从离散周期信号傅里叶级数到离散时间傅里叶变换
第3章：离散时间信号的傅里叶变换
DTFT的性质 的性质
线性：若 x1 ( n ) → X 1 (e jω ), x 2 ( n ) → X 2 (e jω )，则 线性：
α x1 ( n ) + β x 2 ( n ) → α X 1 ( e j ω ) + β X 2 ( e j ω )
时移： 时移：若 x ( n ) → X ( e jω )，则 x ( n − n0 ) → e − jωn0 X (e jω ) 奇偶虚实对称： 奇偶虚实对称： 为实信号， 若 x ( n )为实信号，则（ 1 X R ( e jω ) = X R ( e − jω ); ） (3) X * ( e jω ) = X (e − jω ); X I ( e jω ) (5)ϕ (ω ) = arctan = −ϕ ( − ω ); jω X R (e )
200
0 -200
0
200
400 f/Hz
600
800
1000
的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处未出现频率分量 (2)出现 出现2pi(或fs)周期性 出现 或 周期性 (3)其他分量 其他分量
250 200
其他分量
150 100 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
第3章 章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的 与本章内容有关的MATLAB文件 文件
2_傅里叶级数与傅里叶变换
• 傅里叶的主要贡献
– 任何周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数表 示。
2012/10/21
大连理工大学
7
• 傅里叶理论的发展历程
• 傅里叶之前周期性现象的研究
– 古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来 研究天体运动。 – —1748年，欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其 结论为： – 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式 的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也 都是这些振荡模式的线性组合。
2012/10/21 大连理工大学 9
• 傅里叶理论的意义
– 在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息 与通信技术的基石之一。 • 有了傅里叶理论，才有： – 信号的频域分析处理； – 通信的频率划分与复用； – 其他科学与工程问题的分析与解决。 – 近年来，傅里叶理论有新发展： • 本部分介绍4种：FS，DFS，FT，DTFT • 近年来：STFT与WT （第V部分介绍），FRFT
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号分析与数据处理
第2章
傅里叶级数与傅里叶变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
2012/10/21 大连理工大学 1
内容概要
• §2.1 • §2.2 • §2.3 • §2.4 • §2.5 概述 周期性连续时间信号的傅里叶级数 周期性离散时间信号的傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换
a0 1/ 2
2012/10/21 大连理工大学 14
2012/10/21
周期性连续时间信号的频谱
大连理工大学 15
• 3.狄利赫莱条件（收敛问题）
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
离散傅里叶变换计算方法(DFT、FFT,HDT)
DFT 已成为 DSP 算法中的核心变换，原因：
（1）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2）有快速算法
北京邮电大学信息与通信工程学院
4
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）
时间函数
频率函数
非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率 周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率 非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率 周期离散时间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率
第三章 DFT——离散付氏变换
• DFS 和 DFT 的导出 • DFS 和 DFT 的性质 • Z 变换与 DFS 的关系 • FFT • IDFT • 频谱分析
3.1 问题的提出：连续信号的傅里叶变换
连续信号 xa(t)，其傅里叶变换为：
X a ( )
xa ( t )e jt dt
1/T
-Ωm
~ X ()
Ω1 Ωm
(b) DTFT
n
0
T
Tm
-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~(n) ~(nT ) x x
(d) DFS
n
~ ~ X (k ) X (k1 )
k
-N
0
N
-N
0
N
时域中函数的取样和频域中函数的取样
3.2 DFS 及其性质
由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
4. 周期离散时间信号：离散傅里叶级数 DFS
离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与DFT
j )
n
F
j
n
tm
Sa(tm
n
)
（6.1-3）
式中 tm
1。
2 fs
模拟信号数字化处理系统
模拟信号数字化处理系统结构如图6.1-7所示的结构，它由 模数转换、数字信号处理和数模转换三部分组成。
图6.1-7 模拟信号数字化处理系统结构
（1）模数转换：要对模拟信号实现数字化处理，首先要将模 拟信号离散化。在实际中，让模拟信号通过一个A/D转换器就 实现了信号数字化。A/D转换器是一个具有取样、量化和编码 功能的采样保持电路。由于本书主要关心的是模拟信号转化为 离散信号的问题，所认下面仅仅把A/D转换器看作一个采样器， 采样器可用一个开关表示。
|
|
| | 10
10
又因 G() 1
Ts
F ( ns ) 15
F ( 30n)
采样后信号的频谱如图6.1-12所示。
要求通过一个理想低通滤波器后的信号频谱为 G() H( j) 5F( j) ，
故理想低通滤波器
H
(
j)
抽样信号的频谱
(a)
(b)
图6.1-2 抽样信号 f s (t)的频谱
抽样信号的频谱
(2)如果抽样脉冲序列 s(t )是窄脉冲序列，即它是幅度为1，脉宽 为τ的门序列，如图6.1-3所示。
图6.1-3 抽样脉冲序列 s(t) 是门函数序列
s(t)可写为 s(t)
pT
(t)
g
n
上的样点值
由时域抽样定理可知：为了能从抽样信号 fs (t) 恢复原信号 f (t)必须满足两个条件：
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散傅里叶级数和离散傅里叶变换
离散傅里叶级数和离散傅里叶变换离散傅里叶级数和离散傅里叶变换是数字信号处理中常用的数学工具。
它们可以将一个离散的信号分解成一系列的正弦和余弦函数，从而方便地进行频域分析和滤波处理。
离散傅里叶级数是将一个周期为N的离散信号表示为一系列复数的和。
它的公式为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]其中，X(k)表示信号的频域表示，x(n)表示信号的时域表示，k表示频域的索引，n表示时域的索引，N表示信号的长度。
离散傅里叶级数可以将一个离散信号分解成一系列的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数的频率为k / N，幅度为X(k)。
通过分析这些正弦和余弦函数的频率和幅度，我们可以了解信号的频域特性，例如信号的主要频率成分和能量分布情况。
离散傅里叶变换是将一个长度为N的离散信号转换为一个长度为N 的复数序列。
它的公式为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]离散傅里叶变换可以将一个离散信号从时域转换到频域，得到信号的频域表示。
通过分析信号的频域表示，我们可以了解信号的频率特性，例如信号的主要频率成分和能量分布情况。
离散傅里叶变换和离散傅里叶级数在数字信号处理中有广泛的应用。
它们可以用于信号的频域滤波，例如去除信号中的噪声或者突发干扰。
通过将信号转换到频域，我们可以选择性地滤除不需要的频率成分，从而提取出我们感兴趣的信号。
此外，离散傅里叶变换和离散傅里叶级数还可以用于信号的压缩和编码。
通过分析信号的频域表示，我们可以找到信号中能量较低的频率成分，并将其舍弃，从而实现信号的压缩。
在通信系统中，离散傅里叶变换和离散傅里叶级数也被广泛应用于调制和解调过程中。
总之，离散傅里叶级数和离散傅里叶变换是数字信号处理中重要的数学工具。
它们可以将一个离散信号分解成一系列的正弦和余弦函数，从而方便地进行频域分析和滤波处理。
通过分析信号的频域表示，我们可以了解信号的频率特性，从而实现信号的处理和编码。
信号处理中傅里叶变换简介
傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。
通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。
理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。
在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。
2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。
当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。
将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。
CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。
上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。
离散傅里叶级数与离散傅里叶变换
离散傅里叶级数与离散傅里叶变换
离散傅里叶级数是一种将离散信号分解成一系列复指数函数的数学工具。
它广泛应用于信号处理、图像处理和通信系统等领域。
离散傅里叶级数的定义如下：对于一个离散信号x(n)，其离散傅里叶级数X(k)可以通过以下公式计算得到：
X(k) = Σ [ x(n) * e^(-2πikn/N) ] ，n的取值范围是0到N-1
在上述公式中，k代表频率，N代表信号的长度，e是自然对数的底数。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是离散傅里叶级数的工具，它可以将一个离散信号从时域转换到频域。
DFT的计算公式如下：
X(k)代表信号在频率为k的频谱分量，x(n)是信号在时域的值，W是一个复数旋转因子，定义为：
W = e^(-2πi/N)
通过离散傅里叶变换，我们可以将时域信号的频谱信息获取出来，并对信号进行频域处理，比如滤波、频域平移等操作。
总结一下，离散傅里叶级数和离散傅里叶变换都是处理离散信号频谱的数学工具。
离散傅里叶级数用于将离散信号展开成一系列复指数函数的形式，而离散傅里叶变换则是将离散信号从时域转换到频域，通过获取信号的频谱信息进行进一步的处理。
第6章 离散时间信号的傅里叶变换
响应
考虑：
如果任一离散时间信号 f [n] 可以表示为:
f [ n]
k
n ak zk
(LTI的特性)
y[n]
k n a H ( z ) z k k k
信号
？
系统
响应
6.2
离散时间周期信号的傅立叶级数
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
对于离散时间信号 f [n] ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f [n N ] f [n] 则称 f [n] 是以 N为周期的周期信号. 令 0 2 / N 则离散时间复指数信号 以 N为周期的 .
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
4
2
0
2
4
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
1.周期性
F ( 2 ) F ()
离散时间信号的傅立叶变换 F () 是以 2 为周期的：
2.线性
F f [ n ] F1 () , 如果 1 F f2[n] F2 () ,则
0
2
信号
？
系统
响应
相位谱
a sin() () tan { } 1 a cos()
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
傅里叶变换
傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量；也就是说，傅里叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。
图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
傅里叶变换的作用：（1）图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频—噪音；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强图像的边缘；（2）图像分割之边缘检测提取图像高频分量（3）图像特征提取形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换使特征具有平移，伸缩、旋转不变形（4）图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换。
频域中的重要概念：图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪音更多是两者的混合；低频分量：图像变换平缓部分，也就是图像轮廓信息高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过低通滤波器：带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高的都抑制。
模板运算与卷积公式：在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。
模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程中，比如增强/去噪，边缘检测中普遍用到。
根据卷积定理，时域卷积等价于频域乘积。
因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应做一个低通滤波。
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
23周期序列的傅里叶变换级数及傅里叶变换表达式
其Fourier变换是
在 0 处的单位冲激函数，幅度是2π,即
X a ( j) FT[x a (t )] e j 0t e jt dt 2( 0 )
(2.3.8)
对于时域离散系统， x(n) e j 0n 由于n是整数，故有
e j 0n e j(0 2r )n 因此，x(n)的FT为
对于一般周期序列 ~ x (n ) 按式(2.3.5)展开后，第k次谐波为：
因此，k次谐波和复指数序列 x(n) e j 0n 的FT相比较，见(2.3.9) k次谐波的FT为： (其频率为ωk= 2πk / N )
~ (X(k) / N)
这样，序列 ~ x (n )的FT应为：
N1
r
设x(n)是以N为周期的序列，因是周期的，可展成Fourier级数:
j 2N kn ~ x (n ) a k e
N 1 k 0
(2.3.1)
ak是周期序列,为什 么?
式中，ak 是Fourier级数的系数：
ak
1 N
N1 n 0
j kn ~ x(n)e N , k
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.3.1 周期序列的离散Fourier级数
2.3 周期序列的离散傅 里叶级数及傅里叶变换
2.3 周期序列的离散Fourier级数及Fourier变换表示式
周期序列因不满足式(2.2.2)绝对可和条件，因此它的FT不存 在，但由于是周期性的，可以展成离散Fourier级数。
2
(2.3.3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
ak
1 N N1 n 0 j kn ~ x(n)e N , k 2
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
傅里叶变换 - 维基百科,自由的百科全书
代表狄拉克δ函数分布.这 个变换展示了狄拉克δ函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶 变换
变换23的频域对应
由变换3和24得到.
由变换1和25得到，应用了欧拉 公式:
由变换1和25得到
这里, 是一个自然数. 是狄拉克δ函数分布的
阶微分。这个变换是根据变换7 和24得到的。将此变换与1结合 使用，我们可以变换所有多项 式。
7/8
三元函数
时域信号
角频率表示 的
傅里叶变换
参见
正交变换 傅里叶级数 连续傅里叶变换 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 傅里叶分析 拉普拉斯变换 小波变换
参考资料
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
此球有单位半径；fr是频率矢量的量值 {fx,fy,fz}.
1. ^ 林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974
时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确 定性原理的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连 续则意味着在对应域的信号的非周期性.
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其中an和bn是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广 过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
信号与系统四种重要变换的联系和区别
知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。
而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。
所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。
然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。
因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。
随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。
所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。
傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。
例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。
因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。
相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。
这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。
以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。
可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。
2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。
以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。
可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。
2.2周期序列的离散傅里叶变换
（1）写出 xa (t) 的傅里叶变换表示式 X a ( jΩ) ；
（2）写出 xˆa (t) 和 x(n) 的表示式；
（3）分别求出 xˆa (t) 的傅里叶变换式 Xˆ a ( jΩ) 和序列 x(n) 的傅里叶变换 X (e jω )
T
r)e jΩnT dΩ
又因为 ω＝TΩ
∑ ∫ = xa (nT )
1∞
2π r=−∞
π −π
Xa(
jΩ +
j
2π
T
r)e jωndω. 1
T
-17-
我们把两个等式进行比较：
x(n)
=
1
2π
π
∫−π
X
(e jω
)e jωndω
xa (nT ) =
1
2π
∞
∑
r =−∞
π
∫−π
X a ( jΩ −
j 2π
f
−1 −0.5 0 0.5 1 f ′
−Ωs −Ω s / 2 0 −1 −0.5 0
−2π −π 0
−1 −0.5 0
Ωs / 2 Ωs Ω 0.5 1 Ω′
π 2π ω 0.5 1 ω′
-19-
例题2.2.7 P53
已知 xa (t) = 2 cos(2πf0t) ，式中 f0 = 100Hz ，以采样频率 fs = 400Hz
(k
)e
j
2π
N
kn，−∞
<
n
<
∞
k =0
称为周期序列的离散傅里叶级数的反变换
则：上面两式是一对 DFS(Discrete Fourier Series)
信号处理过程中的几种常见傅里叶相关的变换
信号处理过程中的⼏种常见傅⾥叶相关的变换学习了信号与系统及数字信号处理之后，什么感觉呢？这尼玛讲的什么玩意啊？数字数字信号处理考了62分哦。
这两天，⼜看了看，因为可能要⽤到的唉。
好像是这么回事：我的理解吧，是这样的，对于各种变换⽆⾮就是通过数学公式把⼀个函数从⼀个域变到另⼀个域。
变来变去发现它有点物理意义了呢，也或着奔着它的物理意义去的。
对于模拟信号：1. 分解为傅⾥叶级数的情况：信号是⼜时间 t 变化，并且为周期性的哦，这时，就可以把这个信号分解为⼀系列的正弦或余弦相叠加⽽成。
（此时的频域上为离散的哦，因为这⼀系列正弦波的頻率为基頻的整数倍）。
（可以看出：时域为周期的，频域⽽为离散的）说明了：对于时间上为周期的，它的频域为离散的。
还想说明⼀点，当我们⽤指数形式表⽰傅⾥叶级数时，它的系数F n与 F-n ⼀定是共轭的哦，如果不是共轭，它就展不成三⾓函数的形式了，（对于这点，由于看了⼀本书上的⼀个例⼦的写错了，我纠结了不⼩⼀会，后来可以通过举例⼦得到）变换公式：要知道，复幅度 Fn 的模即为幅度谱、⽽ Fn 的辐⾓主值（-pi， pi）即为相位谱啊；⽽后⾯的 e jnwt 这个不⽤管，它的作⽤是与 Fn 相乘以后得到 f(t)的；欧拉也太⽜逼了吧，这么抽象的三⾓函数的欧拉公式他是怎么搞出来的2. 分解为傅⾥叶变换的形式：对于⾮周期信号，则分解为傅⾥叶变换的样⼦啦。
因为吧，这时相当于周期为⽆穷⼤的周期信号，然后呢，它的基频相当于⽆穷⼩，所以就⽤连续的频域来进⾏变换，所以就有了傅⾥叶变换啦。
它就相当于把信号分解为了分布在全部頻域上的⼀系列正弦信号相叠加。
对于周期信号，如果你⾮要进⾏傅⾥中变换，也可以，但是要引⽤冲激函数，那么它的傅⾥叶变换由以前的⼀个个的散值变为了⼀个个离散的冲激函数。
（看看下图就知道什么意思啦）对于周期函数的⼀个周期内作傅⾥叶变换会怎么样呢？？因为它不是周期的嘛，它的图像想想的话⼀定是连续的，因为它不是周期的嘛，它的样⼦就是（如果按如图上⾯的例⼦来的话）上图中的包络。
四类信号FT
1、连续非周期信号 连续时间、连续频率的傅里叶变换
正变换 反变换
FT[ x(t )] X ( j) x(t )e
jt
dt
1 x(t ) 2
X ( j ) e
jt
d
频域也是连续非周期的
1
连续的非周期信号及其非周期连续的频谱密度
2
2、离散非周期信号 离散时间、连续频率的傅里叶变换
正变换
FT[ x(n)] X (e j ) DFT x(n)e
n n j j n x ( n ) e 2 kn N
k 0 ~ N 1 NM
反变换
x ( n )e
n 0
M 1
e
jk 0t
2 0 T0
1 Xk T
jk 0t ~ x (t )e dt
~ FT[ x (t )] X ( j) 2
k
X
k
( k 0 )
5
频域是离散非周期的
~ x (t )
T0
号及其非周期的离散谱线
2 T0
2 周期 s 、连续 T
2 2 周期 s 、离散 0 N T
10
11
6
4、离散周期信号——离散傅里叶级数 离散时间、离散频率的傅里叶变换
~ 正变换 X (k ) ~ x ( n )e
n 0 N 1 j 2 nk N
, k ~ , n ~
1 ~ 反变换 x (n) N
f S T0 N F0 T
~ X ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
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2 aN 1
l
(N
1)
2
N
2
l
X e j
k
2a k
2k
N
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
单边指数序列
单边指数序列
低通滤波器
高通滤波器
双边指数序列
x[n] a|n|, |a | 1
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
kN n k n
离散时间傅里叶级数变换对
综合公式 分析公式
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
➢ 离散时间傅里叶级数是一个有限项级数， 综合公式中只有N个独立的谐波分量
➢ ak 称为频谱系数，它满足 ak akrN ➢ 如果x[n]是实信号，则有 ak* ak
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
特征函数和特征值
令：
zn
y[n]
k
h[k]x[n
k]
k
h[k ]z k
zn
H z h[k]zk
特征值
k
可得：
zn H z zn
X e j x n e jn
n
关于离散时间傅里叶变换的几点说明
1. 综合公式表明，非周期信号可以表示为一 组复指数信号的线性组合，这些复指数信号 出现在连续频率上，其复振幅为 X (ej )d / 2
2. X (e j ) 称为频谱密度，它反映了各个频率 分量的相对复振幅。频谱密度也简称为频谱
举例：离散时间周期方波
Nak
sin
2 k N1 1/ sin k / N
2 /
N
举例：离散时间周期方波
➢ 几点讨论：
sin x
sin x
1)
ak
1 N
sin 2N1 1 sin / 2
/ 2
2 k
N
2) ak a*k , ak ak
ak ak N
3) 有效带宽 (第一零点带宽)：
离散时间傅里叶级数的收敛问题
综合公式 分析公式
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
➢ 不存在收敛问题 ➢ 没有吉伯斯现象
离散时间傅里叶变换的收敛问题
综合公式 (反变换) 分析公式 (正变换)
xn 1 X e j e jnd 2 2
X e j x n e jn
1
X (e j )
a|n|e jn ane jn
ane jn
n
n0
n
(ae j )n
n0
m1
(ae
j
)m
1
1 ae
j
1
ae j ae j
1 a2
1 2a cos a2
单位脉冲序列
常数序列
X e j 2 0 2 l l
所以：
x[n] 1
x[n] e j0n
第十一讲 从离散周期信号傅里 叶级数到离散时间傅里叶变换
复旦大学信息与通信工程系 Email: lisun@
2021-04
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
n N1
N n
1 e mnN1
2 N1 jk 2 N m N1
N m0
1 N
e jk2
e N N1 2 N1 jk 2
m0
N m
1 e jk2 N
N N1
1 e jk 2 2N11/ N 1 e jk 2 / N
jk 2 2N11/(2N )
1 e e e e jk2 NN1
举例：正弦信号
0
2
5
x[n] sin 0n
x[n] sin 2 n 1 e j(2 /5)n 1 e j(2 /5)n
5 2j
2j
0
3
2
5
x[n] sin 3 2 n 1 e j3(2 /5)n 1 e j3(2 /5)n
5 2j
2j
举例：离散时间周期方波
ak
1 N
e N1 jk 2
X e j 2 0 2 l l
x[n] 1
2
2
2 l
0 2 l e jnd e j0n
因此，若：
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
则：
X e j 2 a0 0 2 l L
l
2 aN 1
l
(N
1)
2
N
2
l
周期信号的傅里叶变换
X e j 2 a0 0 2l L l
X e j 2 2 l l
矩形脉冲序列
sinc序列
考虑一个信号x[n]，其傅里叶变换为：
则该信号为：
符号函数与单位阶跃
sgn[n]
1, 1,
n0 n0
X
(e
j
)
1
2 e
j
u[n] 1 sgn[n] 1
2
2
X (e j )
1
1 e
j
(
l
2 l)
正弦信号
周期性冲激串
非周期信号傅里叶变换的导出
将该结果代入傅里叶级数综合公式，可得：
N : x%[n] x[n] 0 d X (e jk0 )e jk0n X (e j )e jn
2
k N
非周期信号傅里叶变换的导出
综合公式 (反变换)
xn 1 X e j e jnd 2 2
分析公式 (正变换)
2k N1 1/ 2 / N
k N 2N1 1
即：该信号的有效带宽与占空比成反比
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
非周期信号傅里叶变换的导出
非周期信号傅里叶变换的导出
引入记号： 则有：
3. 周期信号的傅里叶级数可以用与其相应的 非周期信号傅里叶变换的样本来表示
4. 离散时间傅里叶变换X (e j )以 2为周期，且 综合公式的积分区间为有限区间
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
特征函数
x[n] ak zkn
k
zkn H (zk )zkn
y[n] ak H (zk )zkn
k
离散时间傅里叶级数变换对
x[n] x[n N]
N
e j(2 / N )n
k n e jk(2 / N)n
? x n
a e jk
2 N
n
k
k N
x n
a e jk
n
➢ 分析公式收敛条件：信号x[n]是绝对可 积或者能量有限的。
➢ 综合公式不存在收敛问题，也没有吉伯 斯现象存在。
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
周期信号的傅里叶变换
考虑一个离散时间信号，其傅里叶变换为：
jk 2 2N11/(2 N )
jk 2 2 N11/(2 N )
N
e e e jk 2 /(2N ) jk 2 /(2N ) jk 2 /(2N )
1 sin 2 k N1 1/ 2 / N
N
sin k / N
k 0, N, 2N,...
ak
2N1 1, N
k 0, N, 2N,...
时频域之间 的相反关系
谢谢大家！