高中数学(北师大版)必修五教案： 等比数列与等差数列概念及性质对比

等比数列与等差数列概念及性质对比

1．数列的定义

顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．

数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．

数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．

2．等差数列的定义

顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．

这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．

3．等差数列的通项公式

等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．①

这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n 的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．

从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．4．等差中项

A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：

2b

a A +

=，或2 A=a＋b．

显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或

2b

a A +

=）是判断三数a，A，

b成等差数列的一个依据，并且，2A=a＋b（或

2b

a A +

=）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或

2b

a A +

=）可同时判定A是a与b的等差

中项及A 是b 与a 的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a ，A ，b 与等差数列b ，A ，a 不是同一个数列．

5．等差数列前n 项的和

等差数列前n 项和的公式是：()21n n a a n S +=

， ① 或 ()d n n na S n 211-+= ②

公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n 项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．

公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．

公式②中的n S 也可看作关于变量n 的二次式（d ≠0时），其图像是在二次函数：x d a x d y ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=2212的图像上当x 取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n 项和n S 的最大值或最小值问题提供了直观的背景．

6．等比数列的定义

顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．

和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．

7．等比数列的通项公式

等比数列的通项公式是：a n = a 1q n －1． ①

这里，一方面，可将a n 看作是n 的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．

8．等比中项

G 称作a 与b 的等比中项是指三数a ，G ，b ，成等比数列．其数学表示是 ab G ±=，或 G 2=ab ．

显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

9．等比数列前n 项的和

等比数列前n 项和的公式是：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==.111,111q q q a q na S n

n

公式()

q q a S n

n --=111可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．

公式()

q q a S n

n --=111 即()

111--=n n q q a S ． 从函数的观点看，S n 是关于q n 的一次式，

因此点（q n ，S n ）在直线()11

1--=

x q a y 上．