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2017-2018学年上海市位育中学高三数学上10月月考试题(含答案)

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上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题

上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题

绝密★启用前上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．下列三阶行列式可以展开为a b b ca c de efdf++的是（ ）A ．111a bc de f B ．111ab c defC ．111a bc d efD ．111ab cdef - 3．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C D4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列外………内………C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．计算：AB AC BC -+=________6．如果向量 ，共线且方向相反，则 等于 . 7．已知2111n na n n=+，则lim n n a →∞= . 8．已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是________9．若12201102x x -=-，则x =________ 10．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________ 11．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 12．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 13．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________14．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则A C A B⋅=____15．已知函数()1x f x x=+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，○……………………线…○……………………线…()ij ia f j=，则这个矩阵中所有数之和为________16．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，当12x =-时，y 的取值范围是________三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设1223a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.【详解】解：a rQ 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥r r，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b =()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可. 【详解】 由题干二阶行列式a b b c a c deef df++=ae bd bf ce af cd -+-+-,由AB 选项三阶行列式111a bcdef =111a b c d ef=ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行列式111a bcaf ce bd cd ae bf ae bd bf ce af cd def=++---≠-+-+-,则C 选项不对; 由D 选项三阶行列式111ab cdef ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力. 3．B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOB OAOA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA=，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=， 所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．0 【解析】【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得. 【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-= 故答案为：0 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 6．【解析】试题分析： ， 共线，，又 与方向相反，考点：平面向量共线的充要条件 7．1- 【解析】 【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 8．[2,10] 【解析】 【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】 解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+ 6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10 【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题. 9．5- 【解析】 【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。

2019-2020年上海市位育中学高一上10月月考数学试卷

2019-2020年上海市位育中学高一上10月月考数学试卷

2019-2020年位育中学高一上10月月考数学卷一. 填空题1. 已知集合，，则{|22}A x x =-<<{|1}B x x =≥-A B =I 2. 事件“对任意实数与，都有成立”的否定形式为x y 222x y xy +≥3. 已知，，，则U =R {|3}A x x =≤{0,1,2,3,4,5}B =图中阴影部分所表示的集合为4. 已知集合，，2{|20}A x x x =-->{|40}B x x p =+<且，则的取值范围是B A ⊆p 5. 已知全集，，，则集合用含的集合{1,2,3,4,5,6}U ={2,3}M ={1,4}N ={5,6},,U M N 运算式可以表示为6. 已知，，若，则实数的取值范围是U =R {|30}A x mx =->1U A ∈ðm 7. 不等式的解集是，则不等式的解集为20ax bx c ++>1(,3)2-20cx bx a ++<8. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是 210ax ax --<R a 9. 已知集合，，若，2{|45}A x x x =+>2{|0}B x x ax b =++≤A B =∅I ，则(1,6]A B =-U a b +=10. 运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目，15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有 人11. 若，则，就称是“对偶关系”集合，若集合的x A ∈2x A -∈A {,4,2,0,2,4,6,7}a --所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为a 12. 已知关于的不等式有唯一解，则实数的取值集合为x 22232x kx k x -≤+≤-k 二. 选择题13.“”是“”的（）条件2m <1m <A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 下列选项是真命题的是（）A. 若，则B. 若，，则a b <22ac bc <a b <c d <a c b d -<-C. 若，，则D. 若，则0a b >>0c d <<ac bd >0b a <<11a b<15. 已知命题“若，则、、中至少有一个非负数”，则该命题的逆命题、0a b c ++≥a b c 否命题、逆否命题3个命题中为真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式{}x x {5.5}6={4}4-=-的解集为（ ）2{}5{}60x x -+≤A. B. C. D. [2,3][2,4)(1,3](1,4]三. 解答题17. 已知，比较与的大小.,a b ∈R 22a b +245a b --18. 某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）19. 求解关于不等式：.x 220x x a a -+-<20. 已知命题：满足；命题：不等式对p 2{|0}A x x x a =++=A R +=∅I q 21x ax +≥恒成立.x ∈R （1）若为真命题，求实数的取值范围；p a （2）若、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.p q a 21. 若集合具有以下性质：（ⅰ）且；（ⅱ）若，则，且当A 0A ∈1A ∈,x y A ∈x y A -∈时，，则称集合为“闭集”.0x ≠1A x∈A （1）试判断集合是否为“闭集”，并说明理由；{1,0,1}B =-（2）设集合是“闭集”，求证：若，则；A ,x y A ∈x y A +∈（3）若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由.M x M ∈2x M ∈参考答案一. 填空题1. 2. 存在实数与，成立3. [1,2)-x y 222x y xy +<{4,5}4.5.6. 7. [4,)p ∈+∞()U M N ð(,3]-∞1(2,)3-8. 9. 19 10. 19 11. 12. (4,0]-{1,5}-{1二. 选择题13. B14. D 15. B 16. C三. 解答题17. .22245a b a b +≥--18. 110元，120元，130元，140元.{}19. 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.12a >(1,)a a -+12a =∅12a <(,1)a a -+20.（1）；（2）或.0a ≥20a -≤<2a >21.（1）不是；（2）证明略；（3）真命题.。

上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试题

上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试题

上海市位育中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|2,},{|}A x x x R B x x a =≤∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.2．函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .3．函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 4．方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.5．若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.6．在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.7．若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 8．复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.9．若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.10．函数sin arcsin y x x =+的值域是______.11．定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．二、单选题13．已知集合2{|3},{|log 1},M x x N x x =<=>则M N =（ ）A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|23}x x <<14．若(sin )3cos 2,f x x =- 则(cos )f x =( ) A ．3cos2x - B ．3sin 2x - C ．3cos2x +D ．3sin 2x +15．n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（ ） A ．310B ．13C ．18D ．1916．定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A ．a b b a ⊗=⊗B ．()=()a b a b λλ⊗⊗C ．2222()+()=a b a b a b ⊗⋅⋅D ．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-三、解答题17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积．18．已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos ),0m x x n x x ωωωωω==>，函数1()2f x m n =⋅-，其最小正周期为π． （1）求函数()f x 的表达式及单调递增区间；（2）在ABC 中，,,a b c 分别为A B C ，，的对边，ABCS为其面积，若()1,1,2ABC Af b S ==△求a 的值． 19．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若,A B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于,A B 的任意一点，直线AP BP 、分别交y 轴于,M N ，问OM ON ⋅是否为定值，说明理由． 20．设数列{}n a 为首项是4，公差为1的等差数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且22n S n n =+。

上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析

上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析

上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠= B ．2BAC π∠= C ．AB AC = D ．AC BC =二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________.8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r 表示为____________. 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为__________.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.三、解答题 17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u u r 平行，求OC u u u r 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r ，求b r 与c r 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围解析上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C 【解析】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系.【详解】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得：2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ， 所以5225m m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C.本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案.【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立.故选：B.【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】 对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-r r r r rr r r ，故（4）正确.【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠= C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【解析】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.【答案】0r【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】 因为AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，所以+0AB BC CA AC CA ++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .故答案为：0r【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩， 所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以増广矩阵是116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 故答案为：116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =u u u r ，从而得出与AB u u u r 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 【详解】因为(5,12)AB =u u u r ；所以与AB u u u r 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB u u u r 方向相同． 8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389- 【解析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】 在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r表示为____________. 【答案】12BE b a =-u u u r r r 【解析】利用平面向量基本定理，取a r 和b r 为基底，将BE u u u r用基向量表示出即可．【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：12BE b a =-u u u r r r .【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题. 12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】Q p r 与q r 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<r r ，即2210x -<，解得212x <. 当p r 与q r 方向相反时，设p q λ=r r 且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为__________.【答案】等腰三角形 【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =u u u r u u u r ，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________. 【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+r ，利用0n v ⋅=r r 可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+r 为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=r r 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =Q ，2OC =，3OB OC ⋅=u u u r u u u r，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得113222h =⋅⋅7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)272+=．故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u ur 平行，求OC u u u r 的坐标.【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,故BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ,由题可得0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,BC uuu r 与OA u u ur 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,所以()1,2BC OC OB x y =-=+-u u u v u u u v u u u v因为OC u u u r 与OB uuu r垂直,则0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,即20x y -+=①,又因为BC uuu r 与OA u u u r平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =,所以OC u u u r的坐标为()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r，求b r 与c r 的夹角.【答案】π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=r rr r r r ，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅r r r r 三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=rrr， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-r r r rr r，因为(2,2)c =-r，所以||c =r所以cos ,16||||b c b c b c ⋅<>===-r rr r r r ，因为,[0,]b c π<>∈r r，所以,arccos 16b c π<>=-r r . 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDE ABC ∆∆:，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =u u u r u u u r ，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.【详解】（1）//l AB Q ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆:，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=u u u r u u u r，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--u u u r ，()1,2DA m n =--u u u r ， ()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴. 直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB Q ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又PQM Q 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤.（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数， 故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。

2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

【解析】由向量在向量方向上的投影定义得到方程，将向量的坐标代a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=入，即可得到关于的关系.,m n 【详解】由向量在向量方向上的投影定义得：，a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=，5225mm --=⇒=，取任意实数.2m =n 故选：C.【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.） （2）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=）（4）||||||a b a b -<-22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（ ）1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】1），向量的数量积不满足结合律，所以错误，故（1）错误；()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 2），原式，故（2）正确；()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅= 3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；，则，过点作的垂线，垂足为，|4AB =0||1P B = C AB H 上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，AB P 0HP a=，2||||||(1)||PC PH PB PB a PB =⋅=-+ ，0P C a⋅=-恒成立，00PB PC P B P C ⋅≥⋅整理得恒成立，2||(1)||0PB a PB a -++≥△即可，于是，22(1)4(1)0a a a =+-=-≤1a =，即是的中点，故是等腰三角形，2HB =H AB ABC ∆．AC BC =向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．______.AB BC CA ++= 【答案】0【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为，AB BC AC += 所以.+0AB BC CA AC CA ++== 故答案为：0【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组的増广矩阵是_____________.60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩阵.【详解】因为方程组等价于，60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩所以系数矩阵为，1131⎛⎫⎪-⎝⎭所以増广矩阵是.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭故答案为：.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭；(5,12)AB =所以与方向相同的单位向量坐标为：．AB(,)|5121313|AB AB = 故答案为：．512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向方向相同．AB．三阶行列式的元素4的代数余子式是___________.1234567892389-【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到，再由三角恒等变换中的辅助角公式，()3sin 4cos f x x x =-化成正弦型三角函数，从而求得最大值.()x 【详解】，其中，sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-4tan 3θ=时，.sin()1x θ-=max ()5f x =故答案为：.5【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.．计算：________.3432⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：.12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：.881820⎛⎫⎪⎝⎭的范围为且；212x <67x ≠-故答案为：且.212x <67x ≠-【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．．在中，若，则的形状为__________.ABC ∆AB AC BA BC ⋅=⋅ABC ∆【答案】等腰三角形【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成，再由三角形的中线与高合一，||cos ||cos AC A BC B =判断三角形的形状.【详解】交于，CD AB ⊥AB D【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用 【答案】或34-【解析】由直线的方程可得直线的一个方向向量为，利用:(21)10l a x ay +-+=(,21)v a a =+可求得的值.0=a 【详解】为直线的一个方向向量，(,21)a a =+l 或.0n v ⋅= 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-0a =故答案为：或0.34-【点睛】【解析】先利用向量的数量积公式，求出，利用余弦定理求出，由等面积可得60BOC ∠=︒BC 的距离，即可求出面积的最大值．ABC ∆【详解】，，，3OB =2OC =3OB OC ⋅=，60BOC =︒，19423272BC =+-⨯⨯⨯=到的距离为，则由等面积可得，BC h 113732222h ⋅⋅=⋅⋅⋅，3217=132133又因为与平行,则②,BC OA 1231x y +-=①②可得,,,14x =7y =的坐标为OC()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力．已知，求与的夹角.32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==b c 【答案】32arccos16π-【解析】利用向量的夹角公式，根据条件分别把三个值算出，再代cos ,||||b cb c b c ⋅<>=,||,||b c b c ⋅【答案】当时，方程有无数解；当时，方程组无解；当且时，方程组有唯3m =1m =-3m ≠1m ≠2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为，其中为方阵，为2个变量构成列向量，Ax b =A 22⨯x b 个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式，再对进行分类讨论，求得方223D m m =--D 程组解的情况.【详解】系数矩阵对应的行列式，221233m D m m m -==--，即且时，方程组有唯一的解，2230m m =--≠1m ≠-3m ≠【解析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出CDE ABC ∆∆ 4923CD AC =，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直2DA =(),D m n D AB 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；l ）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出AB ABC AB d ABC ∆2d 值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.y x 【详解】），即，，且，//l AB //DE AB CDE ABC ∴∆∆ 249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设点的坐标为，，，2CD DA =D(),m n ()4,5CD m n =-- ()1,2DA m n =-- ()()421522m m n n -=--=-23m n =⎧⎨=⎩()2,3D ∴（2）直线的方程为，即，AB ()1213y x -=-350x y -+=，()()22122110AB =++-=设点到直线的距离为，则的面积为，C AB d ABC ∆1110222ABC S AB d d ∆=⋅=⨯⨯=得，另一方面，由点到直线的距离公式得，410d =()223541013x y d -+==+-，解得或.354y -+=±1133y x =+133y x =+因此，关于的函数关系式为或.y x 1133y x =+133y x =+【点睛】【答案】（1），；（2）41x y x =-1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由为的中点，为的中点，，结合平面向量的基本D BC M AD ,AP xAB AQ y AC ==定理及三点共线的充要条件，可得关于的方程，进而可得函数的表达式；xy ()y f x =）设的面积为，则的面积，，利用导数法，求出ABC ∆21S =APQ ∆2141x S xy x ==-1(1)3x ≤≤函数的值域，可得答案．【详解】）如图所示：为的中点，为的中点，BC M AD ，111111()222244AM AD AB AC AB AC==+=+ 三点共线，PQM时，，函数为增函数，1时，取最小值，12x =1S 14，或时，取最大值，13=1x =1S 13，1211[,]43∈，所以12APQ ABCS S k S S ∆∆==11[,]43k ∈。

上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案

上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案

2017-2018学年第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U=R，集合P=x|x-2{³1}，则C U P=2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若z1·z2ÎR，则x的值等于3、已知圆C: x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切，则圆C的半径r=4、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于5、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x27-y22=1的右焦点重合，则抛物线C的方程是6、在二项式(x2-2x)5的展开式中，x的一次项系数为。

（用数字作答）7、已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角a的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A(xA ,-45)，则sin2a=。

（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n}(nÎN*)的公比q=-13,a1=1,则n®¥lim(a2+a4+a6+···+a2n)=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm310、在D ABC中，已知且D ABC的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f(x)是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f(x)=ax+1,-1£x£0 bx+2x+1,0£x£1ìíïîï其中a,bÎR，若f(12)=f(32)，则ba3的值为13、定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。

上海市位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷Word版含答案

上海市位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷Word版含答案

位育中学2017届第一学期期中考试高三数学试卷一 填空题（本大题满分56分，每小题4分）1 设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M C u ;则集合M =______________2 已知53)2sin(=-απ，则)cos(απ-=_____________ 3 公比为2的等比数列}{a n 的各项都是正数，且16113=a a ，则102log a =_____________ 4 求值：)74arcsin(cos π=_____________ 5 在等差数列}{a n 中，若2576543=++++a a a a a ，则=+82a a _____________ 6 在ABC ∆中，3=a ，6=b ，3π=A ,则B =____________7 已知数列}{a n 是递增数列的等比数列，941=+a a ，832=a a ，则数列}{a n 的前n 项和等于____________8 若函数22log 36)(>≤⎩⎨⎧++-=x x x x f a （0>a 且1≠a ）的值域是[)∞+，4。

则实数a 的取值范围是____________9 若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a ___________10 设n s 是数列}{a n 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n s s a ，则n s =___________11 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+= ，则使得)12()(-≥x f x f 成立的x 的取值范围是__________12 已知函数)0(cos sin )(>+=ωωωx x x f ，R x ∈，若函数)(x f 在区间)(ωω，-内单调递增，且函数)(x f 的图像关于ω=x 对称，则ω的值为___________13 若ab 是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于___________14 已知函数)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件：（1）对任意实数x 都有0)(<x f 或0)(<x g ；（2）总存在），（4-∞-∈o x 时，使0)()(<o o x g x f 成立，则m 的取值范围是___________二 选择题（满分20分，每小题5分）15 设n s 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{a n 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ） A 若0<d ,则数列}{s n 有最大项 B 若数列}{s n 有最大项，则0<dC 若数列}{s n 是递增数列，则对任意*N n ∈,均有0>n sD 若对任意*N n ∈，均有0>n s ，则数列}{s n 是递增数列16 将函数x x f 2sin )(= 的图像向右平移ϕ）（20πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图像，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x 2x ，有3x min 21π=-x ，则ϕ=___________ A125π B 3π C 4π D 6π 17 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“)(x f 为[]10，上的增函数”是“)(x f 为[]43，上的减函数”的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件18 对于函数)(x f ，若存在区间[]n m A ,= 使得{y|y=f （x ），x ∈A}=A ，则称函数f （x ）为“可等域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f （x ）=sin （x ）； ②f （x ）=2x 2﹣1；③f （x ）=|1﹣2x |；④f （x ）=log 2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三 解答题（满分74分）19 （满分12分）已知二次函数32)(2--=x mx x f ，若不等式0)(<x f 的解集为),1(n -（1）解关于x 的不等式：1)1(422-+>+-x m n x x ；（2）是否存在实数），（10∈a ，使得关于x 的函数14)(+-=x x a a f y []），（21∈x 的最小值为4-？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由20 （本题满分14分）在ABC ∆中,已知135cos =A , 3102cot 2tan =+B B , 21=C （1）求)cos(B A -的值;（2）求ABC ∆的面积.21 (本题满分14分) 已知函数2cos 102cos 2sin 310)(2x x x x f += （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）将函数)(x f 的图像向右平移6π 个单位长度,再向下平移a )0(>a 个单位长度后得到函数)(x g 的图像,且函数)(x g 的最大值为2 .① 求函数)(x g 的解析式;② 证明:存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得0)(0>x g22 (本题满分16分)已知数列}{a n 的前n 项和为n s , 且n n s s a a +=22 对一切整数n 都成立.（1）求1a ,2a 的值（2）若01>a ,设数列}{n b 的前n 项和为n T , 且满足nn a a b 110lg= ,证明}{n b 是等差数列; （3）当n 为何值时, n T 最大? 并求出n T 的最大值.23(本题满分18分)已知函数)(x f ,如果存在给定的实数对）（b a , ,使得b x a f x a f =-+)()(恒成立,则称)(x f 为”-Γ函数” .（1）判断函数x x f =）（1, xx f 32=）（ 是否是”-Γ函数” . （2）若x x f tan 3=）（ 是一个”-Γ函数” .,求出所有满足条件的有序实数对）（b a ,; （3）若定义域为R 的函数)(x f 是”-Γ函数” ,且存在满足条件有序实数对），（10和)4,1( ,当[]10，∈x 时,)(x f 的值域为[]21， ,求当[]20162016-，∈x 时函数)(x f 的值域答案1 }6,5,3{=M ,2 53-， 3 5， 4 14π-， 5 10， 6 4π， 7 12-n ， 8(]21，， 9 1， 10 n 1-， 11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡131，， 12 2π，13 9 ，14 ），（2-4- 15 C, 16D, 17C,18B.19 (1) ()),2(1,+∞⋃∞- (2) 31=a 20 （1）6556， （2）126 21 （1） π2=T （2）①8sin 10)(-=x x g ② 证明题 22 （1） 121+=a ，222+=a ，或211-=a ，222-=a （2）2lg 21-=d （3）7=n 2lg 2217)(7max -==T T n23 （1）不是；是（2） ))(1,4(z k k ∈±ππ (3) []201620162,2-。

上海市育才中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题

上海市育才中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 上海市育才中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设(){},46A x y y x ==-+，(){},53B x y y x ==-，则A B 等于（ ） A ．{}1,2 B ．(){}1,2 C ．{}1,2x y == D ．()1,2 2．R 表示实数集，集合{|02}M x x =≤≤，{}2230N x x x =--，则下列结论正确的是（ ） A ．M N ⊆ B ．()R M C N ⊆ C ．()R C M N ⊆ D ．(()R R M C C N ⊆ 3．“||||x y >”是“x y >”的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．a 、b 为非零实数，且a<b ，则下列命题成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．用适当方法表示正奇数集________． 6．已知集合{}2|20,A x x x x =--=∈R ，集合{|13}B x x =≤≤，则A B =________． 7．不等式2113x x -+≥的解集是________． 8．命题“,a b ∈R ，如果7a b +<，那么2a =且3b =”的否命题是________． 9．设集合{(,)|13}A x y y x ==-，(){}2(,)|125B x y y m x ==-+，其中,,x y m R ∈，若A B =∅，则实数m 的取值范围是________．10．已知1a >，当a =________时，代数式21a a +-有最小值.11．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.12．若12a b -<<<，则2a b -的取值范围是________．13．关于x 的不等式2680mx mx m +++≥在实数集R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________．14．已知命题α：方程2(1)10()x a x x +++=∈R 没有正根，使α为真命题的实数a 的取值范围是________．15．设集合{|2,}S x x n n ==∈Z ，{|42,}P x x n n ==+∈Z ，则P S ≠⊂，证明过程如下：任取x P ∈，则存在1n ∈Z ，有()1142221x n n =+=+，∵()121n +∈Z ，∴x S ∈，从而P S ⊆，又因为__________，故P S ≠⊂，请将证明过程补充完整．16．集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，设集合C ()U A B ⋃有x 个元素，则x 的所有取值组成的集合为________．17．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较22a b b a +与a ＋b 的大小．三、解答题18．解不等式组2121260xx x x -⎧≤⎪-⎨⎪--<⎩．19．设集合{}2|320A x x x =-+>，{}22|220B x x x a a =-+-=，U =R ． （1）若B A ⊆，求a 的取值范围； （2）若C U A B A ⋂=，求a 的取值范围． 20．设集合{|01}A x x a =≤+≤，{|10}B x a x =-≤≤，其中a ∈R ，求A B ． 21．由实数组成的集合A 具有如下性质：若a A ∈，b A ∈且a b <，那么1a A b +∈． （1）试问集合A 能否恰有两个元素且43A ∈？若能，求出所有满足条件的集合A ；若不能，请说明理由； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A ；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由．参考答案1．B【解析】(){},46A x y y x ==-+，(){},53B x y y x ==-，两个集合均为点集，所以交集为直线的交点组成的集合.由4653y x y x =-+⎧⎨=-⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以(){}1,2A B ⋂=. 故选B.2．B【解析】【详解】 试题分析：由题意，{}2230{|1N x x x x x =--=<-或3}x >，{|02}M x x =≤≤，则{|13}R C N x x =-≤≤，所以()R M C N ⊆，故选B.考点：1.补集的运算；2.集合之间的关系.3．D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举例验证||||x y x y >?>且||||x y x y >⇒>/，即可.【详解】当2,1x y =-=-时|2||1|->-，但21-<-，即||||x y x y >?>；当2,3x y ==-时23>-，但是|2||3|<-，即||||x y x y >⇒>/；所以“||||x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】本题考查了命题的充分条件、必要条件.属于容易题.4．B【解析】试题分析：令 可排除A 、C ，令 ，可排除D ，故选B. 考点：不等式的性质.5．{}|21,x x n n N =+∈或{}|21,x x k k N *=-∈（答案形式不唯一，写出其中一个即可.） 【解析】【分析】用描述法表示出正奇数集即可.【详解】因为奇数可以表示为21()n n Z +∈或21()k k Z -∈所以正奇数集为{|21,}x x n n N =+∈或者{|21,}x x k k N *=-∈故答案为：{|21,}x x n n N =+∈或{|21,}x x k k N *=-∈（答案形式不唯一，写出其中一个即可.）【点睛】本题考查用描述法表示集合.属于容易题.6．{2}【解析】【分析】先解方程220x x --=，确定集合{1,2}A =-，再与集合{|13}B x x =≤≤，求交集，即可.【详解】方程220x x --=的两根为11x =-，22x =. {1,2}A ∴=-又{|13}B x x =≤≤{2}A B ∴⋂=.故答案为：{2}【点睛】本题考查集合的运算中的交集，属于容易题.7．{|3x x <-或4}x ≥【解析】【分析】 将分式不等式2113x x -+≥，移项，通分，合并同类项，变形为403x x -≥+，转化为等价的整式不等式组(4)(3)030x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解不等式组，即可. 【详解】 2113x x -≥+ 21(21)(3)410333x x x x x x x ---+-∴-==≥+++ (4)(3)030x x x -+≥⎧∴⎨+≠⎩，解得：3x <-或4x ≥. ∴不等式2113x x -+≥的解集是：{|3x x <-或4}x ≥ 故答案为：{|3x x <-或4}x ≥【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了转化与化归的思想，属于容易题.8．,a b ∈R ，如果7a b +≥，那么2a ≠或3b ≠【解析】【分析】根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，将“7a b +<”改为“7a b +≥”，将“2a =且3b =”改为“2a ≠或3b ≠”，即可.【详解】“7a b +<”的否定为“7a b +≥”；“2a =且3b =”的否定“2a ≠或3b ≠”∴否命题为“,a b ∈R ，如果7a b +≥，那么2a ≠或3b ≠”故答案为：,a b ∈R ，如果7a b +≥，那么2a ≠或3b ≠【点睛】本题考查命题的四种形式中原命题的否命题，需要将条件和结论“换质”（分别否定）.属于容易题.9．{【解析】【分析】因为集合A 与集合B 分别表示直线13y x =-与直线2(12)5y m x =-+上所有的点所构成的集合，若AB =∅，则直线13y x =-与直线2(12)5y m x =-+平行，即2123m -=-，解方程，即可.【详解】 A B =∅∴直线13y x =-与直线2(12)5y m x =-+平行即2123m -=-，解得1m =或2m =故答案为：{【点睛】本题通过AB =∅，考查了两直线平行斜率相等，属于较易题.10．1【解析】【分析】 先将21a a +-变形为2111a a -++-，根据均值定理，不等式211111a a -++≥=-等号成立的条件是211a a -=-，解方程，即可. 【详解】1a >Q 210,01a a ∴->>-22111111a a a a ∴+=-++≥=--当且仅当211a a -=-时，等号成立.即1a =+1a =-21a a +-有最小值. 1a ∴=故答案为：1+【点睛】本题考查均值定理的取等条件，属于较易题.11．11(,)23--【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．(4,2)-【解析】【分析】由题意可知，约束条件为1212a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩，目标函数为2z a b =-，分别以,a b 为横纵坐标，在平面直角坐标系aOb 中，画出可行域，求解即可.【详解】设2z a b =-，则2b a z =-，由题意可知12a b -<<<，变形为1212a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩，在平面直角坐标系aOb 中，画出可行域及其目标函数如图所示由图可知，可行域不包含边界上的点(1,2)-和(2,2).2(1)2222z ∴⨯--<<⨯-，即422a b -<-<.故答案为：(4,2)-【点睛】本题考查了简单线性规划问题，同时也考查了数形结合思想.属于中档题.13．[]0,1【解析】【分析】对m 进行分类讨论，当0m =时，关于x 的不等式2680mx mx m +++≥在实数集R 上恒成立，当0m ≠时，若使得关于x 的不等式2680mx mx m +++≥在实数集R 上恒成立，则需对应的一元二次函数开口向上，且与x 轴最多只有一个交点，即20(6)4(8)0m m m m >⎧⎨∆=-+≤⎩，解不等式组，即可.【详解】当0m =时，不等式变形为80≥在实数集R 上恒成立；当0m ≠时，由题意可知，20(6)4(8)0m m m m >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得01m <≤.综上所述01m ≤≤.故答案为：[]0,1【点睛】本题考查含参数的不等式恒成立问题，同时也考查分类讨论思想.属于中档题.14．(3,)-+∞【解析】【分析】分类讨论，当方程没有实数根，∆<0时，命题成立，解实数a 的取值范围；当方程有实数根，0∆≥时，若使得命题成立，则同时满足韦达定理12(1)0x x a +=-+<，1210x x =>，解实数a 的取值范围，即可.【详解】当方程没有实数根时，2(1)40a ∆=+-<，即31a -<<.α为真命题成立； 当方程有实数根时，若使得α为真命题成立，则需21212(1)40(1)010a x x a x x ⎧∆=+-≥⎪+=-+<⎨⎪=>⎩，解得1a ≥综上所述：3a >-故答案为：(3,)-+∞【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题以及韦达定理的应用，同时也考查分类讨论思想，属于中档题.15．4S ∈且4P ∉（举例验证实数a S ∈且a P ∉，即可.答案不唯一.）【解析】【分析】根据真子集的定义，集合P 是集合S 的子集，并且S 中至少有一个元素不属于P . 举例验证实数a S ∈且a P ∉，即可.【详解】由题意可知，因为P S ≠⊂，所以集合S 中至少有一个元素不属于集合P .举例验证实数a S ∈且a P ∉，如：4S ∈且4P ∉.故答案为：4S ∈且4P ∉（举例验证实数a S ∈且a P ∉，即可.答案不唯一.）【点睛】本题考查集合之间的关系中的真子集，属于容易题.16．{2,3,4,5,6,7,8}【解析】【分析】对A B 的元素个数进行分类讨论，然后根据()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂，分别求出A B 的元素个数，从而确定集合C ()U A B ⋃的元素个数，即可.【详解】因为()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂，()10card A =，()6card B = 所以，当()0card A B =时，()106016card A B =+-=，即[C ()]18162U x card A B =⋃=-=同理，当()1card AB =时，3x =；当()2card A B =时，4x =； 当()3card AB =时，5x =；当()4card A B =时，6x =； 当()5card A B =时，7x =；当()6card A B =时，8x =；所以x 的所有取值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8}故答案为：{2,3,4,5,6,7,8}【点睛】本题考查有限集A 、B 的并集中元素的个数公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂；以及分类讨论思想.属于中档题.17．22a b b a+>a ＋b . 【解析】【详解】试题分析：作差法比较大小，，a >0，b >0，且a ≠b ，所以0p q ->, 22a b b a+>a ＋b . 考点：利用不等式比较大小18．{|31x x -<≤或23}x <<【解析】【分析】先将1212x x -≤-，移项，通分，合并同类项，变形为3(1)02x x -≤-，转化为等价的整式不等式组3(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩解不等式组，再分类讨论，当0x ≥时，解不等式260x x --<，；当0x <时，解不等式260x x +-<，画数轴，即可.【详解】12(12)(2)3(1)10222x x x x x x x ------==≤--- 3(1)(2)020x x x --≤⎧∴⎨-≠⎩解得1x ≤或2x > 当0x ≥时，2||60x x --<变形为260x x --<，解得03x ≤<当0x <时，2||60x x --<变形为260x x +-<，解得30x -<<画数轴为：由图可知，31-<≤x 或23x <<所以，解集为：{|31x x -<≤或23}x <<.【点睛】本题考查分式不等式以及一元二次不等式的解法.属于中档题.19．（1）{|0a a <或2}a >（2）{1}a ∈【解析】【分析】（1）先确定集合{|1A x x =<或2}x >，计算方程22220x x a a -+-=的判别式24(1)a ∆=-，然后分类讨论，当0∆=时，确定集合B ，此时B A ⊆不成立，舍去；当0∆≠时，确定集合{,2}B a a =-，利用补集的思想，求B A ⊆时a 取值范围，再求补集，即可. （2）根据C U A B A ⋂=，得到U A C B ⊆，再根据原命题与其逆否命题等价，则U B C A ⊆，即2U U a C A a C A ∈⎧⎨-∈⎩，解不等式组，即可. 【详解】（1）2320x x -+>1x ∴<或2x >，即{|1A x x =<或2}x >22220x x a a -+-=222(2)4(2)4(1)0a a a ∴∆=---=-≥当0∆=，即1a =时，2{|210}{1}B x x x =-+==，此时B A ⊆不成立，舍去当0∆≠，即1a ≠时，方程22220x x a a -+-=的两根为1x a =，22x a =- 若使得B A ⊆成立，则需U a C A ∈或2U a C A -∈，即12a ≤≤或122a ≤-≤，解得02a ≤≤.则B A ⊆成立时，0a <或2a >综上所述：{|0a a <或2}a >.（2）C U A B A ⋂=U A C B ∴⊆即U B C A ⊆由（1）可知{|1A x x =<或2}x >，则{|12}U C A x x =≤≤，当0∆=，即1a =时，2{|210}{1}C U B x x x A =-+==⊆成立当0∆≠，即1a ≠时，{,2}B a a =-，若使得U B C A ⊆成立，则需满足2U U a C A a C A∈⎧⎨-∈⎩，即12122a a ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，解得1a =（舍去） 综上所述{1}a ∈.【点睛】本题考查利用集合之间的关系求参数的取值范围，注意分类讨论以及补集思想的运用，属于难度较大的一道题.20．0a <或1a >时，A B =∅；0a =或1a =时，{0}A B =102a <<时，{|0}A B x a x =-≤≤112a ≤<时，{|10}A B x a x =-≤≤ 【解析】【分析】B =∅时，A B =∅； B ≠∅时，分五种情况10a -=； 0a ->；0a -=；10a a -<-<，1a a -≤-进行讨论，画数轴求解，即可.【详解】当10a ->即1a >时，B =∅时，A B =∅；当10a -=即1a =时，{|10}A x x =-≤≤，{0}B =，则{0}AB = 当10a -<即1a <时，10a ->若0a ->即0a <时，如下图所示，A B =∅.若0a -=即0a =时，如下图所示，{|01}A x x =≤≤,{|10}B x x =-≤≤，则{0}AB =若10a a -<-<即102a <<时，如下图所示，{|0}A B x a x =-≤≤.若1a a -≤-即112a ≤<时，如下图所示，{|10}A B x a x =-≤≤.综上所述：0a <或1a >时，A B =∅；0a =或1a =时，{0}A B =102a <<时，{|0}A B x a x =-≤≤112a ≤<时，{|10}A B x a x =-≤≤ 【点睛】本题通过求交集运算，考查分类讨论思想，注意分类的标准.属于难度较大的一道题. 21．（1）能，4{4,}3A =或44{,}39A =或43{,}36A += （2）存在，1{0,1,}2A += 【解析】【分析】 （1）若集合A 能恰有两个元素且43A ∈，不妨设集合4{,}3A x =，分类讨论，43x <时，314x A +∈，则314x x +=或34143x +=； 43x >时，413A x +∈，则413x x +=或44133x +=，分别求解，即可.（2）若存在一个含有元素0的三元素集合A ，因为集合A 具有如下性质：若a A ∈，b A ∈且a b <，那么1a A b+∈，并且0不能作为分母，所以0,0a b <<，则01A a +∈且01A b +∈，即1A ∈，不妨设集合{,1,0},(0A x x =>且1)x ≠，分类讨论，01x <<时，1x A +∈不成立；1x >时，11A x +∈，则11x x+=，求解即可. 【详解】 （1）集合A 能恰有两个元素且43A ∈.不妨设集合4{,}3A x = 当43x <时，由集合A 的性质可知，314x A +∈ 则314x x +=或34143x +=，解得4x =（舍）或49x =， 所以集合44{,}39A = 当43x >时，由集合A 的性质可知，413A x +∈则413x x +=或44133x +=，解得x =或x =4x =所以集合4{,4}3A =或4{3A = 综上所述：4{4,}3A =或44{,}39A =或43{,}36A = （2）存在一个含有元素0的三元素集合A由题意可知0A ∈时，0a <，0b <，并且01A a +∈，01A b +∈,即1A ∈ 不妨设集合{,0,1},(0A x x =>且1)x ≠当1x >时，由题意可知，11A x +∈，若11x x +=，即210x x --=，解得x =或x =，集合A = 若111x+=，不成立.若110x+=，即1x =-（舍） 当01x <<时，由题意可知，1x A +∉，舍.综上所述，A =. 【点睛】本题考查集合中元素的确定性，互异性，同时也考查了分类讨论的思想，属于一道难度较大的题.。

高三数学-10月月考数学试题参考答案

高三数学-10月月考数学试题参考答案

2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。

2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．计算：=．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．已知，则x=（用反正弦表示）7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=314．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．416．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0} ．【分析】根据交集的定义即可求出．解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0}，故答案为{0}【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．计算：=．【分析】所求表达式分子、分母同除n2，然后求解即可．解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，基本知识的考查．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解：由题意可得=，即x=27，故答案为：27【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．【分析】先由复数的代数形式的乘除运算，求出=1﹣3i，故=1+3i，由此能求出||．解：∵====1﹣3i，∴=1+3i，∴||==．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．已知，则x=（用反正弦表示）【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案解：由于arcsin表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容．7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是560（用数字作答）【分析】由题意可得x2项的系数是+++…+，再利用二线式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是+++…+==560，故答案为：560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二线式系数的性质，属于基础题．8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，即±ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay=0的距离为d==，所以d==，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）【点评】本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【分析】由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，得=3n+1．由a n=2n﹣1，得，可得2k n﹣1=3n+1．即k n=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m ∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【分析】由已知三视图得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，计算其体对角线长度，得知其外接球的直径，计算球表面积．解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求外接球的表面积；关键是还原几何体，明确外接球的半径．15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义以及基本不等式的应用进行求解．解：∵=ax+by，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by，得y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，∴=（）（）=1+，当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划和基本不等式的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划的关键，注意利用数形结合来解决．16．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3【分析】将函数f（x）化简，首先考虑f（x）的单调性，由题意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值解：解：函数的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．化简得f（x）=在区间[m，n]上是单调递增，则有，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时解得：a=3．故选：D．【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【分析】（1）推导出f（x）=﹣cosx=2sin（x﹣），由此能求出函数f（x）的值域．（2）由f（B）=2，得到f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），求出B=，由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，由△ABC面积S得ac=1，由此能求出a+c．（3）建立坐标系，用解析法即可证明余弦定理．解：（1）∵．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），∴B=，∵b=，∴由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，∵△ABC面积S=，∴acsinB=ac×=，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A （0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．【点评】本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形中两边和的求法，考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【分析】（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣=a n=1.=．当26≤n≤60时，1=，由此能求出第n天的利润率．（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，，由此能求出利润率最大值．解：（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴=．当26≤n≤60时，==，∴第n天的利润率（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，（当且仅当n=，即n=50时，“=”成立）．又∵，∴n=1时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解出可得椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，可得k BP•k BQ．（2）当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k BP•k BQ=﹣1，即=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，=S△APM+S 与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=|y1﹣y2|==，利用△AQM根与系数的关系、函数的单调性可得S＜．当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y．可得|PQ|=，可得S．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=．∴椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=，k BP=，则k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由k BP•k BQ=﹣1，即=0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2=0，4k2+8kt+3t2=0，得t=﹣2k或t=﹣k．y=k（x﹣2）或y=k（x﹣），所以过定点（2，0）或（，0），A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，∴直线PQ过定点M（，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=S△APM+S△AQM=|y1﹣y2|====，令=m∈（0，1），则S=＜=，当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．∴|PQ|=，可得S==．综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．【分析】（1）根据定义逐一判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a （3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；（3）根据定义，令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，故对于正整数k 与正数s，都有，进而得出结论．解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…对于函数，当t=s=1时，，故不是“L函数”．…（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，…故对于正整数k与正数s，都有，…对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）=1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）【点评】本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．。

上海市位育中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(新疆班) Word版含解析

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2017-2018学年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是．4．若，则cosθ=．5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则求解方程的解即可．【解答】解：方程，化为：，即：x=．∴．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程的解的关系，是基础题．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x＜2}．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；数形结合；定义法；集合．【分析】由题意，阴影部分所表示的集合是（C U M）∩N，化简集合M，N，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，图中阴影部分所表示的集合为（C U M）∩N={x}﹣2＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题主要考查了利用维恩图表示集合的基本关系，及绝对值不等式、二次不等式的求解，属于基础试题4．若，则cosθ=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】对三角函数化简可得==，从而可得，再由二倍角的余弦可得，代入可求【解答】解：∵==∴由二倍角的余弦可得，=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的正弦及二倍角的余弦公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=1．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先表示出函数f（x）的关系式，再由f（x）＞0的解集为（﹣1，b）确定a、b的值．【解答】解：由题意知f（x）==﹣[x（x+a）﹣2]=﹣x2﹣ax+2∵f（x）＞0的解集为（﹣1，b）∴f（﹣1）=0 解得a=﹣1代入函数f（x）中∴f（x）=﹣x2+x+2＞0 故b=2 a+b=1故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的表示和一元二次不等式的解法．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=y﹣x，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．【解答】解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为0.5．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据输入的n的值和5个数据，判断循环变量和5的大小，当i＞5不成立时进入循环体依次对S替换，i＞5成立时结束算法，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得赋值S=0，i=1，执行S===﹣2，i=1+1=2；判断2＞5，执行S===﹣2.3，i=2+1=3；判断3＞5，执行S===﹣，i=3+1=4；判断4＞5，执行S===0.275，i=4+1=5；判断5＞5，执行S===0.5，i=5+1=6；判断6＞5，算法结束，输出的结果为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是3．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，所以|+|的最大值=．【解答】解：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，|+|的最大值===2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．【考点】反函数．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数的图象经过点（1，2），可知：函数y=f（x）的图象经过（1，3），因此函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），即可得出．【解答】解：∵函数的图象经过点（1，2），∴函数y=f（x）的图象经过（1，3），∴函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），∴函数的图象必过点．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于﹣2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，可得f（2）=f（﹣2）+f（2），得出f（2）=0，f（x+4）=f（x），利用周期性求解即可．【解答】解：对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f（2015）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．【点评】考查了抽象函数的周期性及奇偶性的综合．属于基础题型，应熟练掌握．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于﹣2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=﹣2，根据：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，确定q的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，，，∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为②．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；新定义；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定M的轨迹，再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论．【解答】解：∵M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，∴M的轨迹是以A（﹣5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥4）．①∵直线x+y=5过点（5，0）与（0，5）直线与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；②∵x2+y2=9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；③∵的右顶点为（5，0），与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；④联立，可得y2﹣9y+9=0，解得，y=3，满足题意．故答案为：②．【点评】本题考查新定义，考查双曲线的定义，考查曲线的位置关系，属于中档题．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论．【解答】解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9故答案为：﹣5或9．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将的图象向右平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，故平移后图象的对称中心为（+，0），k∈Z，令k=0，可得平移后图象的一个对称中心是（，0），故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】压轴题；阅读型；新定义．【分析】对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），都满足，且有无数个，故正确；对于②，即x=时，②错；对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．【解答】解：对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴①正确、对于②，∵当x=时，g=3，f=2=，∴f（x）＜g（x），∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数，故错误；对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；故选A．【点评】本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；直线与圆．【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．【解答】解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．【解答】解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos[（A﹣B）+B]=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．【点评】本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．…所以所求抛物线的方程为y2=4x．…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=…同理可得，．…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：•=2（k+）≥4=4．…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，从而可求得d 1，同理可求得d 2，d 3的值； （Ⅱ）依题意，可知a n =a 1q n ﹣1（a 1＞0，q ＞1），由d k =a k ﹣a k+1⇒d k ﹣1=a k ﹣1﹣a k （k ≥2），从而可证（k ≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d 1＜d 2＜…＜d n ﹣1，可用反证法证明a 1，a 2，…，a n ﹣1是单调递增数列；再证明a m 为数列{a n }中的最小项，从而可求得是a k =d k +a m ，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，故d 1=A 1﹣B 1=2，同理可求d 2=3，d 3=6； （Ⅱ）由a 1，a 2，…，a n ﹣1（n ≥4）是公比q 大于1的等比数列，且a 1＞0，则{a n }的通项为：a n =a 1q n ﹣1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n ﹣1时，d k =A k ﹣B k =a k ﹣a k+1，进而当k=2，3，…n ﹣1时，===q 为定值．∴d 1，d 2，…，d n ﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d 为d 1，d 2，…，d n ﹣1的公差，对1≤i ≤n ﹣2，因为B i ≤B i+1，d ＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i +d i +d ＞B i +d i =A i ，又因为A i+1=max{A i ，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i ≥a i ．从而a 1，a 2，…，a n ﹣1为递增数列．因为A i =a i （i=1，2，…n ﹣1），又因为B 1=A 1﹣d 1=a 1﹣d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n ﹣1，因此a n =B 1．所以B 1=B 2=…=B n ﹣1=a n ．所以a i =A i =B i +d i =a n +d i ，因此对i=1，2，…，n ﹣2都有a i+1﹣a i =d i+1﹣d i =d ，即a 1，a 2，…，a n ﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题。

上海高三高中数学月考试卷带答案解析

上海高三高中数学月考试卷带答案解析

上海高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.不等式的解为________2.已知集合，，则________3.已知奇函数，当时，，则时，________4.函数，的值域为________5.若，则的最小值为________6.若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，则实数的值为________7.设集合，，若，则最大值是________8.若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是________9.已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________10.不等式有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出和的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则________11.设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范围是________二、解答题1.已知方程有两个虚根，则的取值范围是________2.从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则________3.已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是________4.设复数，若是纯虚数，求的取值范围；5.已知函数；（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；6.某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率．设某商品标价为元，购买该商品得到的实际折扣率为．（Ⅰ）写出当时，关于的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？7.已知函数；（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；8.设是由个有序实数构成的一个数组，记作，其中称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组，定义两个数组和的关系数为；（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（3）若数组中的“元”满足，设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值；三、选择题1.若，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．2.集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3.对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4.已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（）个A．4B．5C．6D．7上海高三高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.不等式的解为________【答案】【解析】∵，∴,即∴或，∴不等式的解为.2.已知集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴.3.已知奇函数，当时，，则时，________【答案】【解析】令，则，∴，又是奇函数，所以，故填.4.函数，的值域为________【答案】【解析】因为在上是增函数，故在上是增函数，所以，即函数值域为.5.若，则的最小值为________【答案】【解析】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.6.若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，则实数的值为________【答案】【解析】设是方程的一个根，则是方程的另一个根，所以，又，所以，故填.7.设集合，，若，则最大值是________【答案】【解析】由得：，则x=1时，时，，当时，当时，.故答案为.8.若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是________【答案】【解析】展开式的通项为，令，解得，所以时，取时有最小值，故填.9.已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________【答案】【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集，故解得：，又因为，所以，综上可知，故填.10.不等式有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出和的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则________【答案】【解析】类比图象法解不等式，在同一坐标系中，画出和的图象，若对任意，都有，则两个函数图象应如下图所示：则由得：，故答案为.11.设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范围是________【答案】【解析】因为恒成立，且是定义在上的奇函数，所以是周期为4的周期函数（该函数最大值与最小值分别是）要使关于的方程有5个不同的解，即使与有5个交点，都是奇函数，其中一个交点肯定是原点，只需考虑有两个交点即可.画出函数图象如下：当（即过点）时，恰好5个交点，当时，的范围在之间，，即，故答案为或点睛：本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断，同时考查了数形结合和转化的的能力，对函数图象的画法也有较高要求，属于难题.解决这类问题时，首先要求出函数的周期，再根据奇偶性转化为在上根的个数，进而转化为函数图象交点个数，画出函数图像，观察分析即可建立不等（或相等）关系，从而求出参数的取值范围.二、解答题1.已知方程有两个虚根，则的取值范围是________【答案】【解析】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.2.从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则________【答案】【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k-1）个．比k的大的数有（10-k）个，故有，所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，解得k=7，故答案为：7 3.已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是________【答案】【解析】若，不等式组可化为不满足条件，若，则若不等式组，时，满足条件，解得：若，则若不等式组，时，满足条件，解得：，故填.点睛：本题主要考查二次不等式组有唯一解的问题，属于中档题.解决此类问题只需要将问题转化为研究二次函数的最大值与最小值问题即可，不等式有唯一解最大值，不等式有唯一解最小值.4.设复数，若是纯虚数，求的取值范围；【答案】；【解析】代入，根据纯虚数的概念得出的范围，即可求的范围.试题解析：，∵是纯虚数，∴且，即，所以，因为所以.5.已知函数；（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；【答案】（1）；（2）不存在；【解析】（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在.试题解析：（1）因为，可知上递减，所以在上递减，其最大值为，所以时有解，的最大值.（2）不存在.假设存在，则，由成立，得，解得，与矛盾.故不存在，使得成立.6.某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率．设某商品标价为元，购买该商品得到的实际折扣率为．（Ⅰ）写出当时，关于的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？【答案】（Ⅰ）， 0.7；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）按折扣率公式计算即可，但要注意分段；（Ⅱ）按折扣率公式计算，解不等式即可.试题解析：（Ⅰ）∵∴当时，，即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．（Ⅱ）当时，.①当即时，解得，∴；②当即时，解得∴；综上，或,即顾客购买标价在间的商品，可得到的实际折扣率低于．【考点】函数的应用、分段函数、解不等式.7.已知函数；（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）根据题意,根据对数函数的增减性及真数大于零，列出不等式，求解即可；（2）根据条件得到其周期为4，当时，再根据上述性质及奇函数，，求其反函数，同理当时，，也可求出函数的反函数；（3）不等式恒成立转化为恒成立，即，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为，∴，得；（2）∵是奇函数，∴，当时，，，此时，，所以，当时，，，此时，，所以，，综上，（3）由题意知，在上是增函数，可证明在上是减函数，由知，设，分别讨论解得.点睛：本题主要考查的知识点是对数函数的图像和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数的求法，对数的运算性质，存在型问题，函数最值，是函数图象和性质较为综合的应用，属于难题，解题时要善于运用学过的数学思想和方法进行转化，通过分类讨论把复杂问题分解，通过换元法突出问题本质，简化计算过程.8.设是由个有序实数构成的一个数组，记作，其中称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组，定义两个数组和的关系数为；（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（3）若数组中的“元”满足，设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值；【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）根据题意中“元”的含义，可知当时，取最大值2；（2）对0是不是S中元素进行分类；①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a,b,c三个“元”的对称性，利用均值不等式计算的最大值，②当0不是S中的“元”时，只需计算的最大值即可，综合上述情况即可求解；（3）由于满足，及关系的对称性，只需考虑与关系数的情况，下面分别讨论当时，得出的最大值情况，最后综合得出的最大值即可.试题解析：（1）依题意，当时，取最大值2.（2）的最大值为1（3）的最大值为点睛：本小题主要考查函数与方程的综合运用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题.本题解题时，要善于根据新情景，新定义去运用所学知识，解决问题，对排序不等式要求比较高，需要较强的综合能力.三、选择题1.若，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】不等式性质2.集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，故选D.3.对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于选项D，，而且，所以，故D正确，答案选D.4.已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（）个A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意，，，，从而，所以，解得，又，所以，故选B.点睛：本题主要考查了函数最大值与最小值，以及换元法求函数最值，涉及三角函数的化简求值，属于难题.本题在解决时，由定义域内任意两个实数、，恒有成立，转化为，是问题关键，然后转化为用换元法求函数的最值即可.。

2017届高三上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析

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2017届高三上学期10月月考试卷数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}2．复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2＞b2C．2a＞2b D．4．函数的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）5．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞07．某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第x月的数量y与x之间的关系的是（）A．y=2x B．y=x2﹣x+2 C．y=2x D．y=logx+228．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，则b为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定9．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A．（，）B．（，） C．（3，） D．（﹣3，）10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．给定函数①y=x，②y=log（x+1），③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④12．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．14．某校有老师200人，男学生1400人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为90人，则n= ．15．设x＞0，则的最小值是．16．设f（x）=则使f（x）=11成立的实数x的集合为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁A）∩B；R（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）19．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．20．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的图象在（1，f（1））处与y=2相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调递减区间．22．设函数，a为常数，且f（3）=（1）求a值；（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；（3）设g（x）=﹣x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集和数轴即可求出A∩B．【解答】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．故选D．2．复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==1+i．故选A．3．若a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2＞b2C．2a＞2b D．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例a=1，b=﹣2，可判断A，B，D均不成立，进而得到答案．【解答】解：当a=1，b=﹣2时，a＞b，但，故A中不等式不恒成立，a2＜b2，故B中不等式不恒成立，，故D中不等式不恒成立，而2a＞2b恒成立，故选：C．4．函数的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据幂函数的值域即可求解．【解答】解：函数y=的定义域为{x|x≥0}，其值域是[0，+∞），那么：函数的值域是[﹣1，+∞），故选：C．5．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件．【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A6．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C7．某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第x月的数量y与x之间的关系的是（）x+2A．y=2x B．y=x2﹣x+2 C．y=2x D．y=log2【考点】线性回归方程．【分析】本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过（1，2）和（2，4），把这两个点代入所给的四个解析式发现只有y=2t最合适，再考查四个选项，找出正确选项即可．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过（1，2）和（2，4）把这两个点代入所给的四个解析式发现只有y=2t最合适，故选：C．8．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，则b为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质，可得f（0）=0，代入构造关于b的方程，解得答案．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，∴f（0）=1+b=0，解得：b=﹣1．故选：A9．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A．（，）B．（，） C．（3，） D．（﹣3，）【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．【解答】解：∵点P对应的复数为﹣3+3i，则点P的直角坐标为（﹣3，3），点P到原点的距离r=3，且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为（，），故选 A．10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．11．给定函数①y=x，②y=log（x+1），③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据一次函数及指数函数，对数函数的性质，判断函数的单调性，从而得出答案．【解答】解：y=x，k=1，递增，y=，底数是，递减，y=|x﹣1|=1﹣x，递减，y=2x+1，底数是2，递增，故选：B．12．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为a≥3x2在[﹣1，1]恒成立，根据二次函数的性质求出a的最小值即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，即f′（x）=3x2﹣a≤0在[﹣1，1]恒成立，即a≥3x2在[﹣1，1]恒成立，故a≥3，a的最大值是3，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜014．某校有老师200人，男学生1400人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为90人，则n= 210 ．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，再把各层抽取的样本数相加可得样本容量 n的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，应抽取的男学生人数为1400×=105，应抽取的老师人数为200×=15，故样本容量 n=90+105+15=210．故答案为210．15．设x＞0，则的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】依题意，利用基本不等式即可．【解答】解：∵x＞0，∴y=3x+≥2（当且仅当x=时取等号）．故答案为：16．设f（x）=则使f（x）=11成立的实数x的集合为{1，7，13} ．【考点】函数的值．【分析】当x≥10时，f（x）=x﹣2=11；当1≤x＜10时，f（x）=f（x+6），由1≤x＜10，得7≤x+6＜16，当7≤x+6＜10时，f（x）=f（x+6）=f（x+12）；当10≤x+6＜16时，f（x）=f （x+6）．由此能求出使f（x）=11成立的实数x的集合．【解答】解：∵f（x）=，f（x）=11，∴当x≥10时，f（x）=x﹣2=11，解得x=11；当1≤x＜10时，f（x）=f（x+6），由1≤x＜10，得7≤x+6＜16，当7≤x+6＜10时，13≤x+12＜16，f（x）=f（x+6）=f（x+12）=x+12﹣2=11，解得x=1；当10≤x+6＜16时，f（x）=f（x+6）=x+6﹣2=11，解得x=7．综上，使f（x）=11成立的实数x的集合为{1，7，13}．故答案为：{1，7，13}．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．A）∩B；（1）求A∪B；（∁R（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【分析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A ∩C≠∅确定参数a的取值范围【解答】解：（1）∵集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵CA={x|x＜4或x≥8}RA）∩B={x|8≤x＜10或2＜x＜4}∴（CR（2）∵若A∩C≠∅，A={x|4≤x＜8}，C={x|x＜a}．∴a的取值范围是a＞4∴a∈（4，+∞）18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；分层抽样方法．【分析】（I）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．（III）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．【解答】解：（I ）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 =，∴男性应该抽取20×=4人…．（II ）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A ，B ；男性4人为c ，d ，e ，f ，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A ，B ）、（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ）、（c ，d ）、（c ，e ）、（c ，f ）、（d ，e ）、（d ，f ）、（e ，f ）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ），共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．（III ）∵K 2≈8.333，且P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．19．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆x 2+y 2=4相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【考点】直线的参数方程．【分析】对第（1）问，由过点（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数方程可得l 的参数方程；对第（2）问，根据l 的参数方程，可设A ，B，再将l 的参数方程代入圆的方程中，得到一个关于t 的一元二次方程，由韦达定理可得点P 到A 、B 两点的距离之积．【解答】解：（1）因为过点（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数方程，由题意，将x 0=1，y 0=1，α=代入上式得直线l 的参数方程为（t 为参数）．（2）因为A ，B 都在直线l 上，故可设它们对应的参数分别为t 1，t 2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2=﹣2，所以|PA|•|PB|=|t1t2|=2．即点P到A、B两点的距离之积为2．20．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f （x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的图象在（1，f（1））处与y=2相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调递减区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=0，求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣3a，由题意，解得：；（2）由（1）得：f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）．22．设函数，a为常数，且f（3）=（1）求a值；（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；（3）设g（x）=﹣x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（1），可得，利用指数函数的单调性可得10﹣3a=1解出即可．（2）由已知，利用指数函数的单调性即可得出10﹣3x≤﹣2．（3）由题意f（x）＞g（x）化为恒成立．即在[3，4]恒成立．设，上述问题等价于m＜h（x）min，利用函数与在[3，4]为增函数，可得h（x）在[3，4]为增函数，即可得到h（x）的最小值．【解答】解：（1），即，∴10﹣3a=1，解得a=3．（2）由已知，∴10﹣3x≤﹣2．解得x≥4故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．（3）依题意f（x）＞g（x）化为恒成立即在[3，4]恒成立设则m＜h（x）min，∵函数与在[3，4]为增函数，可得h（x）在[3，4]为增函数，∴，∴m＜2．。

2019-2020学年上海市嘉定区位育中学高一(上)10月月考数学试卷及答案

2019-2020学年上海市嘉定区位育中学高一(上)10月月考数学试卷及答案

2019-2020学年上海市嘉定区位育中学高一（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∩B＝．2．（3分）事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为．3．（3分）已知U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分所表示的集合为．4．（3分）已知A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2+4x+p＝0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是．5．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则集合{5，6}用含U，M，N的集合运算式可以表示为．6．（3分）已知U＝R，A＝{x|mx﹣3＞0}，若1∈∁U A，则实数m的取值范围是．7．（3分）不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为8．（3分）不等式ax2﹣ax﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是．9．（3分）已知集合A＝{x|4x+5＞x2}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝（﹣1，6]，则a+b＝．10．（3分）运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有人．11．（3分）若x∈A，则2﹣x∈A，就称A是“对偶关系”集合，若集合{a，﹣4，﹣2，0，2，4，6，7}的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a的取值集合为．12．（3分）已知关于x的不等式2﹣2x≤kx2+k≤3﹣2x有唯一解，则实数k的取值集合为．二.选择题13．（3分）“m＜2”是“m＜1”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14．（3分）下列选项是真命题的是（）A．若a＜b，则ac2＜bc2B．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dC．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdD．若b＜a＜0，则15．（3分）已知命题“若a+b+c≥0，则a、b、c中至少有一个非负数”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中为真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．316．（3分）定义{x}为不小于x的最小整数（例如：{5.5}＝6，{﹣4}＝﹣4），则不等式{x}2﹣5{x}+6≤0的解集为（）A．[2，3]B．[2，4）C．（1，3]D．（1，4]三.解答题17．已知a，b∈R，比较a2+b2与2a﹣4b﹣5的大小．18．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）19．解关于x的不等式：x2﹣x+a﹣a2＜0．20．已知命题p：A＝{x|x2+x+a＝0}满足A∩R+＝∅；命题q：不等式x2+1≥ax对x∈R恒成立．（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（4）若p、q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．21．若集合A具有以下性质：（ⅰ）0∈A且1∈A；（ⅱ）若x，y∈A，则x﹣y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A为“闭集”．（1）试判断集合B＝{﹣1，0，1}是否为“闭集”，并说明理由；（2）设集合A是“闭集”，求证：若x，y∈A，则x+y∈A；（3）若集合M是一个“闭集”，判断命题“若x∈M，则x2∈M”的真假，并说明理由．2019-2020学年上海市嘉定区位育中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∩B＝[﹣1，2）．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x≥﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为存在实数x与y，x2+y2＜2xy成立．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在实数x与y，x2+y2＜2xy成立．故答案为：存在实数x与y，x2+y2＜2xy成立．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（3分）已知U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分所表示的集合为{4，5}．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．∵集合U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则∁U A＝{x|x＞3}，则B∩（∁U A）＝{4，5}，故答案为：{4，5}．【点评】本题主要考查Venn图的应用，集合的关系和运算，比较基础．4．（3分）已知A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2+4x+p＝0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是（4，+∞）．【分析】先求出A，因为B⊆A，所以B分成B＝∅，和B≠∅两种情况．B＝∅时，能求p 的范围；B≠∅时，又分方程x2+4x+p＝0有一个根和两个根的情况，从而求出对应的p 的取值，这样就能求出p的取值范围了．【解答】解：A＝{﹣1，2}∵B⊆A∴B＝∅时满足B⊆A，此时16﹣4p＜0，解得p＞4；B≠∅时，方程x2+4x+p＝0有一个根，或两个根∵对于方程x2+4x+p＝0，x1+x2＝﹣4，∴﹣1，2不是该方程的根，∴这种情况不存在．∴p的取值范围是（4，+∞）．故答案是：（4，+∞）．【点评】本题考查子集的概念，方程的根与方程系数的关系，不要漏了B＝∅的情况．5．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则集合{5，6}用含U，M，N的集合运算式可以表示为∁U（M∪N）．．【分析】由已知结合集合的基本运算即可直接求解．【解答】解：因为M＝{2，3}，N＝{1，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，所以∁U（M∪N）＝{5.6}．故答案为：∁U（M∪N）【点评】本题主要考查了集合的基本运算的应用，属于基础试题．6．（3分）已知U＝R，A＝{x|mx﹣3＞0}，若1∈∁U A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解．【解答】解：∵A＝{x|mx﹣3＞0}，1∈∁U A，∴m﹣3≤0即m≤3．故答案为：（﹣∞，3]【点评】本题主要考查了集元素与集合的基本关系的应用，属于基础试题．7．（3分）不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为{x|﹣2＜x＜}【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得a＜0，且﹣+3＝﹣，﹣•3＝，由此化简要求的不等式为3x2+5x﹣2＜0，从而求出它的解集．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集是，∴a＜0，且﹣+3＝＝﹣，﹣•3＝﹣＝，∴b＞0，c＞0，＝，＝﹣，∴不等式cx2+bx+a＜0，即x2+x+＜0，即x2+x﹣＜0，即3x2+5x﹣2＜0，求得它的解集为{x|﹣2＜x＜}，故答案为：{x|﹣2＜x＜}．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．8．（3分）不等式ax2﹣ax﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（﹣4，0]．【分析】由不等式的解集为R，得到a＝0或a小于0，且根的判别式小于0，列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．【解答】解：∵ax2﹣ax﹣1＜0的解集为R，∴a＝0或，解得：a＝0或﹣4＜a＜0，则实数a的取值范围为（﹣4，0]．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题考查二次函数的性质和一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，易错点是容易忽视a＝0的情况．9．（3分）已知集合A＝{x|4x+5＞x2}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝（﹣1，6]，则a+b＝19．【分析】利用交集和并集的性质推导出B＝{x|5≤x≤6}，从而5和6是方程x2+ax+b＝0的两个根，列方程能求出a+b．【解答】解：∵集合A＝{x|4x+5＞x2}＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∩B＝∅，A∪B＝（﹣1，6]，∴B＝{x|5≤x≤6}，∴5和6是方程x2+ax+b＝0的两个根，∴，解得a＝30，b＝﹣11，∴a+b＝30﹣11＝19．故答案为：19．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有19人．【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【解答】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，所以15+8+14﹣3﹣3﹣28＝3就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，∴只参加一个项目的有28﹣3﹣3﹣3＝19人，故答案为：19【点评】本题主要考查集合关系的应用，根据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的关键．11．（3分）若x∈A，则2﹣x∈A，就称A是“对偶关系”集合，若集合{a，﹣4，﹣2，0，2，4，6，7}的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a的取值集合为{1，﹣5}．【分析】根据x∈A，则2﹣x∈A，就称A是“对偶关系”集合，列举集合{a，﹣4，﹣2，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数a的取值即可．【解答】解：集合{a，﹣4，﹣2，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”有﹣4与6，﹣2与4，2与0，则a与7，这些组合的“对偶关系”有4对，集合有24﹣1＝15个．那么2﹣a＝7，可得a＝﹣5．当a＝1时，则2﹣1＝a，也满足“对偶关系”．可得实数a的取值集合为{1，﹣5}．故答案为{1，﹣5}．【点评】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题12．（3分）已知关于x的不等式2﹣2x≤kx2+k≤3﹣2x有唯一解，则实数k的取值集合为{1﹣，}．【分析】不等式化为2≤kx2+2x+k≤3，讨论k＝0、k＞0和k＜0时，不等式有唯一解时对应k的取值．【解答】解：不等式2﹣2x≤kx2+k≤3﹣2x可化为2≤kx2+2x+k≤3；若k＝0，不等式2≤kx2+2x+k≤3可化为2≤2x≤3，不满足有唯一解；若k＞0，则若不等式2≤kx2+2x+k≤3，令＝3，解得k＝，即k＝时，满足不等式有唯一解；若k＜0，则若不等式组2≤kx2+2x+k≤3，令＝2，解得k＝1±，即k＝1﹣时，满足不等式有唯一解；综上知，k的取值集合是{1﹣，}．故答案为：{1﹣，}．【点评】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．二.选择题13．（3分）“m＜2”是“m＜1”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【分析】若“m＜1”，则必有“m＜2”；反之，若“m＜2”，不一定有“m＜1”；再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“m＜1”，则必有“m＜2”；反之，若“m＜2”，不一定有“m＜1”；故“m＜2”是“m＜1”的必要不充分条件；故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．14．（3分）下列选项是真命题的是（）A．若a＜b，则ac2＜bc2B．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dC．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdD．若b＜a＜0，则【分析】通过举反例可以说明A不正确．举反例可以说明B的推理是错误的，举反例可以说明C中的推理不正确；对于D，通过作差推导其成立即可．【解答】解：由a＜b，不能推出ac2＜bc2．因为c＝0 时，取等号，故A不正确．由4个数构成的不等式，较大的两个数的差不一定大于较小的两个数的差，如3＞2，2＞0，但3﹣2＞2﹣0 并不成立，故B不正确．取2＞1＞0，﹣2＜﹣1＜0，得到﹣4＜﹣1，即ac＞bd不成立，故C不正确．由b＜a＜0，则﹣＝＜0，即成立，故D正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，通过举反例而来说明某个结论不成立，是一种简单有效的方法．15．（3分）已知命题“若a+b+c≥0，则a、b、c中至少有一个非负数”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中为真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】分别写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题，再判断它们的真假即可．【解答】解：∵“若a+b+c≥0，则a、b、c中至少有一个非负数”，∴它的逆命题是“若a、b、c中至少有一个非负数，则a+b+c≥0”，它是假命题；否命题是“若a+b+c＜0，则a、b、c中没有一个非负数”，则它是假命题；逆否命题是“若a、b、c中没有一个非负数，则a+b+c＜0”它是真命题；∴这3个命题中，真命题的个数为1．故选：B．【点评】本题考查了四种命题的应用问题及命题真假的判断问题，属于基础题．16．（3分）定义{x}为不小于x的最小整数（例如：{5.5}＝6，{﹣4}＝﹣4），则不等式{x}2﹣5{x}+6≤0的解集为（）A．[2，3]B．[2，4）C．（1，3]D．（1，4]【分析】先根据已知二次不等式求出{x}，进而可求x的范围．【解答】解：由{x}2﹣5{x}+6≤0可得2≤{x}≤3，所以1＜x≤3．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了二次不等式的求解及对新定义的理解，属于基础试题．三.解答题17．已知a，b∈R，比较a2+b2与2a﹣4b﹣5的大小．【分析】利用作差法判断两个多项式的大小即可．【解答】解：∵a，b∈R，∴（a2+b2）﹣（2a﹣4b﹣5）＝a2﹣2a+4b+5+b2＝（a﹣1）2+（b+2）2≥0，∴a2+b2≥2a﹣4b﹣5，当且仅当a＝1，b＝﹣2时，等号成立，两式相等．【点评】本题考查了利用作差法比较两个多项式大小的应用问题，是基础题目．18．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）【分析】设每床每晚的租金提高x个10的整数倍，由每晚的收入超过15000元列出关于x的不等式，解不等式求出x的值即可．【解答】解：设每床每晚的租金提高x个10的整数倍，由每晚的收入超过15000元得：（50+10x）（200﹣10x）＞15000，解得：5＜x＜10，所以出租价格提高50元到100元，则每个床位的出租价格定在100元到150元之间，用集合表示每个床位的出租价格的范围为：{110元，120元，130元，140元}．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，考查了用数学知识解决实际问题的方法，是基础题．19．解关于x的不等式：x2﹣x+a﹣a2＜0．【分析】把不等式化为（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，讨论a的取值，求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，当a＜1﹣a，即a＜时，原不等式的解集为（a，1﹣a）；﹣﹣﹣（6分）当a＞1﹣a，即a＞时，原不等式的解集为（1﹣a，a）；﹣﹣﹣﹣（9分）当a＝1﹣a，即a＝时，原不等式的解集为∅．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行讨论，以便得出正确的答案，是基础题．20．已知命题p：A＝{x|x2+x+a＝0}满足A∩R+＝∅；命题q：不等式x2+1≥ax对x∈R恒成立．（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（4）若p、q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用分类讨论思想的应用对集合A进行分类讨论，求出①A＝∅②A＝R﹣或{0}时，a的取值范围．（2）利用分类讨论思想的应用，对命题p和q的情况进行分类，最后利用不等式的解集的应用求出结果．【解答】解：（1）命题p：A＝{x|x2+x+a＝0}满足A∩R+＝∅；所以①A＝∅，1﹣4a＜0，解得．②A＝R﹣或{0}，所以，整理得a＜0或a＝0，故p为真命题，求实数a的取值范围为a＝[0，+∞）．即a≥0．（2）命题q：不等式x2+1≥ax对x∈R恒成立．整理得x2﹣ax+1≥0在x∈R恒成立，所以△＝a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，若p、q中有且只有一个为真命题，①p真q假，所以，解得a＞2．②p假q真，所以，解得﹣2≤a＜0．故a的取值范围为：﹣2≤a＜0或a＞2．【点评】本题考查的知识要点：集合间的关系，不等式的解法，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21．若集合A具有以下性质：（ⅰ）0∈A且1∈A；（ⅱ）若x，y∈A，则x﹣y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A为“闭集”．（1）试判断集合B＝{﹣1，0，1}是否为“闭集”，并说明理由；（2）设集合A是“闭集”，求证：若x，y∈A，则x+y∈A；（3）若集合M是一个“闭集”，判断命题“若x∈M，则x2∈M”的真假，并说明理由．【分析】（1）根据题中“闭集”的定义，可得﹣1﹣1＝﹣2∉B，进而得出B不是闭集合，（2）由题可知集合A是闭集合，由闭集合的定义可得0﹣y＝﹣y∈A，进而得出x﹣（﹣y）＝x+y∈A，（3）根据闭集合的定义可得x∈A⇒x﹣1∈A⇒∈A，∈A⇒﹣∈A，即∈A⇒x（x﹣1）∈A⇒x（x﹣1）+x∈A，即x2∈A，得证．【解答】解：（1）因为﹣1﹣1＝﹣2∉B，所以B＝{﹣1，0，1}不是闭集合，（2）证明：因为集合A是闭集合，所以0﹣y＝﹣y∈A，故x﹣（﹣y）＝x+y∈A，（3）因为x∈A，所以x﹣1∈A，所以∈A，∈A，所以﹣∈A，即∈A，所以x（x﹣1）∈A，所以x（x﹣1）+x∈A，即x2∈A，得证．所以命题“若x∈M，则x2∈M”的为真命题．【点评】本题考查集合的新定义“闭集“，解题关键是充分理解闭集的定义，属于中档题．。

上海市第二中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题

上海市第二中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题

绝密★启用前上海市第二中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11a b< C ．2a ab > D ．22a b > 2．为了得到函数2sin()36x y π=+的图像，只需把函数2sin y x =的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； B ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； C ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍； D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍 3．函数22()1x f x x =+，则111(1)(2)(2017)()()()232017f f f f f f ++⋅⋅⋅+++的值为（ ） A ．120162B ．120152C ．120142D ．1201324．已知函数 的定义域为 的偶函数, 当 时,, 若关于的方程 有且仅有 个不同的实数根, 则实数 的取值范围是（ ）C ．D ．第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合22{|}0M x x x -=≤，3{|0}1x N x x+=≥-，全集U =R ，则()U M N =ð________6．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________7．函数()y f x =的反函数是12sin8()log (cos )8f x x ππ-=-，则方程()1f x =的解是________8．二项式的展开式中，含 的项的系数是___________.9．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 10．某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示） 11．若221xy+=，则x y +的取值范围是 .12．在ABC △中，若60B ︒=，2AB =，AC =则ABC △的面积是________． 13．函数2()23=-+f x x x ，若()f x a -＜2恒成立的充分条件是12x ≤≤，则实数a 的取值范围是______．14．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ．15．已知函数 在 上的最大值为 ，则 的最小值为__________． 16．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题，其中真命题的序号是_______.①0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ②方程()()0f x kx b k =+≠一定有解；③如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；…………外………订…………○_______考号：__________…………内………订…………○④()y f x =是偶函数且有最小值. 三、解答题17．在ABC ∆中，已知(2)cos cos 0b c A a C --=； （1）求角A ； （2）若a =ABC S ∆，判断ABC ∆的形状； 18．如图，三棱锥A BCD -中，BCD ∆为等边三角形，,AC AD E =为CD 的中点（1）求证：CD ⊥平面ABE ；（2）设3,2AB CD ==，若AE BC ⊥，求三棱锥A BCD -的体积.19．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”；（1）设()2xf x m =+是定义在[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（2）设12()423x x f x m m +=-⋅+-为R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；20．如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且12n n na S +=（*n N ∈），数列{}n b 满足112b =，214b =，对任意*n N ∈，都有212n n n b b b ++=⋅； （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122n n nT ab ab ab =++⋅⋅+，若对任意的*n N ∈，不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案1．D【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当,a b 都是负数时， ,,A B C 都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数2xy =是增函数，故D 是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】 【分析】根据函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】把函数y ＝2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，可得函数y ＝2sin （x 6π+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y ＝2sin （36x π+），x ∈R 的图象， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，属于中档题． 3．A 【解析】 【分析】先求出222211()()1111x x f x f x x x+=+=++，由此即可求出和式. 【详解】因为222211()()1111x x f x f x x x +=+=++，所以111(1)(1)(2)()(3)()(2017)()1232017f f f f f f f f +=+=+==+= 111(1)(2)(2017)()()()232017f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1111(1)((2)())((3)())((2017)())20162320172f f f f f f f =+++++++= 故选：A 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，关键是能够通过函数自变量的变化规律，推导出1()()1f x f x+=，属于基础题.4．C 【解析】试题分析：由题意 在上是递增，在上递减，当时函数取得最大值；当时，取得极小值．要使关于的方程有且仅有 个不同的实数根，设 ，则必有两个根，则有两种情况符合题意：（１），此时；（２），此时同理可得．综合可得 的取值范围．故选C.考点：分段函数；函数的图象．【易错点睛】本题主要考查了分段函数与复合函数的应用，函数的图象，函数与方程的关系，函数的单调性等知识点．本题由给定的关于 的方程有六个根可知方程有两个解，根据根的范围分两种情况，可得每种情况下 的范围，最后可得 的范围．本题考查了知识点较多，逻辑能力，分析能力等能力也进行着重的考查．本题属于难题． 5．[3,0)- 【解析】【分析】分别计算出几何M ，N ，求出U M ð，根据交集的概念进行运算即可. 【详解】{}2{|20}=02M x x x x x =-≤≤≤，{}3{|0}311x N x x x x+=≥=-≤<-， {}02U M x x x =或ð，{}()30U M N x x ⋂=-≤<ð故答案为：[3,0)- 【点睛】本题考查集合的交集与补集，属于基础题. 6．±1 【解析】 【分析】由二倍角公式化简函数得1()sin 22f x ax =，代入周期计算公式2T ωπ=即可求得a .【详解】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a ππ==，解得1a =±. 故答案为：±1 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦函数周期计算公式2T ωπ=，属于基础题.7．2x = 【解析】 【分析】首先求出1(1)2f -=，再根据原函数与反函数图像关于直线y x =对称可知(2)1f =. 【详解】因为122sin sin88(1)log (1cos)logsin 288f ππππ-=-==，所以点(2,1)在()f x 的图像上，即(2)1f =.故答案为：2x = 【点睛】本题考查两个互为反函数的图像的对称性，同角三角函数的平方关系，属于基础题. 8． 【解析】试题分析：利用二项展开式通项公式可得，，令 ，可得 ，代入可得所求系数为 ． 考点：二项展开式通项公式． 9．15π 【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质． 10．【解析】试题分析：这属于古典概型，从10人中任选2人共有 种选法，而2人为同一血型的选法数为 ，因此所求概率为．考点：古典概型． 11．(],2-∞- 【解析】试题分析：因为221xy+=，所以41)222(222=+≤⋅y x yx （当且仅当2122==y x 时取等号），即412≤+y x ，即2-≤+y x ；故填(],2-∞-． 考点：1.基本不等式；2.指数式的运算法则．12．【解析】【分析】根据余弦定理求BC ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,所以2211242228042BC BC BC BC BC =+-⨯⋅⋅--=∴=，（负值舍去）因此ABC △的面积是11sin 4222BC AB B ⋅⋅=⨯⨯=故答案为【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 13．1＜a ＜4 【解析】 【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】∵|f （x ）﹣a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2， ∴当1≤x ≤2时，|f （x ）﹣a |＜2恒成立， 即﹣2＜f （x ）﹣a ＜2， ∴a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立， ∵1≤x ≤2， ∴2≤f （x ）≤3，∴要使a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立，则2322a a +>⎧⎨-<⎩， 即14a a >⎧⎨<⎩， ∴1＜a ＜4， 故答案为1＜a ＜4 【点睛】（1）本题主要考查充分条件，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立.14 【解析】此题考查三角函数最值问题的求法、诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向应用、两角和的正弦公式的逆向应用、三角函数的有界性的应用; 求三角函数的值域的类型有：（1）形如2222()sin sin sin cos cos sin cos cos (,,0)f x A x B x C A x B x C A x B x C A x B x C A B C =++=++=++=++≠sin cos (sin cos )A x x B x x C =+±+这些函数可利用换元法求值域或最值；（2）形如sin cos sin cos ()sin cos cos sin a x a x a x a xf x b x b x b x b x±±±±====±±±±可构造出一个动点和一个定点的斜率求最值或值域；（3）形如()sin cos f x a x b x =+的利用两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用，把函数化成()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+形式求值域；211sin()cos()cos sin )sin cos 2622y x x x x x x x x ππ=+-=+=+=1111cos 2)sin 22sin 2(sin cos 2cos sin 2)sin(2)4423323x x x x x x x πππ+++=+=+； 此题还可以考查求此函数的周期，单调区间以及给定区间上的值域或最值问题，函数的图像平移变换问题； 15．【解析】 试题分析：当时,最大值为；当时,最大值为．故,故当时，有最小值为．考点：分段函数．【易错点睛】本题主要考查了分段函数．解决分段函数求值问题的策略：（1）在求分段函数的值时，一定要首先判断 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．（2）分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．16．②④【解析】【分析】①将函数()y f x =表示为分段函数，结合分式型函数的单调性进行判断；②由函数()y f x =是偶函数，在0x >且0k >时，判定函数()y f x =与函数y kx b =+在1x >时有唯一交点，同理得出，当0x <且k 0<时，函数()y f x =与函数y kx b =+在1x <-时有交点，从而可得方程()()0f x kx b b =+≠有解；③求方程()0f x =的解，即可判断出命题③的正误；④利用偶函数的定义判定函数()y f x =为偶函数，再利用绝对值的性质得出()0f x ≥且()00f =，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，当0x >时，(),011,11x x x f x x x x ⎧<<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩. 当01x <<时，()()1111111x x f x x x x -+=-=-=-----，则函数()y f x =在()0,1上单调递增，此时，()0f x >，当1x →时，()f x →+∞，当1x >时，()()1111111x x f x x x x -+===+---，则函数()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以，当0x >时，函数()y f x =不单调且没有最值，命题①错误；对于命题②，当0x >时，(),011,11x x x f x x x x ⎧<<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，当1x >时，()1x f x x =-， 当0k >时，构造函数()1111x g x kx b kx b x x =+-=+----， 则函数()y g x =在()1,+∞上单调递增，当1x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以，函数()y g x =在()1,+∞上有且只有一个零点，即当0k >时，方程()f x kx b =+在()1,+∞上有解.函数()y f x =的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，()()11x x f x f x x x --===---，则函数()y f x =为偶函数，同理可知，当k 0<时，方程()f x kx b =+在(),1-∞-上有解.所以，命题②正确；对于命题③，当0k =时，令()0f x =，解得0x =，则命题③错误；对于命题④，由②可知，函数()y f x =是偶函数，由绝对值的性质可知()0f x ≥且()00f =，则函数()y f x =为偶函数且最小值为0，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④.故答案为：②④.【点睛】本题考查与函数基本性质相关的命题真假的判断，涉及单调性、奇偶性、零点的存在性以及最值问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.17．（1）3π；（2）等边三角形； 【解析】【分析】(1)利用正弦定理进行边化角可得sin (2cos 1)0B A -= ，则1cos 2A =，求得3A π=； (2)由余弦定理可求得2()33b c bc +=+，再由三角形面积可求得3bc =，两式联立即可求得b c ==3A π=，可判断三角形为等边三角形.【详解】 (1)2sin cos (sin cos sin cos )0B A C A A C -+=，化简得sin (2cos 1)0B A -=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A -=0，1cos 2A =，由(0,)A π∈知3A π=； (2) 2221cos 22b c a A bc +-==可得223b c bc +-=，2()33b c bc +=+①，1sin 2ABC S bc A ∆==，解得3bc =②，代入①式可得b c +=联立②③可得b c ==3A π=，所以三角形为等边三角形.【点睛】本题考查正弦定理用于边化角，余弦定理及三角形面积公式，属于基础题.18．(1)见解析 【解析】【分析】（1）推导出BE ⊥CD ，AE ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABE ．（2）推导出AE ⊥平面BCD ，由此能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积．【详解】（1）∵三棱锥A ﹣BCD 中，△BCD 为等边三角形，AC ＝AD ，E 为CD 的中点，∴BE ⊥CD ，AE ⊥CD ，又AE ∩BE ＝E ，∴CD ⊥平面ABE ．（2）由（1）知AE ⊥CD ，又AE ⊥BC ，BC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面BCD ，∵AB ＝3，CD ＝2，∴EB EA ，∴三棱锥A ﹣BCD 的体积：11122332BCD V S AE =⨯⨯=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（1）5[,1]4--；（2）[1； 【解析】【分析】(1) 由题意知当[1,1]x ∈-时，方程2(22)x x m -=-+有解，令1()(2)2x x g x =-+([1,1]x ∈-)，判断函数的单调性求出()g x 的值域，从而求得m 的取值范围；(2) 由题意知存在x ∈R ，满足()()f x f x -=-，等价于方程2211(2)2(2)28022x x x x m m +-++-=有解，令1222x x t =+≥，则由方程方程222280t mt m -+-=有解可求出m 的取值范围. 【详解】 (1)由题意知存在[1,1]x ∈-使得2(2)x x m m -+=-+成立，则当[1,1]x ∈-时，方程 2(22)x x m -=-+有解，令1()(2)2x x g x =-+([1,1]x ∈-)， 令2x t =，则11()()([,2])2g t t t t =-+∈，()g t 在区间1[,1]2上单调递增，(1,2]上单调递减， 且15()(2)22g g ==-，(1)2g =-，所以5()[,2]2g t ∈--，方程有解则52[,2]2m ∈--，5[,1]4m ∈--；(2)由题意知存在x ∈R ，使1212(423)423x x x x m m m m +--+--⋅+-=-⋅+-， 化简得21142(2)26042x x x x m m +-++-=， 2211(2)2(2)28022x x x x m m +-++-=， 令1222x x t =+≥，当且仅当0x =时取等号， 则当2t ≥时，方程222280t mt m -+-=有解，等价于函数22()228h t t mt m =-+-在区间[2,)+∞上有零点，则 (2)0h ≤或2(2)00m h ≥⎧⎪≥⎨⎪∆≥⎩，解得[1m ∈.【点睛】本题考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解得问题去解决是解决本题的关键，考查了函数与方程的综合运用，对勾函数的单调性，指数函数的图像与性质，二次函数的图像与几何性质，属于中档题. 20．（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.【解析】解：（1）138t =． 记乙到C 时甲所在地为D ，则15D 8A =千米． 在CD ∆A 中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ，所以()1CD f t ==. （2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时．当13788t t =≤≤时， ()f t == 当718t ≤≤时，()55f t t =-. 所以.因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是，()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是341，不超过3. 考点：余弦定理21．（1）n a n =，1()2n n b =；（2）[1,)+∞； 【解析】【分析】(1)利用12n n na S +=，再写一式，两式相减，再利用累乘法即可求数列{}n a 的通项公式；由题意判断数列{}n b 为等比数列，直接写出通项公式； (2)利用错位相减法求数列的和，在将不等式转化为2(1)(12)60n n λλ-+--<恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围.【详解】(1)因为12n n na S +=，所以当2n ≥时，1(1)2n n n a S --=，两式相减得1(1)2n n n na n a a +--=，所以1(1)n n na n a +=+，即1(1)n n a n a n++=， 所以321121n n n a a a a a n a a a -=⨯⨯⨯⨯=(2)n n N *≥∈且， 11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =()n *∈N .由题意知{}n b 是以12为首项，12为公比的等比数列，所以1()2n n b =()n *∈N . (2)因为2311122111112()3()(1)()()22222n n n n n T a b a b a b n n -=++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯++-⨯+⨯①， 所以23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⨯++-⨯+⨯②， 由①-②得23111111112()()()()()12222222n n n n n T n +++=++++-⨯=- 所以222n n n T +=-. 又(1)2n n n S +=，所以不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+>+ 即为2(1)3(2)2()222n n n n n n n n λλ++-+<+，即2(1)(12)60n n λλ-+--<恒成立， 构造函数2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n N ∈），当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=满足条件；当1λ<时，由二次函数性质知不恒成立；当1λ>时，由于1201λλ--<-，则()f n 在[1,)+∞上单调递减，()(1)340f n f λ≤=--<恒成立，则1λ>满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1,)+∞【点睛】本题考查数列递推式，数列的通项公式，错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键，属于较难题.。

2017-2018学年上海市南模中学高三(上)10月月考数学试卷

2017-2018学年上海市南模中学高三(上)10月月考数学试卷

2017－2018学年上海市南模中学高三(上)10月月考数学试卷一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)若α是第四象限角,则所在是象限是第象限.2.(3分)已知集合A＝{x|k＋＜＋,k∈Z},B＝{x|4﹣x2≥0},则A∩B ＝.3.(3分)函数y＝＋的值域为.4.(3分)已知tanα＝2,则sinαcos2α＝.5.(3分)函数f (x)＝＋的单调递增区间为.6.(3分)f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在区间[﹣]上为增函数,则ω的最大值为.7.(3分)有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清,具体如下:“在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a＝,B＝45°,,求角A:“经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A＝60°,试将条件补充完整.8.(3分)函数f(x)＝＋＋＋,f(x)max＝M,f(x)min＝m,则M＋m＝.9.(3分)已知函数f(x)＝sin2x﹣cos2x＋1,若f(x)≥log2t对x∈R恒成立,则t的取值范围为.10.(3分)设a1、a2∈R,且＋＋＋＝,则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于.11.(3分)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣)＝asin(bx＋c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.12.(3分)关于x的方程＝|sin|在[﹣2016,2016]上解的个数为.二、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)13.(3分)在△ABC中,sin2A≤sin2B＋sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是()A.(0,]B.[,π)C.(0,]D.[,π)14.(3分)把y＝(cos2x﹣sin2x)的图象平移后得到y＝sin2x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位15.(3分)函数y＝﹣的图象按向量＝(1,0)平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的橫坐标之和等于()A.2B.4C.6D.816.(3分)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有()A.f(sin2x)＝sinxB.f(sin2x)＝x2＋xC.f(x2＋1)＝|x＋1|D.f(x2＋2x)＝|x＋1|三、解答题(共5小题,满分0分)17.已知函数f(x)＝cos2x﹣sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.18.设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小周期;(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x＋)＝g(x),且当x∈[0,]时,g(x)＝﹣f(x).求函数g(x)在[﹣π,0]上的解析式.19.如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的A点处,乙船在中间B点处,丙船在最后面的C点处,且BC:AB＝3:1.一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得∠APB＝30°,∠BPC＝90°.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)20.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC的外面种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC＝a,∠ABC＝θ,设△ABC 的面积为S1,正方形的面积为S2.(1)用a,θ表示S1和S2;(2)当a固定,θ变化时,求取最小值时的角.21.已知函数y＝f(x),x∈D,y∈A;g(x)＝x2﹣(4)x＋1,(1)当f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数时,求φ的值.(2)当f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x＋)时,g(x)在A上是单调递增函数,求θ的取值范围.(3)当f(x)＝a1sin(ωx＋φ1)＋a2sin(ωx＋φ2)＋…＋a n sin(ωx＋φn)时,(其中a i∈R,i＝1,2,3…n,ω＞0),若f2(0)＋f2()≠0,且函数f(x)的图象关于点(,0)对称,在x＝π处取得最小值,试探讨ω应该满足的条件.2017－2018学年上海市南模中学高三(上)10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)若α是第四象限角,则所在是象限是第一或三象限.【考点】G3:象限角、轴线角.【分析】用不等式表示第四象限角α,再利用不等式的性质求出满足的不等式,从而确定角的终边在的象限.【解答】解:∵α是第四象限角,∴＋2kπ＜α＜2π＋2kπ,k∈Z,∴＋kπ＜＜π＋kπ,k∈Z,∴＋kπ＜﹣＜＋kπ,k∈Z,当k为偶数时,属于第一象限,当k为奇数时,属于第三象限,故答案为:一或三【点评】本题考查象限角的表示方法,不等式性质的应用,通过角满足的不等式,判断角的终边所在的象限.2.(3分)已知集合A＝{x|k＋＜＋,k∈Z},B＝{x|4﹣x2≥0},则A∩B＝{x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜} .【考点】1E:交集及其运算.【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A∩B.【解答】解:集合A＝{x|k＋＜＋,k∈Z},B＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2},则A∩B＝{x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜}.故答案为:{x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜}.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.3.(3分)函数y＝＋的值域为[,2] .【考点】34:函数的值域.【分析】把已知函数解析式变形,分离常数,可得y＝＋,由cosx的范围得答案.【解答】解:y＝＋＝＋＋＝＋.∵﹣1≤cosx≤1,∴2≤cosx＋3≤4,∴＋[],则＋∈[,2].故答案为:[,2].【点评】本题考查函数值域的求法,训练了利用分离参数法求解函数值域,是中档题.4.(3分)已知tanα＝2,则sinαcos2α＝±.【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.【分析】根据同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,分类讨论求得要求式子的值.【解答】解:∵tanα＝＝2,∴α为第一象限角或α为第三象限角,再根据sin2α＋cos2α＝1,若α为第一象限角,则sinα＝,cosα＝,则sinαcos2α＝•＝.若α为第三象限角,则sinα＝﹣,cosα＝﹣,则sinαcos2α＝﹣•＝﹣,故答案为:±.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.5.(3分)函数f (x)＝＋的单调递增区间为＋,k ∈Z.【考点】4K:对数函数的定义域;HA:余弦函数的单调性.【分析】利用复合函数的单调性的规律:同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性,利用三角函数的单调性的处理方法:整体数学求出单调区间.【解答】解:∵y＝log0.5t为减函数,所以函数f (x)＝＋的单调递增区间为即为＝＋单调减区间且＝＋＞令＜＋＜＋解得＜＜＋故答案为＋(k∈Z)【点评】本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法.6.(3分)f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在区间[﹣]上为增函数,则ω的最大值为.【考点】HW:三角函数的最值.【分析】由题意可得可得﹣•2ω≥2kπ﹣,且•2ω≤2kπ＋,k∈z,求得ω的最大值.【解答】解:∵f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在区间[﹣]上为增函数,可得﹣•2ω≥2kπ﹣,且•2ω≤2kπ＋,k∈z,求得ω≤,故ω的最大值为,故答案为:.【点评】本题主要考查求正弦函数的单调性,属于基础题.7.(3分)有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清,具体如下:“在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a＝,B＝45°,c＝＋,求角A:“经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A＝60°,试将条件补充完整.【考点】HU:解三角形的实际应用.【分析】先把A＝60°当做已知条件根据正弦定理计算出b,c,然后把b,c当做已知条件利用正弦定理解出A进行验证.【解答】解:∵A＝60°,B＝45°,∴C＝75°.由正弦定理得＝,即＝＝,解得b＝,c＝＋.若条件为b＝,则由正弦定理得＝,解得sinA＝,∴A＝60°或A＝120°,答案不唯一,不符合题意.故答案为:c＝＋.【点评】本题考查了正弦定理,解三角形,属于中档题.8.(3分)函数f(x)＝＋＋＋,f(x)max＝M,f(x)min＝m,则M＋m＝2.【考点】3H:函数的最值及其几何意义.【分析】利用分离法化简f(x),构造函数g(x),讨论g(x)的奇偶性,求解最值,即可求解M＋m的值.【解答】解:函数f(x)＝＋＋＋＝1＋＋＋,令函数g(x)＝＋＋的最大值为N,最小值为n,那么f(x)max＝1＋N＝M,f(x)min＝1＋n＝m,∵g(﹣x)＝﹣＋＋＝﹣g(x),则函数g(x)是奇函数,∴n＋N＝0.则M＋m＝2.故答案为:2.【点评】本题主要考查函数最值的求解,根据分离后构造新函数,求解最值是解决本题的关键.9.(3分)已知函数f(x)＝sin2x﹣cos2x＋1,若f(x)≥log2t对x∈R恒成立,则t的取值范围为(0,1] .【考点】GQ:两角和与差的正弦函数.【分析】先化简函数解析式,f(x)≥log2t恒成立,只需求出f(x)的最小值大于log2t,求出t的范围即可.【解答】解:f(x)＝sin2x﹣cos2x＋1＝sin(2x﹣)＋1,函数f(x)＝sin(2x﹣)＋1的最小值为:0,若f(x)≥log2t恒成立,只需0≥log2t恒成立,所以t∈(0,1].所以t的取值范围:(0,1].故答案为:(0,1].【点评】本题是基础题,考查三角函数的基本性质,三角函数的化简,恒成立问题的应用,考查计算能力,逻辑推理能力,属于常考题型、基本知识的考查.10.(3分)设a1、a2∈R,且＋＋＋＝,则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于.【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】由题意,要使＋＋＋＝2,可得sinα1＝﹣1,sin2α2＝﹣1.求出α1和α2,即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解:根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[﹣1,1],要使＋＋＋＝2,∴sinα1＝﹣1,sin2α2＝﹣1.则:＝＋,k1∈Z.＝＋,即＝＋,k2∈Z.那么:α1＋α2＝(2k1＋k2)π,k1、k2∈Z.∴|10π﹣α1﹣α2|＝|10π＋﹣(2k1＋k2)π|的最小值为.故答案为:.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.11.(3分)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣)＝asin(bx＋c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为4.【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解:∵对于任意实数x都有2sin(3x﹣)＝asin(bx＋c),∴必有|a|＝2,若a＝2,则方程等价为sin(3x﹣)＝sin(bx＋c),则函数的周期相同,若b＝3,此时C＝,若b＝﹣3,则C＝,若a＝﹣2,则方程等价为sin(3x﹣)＝﹣sin(bx＋c)＝sin(﹣bx﹣c),若b＝﹣3,则C＝,若b＝3,则C＝,综上满足条件的有序实数组(a,b,c)为(2,3,),(2,﹣3,),(﹣2,﹣3,),(﹣2,3,),共有4组,故答案为:4.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.12.(3分)关于x的方程＝|sin|在[﹣2016,2016]上解的个数为4031.【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题,作出两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可得到结论.【解答】解:y＝＝＜＜＜＜＞,作函数y＝与y＝|sinπx|在[﹣2016,2016]上的图象如下,由图象知函数y＝|sin|的周期是2,两个函数都关于x＝1对称,当x≤0时,两个函数在每个周期内都有两个交点,此时在[﹣2016,0]内有1008×2＝2016个交点,在[0,2]内两个函数只有一个交点,当x≥2时,两个函数在每个周期内都有两个交点,此时在[2,2016]内有1007×2＝2014个交点,则在[﹣2016,2016]上解的个数为2016＋1＋2014＝4031,故答案为:4031【点评】本题主要考查方程根式的个数的求解,利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数,利用数形结合进行求解是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.二、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)13.(3分)在△ABC中,sin2A≤sin2B＋sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是()A.(0,]B.[,π)C.(0,]D.[,π)【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围,进而求得A的范围.【解答】解:由正弦定理可知a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC,∵sin2A≤sin2B＋sin2C﹣sinBsinC,∴a2≤b2＋c2﹣bc,∴bc≤b2＋c2﹣a2∴cosA＝＋≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是(0,]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.作为解三角形中常用的两个定理,考生应能熟练记忆.14.(3分)把y＝(cos2x﹣sin2x)的图象平移后得到y＝sin2x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【考点】HJ:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换.【分析】化函数y为正弦型函数,再根据函数图象平移法则得出答案.【解答】解:函数y＝(cos2x﹣sin2x)＝cos2x﹣sin2x＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin(2x＋)＝sin2(x＋),把函数y＝(cos2x﹣sin2x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin2x的图象.故选:A.【点评】本题考查了三角函数的图象平移问题,也考查了三角恒等变换问题,是中档题.15.(3分)函数y＝﹣的图象按向量＝(1,0)平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的橫坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8【考点】HJ:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换.【分析】y1＝的图象由奇函数y＝﹣的图象向右平移1个单位而得,所以它的图象关于点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数y2＝2sinπx 的图象的一个对称中心也是点(1,0),故交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.【解答】解:函数y＝﹣的图象按向量＝(1,0)平移之后得到函数y1＝,y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图:当1＜x≤4时,y1＜0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在(1,)和()上是减函数;在()和(,4)上是增函数.∴函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E、F、G、H,相应地,y1在(﹣2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A、B、C、D,且:x A＋x H＝x B＋x G═x C＋x F＝x D＋x E＝2,故所求的横坐标之和为8,故选:D.【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,讨论函数y2＝2sinπx 的单调性找出区间(1,4)上的交点个数是本题的难点所在.16.(3分)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有()A.f(sin2x)＝sinxB.f(sin2x)＝x2＋xC.f(x2＋1)＝|x＋1|D.f(x2＋2x)＝|x＋1|【考点】31:函数的概念及其构成要素.【分析】利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.【解答】解:A.取x＝0,则sin2x＝0,∴f(0)＝0;取x＝,则sin2x＝0,∴f(0)＝1;∴f(0)＝0,和1,不符合函数的定义;∴不存在函数f(x),对任意x∈R都有f(sin2x)＝sinx;B.取x＝0,则f(0)＝0;取x＝π,则f(0)＝π2＋π;∴f(0)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;C.取x＝1,则f(2)＝2,取x＝﹣1,则f(2)＝0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;D.令x＋1＝t,则f(x2＋2x)＝|x＋1|,化为f(t2﹣1)＝|t|;令t2﹣1＝x,则t＝±＋;∴＝＋;即存在函数f(x)＝＋,对任意x∈R,都有f(x2＋2x)＝|x＋1|;∴该选项正确.故选:D.【点评】本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.三、解答题(共5小题,满分0分)17.已知函数f(x)＝cos2x﹣sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间;(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解:(1)函数f(x)＝cos2x﹣sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ﹣π≤2x≤2kπ,解得kπ﹣π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π);(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2﹣2bccosA,化为c2﹣5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.18.设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小周期;(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x＋)＝g(x),且当x∈[0,]时,g(x)＝﹣f(x).求函数g(x)在[﹣π,0]上的解析式.【考点】H1:三角函数的周期性及其求法;HK:由y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.【分析】(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期.(2)当x∈[0,]时,g(x)＝﹣f(x).在讨论x∈[,0]时,g(x)的解析式,在函数g(x)在[﹣π,0]上的解析式.【解答】解:(1)函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x化简可得:f(x)＝(cos2xcos﹣sin2xsin＋sin2x)＝cos2x﹣sin2x＋cos2x＝﹣sin2x∴函数f(x)的最小周期T＝＝;(2)当x∈[0,]时,g(x)＝﹣f(x).即g(x)＝sin2x)＝sin2x.当x∈[﹣,0]时,由于g(x＋)＝g(x),则(x＋)∈[0,]那么:g(x)＝sin2(x＋)＝sin2x.当x∈[﹣π,﹣]时,则(x＋π)∈[0,]可得:g(x)＝sin2(x＋π)＝sin2x.＜∴函数g(x)在[﹣π,0]上的解析式为f(x)＝【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,以及分段函数的解析式的求法.利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于中档题.19.如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的A点处,乙船在中间B点处,丙船在最后面的C点处,且BC:AB＝3:1.一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得∠APB＝30°,∠BPC＝90°.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)【考点】HU:解三角形的实际应用.【分析】(1)利用正弦定理,即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;(2)若此时甲、乙两船相距100米,由余弦定理求无人机到丙船的距离.【解答】解:(1)在△APB中,由正弦定理,得,＝＝,在△BPC中,由正弦定理,得＝＝,又＝,sin∠ABP＝sin∠CBP,故＝.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.(2)由BC:AB＝3:1得AC＝400,且∠APC＝120°,由(1),可设AP＝2x,则CP＝3x,在△APC中,由余弦定理,得160000＝(2x)2＋(3x)2﹣2(2x)(3x)cos120°,解得,即无人机到丙船的距离为＝＝≈275米.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查正弦定理、余弦定理的运用,属于中档题.20.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC的外面种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC＝a,∠ABC＝θ,设△ABC 的面积为S1,正方形的面积为S2.(1)用a,θ表示S1和S2;(2)当a固定,θ变化时,求取最小值时的角.【考点】HO:已知三角函数模型的应用问题;HW:三角函数的最值.【分析】(1)据题知三角形ABC为直角三角形,根据三角函数分别求出AC和AB,求出三角形ABC的面积S1;设正方形PQRS的边长为x,利用三角函数分别表示出BQ 和RC,利用BQ＋QR＋RC＝a列出方程求出x,算出S2;(2)由比值称为“规划合理度”,可设t＝sin2θ来化简求出S1与S2的比值,利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,AB＝acosθ,AC＝asinθ,＝＝(3分)设正方形的边长为x则＝＝,由BP＋AP＝AB,得＋＝,故＝＋所以＝＝＋(6分)(2)＝＋＝＋＝＋＋,(8分)令t＝sin2θ,因为＜＜,所以0＜2θ＜π,则t＝sin2θ∈(0,1](10分)所以＝＋＋＝＝＋＜,所以函数g(t)在(0,1]上递减,(11分)因此当t＝1时g(t)有最小值＝＝,此时＝＝所以当＝时,“规划合理度”最小,最小值为.(12分)【点评】考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力,以及在实际问题中建立三角函数模型的能力.21.已知函数y＝f(x),x∈D,y∈A;g(x)＝x2﹣(4)x＋1,(1)当f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数时,求φ的值.(2)当f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x＋)时,g(x)在A上是单调递增函数,求θ的取值范围.(3)当f(x)＝a1sin(ωx＋φ1)＋a2sin(ωx＋φ2)＋…＋a n sin(ωx＋φn)时,(其中a i∈R,i＝1,2,3…n,ω＞0),若f2(0)＋f2()≠0,且函数f(x)的图象关于点(,0)对称,在x＝π处取得最小值,试探讨ω应该满足的条件.【考点】HM:复合三角函数的单调性;GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)根据函数f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数,可得sin(x＋φ)＝sin(﹣x＋φ),化简为cosφ＝0,可得φ的值.(2)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x＋α)∈[﹣],可得A,再根据g(x)的解析式结合题意可得tanθ≤﹣,由此可得θ的取值范围.(3)由于f(x)的解析式以及f2(0)＋f2()≠0,可得f(x)＝msinωx＋ncosωx＝＋sin(ωx＋φ),且m2＋n2≠0.由函数f(x)的图象关于点(,0)对称,可得ω＋φ＝kπ,k∈z ①.又函数f(x)在x＝π处取得最小值,可得ωπ＋φ＝2k′π＋,k′∈z ②.由①②可得ω 满足的条件.【解答】解:(1)因为函数f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数,所以,sin(x＋φ)＝sin(﹣x＋φ),化简为2sinxcosφ＝0,∴cosφ＝0,所以φ＝kπ＋,k∈z.(2)∵函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x＋)＝sin2x＋2cos2x＝sin(2x＋α)∈[﹣],其中,sinα＝,cosα＝,所以A＝[﹣].g(x)＝x2﹣(4tanθ)x＋1＝＋1﹣28tan2θ,由题意可知:2tanθ≤﹣,tanθ≤﹣,∴kπ﹣≤θ≤kπ﹣arctan,k∈z,即θ的取值范围是[kπ﹣,kπ﹣arctan],k∈z.(3)由于f(x)＝a1sin(ωx＋φ1)＋a2sin(ωx＋φ2)＋…＋a n sin(ωx＋φn)＝a1 (sinωxcosφ1 ＋cosωxsinφ1)＋a2 (sinωxcosφ2 ＋cosωxsinφ2)＋…＋a n (sinωxcosφn＋cosωxsinφn )＝sinωx (a1•cosφ1＋a2•cosφ2＋…＋a n•cosφn)＋cosωx(a1•sinφ1＋a2•sinφ2＋…＋a n•sinφn).∵f2(0)＋f2()≠0,∴a1•cosφ1＋a2•cosφ2＋…＋a n•cosφn ＝0与a1•sinφ1＋a2•sinφ2＋…＋a n•sinφn ＝0 不能同时成立.不妨设a1•cosφ1＋a2•cosφ2＋…＋a n•cosφn ＝m,a1•sinφ1＋a2•sinφ2＋…＋a n•sinφn ＝n,则f(x)＝msinωx＋ncosωx＝＋＝sin(ωx＋φ),且m2＋n2≠0.由函数f(x)的图象关于点(,0)对称,可得sin(ω＋φ)＝0,故ω＋φ＝kπ,k∈z ①.又函数f(x)在x＝π处取得最小值,∴sin(ωπ＋φ)＝﹣1,∴ωπ＋φ＝2k′π＋,k′∈z ②.由①②可得,ω＝(4k′﹣2k)＋3.由于k和k′都是整数,故4k′﹣2k为偶数,∴ω＝2h＋1,h∈N*.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换和化简求值,复合三角函数的单调性和对称性,属于中档题.。

2017-2018年上海市位育中学高三上10月月考

2017-2018年上海市位育中学高三上10月月考

18. 已知ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 满足下列等式： sin B sin C sin A(cos B cosC) ； （1） 求 A 的度数； （2） 若 ABC 面积为 4，求ABC 的周长的最小值；
19.（1）a 取何值时，方程sin2 x 2sin x cos x cos2 x a（ x [0,]）无解？有一解？有两解？有三解？
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研
究函数 f (x) 1 sin x 1 sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]的草图；
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20.
已知
f (x) loga
1
mx
是奇函数（其中
a
0
，
a
1）；
x 1
（1） 求 m 的值；
值范围；
第 3页
微信公众号：一站升学 参考答案
一. 填空题
1. [0,1]
2. 3 5
3. ( 2k, 7 2k)(k Z )
6
6
5. [0,1]
6.
f 1 (x)
1
log3
x
1,
x
[ ,1] 3
7. 2 2 2
9. 6
10. (2,3]
11.
11 (,)
32
12. 1 或 3
4. 2
8. a 4
22
2
5. 设 A {x || x a | 2}， B {x | 2x 1 1} ，若 A B ，则 a 的取值范围是 x2
6. 函数 y 3x2 1 （ 1 x 0 ）的反函数是
7. 已知 x 0 ， y 0 ， 1 2 1 ，则 x y 的最小值为 x y 1
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位育中学高三月考数学试卷
2017.10
一. 填空题
1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =
2. 已知1tan 3
α=-，则sin 2α= 3. 函数
y =
的定义域是
4. 函数()cos (sin
)2
22
x x x
f x =-的最小正周期是 5. 设{|||2}A x x a =-<，21
{|1}2
x B x x -=<+，若A B ⊆，则a 的取值范围是 6. 函数2
1
3x
y -=（10x -≤≤）的反函数是
7. 已知0x >，0y >，
1211
x y +=+，则x y +的最小值为 8. 若212
log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是
9. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示a 、
b 中的最小值，则实数t =
10. 已知函数1
()42
x
x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
11. 在锐角ABC ∆中，2A B ∠=∠，B ∠、C ∠的对边长分别是b 、c ，则b
b c
+的取值范围是
12. 在三角形ABC 中，若2
20AB BC AB ⋅+=，且2b =，一个内角为30°，则ABC ∆的面积为
二. 选择题
13. 函数41
()2x x
f x +=的图像（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于直线y x =对称
C. 关于x 轴对称
D. 关于y 轴对称
14. 若0x 是方程1
31()2
x
x =的解，则0x 属于区间（ ）
A. 2(,1)3
B. 12(,)23
C. 11(,)32
D. 1(0,)3
15. 已知函数()3sin()6
f x x π
ω=-
（0ω>）和()3cos(2)g x x ϕ=+的图像的对称中心完
全相同，若[0,]2
x π
∈，则()f x 的取值范围是（ ）
A. 3[,3]2-
B. 3[,3]2
C. 3[,1]2
- D. [2,3]-
16. 已知函数2
1()log ()2
a f x ax x =-+（0a >且1a ≠）在[1
,3]上恒正，则实数a 的取值范围为（ ） A. 18
3(,)(,)292
+∞ B. 3(,)2+∞ C. 18
(,)29 D. 13(,)22
三. 解答题
17. 已知函数()||f x x a =-，2()21g x x ax =++（a 为正常数），且函数()f x 与()g x 的图像在y 轴上的截距相等； （1）求a 的值；
（2）若()()h x f x =+b 为常数），试讨论函数()h x 的奇偶性；
18. 已知ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 满足下列等式：sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+；
（1）求A 的度数；
（2）若ABC ∆面积为4，求ABC ∆的周长的最小值；
19.（1）a 取何值时，方程22sin 2sin cos cos x x x x a +-=（[0,]x π∈）无解？有一解？有两解？有三解？
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的
探究顺序，研究函数()f x 并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图；
20. 已知1()log 1
a mx
f x x -=-是奇函数（其中0a >，1a ≠）； （1）求m 的值；
（2）讨论()f x 的单调性；
（3）当()f x 的定义域区间为(1,2)a -时，()f x 的值域为(1,)+∞，求a 的值；
21. 已知函数421
()421
x x x x k f x +⋅+=++；
（1）若对任意的x R ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若()f x 的最小值为3-，求实数k 的值；
（3）若对任意实数1x 、2x 、3x ，均存在以1()f x 、2()f x 、3()f x 为三边边长的三角形，求实数k 的取值范围；
参考答案
一. 填空题
1. [0,1]
2. 35
- 3. 7
(2,2)()66
k k k Z π
πππ-
++∈ 4. 2π
5. [0,1]
6. 11
()[,1]3
f x x -=∈ 7. 2+ 8. 4a >
9. 6 10. (2,3] 11. 11(,)32
12. 1
二. 选择题
13. D 14. C 15. A 16. B
三. 简答题
17.（1）1a =；（2）1b =-时，()h x 为奇函数；1b =时，()h x 为偶函数；1b ≠±时，()h x 为非奇非偶函数；
18.（1）2
A π
=
；（2）4+
19.（1）(,(2,)a ∈-∞+∞时，无解；a =
(1)(1,2)a ∈--时，有两解；1a =-时，有三解；
（2）定义域为R ，值域为，周期为π，在[,,]2
k k π
ππ-+为增函数，在[,]2k k π
ππ+
上为减函数，偶函数；
20.（1）1m =-；（2）当01a <<时，()f x 在(,1)-∞-或(1,)+∞上为增函数；当1a >时，
()f x 在(,1)-∞-或(1,)+∞上为减函数；
（3）2a = 21.（1）2k >-；（2）11k =-；（3）1[,4]2
k ∈-；。

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