5 满足任取四个数
求和构成的集合为44,45,46,47 ，求整数 x1, x2, x3, x4, x5 的值。
解：五个数任取四个数，可以得到五个和值，故必有
例：（2010 浙江大学） 设 M x f x x, N x f f x x,
（1）求证： M N;
（2） f x 为单调增函数时，是否有 M N ？并证明。
证明：（1）若 M ，显然有 M N;
若 M ，则存在 x0 M ，满足 f x0 x0 ， 所以 f f x0 f x0 x0 ，故 x0 N ，所以 M N;
当 x 2, 3时， 2 x2 2, 7 A, 满足要求；
当 x 0, 1时， 2 x2 2,1 A, 不满足要求。
从而 B 2,3，其元素的和为 5
例:设 A B C 1,2,3,4,5 且 A B 1,3，则符合此条件的 A,B,C 共有
集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔 也会综合其他知识点出现在大题中。
典型例题
例:(2013 年全国高中竞赛 1) 设集合 A {2,0,1,3}，集合 B {x x A, 2 x2 A}.则集合 B 中所有元素的和为_____.
解：由 x A知 B 2,0, 1,3，
2019重点大学自主招生讲义
数学
2018年8月
第一讲 集合与命题
集合是现代数学大厦的基石，是组合数学的基础。以集合为载 体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅 读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。
逻辑作为一门研究思维的科学，与我们学习生活有着情丝万缕 的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是 自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
x1
x2
x3
x4
x5
44
45
46 4
47
46
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A
M
m
x
0,
2
,
x
0
N
m
x
源自文库0,
2
,
f
x
0,
求M N
解：根据题意可知：当 x 0 时， f x 也是单调递增函数，且
f 1 0， f x 0 x 1或0 x 1
假设 M N ，由于 M N ，必存在 x1 N ,
但 x1 M ，因此 f x1 x1 ，
① 若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾； ②若 f x1 x1，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1，矛盾。 综合①、②可知 f x1 x1，因此 x1 M , 与假设矛盾，
则
N
m
x
0,
2
,
x
1或0<
x
1,
所以： M
N
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x 0,
2
,
x
1
方法1：
方法2 判别式法： 令 y 2 t2 (0 t 1) ，
2t
去分母整理得： t2 yt 2 y 2 0 ①，
所以假设不能成立，即 M N.
注意：若把 f x 为单调增函数改为减函数，未必有 M N
如 f x x ，易得 M x f x x 0 ，
而 N x f f x x R ， 显然 M N
例 2：（2010 清华等五校联考）已知 f x 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x 0 时， f x 单调递增， f 1 0，设 x sin2 x mcos x 2m, ，集合：
因为①有实根，
所以 y2 4(2 y 2) 0 y2 8y 8 0
由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，
（2014 年华约 1 题）：已知正整数 x1, x2, x3, x4, x5 满足任取四个数
求和构成的集合为44,45,46,47 ，求整数 x1, x2, x3, x4, x5 的值。
解：五个数任取四个数，可以得到五个和值，故必有
例：（2010 浙江大学） 设 M x f x x, N x f f x x,
（1）求证： M N;
（2） f x 为单调增函数时，是否有 M N ？并证明。
证明：（1）若 M ，显然有 M N;
若 M ，则存在 x0 M ，满足 f x0 x0 ， 所以 f f x0 f x0 x0 ，故 x0 N ，所以 M N;
当 x 2, 3时， 2 x2 2, 7 A, 满足要求；
当 x 0, 1时， 2 x2 2,1 A, 不满足要求。
从而 B 2,3，其元素的和为 5
例:设 A B C 1,2,3,4,5 且 A B 1,3，则符合此条件的 A,B,C 共有
集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔 也会综合其他知识点出现在大题中。
典型例题
例:(2013 年全国高中竞赛 1) 设集合 A {2,0,1,3}，集合 B {x x A, 2 x2 A}.则集合 B 中所有元素的和为_____.
解：由 x A知 B 2,0, 1,3，
2019重点大学自主招生讲义
数学
2018年8月
第一讲 集合与命题
集合是现代数学大厦的基石，是组合数学的基础。以集合为载 体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅 读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。
逻辑作为一门研究思维的科学，与我们学习生活有着情丝万缕 的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是 自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。
例:对于集合1,2,...,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”
如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替
地加减各数（例如1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而5 的交替
和就是 5）。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 26 64
多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组）
A 500 组
B 75组
C 972 组
D 125 组
解题分析：首先要弄清 A，B，C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1，2，3, B 1,3,4,C 3,5 与 A 1,3,4, B 1，2，3,C 3,5 为 不 同 的
两个和值相同。这五个和值之和为：
4(x1 x2 x3 x4 x5 ) 是 4 的倍数，
所以这个相同的和值只能是 46.
x1
x2
x3
x4
x5
44
45
46 4
47
46
57
这个 5 个数分别是：
57 47 10, 57 46 11, 57 46 11, ,57 45 12, 57 44 13
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
例:（2011 全国高中数学联赛第 1 题）
设集合 A a1,a2,a3,a4 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之 和组成的集合为 B 1,3,5,8，则集合 A
M
m
x
0,
2
,
x
0
N
m
x
源自文库0,
2
,
f
x
0,
求M N
解：根据题意可知：当 x 0 时， f x 也是单调递增函数，且
f 1 0， f x 0 x 1或0 x 1