从离散周期信号傅里叶级数到离散时间傅里叶变换

非周期信号傅里叶变换的导出
将该结果代入傅里叶级数综合公式，可得：
N : x%[n] x[n] 0 d X (e jk0 )e jk0n X (e j )e jn
2
k N
非周期信号傅里叶变换的导出
综合公式 (反变换)
xn 1 X e j e jnd 2 2
分析公式 (正变换)
n
➢ 分析公式收敛条件：信号x[n]是绝对可 积或者能量有限的。
➢ 综合公式不存在收敛问题，也没有吉伯 斯现象存在。
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
周期信号的傅里叶变换
考虑一个离散时间信号，其傅里叶变换为：
1
X (e j )
a|n|e jn ane jn
ane jn
n
n0
n
源自文库
(ae j )n
n0
m1
(ae
j
)m
1
1 ae
j
1
ae j ae j
1 a2
1 2a cos a2
单位脉冲序列
常数序列
X e j 2 0 2 l l
所以：
x[n] 1
x[n] e j0n
2k N1 1/ 2 / N
k N 2N1 1
即：该信号的有效带宽与占空比成反比
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
非周期信号傅里叶变换的导出
非周期信号傅里叶变换的导出
引入记号： 则有：
时频域之间 的相反关系
谢谢大家！
X e j 2 0 2 l l
x[n] 1
2
2
2 l
0 2 l e jnd e j0n
因此，若：
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
则：
X e j 2 a0 0 2 l L
l
2 aN 1
l
(N
1)
2
N
2
l
周期信号的傅里叶变换
X e j 2 a0 0 2l L l
举例：正弦信号
0
2
5
x[n] sin 0n
x[n] sin 2 n 1 e j(2 /5)n 1 e j(2 /5)n
5 2j
2j
0
3
2
5
x[n] sin 3 2 n 1 e j3(2 /5)n 1 e j3(2 /5)n
5 2j
2j
举例：离散时间周期方波
ak
1 N
e N1 jk 2
第十一讲 从离散周期信号傅里 叶级数到离散时间傅里叶变换
复旦大学信息与通信工程系 Email: lisun@mail.xjtu.edu.cn
2021-04
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
举例：离散时间周期方波
Nak
sin
2 k N1 1/ sin k / N
2 /
N
举例：离散时间周期方波
➢ 几点讨论：
sin x
sin x
1)
ak
1 N
sin 2N1 1 sin / 2
/ 2
2 k
N
2) ak a*k , ak ak
ak ak N
3) 有效带宽 (第一零点带宽)：
3. 周期信号的傅里叶级数可以用与其相应的 非周期信号傅里叶变换的样本来表示
4. 离散时间傅里叶变换X (e j )以 2为周期，且 综合公式的积分区间为有限区间
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
kN n k n
离散时间傅里叶级数变换对
综合公式 分析公式
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
➢ 离散时间傅里叶级数是一个有限项级数， 综合公式中只有N个独立的谐波分量
➢ ak 称为频谱系数，它满足 ak akrN ➢ 如果x[n]是实信号，则有 ak* ak
特征函数
x[n] ak zkn
k
zkn H (zk )zkn
y[n] ak H (zk )zkn
k
离散时间傅里叶级数变换对
x[n] x[n N]
N
e j(2 / N )n
k n e jk(2 / N)n
? x n
a e jk
2 N
n
k
k N
x n
a e jk
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
特征函数和特征值
令：
zn
y[n]
k
h[k]x[n
k]
k
h[k ]z k
zn
H z h[k]zk
特征值
k
可得：
zn H z zn
X e j x n e jn
n
关于离散时间傅里叶变换的几点说明
1. 综合公式表明，非周期信号可以表示为一 组复指数信号的线性组合，这些复指数信号 出现在连续频率上，其复振幅为 X (ej )d / 2
2. X (e j ) 称为频谱密度，它反映了各个频率 分量的相对复振幅。频谱密度也简称为频谱
X e j 2 2 l l
矩形脉冲序列
sinc序列
考虑一个信号x[n]，其傅里叶变换为：
则该信号为：
符号函数与单位阶跃
sgn[n]
1, 1,
n0 n0
X
(e
j
)
1
2 e
j
u[n] 1 sgn[n] 1
2
2
X (e j )
1
1 e
j
(
l
2 l)
正弦信号
周期性冲激串
n N1
N n
1 e mnN1
2 N1 jk 2 N m N1
N m0
1 N
e jk2
e N N1 2 N1 jk 2
m0
N m
1 e jk2 N
N N1
1 e jk 2 2N11/ N 1 e jk 2 / N
jk 2 2N11/(2N )
1 e e e e jk2 NN1
jk 2 2N11/(2 N )
jk 2 2 N11/(2 N )
N
e e e jk 2 /(2N ) jk 2 /(2N ) jk 2 /(2N )
1 sin 2 k N1 1/ 2 / N
N
sin k / N
k 0, N, 2N,...
ak
2N1 1, N
k 0, N, 2N,...
离散时间傅里叶级数的收敛问题
综合公式 分析公式
x n
a e jk
2 N
n
k
k N
ak
1 N
x[n]e
jk
2 N
n
nN
➢ 不存在收敛问题 ➢ 没有吉伯斯现象
离散时间傅里叶变换的收敛问题
综合公式 (反变换) 分析公式 (正变换)
xn 1 X e j e jnd 2 2
X e j x n e jn
2 aN 1
l
(N
1)
2
N
2
l
X e j
k
2a k
2k
N
内容提要
➢ 离散时间周期信号的傅里叶级数 ➢ 离散时间傅里叶变换 ➢ 离散时间傅里叶变换的收敛问题 ➢ 离散时间周期信号的傅里叶变换 ➢ 常用傅里叶变换对
单边指数序列
单边指数序列
低通滤波器
高通滤波器
双边指数序列
x[n] a|n|, |a | 1