古典概型中几种常用解题方法(华德银)

古典概型中几种常用解题方法

华德银 沭阳如东中学

“古典概型”在概率论中有很重要的地位，一方面，因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面，它又概括了许多实际问题，有很广泛的应用。近几年在高考中每年都会考察一个填空题. 1、古典概型的定义

判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：

(1)有限性，所有的基本事件只有有限个，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个. (2)等可能性，每个基本事件的发生都是等可能的． 2、古典概型的计算公式

如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n

1

．如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)=

n

m ． 3、解决古典概型的常用方法

根据古典概型的计算公式，求事件A 发生的概率，关键是求出基本事件的总数以及事件A 所含的基本事件个数。为此，弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A 包含了哪些基本事件是非常重要的。下面根据实验的步骤数总结古典概型解题方法. （1） 枚举法

对于一步实验，或虽多步实验但基本事件总数较少时,我们都可以通过枚举的方法把所有的基本事件全部列举出来,然后在其中找到所求事件A 含有的基本事件,在根据公式求出事件A 的概率.

例1 (2012江苏卷,T6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .

分析:本题为一步实验，故可以直接枚举出所有基本事件. 解：这10个数为1，-3,9，-27,81，-5

2，6

2，-7

2，8

2，-9

2，故基本事件的总数为10个，“小于8”所含的基本事件的个数为6，故所求事件的概率为

5

3

106=。 例2.（2010山东卷Ｔ19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.

分析：本题第(1)问是一步实验直接枚举就可以了,第二(2)虽是两步步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率,当然也可以用后面介绍的列表法来处理.

解（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)两个.因此所求事件的概率21

63

P =

=. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(),m n 有

()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4共16个,

又满足2m n +≤的事件的概率为1316P =

.故满足2n m <+的事件的概率为1313

111616

P -=-= (2) 列表法

当实验是两步实验,而且每一步的结果较少时也可以用枚举法,但当每一步的实验结果较多时,列表法就比较有优势了

例3 ：同桌两人玩游戏掷骰子游戏，每人掷一次骰子并计算两次点数之和的奇偶性来决定胜负，甲选定奇数，乙选定偶数，这个游戏规则对双方是否公平？

分析：本题为两步实验，但每一步有6种选择，故基本事件较多，此时可以利用列表法来列举各个基本事件.

解：所有可能的情况如下表：

通过表格可以得到“和为偶数”的概率为1836 ＝12 ，“和为奇数”的概率为1836 ＝1

2 ，因此这个游戏规

则对双方是公平的.

变题：如果游戏规则该为：和为3的倍数甲胜，和为4的倍数乙胜，哪一个人胜的机会大？为什么？ 答案：和为3的倍数的概率＝13 ，和为4的倍数的概率＝1

4

所以甲获胜的可能性大．

例4某市长途客运站每天6：30－7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张

和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张决定无论如何乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？

（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 解：（1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；

差、中、优，共6种可能．

（2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：

由表格可知：小张乘坐优等车的概率是

3，而小王乘坐优等车的概率是2

．所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大．

通过列表的方法可以使得两步实验的基本事件能清晰的展示，再求概率就比较容易了． (3) 树形图法

当实验是三步实验,甚至是更多步实验时,枚举和列表法就不是太好用了,此时树形图可以让基本事件清晰地展示出来.

例5 若同时抛三枚硬币，则出现“一正两反”的概率为 ．

分析：本题是三步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率．但是怎样保证枚举时不重不漏呢?树形图可以帮助我们做到这一点.

解：本次试验的基本事件可以用树形图表示如下

即抛三枚硬币出现的结果有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)共有8个基本事件，其中“一正两反”包含的结果有：(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)共3个基本事件，故所求概率为

8

3. 例6 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.

分析:本题是四步实验,可以用树形图来表示所有基本事件.

解 用A 表示事件“第二个人摸到白球”．记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来(如图所示) 从树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此这24种结果的出现是等可能的，此试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12

.

四 、总结

以上举的几个例子，总结了古典概型的概率求解方法。值得注意的是：在分析问题时必须确定所研究的试验是几步试验,基本事件个数是不是较多.以便选择相对应的方法确切地建立事件所对应的样本空间.另外，从以上这些例子及古典概型的定义，可以发现，古典概型的局限性是很大的，表现为事件对应的样本空间为有限，故对样本空间为无限时，古典概型将不再适用。另外,当试验步骤较多时,以上的方法用起来也不大方便,就需要利用选修部分中的排列组合的知识来解决了.

开始 正 反

正 正 反 反 正 正 正 正

反 反 反 反 第一次 第二次 第三次