2 数列极限

从而 且
,得 ，根据夹逼定理知
解法二 由条件知 un>0，显然{un}递增，知
递减，且
，由单调有界定理知
收
敛，设
，有
. 若不然
,有
，
又
，
得 =0，与
相矛盾，故假设不成立，所以
.
（4）利用单调有界定理证明数列
有极限。
定理 1.3 (单调有界定理) 数列
递增（递减）有上界（下界），则数列
收敛，即单调有界
数列有极限。
单调有界定理适合数列的项用递推关系式给出的数列。单调有界定理仅能证明数列极限存在，至于
数列极限的值是多少只能用别的方法去解决。
例 10 设
为常数，证明
极限存在，并求
。
分析 由于
，容易观察出 是递增的，并可用数学归纳法证明。关键是证明它
有上界，哪一个数是
的上界呢？我们观察不出来。由于
是递增的，所以，若
解取
。得子数列
，
，
取 n=8k，得子数列
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
散。
（2）若数列{an}无界，则数列{an}发散
例 15 判断数列
的收敛性。
解设
,有
界，故{an}无界
，由
，知数列
发
，知
，从而{an}无
，假设
时,
，当
时,
法知对一切 设
，都有
。即
时也成立，由数学归纳
。根据单调有界定理知 收敛。
，令
，有
，解得
，知
，
知
，由条件知
。知
。
在上题证明了数列有界时，我们也可用下面方法证。
我们已经证明了
严格递增，即
，故
。从而 有上界。
例 11 设
.
解设
由极限的不等式性质知，存在
知
递减且
。由单调有界定理知 收敛，设
由于在求函数极限时，可对分式分子、分母中的复杂因式用简单的等价量来替换。而数列也是特殊
的函数，故在求数列极限时，也可用等价量替换。
例 13 已知
为常数，求 。
解 利用
, 有
原式
，
知
解得
2．判断数列极限不存在的方法 （1）若数列{an}有两个子数列极限存在但不相等，则{an}发散
例 14 判断数列
的收敛性
，即
，于是
.所以，
，要使
要
，取
. （2）利用重要数列极限和极限四则运算求极限
，当 n>N 时，都有
例3 求 其中 a0，a1，…，am，b0，b1，…，bk 均为常数且 a0≠0，b0≠0。
，只 ，所以
解 原式
这个例子表明当分子最高次幂小于分母最高次幂时，分式极限为零；当分子最高次幂等于分母最高 次幂时，分式极限就是分子、分母最高次幂的系数之比；当分子最高次幂大于分母最高次幂时，分式的极 限为 ，以后该例题的结果可以作为结论用，同理可证对分子、分母的每一项幂指数是正数时结果仍成 立，例如。
令
，有
，化简有
, ，由
例 12 设 的正根。
证(i) 若
收敛于方程
假设
时，
时，
,
两边开二次方根有
，
即
时，不等式
成立，由数学归纳法知
递减且
，根据单调有界
定理知 收敛。
（ii）
假设
时，
成立，当
时，
，
有
知 递增。
下面再证
有上界，由
，即
时，
成立。由数学归纳法
。
即
有上界，故
收敛。
设
收
敛于
的正根。
（5）利用等价量替换来求数列极限。
学习工具 第二节 数列极限
一、数列极限内容网络图
二、内容与要求 1. 了解数列极限的概念， 2. 掌握数列极限的性质及四则运算法则 3. 掌握数列极限存在的夹逼定与单调有界定理，并会利用它们求极限或判断数列极限存在. 4. 了解数列极限与子数列极限之间的关系. 重点数列极限的性质及四则运算法则、数列极限存在的夹逼定理与单调有界定理
极限存在，
则极限值一定是它的一个上界，若
有极限，设= ，由于
，
令 解得
，有
，两边平方得
，
。由题意知
，所以
，由于 太复杂，我们对它作适当
放大，有
，则必有
。
证 显然
，我们先证
递增的，即
。由于
时不等式成立。假设
时，
成立。当
时，由
，即 ,
式也成立，由数学归纳法知
，即
时不等
，知
递增。再证
有上界，用数学归纳法证明：由
例 5 求极限 解 不妨设
，其中 a1，a2，…，am 均为正常数 ，由于
，
且
，由夹逼定理知.
. 例6求
解由 且
（1-a>0 且为常数），根据夹逼定理知
例7求 解设
，由于
且
根据夹逼定理知
例8 求 解 由于
即 且
，所以 ，
， ，由夹逼定理知
例9
，当 n≥3 时，
解法一 由条件知{un}递增，知
，求
。
线，要求 n 是自然数，故 N 可以是实数，而且 n>N 也可改成 n≥N。
(3)几何意义： 有项。
，表明 a 的任何给定的 ε 邻域中都含有数列{an}中除了有限项以外的全
2.收敛数列的性质
性质 1.1（唯一性）若数列{an}极限存在，则极限值是唯一的。 性质 1.2 改变数列的有限项，不改变数列的收敛性与极限。 有了性质 2，对于判定数列敛散性的定理中要求从第一项就具有某种性质的条件可减弱为从某一项 开始具有该性质，结论依然成立。 性质 1.3（有界性）数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在某正常数 M，使得对一切正整数 n，
都有
。
推论 若数列{an}无界，则数列{an}发散。
该推论是判断数列{an}发散的一个简单有效的办法。
性质 1.4 设
，
且 a，则存在 N0，当 n>N0 时（即 n 充分大时），都有
an。
推论（保号性），若 N，当 n>N 时，都有 an>η>0(an<η<0)。
，则对于满足 0<η<a(a<η<0)的任何常数 η，存在
量 an 与 a 接近的程度，但不能限制大于某一个正常数，定义中的 ε 可用 2ε、 或 ε2 等本质上是任意的 正常数来替代，同样也可把“<”号换成“≤”号。
（2） N 的相应性。一般说，N 是随着 ε 的变小而变大，但并不是由 ε 唯一确定，因为给定 ε，确定
N，当 n>N，有
，则 N+1，N+2，…同样也符合要求。此外，n>N 中的 N 只是下标的一个界
逆否定理 若数列{an}有两个子数列极限存在不相等或有一个子数列极限不存在，则数列{an}发散。
该定理是判断数列{an}发散的一个重要方法。
性质 1.7 （数列极限的四则运算）若
，
，则数列{an±bn}，{anbn}，
（b≠0）的极限都存在，且 （1） （2） 特别地，当 k 为常数时，有
； ；
；
（3）
例4 求
.
解 原式
= （3）利用夹逼定理求极限
定理 1.2（夹逼定理 ） 设{an}，{bn}为收敛数列，且
，
，若存在 N0，当
n>N0 时，都有
，则数列{cn}收敛，且
.
夹逼定理适合数列的项有多项相加或相乘式
时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能
利用极限的四则运算，此时可尝试用夹逼定理。夹逼定理不仅能证明数列极限并可求出极限的值。
.
典型错误 原式=
.
点评 这里用了分次取极限.如果用这方式，会导致结果错误，例如我们知道
.
如果用上述方法做，就会得到
.
解由
是严格递增数列且
,
而
是
的子数列，有
于是
,
又
,根据夹逼定理知，
例 3. 判断
的收敛性.
典型错误 设
.故
点评 在没有证明 的结论是否正确也不清楚.
收敛的前提下，设
.
. 是没有根据的，在这个前提下推到出
解设
,取
取
例 4. 设
典型错误
极限为 1, 根限为—1,由 1≠—1，故 , 证明
不存在.
,
故
.
点评 在没有证明
存在的前题下是不能用极限的运算法则.
典型错误 由 对于
，由数列根限定义知,
时，都有
,由于
所以
.
点评 没有考虑到 a=0 的情况，不严谨.
解 当 a≠0 时，与典型错误二解法一样，当 a=0，由
.
注意：数列极限的四则运算前提是两个数列极限都存在，并可把数列极限推广到有限项极限的四则
运算，但数列极限的运算法则不能推广到无限项.
例 1.
。
例求
.
典型错误 原式=
. 点评 对于无穷项相加，不能用极限的运算法则,应当化简成有限项用极限的四则运算或用夹逼定理.
解设 且
,由于
,即
.
,根据夹逼定理知
.
例 2. 求
①放大以后的 g(n)要尽可能简单，从 g(n)<ε 中等价解出 n>N2（ε）容易
②
，即放大以后的式子必须以 0 为极限
(a)直接放大，把
化简一步一步放大，使
.
（b）间接放大，有时从
直接放大不容易，我们可借助于其它公式如二项式公式及各种不
等式等辅助工具来达到放大的目的。
例 2 证明
。
证设
可得
，
可推出
性质 1.5（不等式）若
，
，且存在 N0，当 n>N0 时，都有 an≥bn，则 a≥b.
注意在性质 5 中，即使存在 N0，当 n>N0 时，都有 an>bn，也不能保证 a>b.
例如
，
，an>bn（n=1，2，…），
但
，
，而 0=0。
性质 1.6 数列{an}收敛的充要条件是：数列{an}的任何一个子数列都收敛且极限相等。
难点数列极限的概念、数列极限的性质、单调有界定理
三、概念、定理的理解与典型错误分析
1．数列极限的概念 定义 1.9 设{an}是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任意给定的正数 ε，总存在一个自然数 N，
使得 n>N 时，都有
，则称数列{an}的极限是 a，或者说数列{an}收敛于 a，记作
。 注意： （1）ε 的任意性，ε 的作用在于衡量 an 与 a 的接近程度，从而限制 ε 小于某一个正常数，不影响衡
对于
当
时，都有
，由定义知
, =0. 故
, ,
四、解题方法题例 1．求数列极限的方法 （1）利用数列极限定义证明数列极限存在
要证
，即证明
， ，当 n>N 时，都有
.由定义可知，n>N 是
成立的充分条件，从而有 （ⅰ）直接证法（充要条件）
，找出使
成立的充要条件（当然也是充分条件）
，即和中学解一
般不等式的方法相同，由
。
例 1 证明
（|q|<1，且 q 为常数）.
证（i）当 q=0 时，知
为常值数列，有
.
（ii）当
时，
，要使
（由 为负数）
，取
，当 n>N 时，都有
，所以
，总之
。
（ⅱ）适当放大法（充分条件）
有时从
中等价解出
很困难。这时我们就可用适当放大法，使得
（
）。只要
，取
，当 n>N
时，有
。
在使用适当放大法时，我们要求：