2020山师附中模拟卷(数学试题)
2020-2021学年山东师大附中高三(上)第一次模拟数学试卷
2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（1）y，则xy的最大值为（）4A.2B. 98C. 32D. 944.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}5.（单选题，5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），n∈N，则f2020（x）等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.187.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小AB=2，E为AB中12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√213.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx数k的取值范围为 ___ ．17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1 ， a ̂ = y - b ̂ x ．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ．（1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．的单调区间；（1）求函数g(x)=f(x)x＜1，求实数a的取值范围．（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x221.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．直线y= e2（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（2-i）z=i+i2，得z=i+i22−i =(−1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=−35+15i，∴ z=−35−15i，∴ z在复平面内对应的点的坐标为（−35，−15），位于第三象限角．故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）【正确答案】：D【解析】：先分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=2x-1}=R，集合B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴集合A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：D．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（14）y，则xy的最大值为（）A.2B. 98C. 32D. 94【正确答案】：A【解析】：由已知结合指数的运算性质可得x+2y=4，然后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为x，y∈（0，+∞），2x−4=(14)y=（12）2y，所以x-4=-2y即x+2y=4，由基本不等式可得，4=x+2y ≥2√2xy，当且仅当x=2y时取等号，解可得xy≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．4.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由已知结合二次方程与不等式的关系可得a，b，c的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜2}可得x=-1，x=2是ax 2+bx+c=0的解，由方程的根与系数关系可得， { −1+2=−b a −1×2=c a a ＜0， ∴b=-a ，c=-2a ，a ＜0，则不等式a （x 2+1）+b （x-1）+c ＜2ax 可得ax 2+a-ax+a-2a ＜2ax ，整理可得，x 2-3x ＞0，解可得x ＞3或x ＜0．故选：C ．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式与二次方程的关系的相互转化，还考查了二次不等式的求解，体现了转化思想的应用．5.（单选题，5分）设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，则f 2020（x ）等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【正确答案】：A【解析】：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以列举出各项发现周期为4，即可得到答案．【解答】：解：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=cosx ，f 2（x ）=-sinx ，f 3（x ）=-cosx ，f 4（x ）=sinx ，所以发现f n （x ）周期为4，所以2021÷4=505••1，所以f 2020（x ）=f 0（x ）=sinx ，故选：A．【点评】：本题考查了导数公式以及函数的周期性，属于简单题．6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.18【正确答案】：B【解析】：根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【解答】：解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，若甲村分1名外科，2名护士，则由C31C32 =3×3=9若甲村分2名外科医生和1名护士，C32C31 =3×3=9，则分组方法有2×（9+9）=36，故选：B．【点评】：本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．7.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意可得m＞3x2−x+1在x∈[1，3]恒成立，即m＞（3x2−x+1）max，运用y=3x2−x+1在[1，3]递减，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则mx2-mx-1＞-m+2恒成立，即m＞3x2−x+1恒成立，由y= 3x2−x+1在[1，3]递减，可得x=1时，y取得最大值3，可得m＞3，即m的取值范围是（3，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i【正确答案】：ABC【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】：解：∵z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，∴z的虚部为-1，|z|= √2，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为：ABC．故选：ABC．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【正确答案】：ACD【解析】：对于A，B，C选项，分别利用赋值法，二项式系数的性质即可解决；对于选项D，先根据通项写出其系数的表达式，构造不等式即可．【解答】：解：对于A：二项式系数之和为211=2048，故A正确；对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；对于D：展开式中各项的系数为C k+1=(−1)k C11k，k=0，1，……，11，（注：用C k+1表示展开式中第k+1项的系数．）易知当k=5时，该项的系数最小．故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力．12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√2【正确答案】：AC【解析】：在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，推导出PE⊥DE，PE⊥CE，从而PE⊥平面EBCD，进而平面PED⊥平面EBCD；在B中，由DE || BC，BC⊥PB，得BC与PC 不垂直，从而PC与ED不垂直；在C中，推导出BE⊥平面PDE，BE || CD，从而CD⊥平面PDE，进而∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，进而求出二面角P-DC-B的大小为π4；在D中，PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22．【解答】：解：直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，∴PE⊥DE，CE= √22+22 =2 √2，∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，∵DE∩CE=E，∴PE⊥平面EBCD，∵PE⊂平面PED，∴平面PED⊥平面EBCD，故A正确；在B中，∵DE || BC，BC⊥PB，∴BC与PC不垂直，∴PC与ED不垂直，故B错误；在C中，∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE=E，∴BE⊥平面PDE，∵BE || CD，∴CD⊥平面PDE，∴∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，∵PE⊥平面BCD，PE=DE，∴∠PDE= π4，∴二面角P-DC-B的大小为π4，故C正确；在D中，∵CD⊥平面PDE，∴∠CPD是PC与平面PED所成角，PD= √PC2−CD2 = √(2√3)2−22 =2 √2，∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：随机变量随机ξ的所有可能的取值为1，2，3．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．【解答】：解：随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3．P（ξ=1）= C41C22C63 = 15．P（ξ=2）= C42C21C63 = 35．P（ξ=3）= C43C63 = 15．所有随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P 153515所以ξ的期望E（ξ）=1× 15 +2× 35+3× 15=2．故答案为：2．【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．【正确答案】：[1]90°【解析】：取CC′中点M′，连接DM′，利用三角形全等证明DM′⊥D′N即可得出答案．【解答】：解：取CC′中点M′，连接DM′，则AM || DM′，由△DCM′≌△D′DC可知∠CDM′=∠DD′N，∴∠CDM′+∠D′ND=∠DD′N+∠D′ND=90°，∴DM′⊥D′N，∴AM⊥D'N，∴异面直线AM与D'N所成的角为90°．故答案为：90°．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．【正确答案】：[1]80【解析】：从展开式中求出含有x4的项，找出对应的系数，即可求解．【解答】：解：由已知可得：含有x4的项为C 54(−2x)4×2+C53(−2x)3×x =160x4-80x4=80x4，所以x4的系数为80，故答案为：80．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的系数问题，属于基础题．16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1] [e+1e2，1)【解析】：把kx−lnxx −1=0变形为k= lnxx2+1x，先利用导数研究函数f（x）=f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]的单调性与极值，结合题意得答案．【解答】：解：kx−lnxx −1=0可变形为：k= lnxx2+1x，设f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]f′（x）= 1−2lnx−xx3，设g（x）=1-2lnx-x，x∈（0，e]g′（x）= −2x−1＜0，即y=g（x）为减函数，又g（1）=0，即0＜x＜1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，1＜x ＜e 时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，即y=f （x ）在（0，1）为增函数，在（1，e ）为减函数， 又x→0+时，f （x ）→-∞， f （1）=1，f （e ）= e+1e 2 ． 关于x 的方程 kx −lnx x −1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，等价于y=f （x ）的图象与直线y=k 的交点个数有两个，由上可知，当 e+1e 2 ≤k ＜1时，关于x 的方程 kx −lnx x−1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，故答案为： [e+1e 2，1) ．【点评】：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的大致图象，属中档题． 17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = i −x )ni=1i −y )∑(x −x)2n ， a ̂ = y - b ̂ x ．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，计算 x 、 y ，求出回归系数 b ̂ 、 a ̂ ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算x=12时 y ̂ 的值即可．【解答】：解：（1）由题意，得出下表；月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算 x = 15 × ∑5i=1 x i =5， y = 15 × ∑5i=1 y i =1.072， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64， ∴ b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1= 0.64(3−5)2+(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2 =0.064， a ̂ = y - b̂ x =1.072-0.064×5=0.752， ∴从3月到6月，y 关于x 的回归方程为 y ̂ =0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时， y ̂ =0.064×12+0.752=1.52； 即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．【点评】：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ． （1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．【正确答案】：【解析】：（1）取EF 的中点G ，连结AG ，推导出四边形ABEG 为平行四边形，AG || BE ，且AG=BE=AF=2，再求出AG⊥AF ，AD⊥AB ，从而AD⊥平面ABEF ，AD⊥AG ，进而AG⊥平面ADF ，再由AG || BE ，得BE⊥平面ADF ，由此能证明BE⊥DF ；（2）首先证明CD || 平面ABEF ，可得V C-AEF =V D-AEF ，由（1）得DA⊥平面ABEF ，再求出三角形AEF的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】：（1）证明：取EF的中点G，连结AG，∵EF=2AB，∴AB=EG，又AB || EG，∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG || BE，且AG=BE=AF=2，在△AGF中，GF= 12EF=2 √2，AG=AF=2，∴AG2+AF2=GF2，∴AG⊥AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，∵AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF，∵AG || BE，∴BE⊥平面ADF，∵DF⊂平面ADF，∴BE⊥DF；（2）解：∵CD || AB且CD⊄平面ABEF，BA⊂平面ABEF，∴CD || 平面ABEF，∴V C-AEF=V D-AEF，由（1）得，DA⊥平面ABEF，∵ S△AEF=12×4√2×√2=4，∴V C-AEF=V D-AEF= 13×4×√2=4√23．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X 的分布列和数学期望E （X ）和方差D （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、数学期望与方差．【解答】：解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.04×5=40，在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为60， ∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为： p= 60200 = 310 ．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= C 30(35)3 = 27125 ， P （X=1）= C 31(25)(35)2 = 54125 ，P（X=2）= C32(25)2(35) = 36125，P（X=3）= C33(25)3=8125，∴随机变量X的分布列为：∵X～B（3，5），EX= 3×5=5，DX=3×5×5=25．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．（1）求函数g(x)=f(x)x的单调区间；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜1，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤−lnx3x2，设ℎ(x)=−lnx3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】：解：（1）g（x）=ax2+lnx（x＞0），g′(x)=2ax+1x =2ax2+1x(x＞0)，① 当a≥0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；② 当a＜0时，若x∈(0，√−12a )，则g'（x）＞0，若x∈(√−12a，+∞)，则g'（x）＜0，所以g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．综上，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．（2）因为x1＞x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜x1-x2，即f（x1）-x1＜f（x2）-x2恒成立，设F（x）=f（x）-x在（0，+∞）上为减函数，即F'（x）≤0恒成立．所以F'（x ）=3ax 2+lnx≤0，即 a ≤−lnx3x 2，设 ℎ(x )=−lnx3x 2， ℎ′(x )=−3+6lnx9x 3(x ＞0) ， 当 x ∈(0，√e) ，h'（x ）＜0，h （x ）单减，当 x ∈(√e ，+∞) ，h'（x ）＞0，h （x ）单增， ℎ(x )≥ℎ(√e)=−16e ，所以 a ≤−16e ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，M 为棱A 1B 1的中点． （Ⅰ）求证：C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B-B 1E-D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）方法一：根据线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 方法二：建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB 1E 的法向量 n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B 1E-D 的正弦值； （Ⅱ）求出cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【解答】：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， 则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直） ∵C 1A 1=C 1B 1=2，M 为 M 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1M⊥A 1B 1，又平面C 1A 1B 1⊥平面A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥平面A 1B 1BA ， ∵B 1D⊂A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥B 1D ； 方法二：（Ⅰ）以C 为原点， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3）， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-2，-2）， ∴ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0，∴C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0）是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，1）， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1）， 设 n ⃗ =（x ，y ，z ）为平面DB 1E 的法向量， 则 {n ⃗ •EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {2y +z =02x −z =0 ，不妨设x=1，则 n ⃗ =（1，-1，2）， ∴cos ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗|•|n⃗ | = √66 ， ∴sin ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= √1−16 = √306 ，∴二面角B-B 1E-D 的正弦值√306； （Ⅲ）依题意， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2，0），由（Ⅱ）知， n ⃗ =（1，-1，2）为平面DB 1E 的一个法向量，∴cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= AB ⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | =- √33，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√33．【点评】：本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y= e2x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=lnx-x+ 1x + 12，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=e x（lnx-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（lnx-ax+ 1x+b），由已知，有f（1）=eb= e2，f′（1）=e（b-a+1）= e2，解得a=1，b= 12；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（lnx-x+ 32），则f′（x）=e x（lnx-x+ 1x + 12），令g（x）=lnx-x+ 1x + 12，则g′（x）=- x2−x+1x2＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）= 12＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）= e2＞0，f（2）=e2（ln2- 12）＞0，f（e）=e e（52-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．。
山东师范大学附属中学2020届高三4月份线上模拟数学试题(高清打印版)
D.ω的取值范围是[13 , 19] 66
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面α交棱 AA1 于点 E,交棱 CC1 于
点 F,下列正确的是( ).
A.平面α分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形 BFD1E 一定是平行四边形;
2
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C.平面α与平面 DBB1 不可能垂直;
4
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（3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立。为了深入研究，该研究团队随机 调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
21.(12 分)
A.(-1,3)
B. (-1,3]
C. (0,3)
2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z·i=1+2i,则 z 的共轭复数为
D. (0,3]
A.2-i
B.1- 2i
C.2 +i
D.i-2
3.已知两个力 F1 (1, 2), F2 (2, 3) 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体
仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 F3, F3
得
，
即
，……………………………3 分
解得
或
.………………………………4 分
当 所以
时，
，此时直线
.………………………………6 分
恰为切线，故舍去，…………………5 分
（2）当
时，
设
，则
， ，………………………………7 分
解析(山师附中2020年六月模拟试题解析)
数学考前模拟测试题答案及详解单选题1~8，每题5分。
多选题9~12，每题5分，选错0分，少选答案3分。
填空题每题5分。
1.答案：B2. 答案：D注意复数的共轭，复数的加减乘除，模，共轭的运算，几何意义，实部，虚部，虚数单位这些概念要熟。
3.答案：B若夹角为钝角b a ,，则05422,cos 2<⋅+-=⋅>=<m m ba ba b a ，.1<m 所以1415422,cos 12<-=-=⋅+->=<<m m m m ，得，令若b a，不是钝角夹角此时ο180,b a4. 答案：C210261336=+A C A5.答案：D函数定义域为R ，在y 轴右侧增，又是奇函数，所以在实数集上为增函数。
6. 答案：C注意题目条件中给的提示，把每一列算出来，然后带入计算公式。
共有120行，120除以5等于24，所以每一列都有24个1，24个2，24个3，24个4，24个5，所以每一列的和都是360。
7. 答案：C用平面向量的坐标形式算，以A 为定点，AB 所在直线为x 轴建系。
计算两条边中垂线的交点得O 点。
8. 答案：B利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的性质找到球心就是一条棱的中点。
9. 答案:ACD10. 答案：AC分段讨论去掉绝对值，画出函数图像即可。
在同一个坐标系里同时画出2sinx 和2cosx 的图象，谁的图象在上方就要谁。
11. 答案：AC.,,;..cos .1111111111不是中点，显然的交点是点与展开，连接和平面将平面选项；梯形可得到截面图形为等腰理即，根据三垂线定理逆定在底面，左侧面的射影找出直线选项都是定值；和任意六边形时，周长当截面图形是正三角形最大，当是正六边形时面积截面有可能会是六边形平行的平面，可看作是与平面垂直，则平面与直线平面选项即可的法向量，只需求是平面解析：选项M M CC AN C CDD A ACC D BDEF AM C C D B C D B AC B AB A ααα><12. 答案：ABD令函数等于零，表达式两部分移到等式两边，画两个函数的图象，根据图像的旋转变换和伸缩变换可判断C 、D 的正误。
山东师范大学附属中学2020届高三4月份线上模拟数学试题含答案
(1) 求数列 { an} 的通项公式 ;
(2) 若 bn
(n
1) log 2 an , 求数列
4n 2 ( bn 2 ) 的前
n 项和 Tn.
18.(12 分 )
在平面四边形 ABC D 中，已知 AB 2 6, AD =3, ∠ ADB=2 ∠ AB
A.(1,-5)
B.(-1,5)
F3, F3
C.(5,-1)
D.(-5,1)
4.若 sin
5 cos(2
) ，则 tan2 θ＝
5 A.
3
5 B.
3
5.函数 f(x)= x+cos x 的大致图象是
5 C.
2
5 D.
2
19
6.已知 x>0,y>0, 且
1, 则 xy 的最小值为
xy
A.100
B.81
请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有
95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关 ;
（ 3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率， 代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的
概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立。为了深入研究，该研究团队随机调查了
20 名患
者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
，
，直线
， 的值最大． ……………………………… 6 分 ，
联立
消去 得：
易得
，且
，
所以
， ，……………………………… 7 分
， ……………………………… 8 分
设
【附20套高考模拟试题】2020届山东师范大学附中高考数学模拟试卷含答案
2020届山东师范大学附中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2παπ<<，且1sin cos 5αα+=，则tan2α的值为（ ）A ．247-B ．247 C ．724-D ．7242．已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥r r”是“b α⊥”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()12g x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（ ）A ．524πB ．724πC ．512πD ．712π4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332 B ．3116 C ．12364 D ．1271285．如图，在ABC ∆中，sin sin BD B CD C =g g ，222BD DC ==，2AD =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．33B ．37C ．33．376．若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=7．执行如图所示的程序框图，则输出S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．2478．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且2a ，3a ，9a 成等比数列，则234456a a a a a a ++=++（ ）A ．13B ．38 C ．37 D ．359．某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（ ）A ．34B ．512C ．12D ．3810．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（ ） A ．7200 B ．2880 C ．120 D ．60 11．已知函数()ln 1x x af x x +=+只有一个零点，则a 的取值范围为A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， D ．()10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，12．设角α的终边过点(2,3)，则tan()4πα-=（ ）A．15B．15-C．5 D．5-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学【含答案】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学 本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x ｜x 2－2x ＜0}，N={－2，－1，0，1，2}，则M ∩N=A ．∅B ．{1}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}2．已知复数z 满足z (1+2i)=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a =(m ，－2)，b =(2，1)，则“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是A ．90B ．120C ．210D ．2165．已知定义在R 上的函数()2x f x x =，a =f (3log )，b =－f (31log 2)，c =f (1n3)，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b6．对n 个不同的实数a 1，a 2，…，a n 可得n !个不同的排列，每个排列为一行写成一个n !行的数阵．对第i 行a i 1，a i 2，…，a in ，记b i =－a i 1+2a i 2－3a i 3+…+(－1)n na in ，i =1，2，3…，n !．例如用1，2，3可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以b l +b 2+…b 6=－12+2×12－3×12=－24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b 1+b 2+…b 120等于A ．－3600B ．－1800C ．－1080D ．－7207．已知△ABC 中，A=60°，AB=6，AC=4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA=OB=OC ．设AO AB AC λμ=+，则λμ+的值为A ．2B ．1C ．1118D ．7118．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB=BC=BB 1=1，M 是AC 的中点，则三棱锥B 1－ABM 的外接球的表面积为A ．32π B ．2π C ．54π D ．98π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．Keep 是一款具有社交属性的健身APP ，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程。
山师大附中2020届高三下学期高考模拟考试数学试题文科
山师大附中 2019-2020学年下学期高考模拟文科数学试题（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{})2ln(-==x y x A ，{}|2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．()∞+，2D ．[)∞+，2 2．已知复数z 满足()i i z 221+=+（其中i 为虚数单位)，则复数z 的虛部为（ ） A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-3．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则“A b B a cos cos =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于20分钟的概率为（ ） A ．21B ．16C ．32 D ．31 5．已知P 是椭圆1222=+y x 上任一点，O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为（ ）A ．1222=+y xB ．1222=+y xC ．12422=+y xD ．14222=+y x6．已知()31cos -=+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin （ ） A ．91 B ．91-C ．97 D ．97-7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，，42763==S S 则9S 为（ ） A ．175B ．217C ．252D ．2948．若函数()⎩⎨⎧<-≥--=1,121,32x ax x a ax x x f 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-031， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，319．已知y x ,满足不等式组22020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则22y x z +=的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．52D ．410．已知过球面上三点C B A ,,的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABC ∆是边长为6的等边三角形，则球面面积为（ ） A ．π42B ．π48C ．π64D ．π6011．已知直线()()02:>+=k x k y l 与抛物线x y C 82=：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ） A ．33B ．3C ．32 D ．322 12．已知圆O 是边长为34的等边ABC ∆的外接圆，G 是ABC ∆所在平面内的动点，且1=OG ,则GC GA 2+ （ ）A ．10B ．8C ．6D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知两个单位向量,a b v va b a =，则向量a v 与b v的夹角为_____________.14．已知函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()01<-x f ，则x 的取值范围是_________.15．设点P 为椭圆：1244922=+y x 上一点，21F F ，分别是椭圆的左右焦点，G 为21F PF ∆的重心，且21PF PF ⊥，那么2GPF ∆的面积为___________. 16．设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[0,0.5),[0.5,1),...,[3,3.5]制作了频率分布直方图，（1）从频率分布直方图中估计该40位居民月均用水量的 众数，中位数； （2）在该样本中．．．．月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？18. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足()(sin sin sin )3sin a b c B C A b C +++-= (1) 求A ；(2) 若ABC ∆的面积为32，3a =ABC ∆的周长.19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2,AB CD CD AB AC =与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上，13AN AP =. (1)求证：//MN 平面PCD ； (2)若1,2,60AB AD DP PA PB BAD ︒=====∠=，求点N 到平面PCD 的距离.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222x y a bC:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为12F 、F ，左顶点为A ，且12=FF 4，2B(2,)是椭圆上一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线≠y=kx （k 0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE,AF 分别与y 轴交于点M,N ，求证：在x 轴上存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，以MN 为直径的圆都必过点P ，并求出点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数221()ln(1),()ln ln(1)2f x x ax x g x a x x ax x x=++-=--+-+， (1) 若函数()f x 在点(1))f (1，处的切线与直线220x y -+=3平行，求实数a 的值；(2)设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值点12,x x ，其中11(0,]x e∈，求 12()()h x h x -的最小值（注：其中e 为自然对数的底数）.四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρθθ=4cos +6sin . (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设曲线C 与直线l 交于点M,N ，点A 的坐标为(3,1),求11+AM AN.23. （本小题满分10分）已知函数()2-4+1f x x x =+，不等式()9f x ≤的解集为M . (1) 求M ；(2) 若m 为M 中的最大元素，正数,a b 满足12m a b +=,证明2142a b ab ++≥.重庆育才中学高2020级2019-2020学年下学期入学考试文科数学答案一、选择题：CBADC DBBAC DB二、填空题13.3π 14.()∞+，1 15.8 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,17.(1)该40位居民月均用水量的众数2.25，中位数2；(2)由直方图可知：月均用水量在[)0,0.5的人数为：400.10.5=2⨯⨯人，记为:a,b ，月均用水量在[)0.51，的人数为：400.20.5=4⨯⨯人，记为：Ａ,B,C,D ……8分 从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共15种，其中月均用水量都在[)0.51，的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是P =615=25.18. (1)∵()()sin sin sin 3sin a b c B C A b C +++-=，∴根据正弦定理，知()()3a b c b c a bc +++-=，即222b c a bc +-=.∴由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==.又()0πA ∈，，所以3A π=.(2) 113sin sin 2232ABC S bc A bc π∆====Q bc ∴=由余弦定理得：()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-()(2223123b c a bc ∴+=+=+=+，解得：3b c +=ABC ∆∴的周长33L a b c =++=+=+19. (1)//AB CD Q , 111,=23313AN AM AB AM AM AN A MC CD AC A P AC P ∴===∴==Q ，又， //MN PC ∴,又,MN PCD PC PCD ⊄⊂平面平面,//MN ∴平面PCD ;(2) (2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ABCD ⊥平面 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，因为平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，所以ME ⊥平面PCD ． 又因为//MN 平面PCD ，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离．在△ABD 中，设AB 边上的高为h，则h =因为23MD MC BD AC ==，所以233ME h ==，即N 到平面PCD的距离为3． 解法二、（1）同解法一．（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ． 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅V V ．因为12ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=V 112PCD S PD CD =⋅=V ，1PD =，所以2193d =，解得d =N 到平面PCD20. （1）依题意椭圆方程为22184x y +=；（2）假设存在这样的点P ，设()0,0P x ，()11,E x y ，1>0x ，则()11,F x y --，联立22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221280kx+⋅-=，解得1x =1y =因为()A -，所以AE 所在直线方程为(),222112+⋅++=x k ky ，可得M ⎛⎫ ⎝，同理可得N ⎛ ⎝，所以0PM x ⎛⎫=- ⎝u u u u r，0PN x ⎛⎫=- ⎝u u u r ， 则2040PM PN x ⋅=-=u u u u r u u u r ，解得02x =或02x =-，所以存在点P 且坐标为()2,0或()2,0-，使得无论非零实数k 怎么变化，以MN 为直径的圆都必过点P .21.(1) 依题意1a =;(2) ()1ln h x x a x x =-+，()222111a x ax h x x x x+='+=++ 由题意得方程210x ax ++=的两根分别为12,x x ，且1212,1x x a x x +=-= 所以211111,x a x x x ==--， 则()()()1211111111112ln h x h x h x h x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()112ln x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()()()22211121ln ln x x x x x x x ϕ-+⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭ 当10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 14x e e ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()12h x h x -的最小值为4e.22. ()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+， ∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==Q∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线3:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,12121212121212121111+=+===8t t t t t t t t t t t AM AN t t t t t +=-===⋅+-∴⋅⋅ ..{212123()9,2-4+193395933924122124}x x x f x x x x x x x x x x x >-≤≤≤-⎧⎧⎧≤∴+≤⎨⎨⎨-≤-≤-+≤⎩⎩⎩∴<≤-≤≤-≤≤-∴-≤≤（1），即或或或或不等式的解集为(2)为中的最大元素，，（当且仅当时等号成立）即.。
【KS5U解析】山东师范大学附属中学2020届高三最后一卷(打靶卷)数学试题 Word版含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.
【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
11.已知正方体 棱长为 ，如图， 为 上的动点， 平面 .下面说法正确的是（）
A.直线 与平面 所成角的正弦值范围为
B.点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C.点 为 的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.己知 为 中点，当 的和最小时， 为 的中点
当 ，即 时， 与 的图象只有一个交点
即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.
故选：ABD
．
【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)
对于C选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ，
平面 ， 平面 ， ，即 ，得 ， ，
所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点，则 ， ，
而 ， ， 且 ，
由空间中两点间的距离公式可得 ， ， ，
所以，四边形 为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示：
若 最短，则 、 、 三点共线，
2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)
数学山师附中2020届高三考前打靶卷卷(6.29日)
OA
OB
OC
．设
AO
AB
AC
，则
的值为（
）A．2Biblioteka B．1C． 11 18
D． 7 11
8. 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AB BC BB1 1， M 是 AC 的中点，则
三棱锥 B1 ABM 的外接球的表面积为（ ）
A. 3 π
B.2π
C. 5 π
2
4
D. 9 π 8
）
A. 函数图像关于 x π 对称 4
B.
函数在
π 4
,
π 4
上单调递增
C.
若
f (x1)
f (x2 )
4 ，则 x1 x2
k 2
(k Z)
D. 函数 f (x) 的最小值为 2
2
11.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2 ,如图, M 为 CC1 上的动点, AM 平面 .下面
说法正确的是（
）
A. 直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为[ 3 , 2 ] 32
B. 点 M 与点 C1 重合时,平面 截正方体所得的截面，其面积越大,周长就越大
C. 点 M 为 CC1 的中点时,若平面 经过点 B ,则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 N 为 DD1 中点,当 AM MN 的和最小时, M 为 CC1 的中点
a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A． c b a
B． b c a
C． a b c
D． c a b
6. 对 n 个不同的实数 a1, a2 ,..., an 可得 n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的
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按秘密级事项管理★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）数学学科本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =-<，{21012}N =--，，，，，则M N =（）A ．∅B ．{1}C ．{01}，D ．{101}-，，2．已知复数z 满足(12i)i z +=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量）夹角为钝角”的（”是“则“，b a b a ,1),1,2(),2-m (<==m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A.90 B.120 C.210D.2165．已知定义在R 上的函数||()2x f x x =⋅，3(log 5a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>6.对n 个不同的实数12,,...,n a a a 可得!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行12,,...,i i in a a a ，记()12323...1,1,2,3,...,!.ni i i i in b a a a na i n =-+-++-=例如用1，2，3可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以126...1221231224.b b b ++=-+⨯-⨯=-那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12120...b b b ++等于（）A ．-3600B ．-1800C ．-1080D ．-7207．已知ABC ∆中，60A =︒，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==．设AO AB AC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．2B ．1C ．1118D ．7118.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，11AB BC BB ===，M 是AC 的中点，则三棱锥1B ABM -的外接球的表面积为（）3.π2A .2πB 5.π4C 9.π8D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．Keep 是一款具有社交属性的健身APP ，致力于提供健身教学､跑步､骑行､交友及健身饮食指导､装备购买等--站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程｡不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划｡小明根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图｡根据该折线图，下列结论正确的是（）．A ．月跑步里程最小值出现在2月B ．月跑步里程逐月增加C ．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小10.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论正确的是（）A.函数图像关于π4x =对称B.函数在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12()()4f x f x +=，则12()2k x x k Z π+=∈D.函数()f x 的最小值为2-11.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2,如图,M 为1CC 上的动点,⊥AM 平面α.下面说法正确的是（）A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为]22,33[B.点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面，其面积越大,周长就越大C.点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为1DD 中点,当MN AM +的和最小时,M 为1CC 的中点12．函数()e sin x f x a x =+，()x ∈-π+∞，，下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在(0(0))f ，处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<C ．对任意0a >，()f x 在()-π+∞，上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在()-π+∞，上有且只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62)12(x x -的展开式中的常数项为________.（用数字作答）14．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________．15．已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切于点),(00y x ，则ba 11+的最小值是________．16.已知双曲线1822=-y x ，21,F F 是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是21PF F ∆的内切圆，则M 的横坐标为____，若1F 到圆M 上点的最大距离为34，则21PF F ∆的面积为_____.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n +=-∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn n n a b S S +=⋅，数列{b n }的前n 项和n T ，且n T m 对任意n +∈N 恒成立，求m 范围.18．（12分）平面四边形ABCD 中，边BC 上有一点E ，120ADC ∠= ，3AD =，2sin 3ECD ∠=，DE =，334CE =．（1）求AE 的长；（2）已知60ABC ∠=︒求ABE ∆面积的最大值．19.（12分）在直角梯形ABCD 中，,,,//DC BD BC AB BC AD ⊥⊥点E 是BC 的中点.将ABD Δ沿BD 折起，使AC AB ⊥,连接DE AC AE ,,,得到三棱锥BCD A -.（1）求证：平面⊥ABD 平面BCD（2）若,1=AD 二面角D AB C --的余弦值为,77求二面角E AD B --的正弦值.从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x /℃21232527293235平均产卵数y /个711212466115325xyz))((1∑=--ni iiz zx x ∑=-ni ix x 12)(27.42981.2863.61240.182147.714表中711ln ,7i i i i z y z z ===∑.（1）根据散点图判断,bx a y +=与dxce y =(其中e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y 关于x 的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)（2）根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为)10(＜＜p p .（i ）记该地今后(3,)n n n N *≥∈年中，恰好需要2次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 取得最大值时相应的概率0p .（ii ）根据（i ）中的结论，当)(p f 取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差。
附：对于一组数据112277(,),(,),(,),x z x z x z K 其回归直线bx a z +=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：71271()(),(i ii ii x x zz b a z bx x x ==--==--∑∑.21．（12分）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)2-，且焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 为椭圆E 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，记直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程.已知函数()lnf x a x a=∈R，．（1）若曲线()y f x=与曲线()g x=a的值；（2）在（1）的条件下，试问函数1e()()12xxF x xf x-=-+是否有零点．若有，求出该零点；若没有，请说明理由．。