第41天：导数中的构造函数(换元法上)

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导数中的构造函数

导数中的构造函数【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例1. 设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．0或2 【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =．例2、已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=；()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+>【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3.若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．2．4.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．3．5.已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．4．6.已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．6．9.定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11.已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14.已知定义在R 上的奇函数满足f （1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．8． 15.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.9．16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．导数中的构造函数答案【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e=．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （nx ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v⋅，uv 的导函数观察可得知，u v⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例2.设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以．由已知，时，，可得当时，，故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A．B．C．当时，取得极大值D．当时，【答案】C【解析】设，则则又得即，所以即，由得，得，此时函数为增函数由得，得，此时函数为减函数则，即，则，故错误，即，则，故错误当时，取得极小值即当，，即，即，故错误当时，取得极小值此时，则取得极大值本题正确选项：2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =．例3、已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令，则，可设， ∵，∴． ∴，∴．可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．，，，．∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．故的取值范围是，故选C．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.f x与sin x，cos x构造3．利用()sin x，cos x因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】B【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【答案】B【解析】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x '=+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和图象可知选B ．【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】易知当≤0时，方程只有一个解，所以>0．令，，令得，为函数的极小值点，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A.【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得，即，设，，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=故选B.【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，.当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾，综上.故选D.10．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意设，则，所以函数在上单调递增，所以，即．故选B．11．若函数有三个零点，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，设，则，由得得或，此时函数为增函数，由得得，此时函数为减函数，即当时，取得极小值，当时，取得极大值，当，且，函数图象如下图所示：要使有三个零点，则，即实数a的取值范围是，故本题选D．12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．13．已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），则l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），则m′（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.14．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由恒成立得，恒成立，设，则.设，则恒成立，在上单调递减，又，当时，，即；当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，，，故选:D15．已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，∴，化简可得.设，∴，∴时，，因此为减函数，∴时，，因此为增函数，∴，∴，∴在上为增函数.∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，又∵，即，又在上为增函数，∴，由函数关于对称可得，，故选A.16．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.17．定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数因为是奇函数，所以为偶函数当时，恒成立，即，所以在时为单调递减函数在时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知，所以所以选D18．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选：B19．已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由题意，设，则．由已知，所以当时，，当时，，又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即方程无解，即方程无解，所以函数无零点．故选A．二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，先看成b的一次函数，可得即为，可得恒成立，设，，，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．20．定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】的周期为定义在上的奇函数①时，令，则，即单调递减又不等式的解集为②时，时，不等式成立综上所述：本题正确结果：21．已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．【答案】【解析】设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数，所以为偶函数，作出简图如下：结合简图，所以的解集是.22．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.【答案】【解析】令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化为g（x）＞g（0），根据g（x）的单调性得x<0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,故答案为．23．设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．。

导数中的构造函数

导数中的构造函数【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e=．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例1. 设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．0或2 【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =．例2、已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+>【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3.若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．2．4.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．3．5.已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．4．6.已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．5．8.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．6．9.定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11.已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．7．14.已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．8．15.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.9．16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．导数中的构造函数答案【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例2. 设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．0或2 【答案】A 【解析】设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以．由已知，时，，可得当时，，故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A．B．C．当时，取得极大值D．当时，【答案】C【解析】设，则则又得即，所以即，由得，得，此时函数为增函数由得，得，此时函数为减函数则，即，则，故错误，即，则，故错误当时，取得极小值即当，，即，即，故错误当时，取得极小值此时，则取得极大值本题正确选项： 2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =．例3、已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令，则，可设，∵，∴．∴，∴．可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．，，，．∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．故的取值范围是，故选C．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=；()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】B【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【答案】B【解析】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x '=+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又()f x 为偶函数，根据单调性和图象可知选B ．【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】易知当≤0时，方程只有一个解，所以>0．令，，令得，为函数的极小值点，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A.【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得，即，设，，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=故选B.【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，.当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾，综上.故选D.10．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意设，则，所以函数在上单调递增，所以，即．故选B．11．若函数有三个零点，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，设，则，由得得或，此时函数为增函数，由得得，此时函数为减函数，即当时，取得极小值，当时，取得极大值，当，且，函数图象如下图所示：要使有三个零点，则，即实数a的取值范围是，故本题选D．12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．13．已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），则l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），则m′（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.14．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由恒成立得，恒成立，设，则.设，则恒成立，在上单调递减，又，当时，，即；当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，，，故选:D15．已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，∴，化简可得.设，∴，∴时，，因此为减函数，∴时，，因此为增函数，∴，∴，∴在上为增函数.∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，又∵，即，又在上为增函数，∴，由函数关于对称可得，，故选A.16．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.17．定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数因为是奇函数，所以为偶函数当时，恒成立，即，所以在时为单调递减函数在时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知，所以所以选D18．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选：B19．已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由题意，设，则．由已知，所以当时，，当时，，又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即方程无解，即方程无解，所以函数无零点．故选A．二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，先看成b的一次函数，可得即为，可得恒成立，设，，，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．20．定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】的周期为定义在上的奇函数①时，令，则，即单调递减又不等式的解集为②时，时，不等式成立综上所述：本题正确结果：21．已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．【答案】【解析】设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数，所以为偶函数，作出简图如下：结合简图，所以的解集是.22．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.【答案】【解析】令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化为g（x）＞g（0），根据g（x）的单调性得x<0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,故答案为．23．设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．。

【导数经典技巧与方法】第8讲-构造函数-解析版

第8讲构造函数知识与方法利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点.解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.本节我们来探讨构造函数研究不等式的策略.典型例题构造差函数当待证不等式的两边含有同一个变量时,一般可以通过“左减右”或“右减左”构造差函数,利用导数研究其单调性,进而借助单调性证明原不等式成立.【例1】求证:当x≥0时,e x≥ex+(x−1)2.【解析】证法1:今f(x)=e x−ex−(x−1)2,则f′(x)=e x−e−2(x−1),今g(x)=e x−e−2(x−1),则g′(x)=e x−2,由g′(x)=0⇒x=ln2,当x∈[0,ln2)时g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(ln2,+∞)时g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g (x )min =g (ln2)=2−e −2(ln2−1)=4−e −2ln2<0,又g (0)=3−e >0,故存在x 0∈(0,ln2),使得g (x 0)=0,即e x 0−e −2(x 0−1)=0当x ∈(0,x 0)时g (x )>0,当x ∈(x 0,ln2)时g (x )<0,又g (1)=0,且g (x )在(ln2,+∞)单调递增,故当x ∈(ln2,1)时g (x )<0,当x ∈(1,+∞)时g (x )>0,所以f (x )在[0,x 0)递增,在(x 0,1)递减,在(1,+∞)递增,又f (0)=0,f (1)=0. 故当x ∈[0,+∞)时,f (x )max =f (0)=f (1)=0;即当x ≥0时,f (x )≥0,所以e x ≥ex +(x −1)2.证法2:令f (x )=ex+(x−1)2e x (x ≥0),f ′(x )=−(x−1)(x+e−3)e x ,当x ∈(0,3−e )∪(1,+∞)时f ′(x )<0,当x ∈(3−e,1)时f ′(x )>0,所以f (x )在[0,3−e),(1,+∞)上单调递减,在(3−e,1)上单调递增.又f (0)=1,f (1)=1,故ex+(x−1)2e x ≤1对一切x ∈[0,+∞)恒成立,即e x ≥ex +(x −1)2：【例2】设a,b∈R,函数f(x)=lnx−ax,g(x)=bx.(1)若f(x)=lnx−ax与g(x)=bx有公共点P(1,m),且在P点处切线相同,求该切线方程;(2)若函数f(x)有极值但无零点,求实数a的取值范围;(3)当a>0,b=1时,求F(x)=f(x)−g(x)在区间[1,2]的最小值.【解析】(1)由{f′(1)=g′(1),f(1)=g(1),得a=12,b=−12.所以该切线方程为x−2y−2=0.(2)当a≤0时,由f′(x)=1x−a>0恒成立,可知函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递增,此时无极值.当a>0时,由f′(x)=1x −a=0得x=1a>0;由f′(x)=1x −a>0得x∈(0,1a);f′(x)=1x−a<0得x∈(1a,+∞).于是x=1a 为极大值点,且f(x)max=f(1a)=−lna−1.由于函数f(x)无零点,因此f(x)max=f(1a )=−lna−1<0,解得a>1e.(3)不妨设F(x)=lnx−ax−1x ,得F′(x)=1x−a+1x2=−(ax2−x−1)x2.设ℎ(x)=ax2−x−1,因为a>0,所以Δ=1+4a>0, 设ℎ(x)=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由x1x2=−1a <0得x1<0,x2>0且x2=1+√1+4a2a.所以F′(x)=−a(x−x1)(x−x2)x2.所以当F′(x)=0时x=x2;当F′(x)>0时,x2>x>0;当F′(x)<0时,x>x2.所以F(x)在(0,x2]递增,在[x2,+∞)递减.(1)当0<x2≤1时,即{12a<1,ℎ(1)≥0,解得a≥2时,[1,2]⊆[x2,+∞),F(x)在[1,2]递减;所以F(x)min=F(2)=ln2−12−2a.(2)当x2≥2时,即ℎ(2)≤0解得0<a≤34时,[1,2]⊆(0,x2],F(x)在[1,2]递增;所以F(x)min=F(1)=−a−1.(3)当1<x2<2时,即34<a<2时,F(x)在[1,x2]递增,[x2,2]递减;所以F(2)−F(1)=ln2−12−2a+a+1=ln2+12−a.(i)当ln2+12≤a<2时,F(2)≤F(1),所以F(x)min=F(2)=ln2−12−2a.(ii)当34<a<ln2+12时,F(2)>F(1),所以F(x)min=F(1)=−a−1.综合(1)(2)(3)得F(x)=f(x)−g(x)在区间[1,2]的最小值为:F(x)min={−a−1,(0<a<ln2+12) ln2−12−2a,(a≥ln2+12).变形构造函数【例3】已知函数f(x)=lnxx,g(x)=e x.(1)若函数ℎ(x)=12ax2+x[1−(a+1)f(x)]有唯一的极小值点,求实数a的取值范围;(2)求证:f(x)+1≤g(x−1).【解析】ℎ(x)=12ax2+x[1−(a+1)f(x)]=12ax2+x−(a+1)lnx,ℎ′(x)=ax+1−a+1x =ax2+x−(a+1)x=(ax+a+1)(x−1)x(x>0),设r(x)=(ax+a+1)(x−1),当a=0时,r(x)=(x−1),在x∈(0,1)时,r(x)<0,即ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)单调递减, 在x∈(1,+∞)时,r(x)>0,ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)单调递增, 所以函数ℎ(x)有唯一的极小值点成立;当a>0时,令r(x)=0,得x1=−1−1a<0,x2=1,在x∈(0,1)时,r(x)<0,即ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)单调递减, 在x∈(1,+∞)时,r(x)>0,ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)单调递增, 所以函数ℎ(x)有唯一的极小值点成立;当a<0时,令r(x)=0,得x1=−1−1a ,x2=1,当x1=−1−1a<0时不合题意,则x1=−1−1a >0,且x1≠x2,即−1<a<0且a≠−12,设m=max{x1,x2},n=min{x1,x2},在x∈(0,n)时,r(x)<0,即ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)单调递减, 在x∈(n,m)时,r(x)>0,ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)单调递增,在x∈(m,+∞)时,r(x)<0,即ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)单调递减, 所以函数ℎ(x)有唯一的极小值点成立;综上所述,a的取值范围为a>−1且a≠−12.(2)f(x)+1≤g(x−1)⇔lnxx+1≤e x−1⇔lnx+x≤xe x−1令φ(x)=xe x−1−x−lnx(x>0),则φ′(x)=xe x−1+e x−1−1−1x =(x+1)e x−1−x+1x=(x+1)(e x−1−1x),令ℎ(x)=e x−1−1x,易知ℎ(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,且ℎ(1)=0, 故当x∈(0,1)时,ℎ(x)<0,此时φ′(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,ℎ(x)>0,此时φ′(x)>0,φ(x)单调递增.所以φ(x)的最小值为φ(1)=0,故当x∈(0,+∞)时,φ(x)≥φ(1)=0,即xe x−1−x−lnx≥0,所以e x−1−1≥lnxx,即f(x)+1≤g(x−1).【点睛】本题第(2)问的证明中,将待证不等式进行等价变形,变形的目的就是构造函数证明不等式,构造函数需要考虑的问题就是:导数结构要简单,且能方便地判断出正负.对于含有指数与对数混合式的不等式,往往要将对数前面的系数变成常数,这样构造的函数,求一次导数之后便不再出现对数符号,可避免多次求导的麻烦.变形过程中,点睛意体会“对数靠边走,指数找朋友”的妙处.【例4】已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2.(1)当a=1时,求f(x)在点(0,f(0))处的切线;(2)当a>0时,若f(x)的极大值点为x1,求证:f(x1)<−2ln2+12.【解析】(1)y=2x+2.(2)解法1:当a>0时,f′(x)=1x+1+a(2x+1)=1x+1[a(2x+1)(x+1)+1],x>−1记g(x)=a(2x+1)(x+1)+1,则f′(x)=1x+1g(x),f′(x)与g(x)符号相同,令f′(x)=0,即a(2x+1)(x+1)+1=0(1x+1>0),记ℎ(x)=a(2x+1)(x+1),则g(x)=ℎ(x)+1.当x ∈(−1,x 1)时,f ′(x )>0;x ∈(x 1,x 0)时,f ′(x )<0,f (x )在x =x 1处取得极大值.再求x 0,令ℎ′(x )=a (4x +3)=0,得x 0=−34,所以x 1∈(−1,−34),x 1满足故a =−1(2x 1+1)(x 1+1),f (x 1)=ln (x 1+1)+ax 1(x 1+1)+2=ln (x 1+1)−1(2x 1+1)(x 1+1)⋅x 1(x 1+1)+2=ln (x 1+1)−x 12x 1+1+2记ω(x )=ln (x +1)−x 2x+1+2,x ∈(−1,−34),则ω′(x )=1x+1−(2x+1)−2x (2x+1)2=4x 2+3x (x+1)(2x+1)2=x (4x+3)(x+1)(2x+1)2>0,所以ω(x )在x ∈(−1,−34)上单调递增,ω(x )<ω(−34),即f (x 1)<f (−34)=ln (1−34)−−342(−34)+1+2=−2ln2+12.从而不等式得证.解法2:当a >0,f ′(x )=1x+1+a (2x +1)=2ax 2+3ax+a+1x+1(x >−1),今g (x )=2ax 2+3ax +a +1(x >−1),故g (x )min =g (−34)=1−a 8, (i)当1−a 8≥0,即0<a ≤8时,此时g (x )≥0恒成立,即f ′(x )≥0,f (x )单调递增,无极值,不符合题意; (ii)当1−a 8<0,即a >8时,由g (−1)=1>0,g (0)=a +1>0,则g (x )在区间(−1,−34)上有唯一零点x 0,在(−34,0)上有唯一零点x 2, 当x ∈(−1,x 0),(x 2,+∞)时,g (x )>0,即f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈(x 0,x 2)时,g (x )<0,即f ′(x )<0,f (x )单调递减;故f (x )在x =x 0处取得极大值,因此x 1=x 0,又g (x 1)=2ax 12+3ax 1+a +1=0,则a =−12x 12+3x 1+1,因此f (x 1)=ln (x 1+1)+ax 1(x 1+1)+2=ln (x 1+1)−x 12x 1+1+2, 记ℎ(x )=ln (x +1)−x 2x+1+2(−1<x <−34),则ℎ′(x )=1x+1−2x+1−2x(2x+1)2=x (4x+3)(x+1)(2x+1)2>0在(−1,−34)上恒成立, 故ℎ(x )单调递增,因此ℎ(x )<ℎ(−34)=−2ln2+12,也即f (x 1)<−2ln2+12,得证.转化构造函数在用导数处理不等式的过程中,有时需要将不等式转化之后再构造函数,其本质还是构造函数,使得所构造的函数易于处理.【例5】已知函数f(x)=lnx+2ax+1−2(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,求证:f(x)>0在(1,+∞)恒成立;(3)求证:当x>0时,ln(x+1)>x2e x−1.【解析】(1)f′(x)=1x −2a(x+1)2=x2−2(a−1)x+1x(x+1)2(x>0),若a≤2,f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>2,f(x)在(0,a−1−√a2−2a),(a−1+√a2−2a,+∞)上单调递增,在(a−1−√a2−2a,a−1+√a2−2a)上单调递减.(2)由(1)可知,当a=2时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)>f(1)=0,故f(x)>0在(1,+∞)恒成立;(3)证明:由(2)可知:当x>1时,lnx+4x+1−2>0,所以当x>0时,ln(x+1)+4(x+1)+1−2>0,即ln(x+1)>2xx+2在(0,+∞)恒成立.下面只需证2xx+2>x2e x−1即可,即证2e x>x2+2x+2(x>0),即证2e x−x2−2x−2>0(x>0).设g(x)=2e x−x2−2x−2,g′(x)=2e x−2x−2,设ℎ(x)=2e x−2x−2,ℎ′(x)=2e x−2,易知ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以ℎ(x)>ℎ(0)=0,从而g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,从而2e x−x2−2x−2>0.所以2xx+2>x2e x−1,即当x>0时,ln(x+1)>x2e x−1.【点睛】本题第(3)题巧妙利用已证不等式ln(x+1)>2xx+2,将复杂的待证不等式ln(x+1)>x2e x−1进行放缩,进而转化为证明e x>x22+x+1(x>0),显然这是x>0时e x的泰勒展开式.还可以利用“指数找朋友”证明曾这个不等式,过程如下:要证e x>x22+x+1(x>0),只需证x2+2x+2e x<2,令f(x)=x 2+2x+2e x(x>0),则f′(x)=−x2e x<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(0)=2,即x 2+2x+2e x<2,所以e x>x22+x+1(x>0).故原不等式成立.换元构造函数【例6】已知函数f(x)=x−1x−2alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若lnx1−lnx2=1x1+1x2,求证:x1>x2+2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2.当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(0,a−√a2−1)和(a+√a2−1,+∞)上单调递增, 在(a−√a2−1,a+√a2−1)上单调递减.(2)证明:由于lnx1−lnx2=1x1+1x2,得lnx1−lnx2>0,所以x1>x2>0.因为lnx1−lnx2=1x1+1x2,所以ln x1x2=x1+x2x1x2=x1x2+1x1,令x1x2=t,则t>1,lnt=t+1 x1.所以x1=t+1lnt ,x2=t+1tlnt,x1−x2=t2−1tlnt=1lnt(t−1t).要证x1>x2+2,只需证明1lnt (t−1t)>2,即证t−1t>2lnt(t>1).由(1)可知,当a=1时,f(x)=x−1x−2lnx在(0,+∞)单调递增,所以当t>1时,有f(t)>f(1)=0,即t−1t>2lnt(t>1)成立,所以x1−x2=t2−1tlnt =1lnt(t−1t)>1lnt⋅2lnt=2,故x1>x2+2.【点睛】本题通过换元,把x1,x2转化为t的函数,构造关于t的函数就可以轻松解决问题.把x1,x2的关系变形为齐次式,可设t=x1x2,t=ln x1x2,t=x1−x2,t=e x1−x2等构造函数来解决.该方法在第三章双变量问题处理会进一步深入介绍. 递推关系构造【例7】已知函数f(x)=sinx+x 22−ln(1+x).(1)证明:f(x)≥0;(2)数列{a n}满足:0<a1<12,a n+1=f(a n)(n∈N∗).(i)证明:0<a n<12(n∈N∗);(ii)证明:∀n∈N∗,a n+1<a n.【解析】(1)由题意知,f′(x)=cosx+x−11+x(x∈(−1,+∞)).(1)当x∈(−1,0)时,f′(x)<1+x−11+x<x<0,所以f(x)在区间(−1,0)上单调递减;(2)当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f′(x),g′(x)=1+1(1+x)2−sinx>1(1+x)2>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因此g(x)>g(0)=0,故当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增,因此当x ∈(−1,+∞)时,f (x )≥f (0)=0,所以f (x )≥0.(2)(i)由(1)知,f (x )在区间(0,12)上单调递增,f (x )>f (0)=0,因为(32)8=(1+12)8=1+12C 81+122C 82+⋯>1+4+7=12>e ,故1−8ln 32=lne −ln (32)8<0. 所以f (x )<f (12)=sin 12+18−ln 32<sin π6+18−ln 32=12+18(1−8ln 32)<12,因此,当x ∈(0,12)时,0<f (x )<1. 又因为a 1∈(0,12),所以a n =f (a n−1)=f(f (a n−2))=⋯=f (f (⋯(f (a 1))))∈(0,12). (ii)函数ℎ(x )=f (x )−x (0<x <12),则ℎ′(x )=f ′(x )−1=x +cosx −1−11+x,令φ(x )=ℎ′(x ),则φ′(x )=g ′(x )>0,所以φ(x )在(0,12)单调递增, 因此ℎ′(x )=φ(x )≤φ(12)=12+cos 12−1−23=cos 12−76<0, 所以ℎ(x )在区间(0,12)上单调递减,所以ℎ(x )<ℎ(0)=0.因此,a n+1−a n=f(a n)−a n=ℎ(a n)<0,所以∀n∈N∗,a n+1<a n. 强化训练1.证明:当x>0时,(x−2)e x+x+2>0.【解析】证法1:设f(x)=(x−2)e x+(x+2)(x>0),则f′(x)=(x−1)e x+1,f′′(x)=xe x>0,所以f′(x)在(0,+∞)递增,所以f′(x)>f′(0)=−1+1=0,所以f(x)在(0,+∞)递增,所以f(x)>f(0)=0.证法2:要证(x−2)e x+x+2>0,只需证明x−2x+2e x>−1.令f(x)=x−2x+2e x,则f′(x)=(x−1)(x+2)e x−(x−2)e x(x+2)2=x2e x(x+2)2,当x>0时f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,因此当x>0时,f(x)>f(0)=−1,所以(x−2)e x>−(x+2),故(x−2)e x+x+2>0.2.已知函数f(x)=ln(a−x),x=0是函数xf(x)的极值点.(1)求a;(2)证明:x+f(x)xf(x)<1.【解析】(1)得a=1.(2)证明:由(1)知xf(x)=xln(1−x),要证x+f(x)xf(x)<1,即证x+ln(1−x)xln(1−x)<1.由xln(1−x)≠0得:x<1且x≠0.因为当x∈(−∞,0)时,xln(1−x)<0;当x∈(0,1)时,xln(1−x)<0;故只需证明x+ln(1−x)>xln(1−x),即证x+(1−x)ln(1−x)>0(x<1且x≠0).令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x),x∈(−∞,1),则ℎ′(x)=1+(−1)ln(1−x)+(1−x)⋅−11−x=−ln(1−x),所以ℎ′(0)=0,当x∈(−∞,0)时,ℎ′(x)<0;当x∈(0,1)时,ℎ′(x)>0, 所以x=0为ℎ(x)的极小值点,所以ℎ(x)>ℎ(0)=0,即x+ln(1−x)>xln(1−x),所以x+ln(1−x)xln(1−x)<1成立,即x+f(x)xf(x)<1.3.已知函数f(x)=12x2−(a+1a)x+lnx,其中a>0.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的方程;(2)当a≠1时,求函数f(x)的单调区间;(3)若a ∈(0,12),证明对任意x 1,x 2∈[12,1](x 1<x 2),|f (x 1)−f (x 2)|x 12−x 22<12恒成立.【解析】(1)x +2y +3=0.(2)由函数f (x )=12x 2−(a +1a )x +lnx ,则f ′(x )=x −(a +1a )+1x =(x−a )(x−1a)x(x >0),令f ′(x )=0,x =a,x =1a ,又a >0,①若0<a <1,a <1a ,当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )在区间(0,a )和(1a ,+∞)内是增函数,在(a,1a )内是减函数. (2)若a >1,1a <a ,当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )在(0,1a )和(a,+∞)内是增函数,在(1a ,a)内是减函数.(3)因0<a<12,所以f(x)在[12,1]内是减函数,0<x1<x2,则f(x1)>f(x2),x12<x22.于是|f(x1)−f(x2)|x12−x22<12,等价于f(x1)−f(x2)>12x12−12x22,即f(x1)−12x12>f(x2)−12x22,令g(x)=f(x)−12x2=lnx−(a+1a)x(x>0),因g′(x)=1x −(a+1a)在[12,1]内是减函数,故g′(x)≤g′(12)=2−(a+1a)<2−(12+2)=−12<0,所有从而g(x)在[12,1]内是减函数,所以对任意12<x1<x2<1,有g(x1)>g(x2),即f(x1)−12x12>f(x2)−12x22,所以当a∈(0,12)时,对任意x1,x2∈[12,1](x1≠x2),|f(x1)−f(x2)|x12−x22<12恒成立.。

导数中的构造函数(最全精编)

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

导数中的构造函数

导数中的构造函数导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。

在数学中，导数通常用构造函数的方式定义。

一个函数的导数构造函数是该函数在给定点处的变化率。

本文将详细介绍导数中的构造函数，包括定义、性质和应用等方面。

一、导数的定义1.构造函数的定义设函数y=f(x)，在点x处有定义。

如果用x的变化量Δx去近似表示介于x和x+Δx之间的x的变化量，那么函数f在点x处的近似导数（记作f'(x)）就是当Δx趋近于0时，函数值的变化与自变量变化比值的极限。

用数学表示可以写作：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx这个极限就是函数f在点x处的导数。

2.导数的几何意义几何上，一个函数在其中一点处的导数等于其曲线在该点处的切线的斜率，也即切线的斜率是函数在此点处的近似变化率。

二、导数的性质导数具有一些重要的性质，以下列举几个常用性质：1.基本导数(1)常数函数的导数为0，即对于常数C，有C'=0。

(2) 幂函数的导数。

对于幂函数y=x^n（其中n为常数），其导数为y'=nx^(n-1)。

(3) 对数函数的导数。

对数函数y=log_a(x)（其中a为常数且a>0），其导数为y'=1/(xlna)。

(4) 指数函数的导数。

指数函数y=a^x（其中a>0且a≠1），其导数为y'=a^xlna。

2.导数的四则运算(1)求和差的导数。

若f(x)和g(x)在点x处可导，则（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(2) 函数乘以常数的导数。

若f(x)在点x处可导，k为常数，则(kf(x))' = kf'(x)。

(3)乘法法则。

若f(x)和g(x)在点x处可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

导数中的构造函数(最全精编)

f (x) enx
，
F
'(x)

f
' (x)enx nenx e2nx
f
(x)

[
f
' (x) nf enx
(x)]
；
结论：1、出现 f '(x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) enx f (x) ；
2、出现
f '(x) nf (x) 形式，构造函数
F(x)
f (x) enx
f
(x) ex
是比较简单常见的
f (x) 与ex 之间的函数关系式，如果碰
见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？
F (x) enx f (x) ， F ' (x) n enx f (x) enx f ' (x) enx [ f ' (x) nf (x)]；
F (x)
f (2 x) f (x)e22 x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称，根据单调性和图像，可知选 C.
5
（3）利用 f (x) 与 sin x, cos x 构造.
sin x, cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.
e2
x
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1，则不等式 f (x) e2 x 2 的解集为
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x) fe(2xx ) e22x
x
v
函数导数计算的推广及应用，我们对u

在导数应用中如何构造函数-高考数学复习

f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是( A )
A.e2f(2)>e3f(3)
B.e2f(2)<e3f(3)
C.e3f(2)>e2f(3)
D.e3f(2)<e2f(2)
解析令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,
因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故选A.
又因为
ln 3
a=
3
=
ln 3
( 3)
2 =f(
ln e
ln π2
3),b= 2 =f(e),c=
e
4π
=
ln π
2 =f(
( π)
π),
因为 e < 3 < π<e,故 f( 3)>f( π)>f(e),即 a>c>b,故选 B.
二、抽象函数的构造
1.利用f(x)与x(xn)构造
已知条件式
xf'(x)+f(x)>0(或<0)
D.2 021f(2 022)<2 022f(2 021)
()
解析令 g(x)= 2 (x>0),
2 '()-2()
'()-2()
则 g'(x)=
=
. ∵xf'(x)>2f(x),∴g'(x)>0,
4
3
(2 021)
∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴g(2 021)<g(2 022),即
C.(0,ln 3)

导数中的构造函数方法

导数中的构造函数方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。

构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个函数来分析导数的性质。

下面将详细介绍导数中的构造函数方法。

构造函数方法的基本思想是通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。

这个辅助函数可以是原函数的函数值、斜率、面积等。

下面我们将分别介绍几种常见的构造函数方法。

1.构造原函数的函数值：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的函数值的情况。

比如，已知函数在其中一点的函数值为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=f(x)-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

2.构造原函数的斜率：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的斜率的情况。

比如，已知函数在其中一点的斜率为2，我们可以构造一个辅助函数f(x)=2x-f(x)，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

3.构造原函数的面积：这种方法适用于已知函数在一定范围内的面积的情况。

比如，已知函数在区间[a, b]内的面积为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=∫abf(t)dt-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

构造函数方法的使用需要注意以下几点：1.构造函数需要满足可导性：为了能够对辅助函数求导，构造的函数必须满足可导的条件。

因此，在构造函数的过程中需要确保函数在所研究区间内是可导的。

2.构造函数要反映原函数的性质：辅助函数的形式和原函数的性质应该有一定的关联，这样才能够通过对辅助函数求导来研究原函数的性质。

3.构造函数方法的局限性：构造函数方法是一种辅助手段，用于求解导数时的特殊情况。

并不是所有的导数问题都适用构造函数方法，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。

通过构造原函数的函数值、斜率、面积等来分析导数的性质，可以帮助我们更好地理解导数的概念和应用。

然而，构造函数方法并不是通用的求导方法，只能用于特定情况下，因此在实际应用中需要灵活选择合适的方法。

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10x f x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10x f x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x x x g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.121 1.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10x x x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a>>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a>>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c>>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01x g x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e 23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x x f x x-'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2x g x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b-<-e e B ．ln ln b a a b <C ．e a bb a ->D ．sin sin 1a b a b-<-【答案】D【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln x y x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e x y x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln x y x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a b a b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b b a-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a b a b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3e b =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)ex f x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)ex f x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3e ln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D 6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c a b<<D ．a c b<<【答案】A【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e 10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0e b b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e e b b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x -'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z y x <<D ．z x y<<【答案】C【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x -=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

导数中的构造函数方法

导数中的构造函数方法一、构造函数比较大小例１．对任意R x ∈，函数)(x f 的导数存在，若)()('x f x f >且0>a ，，则)0()(f e a f a 与的大小关系为解析：令xe xf xg )()(=，则0)()()()()('2''>-=-=x x x x e x f x f e e x f e x f x g ，所以x ex f x g )()(=在Ｒ上为增函数，因为0>a ，所以)0()(g a g >。

故)0()(f e a f a >点评：此类问题，通常需要根据已知条件提供的与)('x f 有关的不等式，结合需比较大小的两个表达式的特征构造函数，利用所构造函数的单调性进行大小比较。

二、构造函数证明不等式例２：设函数x b ax x g x x f +==)(,ln )(,它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线. 求证:当)()(,1x g x f x <>时解析：因为x x f ln )(=与x 轴的公共点为(1,0),)()(x g x f 与的图象在x 轴上的公共点处有公切线.所以1,0)1(=-=b a g 即.故可得xx x g b a 2121)(,21,21-=-==所以令xx x x g x f x h 2121ln )()()(+-=-=, 由02)1(21211)(1222'<--=--=>x x x x x h x 知由所以0)1()(,),1()(=<+∞h x h x h 即上是减函数在,所以)()(x g x f <点评：在证明不等式时，通常根据要证明结论的特点合理的构造函数（不一定要把不等式右边的项全移到左边），将问题转化为证明新函数的最大值非正或最小值非负的问题来解决。

三、构造函数求参数值例3：已知函数x x x g x x x f 14)(,ln 8)(22+-=-=若方程m x g x f +=)()( 有唯一解，试求实数x 的值。

构造函数在导数中的应用

注意到已知中 f (x) 2 ，只需构造函数 g(x) ，使得 g(x) f (x) 2 ，不难得到 g(x) f (x) 2x c （这里 C 为常数，本题中取 C=0），进而利用 g(x) 的单调性，即可找到解题的突破口.
学海无涯
teachermyh@
【解析】由（1）知
f
(x)
ln x x
在
(e,
) 上是单调递减，
所以
ln 2016 2016
ln 2017 2017
，即
2017
ln
2016
2016
ln
2017
，
亦即 ln 20162017 ln 20172016 .
又 y ln x 在 (0, ) 上是单调递增，所以 20162017 20172016 .
【解析】构造函数 g(x) f (x) 2x ，则 g(x) f (x) 2 0 ，
故 g(x) 单调递增，且 g(1) f (1) 2（1） 4 .
另一方面所求不等式 f (x) 2x 4 ，即转化为
g(x) f (x) x g(1) ，逆用单调性定义易知 x 1 ，则不等式的
学海无涯
teachermyh@
例 3 （2010 年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷理科第 21 题改编）已知函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1. （1）当 a 1时，判断函数 f (x) 的单调性；（2）设 a 1,如果对任意 x1, x2 (0,) ， | f (x1) f (x2 ) 4 | x1 x2 | ，求 a 的取值范围.
解集为 (1, ) .
【体会与交流】函数是如何构造出来的？

导数中构造函数方法-高中数学课件

8、 f ( x) kf ( x) 0( 0)
9、 f (x)+kxf (x) 0( 0)
10、 f (x) f (x) ln a 0( 0)
构造函数
[ f (x) g(x))] 0( 0)
[ f ( x ) g ( x ))] >0(<0)
( f (x) ) 0( 0) g (x)
导数中不等式构建函数问题
单击此处添加副标题
考情分析
导数中的不等式在高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在选择题和大题压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。
在学生核心素养形成中，数学抽象、数学建模是学生必备的品格和关键能力。导数中绝大多数不等式是函数不等式，在不等式中发现函数的“影子”，构造函数模型，并用函数性质加以解决，能充分体现学生的核心素养。
一、抽象函数的构建
一·常见模型
不等式
1、 f (x) g(x) 0( 0)
f 2、 (x) f (x) 1
3、 f (x)g(x) f (x)g(x) 0( 0) f (x)g(x) f (x)g(x) 0( 0)
4、 xf ( x) nf ( x) 0( 0) 击此处添加副标5题、 xf ( x) nf ( x) 0( 0)
6、 f (x) f (x) 0( 0) 7、 f ( x)-f ( x) 0( 0)
例题分析
巩固练习
谢谢大家！
[ x n f ( x)] 0( 0)
[
f
( x
x
n
)
]
0(

导数构造函数

导数构造函数导数构造函数常用的导数构造函数模型如下：1) 条件：f′(x)>a(a≠0)。

构造函数：h(x)＝f(x)－ax。

2) 条件：f′(x)±g′(x)>0.构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)。

3) 条件：f′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝exf(x)。

4) 条件：f′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝fx/ex。

5) 条件：xf′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝xf(x)/fx。

6) 条件：xf′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝x/fx。

例1：已知f(x)的导函数为f′(x)=ex(2x+3)+f(x)，且f(x)/x<5e。

求不等式的解集。

解：由f′(x)-f(x)=2x+3ex>0，可得G(x)=f(x)/ex单调递增。

设G(x)=x+3/(x+c)，则G(0)=f(0)=1，解得c=1.所以f(x)=x2+3x+1.代入不等式得e<5，解得-4<x<1.所以不等式的解集为(-4,1)。

例2：已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞,0]时，f(x)+xf′(x)<1/(8log2)(2f(2ln2))，若f(log2)=1/(8log2)(2f(2))，则a，b，c的大小关系是()。

解：令h(x)=xf(x)，则h(x)为奇函数。

当x∈(-∞,0]时，h′(x)=f(x)+xf′(x)<0，所以h(x)在(-∞,0]上为减函数，又由函数h(x)为奇函数，则h(x)在(-∞,+∞)上为减函数。

所以a=(2/0.6)·f(2/0.6)=h(2/0.6)，b=ln2·f(ln2)=h(ln2)，c=(1/log2(8))·f(log2(8))=h(8)=h(-3)·f(-3)·log2(111)<h(log2(2))·f(log2(2))·log2(28)，所以c<a<b。

导数与函数中构造函数的技巧

导数与函数中构造函数的技巧导数是微积分中一种重要的概念，它描述了函数在特定点上的变化率。

对于一个函数而言，它在不同点上的导数的值可以告诉我们函数的增长趋势以及拐点的位置等信息。

因此，研究导数的性质和计算方法对于函数的研究及应用有着重要的意义。

在构造函数的过程中，我们可以利用导数的性质和计算技巧来简化函数的表达形式，优化函数的性质或满足特定的需求。

下面是一些在构造函数时常用的技巧：1. 构造连续可导的函数：我们可以通过利用已知函数的性质以及导数的计算法则来构造连续可导的函数。

例如，我们可以通过将两个不同的函数分段组合成连续的函数，如$f(x)=\begin{cases} x^2, &x<0 \\ e^x, &x \geq 0 \end{cases}$。

在$x=0$处$f(x)$是连续的，并且在$x=0$处的导数也存在。

2. 构造可导函数的绝对值函数：对于函数$f(x)$，我们可以通过构造一个可导函数$g(x)$，使得$，f(x)，=g(x)$。

一种常用的方法是将$f(x)$平方后开根号得到$g(x)$，即$，f(x)，=\sqrt{f(x)^2}$。

这样，我们可以避免绝对值函数在$x=0$处的不可导性质。

3.利用导数的零点和极值点：函数的导数的零点和极值点可以帮助我们确定函数的拐点和极值。

因此，在构造函数时，我们可以利用导数的零点和极值点来确定函数的一些性质。

例如，如果我们想要构造一个具有单调递增性质的函数，可以考虑函数的导数始终大于等于零。

4.构造具有特定增长性质的函数：对于给定的正数$a$和$b$，我们可以通过构造函数$f(x)=a^x$或$f(x)=x^b$来满足特定的增长性质。

例如，如果我们想要构造一个具有指数增长性质的函数，可以选择$f(x)=2^x$，它的导数始终大于零，说明函数的增长率不断增加。

5. 构造可导函数的逆函数：对于可导函数$f(x)$，我们可以通过构造它的逆函数来满足特定的需求。

专题导数中的函数构造

专题导数中的函数构造一.【题型综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F n f x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e=．总结成下表：解答题中常见的构造函数方法：1.通过作差构造函数：作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负．2.利用“换元法”构造函数，换元的目的是简化函数的形式．3.先分离参数再构造函数，将方程变形为m=h(x )，构造函数h(x )，研究h(x )的性质来确定实数m 的取值范围．4.根据导函数的结构，构造函数.二.【经典题例】一.选择题：1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，则必有（）A．B．C．D．2．已知函数满足，且，则的解集为（）A．B．C．D．3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（）A．B．C．D．4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（）A．B．C．D．8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），且当时，，则（）A．B．C．D．10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：13．设是上的可导函数，且，，．则的值为________．14．已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．15．已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为__________．16．已知函数是定义在上的奇函数，且．若时，，则不等式的解集为__________．三.解答题：17.已知函数（为自然对数的底数），，直线是曲线在处的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19.设函数.（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.21.已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在3个零点，求实数的取值范围．22.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且12x x <．（1）求a 的取值范围；（2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C在函数()y f x=的图象上，且△ABCt，求(1)(1)a t--的值．。

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2017.2.10
导数的把关题整体换元法
导数中的双变量
()()()
12112212,,,对于多元函数，我们称为双变量一般来说，我们无法对其进行求导数，我们可以采用“先转换后构造”的解题策略整体换元除形：同变f x x x x x f x f x x f t ⇒⇒⎛⎫
⎪⎝⎭
例1
12
1212
12
0,ln ln 证明：x x x x x x x x -∀>><+-
先转换后构造()()()()()()()12
1212
12
12
1212
121
21
122
2
2
0,ln ln ln ln ,ln ln 1ln
11
ln 1
1
11
ln 0,1+1110等价证明等价证明要证明，其证中在整，换，体毕
元x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t t t t t t g t t g t g t t t t g t g -∀>><+--⇒><-+-⇒<+-⇒<>+-+'=-=>∞↑++>=
例2
()()()()()
,
2【2013陕西理】函数，比大小：与
x
f x e a b f a f b f b f a b a
=∀<+--
先转换后构造
()()()()()
()()12211221
21122112
21212121212211,22,,2ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln ln 21ln 1整体换元同除变形，比大小：与
与等比大小
比较与整体换大小
作差判正负
，价元断x
a b b a a b
f a f b f b f a f x e a b b a
e e e e b a
x x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=∀<-+-⇒-+-⇒==--⎡⎤+-+⇒-=--⎢⎥--+⎣⎦⎛⎫
- ⎪
⎝⎭⇒-+()()()()(
)()
()()()()2
2
21ln 1211ln ,1,0,1+10
1
1在，，:证毕
t t t t t g t t t g t g t g t g t t t --
+--'=->=>∞↑>=++。

第41天：导数中的构造函数(换元法上)

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【导数经典技巧与方法】第8讲-构造函数-解析版

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第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型

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