随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

取：
1 S X ( ) lim E[| FX (T , ) |2 ] T 2T 1 T A lim T dt表示时间平均 T 2T
可以得到两个结论：
1. 随机过程的平均功率可以通过对过程的 均方值求时间平均得到。即：
Q A E[ x (t )]
SX(ω)
A2π/2
A2π/2
－ω0
0
ω0
ω
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
对于随机过程X(t)，如果时间上是 离散的，即t=nT，（T为固定时间间 隔）。则X(nT)就是时间离散随机过程， 常常用X(n)来表示。
3.4.1 功率谱密度
设X(n)是广义平稳时间离散的随机 过程（随机序列），具有0均值，其自 相关函数为： RX(m)=E[X(n)X(n+m)] 当RX(m)满足绝对可积，也就是
A RX (t , t ) e j d


说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
T 2



| FX (T , ) |2 d
同时取时间和集合平均得： 1 T 2 1 E[ x (t )dt] E[ | FX (T , ) |2 d ] T 2T 4T 令T→∞ ，得到随机过程的平均功率： 1 T 2 Q lim T E[ x (t )]dt T 2T 2 1 E[| FX (T , ) | ] d Tlim 2 2T
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e


jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2



Fx ( )e j t d
根据上面的式子可以得到： 1 2 2 x (t )dt 2 | Fx ( ) | d 上式就是非周期时间函数的帕赛 瓦(Parseval) 等式。其中|Fx(ω)|2表示信 号的能量按频率分布的情况，称为x(t) 的能谱密度。
SX(ω)是实变量ω的函数，在系统 分析中，用复频率会更方便一些。即取 复变量 s=σ+j ω 如果假设σ ＝0，则s= j ω ，可以得到 新的关于s的函数S(s)＝SX(－js)，在复 平面上进行积分运算就要简单得多。有 时S(s)也直接用SX(s)来表示，与SX(ω)的 含义有所不同。
3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质
2
对于平稳随机过程，其平均功率就是 其均方值。
A E[ x (t )] E[ x (t )]
2 2
2.
1 Q S X ( )d 2 SX(ω)为随机过程的功率谱密度。 对于平稳随机过程， 1 E[ x (t )] 2
2



S X ( )d
3.1.3 功率谱密度和复频率平面
xT(t)的傅里叶变换存在，有：
FX (T , ) xT (t )e jt dt
T
x(t )e jt dt
T
则傅里叶反变换为： 1 j t xT (t ) FX (T , )e d 2 xT(t)也满足帕赛瓦等式，有：
1 T x (t )dt 2
SX(ω)可以表示为两个多项式之比，即： 2M 2 M 2 2 S 0 ( c2 M 2 ... c2 c0 ) S X ( ) 2 N d 2 N 2 2 N 2 ... d 2 2 d 0
其中M<N。如果用复频率s来表示，上 式可以写为： 2 ( s a1 )...( s a2 M ) S X (s) a , aK bL ( s b1 )...( s b2 N )

因此平稳随机过程的自相关函数与功率 谱密度之间互为傅里叶变换。 1 j RX ( ) S X ( )e d 2
上述关系就是维纳-辛钦 （Wiener-Khinchine）定理，或者称 维纳-辛钦公式。 由于自相关函数和功率谱密度函 数都是偶函数，维纳-辛钦公式又可以 表示为： S X ( ) 2 RX ( )cos d
1 j E[ X (t )] j S X (s)ds 2j
2
3.3 功率谱密度与自相关函数
对于确定信号x(t)，其本身与频谱 函数Fx(ω)之间构成傅里叶变换对。而 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密 度之间也构成傅里叶变换对。
对于实随机过程X(t)的功率谱密度 可以表示为： 1 T S X ( ) {lim RX (t , t )dt}e j d T 2T T
谱分解定理
设X(n)是广义平稳的实离散随机 过程，具有有理功率谱密度函数 S’X(z) 。可以表示为： C ( z) ' m S X ( z ) R X ( m) z D( z ) m 式中：C ( z ) ck z k
k 0 2N 2M
D( z ) d k z
3.1.2 随机过程的功率谱密度
随机过程的持续期是无限的，所以 其不满足绝对可积与能量可积的条件。 因此其傅里叶变换是不存在的。但是样 本函数x(t)的功率是有限的，即 1 T 2 lim T | x(t ) | dt T 2T
定义x(t)的截取函数为：
x(t ) | t | T xT (t ) | t | T 0
* ( 1* )...( M ) S a * * ( 1 )...( N )
S+的零、极点全部分布在复频率平 面的上半平面， S-的零、极点全部分布 在复频率平面的下半平面。有 S+＝ (S-)* SX(ω)＝| S+ |2= | S- |2 上面的分解因式就称为功率谱密度 的因式分解定理，简称为谱分解定理。
m
| R

X
(m) |
的时候。定义
S X ( )
m
R

X
( m) e
jmT
即自相关函数的离散傅里叶变换为X(n) 的功率谱密度。容易看出：上式是一个 频率为ω的周期连续函数，周期为2ωq （ωq ＝π/T，称为奈奎斯特(Nyquist)频 率） 。而RX(m)恰好就是SX(ω)的傅里 叶级数的系数。
0
RX ( )

1

0
S X ( )cos d
上面讨论的功率谱密度都是从 － ω到＋ ω 的，称为双边功率谱密度。 定义：
2 S X ( ) G X ( ) 0
0 0
为单边功率谱密度。
例3.3 P202 一个广义平稳随机过程X(t)，具有 自相关函数RX(τ)=Ae-β| τ |, A>0, β >0。 求过程的功率谱密度。 解：
同样，可以得到离散傅里叶反变 换： 1 q R X ( m) S X ( )e jmT d 2q q
当m＝0时，有
E[| X (n) | ] RX (0)
2
1 2q


q
q
S X ( )d
在离散时间系统中，用Z变换来 处理问题更为方便。取z=ejωT，可以 得到RX(m)的Z变换：

1 2 ( ) e
j 0
2 ( 0 )

e jx e jx cos x 2 2 A j0 j 0 j S X ( ) (e e )e d 4 A 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：



S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
例3.2 P196 一个广义平稳随机过程X(t)，具有 功率谱密度为： 2 4 S X ( ) 4 10 2 9 求其均方值E[X2(t)]
解： 首先设s= j ω ，代入谱密度函数得 到： 2 ( s 4) S X (s) 4 s 10 s 2 9 ( s 2)( s 2) 2 j ( s 1)( s 3)( s 1)( s 3)
第三章 平稳随机过程的谱分析
内容： 一、随机过程的谱分析 二、随机过程的功率谱密度 三、功率谱密度的性质
3.1 随机过程的谱分析
确定信号 频域 时域 傅利叶(Fourier)变换
3.1.1 谱分析的基本知识
非随机信号（确定性时间信号）的谱分析 假设x(t)是时间t的非周期实函数，则 x(t)的傅利叶变换存在的充要条件是： 1. x(t)在(-∞ ,+∞ )范围内满足狄里赫利 (Dirichlet)条件； 2. x(t)绝对可积，即 | x(t ) | dt 2 3. x(t)的总能量有限，即 | x(t ) | dt
如果·代表s， ( s 1 )...( s M ) S a ( s 1 )...( s N ) * * ( s 1 )...( s M ) S a * ( s 1* )...( s N )
S+的零、极点全部分布在复频率平 面的右半平面， S-的零、极点全部分布 在复频率平面的左半平面。
S 'X ( z )
m
RX (m) z m

Fra Baidu bibliotek
把z代入得
S 'X (e jT ) S X ( )
RX(m)则称为S’X(z)的逆Z变换，有：
1 ' m 1 R X ( m) D S X ( z) z dz 2j 式中，D为S’X(z)的收敛域内环绕z平 面原点逆时针旋转的一条闭合曲线。 由于平稳随机过程自相关函数的 对称性，即RX(m)＝ RX(-m)，则 S’X(z)＝ S’X(1/z)
式中s为复频率，aK,bL（K=1,…,2M; L=1,…,2N)分别表示函数的零、极点。
1. 2.
3. 4. 5.
SX(s) （应该是 SX(ω)，课本上有误） 的一些性质： a2为实数； 所有虚部不为0的零点和极点都是成复共 轭出现； 所有的零、极点都是偶重的； 在实轴上无极点； M<N。
因此，SX(·)可以分解为两项之乘积： SX(·)＝S+×S其中如果·代表ω ( 1 )...( M ) S a ( 1 )...( N )
k 0
k
谱分解定理
因为RX(m)是实函数，所以ck,dk 都为实数，且M<N。上式可以表示为 因式分解形式： ' 2 ( z a1 )...( z a2 M ) S X ( z) C , aK bL ( z b1 )...( z b2 N ) 如果α是S’X(z)的一个零点，则 α-1也是S’X(z)的零点，所以零点是成 对出现。同理极点亦然。
S X ( ) R X ( )e
0

j
d
0
Ae e


j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2