11光学传递函数

b a
M ,
综合上式，有
Vi Vg M , 说明对比度下降了！
另外， i , g , , 表明产生了条纹错开！
由此可见，OTF描述了像与物的对比度的比较， 以及相位改变的多少。因此，OTF表征了非相干光 学系统成像质量的好坏。
S0
说明：分母是光瞳的总面积； 分子是两个错开的光瞳的重叠面积。
1. OTF的几何计算
如图：
y
O
x
光瞳的总面积 S 0
y
O
x
di
重叠面积 S ,
di
注：重叠面积指中心在（0，0）的原光瞳与平移到中心
在 di ,di 的光瞳的重叠部分。
2. OTF的性质
（1） Η , 是实的非负函数，说明在非相干光照明
Gg , FT I g xi , yi
H I , FT hI xi , yi
பைடு நூலகம் 3. 归一化频谱关系式
本
底
本
色
底
色
Fig. 1
Fig. 2
使用归一化频谱的原因：强度是一个非零值，I 0 。反映
在一幅图上，光强度的变化就是灰度的变化。
强度的分布总是有一个非零的“直流分量”或“本底”。
I g ~x0 , ~y0 a b cos 2 0~x0,0 ~y0 g 0 ,0
Ii xi , yi a bM cos 2 0xi ,0 yi g , ,
振幅改变
产生相移，即相位改变
对比度（调制度）的定义
一个像的视觉质量很大程度依赖于“反衬度”。换句话说： 视觉质量依赖于像的携带信息的部分相对于本底的相对强度。
什么是归一化处理？ 例如：测量单缝衍射光强分布曲线，测量值是I，I
的最大值是I 0。 我们作图时，经常的处理方法是计算 I / I 0，以它作为 纵坐标的值。这就是归一化处理。
I 0 1
下，衍射受限系统的成像只需要考虑MTF，不必考虑 PTF。这就反映了这种系统只改变频率成分的对比，不 产生相移。
（2）当 0 时，两个光瞳重合，归一化重叠面
积为1，即 H 0,0 1 。
（3） Η , Η 0,0
（4）当 , 足够大时，两个光瞳会完全分离，这时重
取值范围： M , 1
相位传递函数（Phase Transfer Function ，PTF）：描 述了系统对各频率分量施加的相位移动。
对OTF的理解
因为余弦函数是线性空不变系统（LSI）的本征函数，即有
f x, y aLf x, y
Ig
物
Ii
经过成像系统
像
x0
xi
两点 分辨
依赖两个点光源的相 使用瑞利判据 位关系
（1）截止频率
OTF的截止频率是CTF的截止频率的两倍，并不 意味非相干照明比相干照明好。
原因：
相干截止频率确定像的振幅的最高频率分量； 非相干截止频率确定像的强度的最高频率分量。 这两者不能直接比较。
H ,
1

D 2d i

c

D
2d i
kIg xi , yi hI xi , yi
其中 hI xi , yi 称为强度脉冲响应.
hI xi ,
yi
h~xi ,
2
yi
它表示点物产生的像斑的强度分布。
2. 物像关系（频域中）
Gi , Gg , H I ,
其中
Gi , FT Ii xi , yi
V
Imax I min
I max I min
计算余弦函数输入物和输出像的对比度，得
a b a b b Vg a b a b a
Vi

a a

bM , bM ,
a a

bM , bM ,
l l
当 Px, y 在 x, y 方向分别位移 得到 Px di , y di
di ,di
后，
重叠面积的计算：
光瞳总面积： S0 l 2
动态分析图
当di l或di l时，
S , 0
当di l并且di l时，
2. 反映强度频谱之比
Η

,


Gi Gg
, ,
3. 用模与幅角表示
H , M ,exp j,
调制传递函数 相位传递函数
调制传递函数（Modulation Transfer Function，MTF）： 描述了系统对各频率分量对比度的传递特性。


dd
令 di x , di y ，有
Η

,


Px,
yPx di , y di
Px, y2 dd
dxdy
Px, yPx di , y di dxdy Px, ydd
即 Η , S ,
I0
设 Gi , Gg , H I , 的零频分量分别为：
Gi 0,0 Gg 0,0 H I 0,0
对上述三个量进行归一化处理，有：
Gi , G g ,Η ,
则有：
Η

,


Gi Gg
, ,
非相干光照明下，
像的强度为
Ii I g hI
像强度的频谱为 Gi , Gg , Gg , H , H ,
举例分析两种情况下的像强度
物体的复振幅透过率为 t1x cos 2
x b
，将此物通过一个
横向放大率为1的光学系统成像，系统的出瞳是半径为a 的圆
2
所以，在截止频率内，光学传递函数为
H ,0 S ,0 2 sin cos
S0
OTF计算——EXAMPLE 3
OTF的计算公式
相干成像和非相干成像的比较
从照明光、截止频率、像强度的频谱和两点的分 辨等方面对这两种成像进行比较。
相干成像 （相干光照明）
（2）像强度的频谱
两种情形下最后可以比较的物理量都是强度。无疑， 对分别在相干和非相干光照明下成像的比较，必须通过 同一可观察量——像的强度来进行。
相干光照明下，
像的强度为
Ii U g h~ 2
像强度的频谱为 Gi , Gg , H , Gg , H ,
传递函数就是用来表示物面频谱向像面传递状况 （好坏）的一个物理量，用传递函数可以更好地评价 光学系统的成像质量。
OTF计算——EXAMPLE 1
例3.4.1 衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l 的正 方形，求其光学传递函数。
解：光瞳函数表示为 Px, y rect x rect y
H , 称为光学传递函数。它等于像面强度频谱
与物面强度频谱之比。
光学传递函数（OTF）有3种表达式：
1. 定义式
Η
,

HI , HI 0,0


hI
xi ,
yi
exp j2 xi yi
hI xi , yi dxidyi
dxidyi
的自相关归一化函数。
等于相干传递函数
衍射受限系统的OTF的计算
对于同一个衍射受限系统，有相干传递函数 H , Pdi , di
所以光学传递函数为
Η

,


Pdi, di Pdi , di
Pdi,di 2 dd
d 形为孔照径明，光并波且波长bd，i 请a 问2对bdi该。物体i 成为像出，瞳采到用像相面干的光距和离非，相 干
光照明，哪一种方式更好？
分析：首先，该系统的出瞳是圆孔，
相干光照明时，其截止频率为
c

a
di
又因为题目给出了条件： di a 2di
b
b
，所以得到
1 2
c

由于我们可以将输入物看作是强度分布呈余弦变
化的不同频率的光栅的线性组合，所以上面的分析可 以推广到所有输入物的情形。
OTF与CTF的关系 从OTF的定义出发：
Η
,
H I , H I 0,0

hI
xi ,
yi
exp j2 xi yi
hI xi , yi dxidyi
光学传递函数 OTF
对于非相干光照明下的衍射受限系统，表征系统的成像质量的 指标就是光学传递函数。
非相干成像系统是强度的线性空不变系统（LSI）。
一. 非相干光照明下，衍射受限系统的成像规律
1. 物像关系（空域中）
Ii xi , yi k I g ~x0 , ~y0 hI xi ~x0 , yi ~y0 d~x0d~y0
dxi dyi
FThI xi , yi
hI xi , yi dxidyi

FT h~xi , yi 2 h~xi , yi 2 dxidyi

H

, H , H , 2 dd
H H 说明：对于同一个系统来说，光学传递函数
1 b

c
（1）
接着，将物函数分解为余弦函数的线性组合，即将其展开成傅立叶级数，得
tix
cos 2
x b

4
1

2

1 cos 4 13
x b
1 cos 6 35
x b

由此式可知，此物的基频为2/b 。
由 （1） 式 得2 b
非相干成像 （非相干光照明）
备注
截止 频率
c

l
2d i


2c

l
di
能否就此判断“非相 干成像比相干成像的 效果好”呢？
像强度 Ii xi , yi Ui xi , yi 2 的频谱 U g xi , yi h~xi , yi 2 Ii xi , yi I g xi , yi hI xi , yi
x轴方向重叠的长度为 l di
y轴方向重叠的长度为 l di
y
x
di
di
l di
S, l di l di
经过上述分析，该系统的光学传递函数为
H
,

S ,
S0

l

di
l
l2
c的两倍，即oc 2c
OTF计算——EXAMPLE 2
例3.4.2 衍射受限系统是出瞳直径为D的圆，求此系统的光 学传递函数。
解：圆形光瞳的总面积为
S0

D 2
4
由于是圆对称图形，光学传递函数
在各方向上的截止频率相同，只计算在x 方向上的移动即可。
计算重叠的两个弓形的面积，
di
S ,0 D2 sin cos

c
上述分析得到结论：在相干光照明下，此成像系统不允许该物函数的
基频及以上的频率通过，只能让零频分量通过。所以物不能成像，像面上 是均匀强度分布。
非相干光照明下，系统的截止频率为


2c

2 b
所以零频和基频都能通过系统参与成像。尽管像的基频被衰减，高频被截

di


1
di
l
1

di
l



1

l
/
d
i
1

l
/ di



l
/ di



l
/ di

同一系统的相干传递函数的截止频率为
c

l
2d i
由此可见，光学传递函数的截止频率是
叠面积为零。即 H , 0 。物理意义是，在截止频
率规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些 频率分量。
OTF的计算
首先，利用傅立叶光学来研究光学系统的成像特 性，产生了传递函数的概念。
光学成像系统的光瞳反映了系统对光束的限制。 因此，即使不考虑几何光学像差的情况下，系统由于 存在衍射效应，它也不可能理想成像——点物成点像。 从傅立叶光学的观点来看，系统的光瞳限制了物面的 频谱向像面的传递，因此系统不可能理想成像。