无穷级数的概念和性质
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
无穷级数
第十章 无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散 （6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性 （6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛 （逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
第七章-无穷级数
11
(1 ) ( ) L ( )
2 23
n n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
1 1 n1
故级数收敛,其和为1. (例2解法称为连锁相销法）
例3 讨论几何级数(等比级数)
aqn1 a aq aq2 L aqn1 L
n1
的敛散性.若收敛,则求出其和.u(n 参 aq见n1书P272例1）
其中的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数,
它是一种常见而有实用价值的特殊级数.
(二) 交错级数的莱布尼兹判别法
设un>0，(n=1,2,…)，则称
(1)n1 un u1 u2 u3 u4 L
n1
为交错级数。例如
(1)n1 1
n1
n
等等。
（7.7)
对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱
a n n
a0 1
.
由上面的性质5，级数
un
发散。
n1
例2 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 1
A. 2un 1
B. (un 2) 1
C. 2 un
1
D. un nk
分析与解：注意到已知
un
收敛，由性质2知
1
2un
是收敛的；
1
由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；
n1
aun收敛到aS ;若级数 un 发散，则 aun
n1
n1
n1
也发散。
性质3. 将级数 un 的前面加上(或去掉)有限项， n1
级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）
性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不 变。
12无穷级数的概念与性质
将s2n写成两种形式:
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 )
(u2n1 u2n )
(1)
s2n u1 (u2 u3) (u4 u5 )
(u2n2 u2n1) u2n (2)
由定理的第一个条件：un un1,
由<1>式可知{s2n}是单调增加的；
由<2>式可知s2n<u1.
n1 n(n 1)
证明
n(n 1) (n 1)2
1
1
n(n 1) (n 1)2
1 1 n(n 1) n 1
而级数
1
1 1
1
是发散的；
n1n 1 2 3
n 1
由比较判别法可知,所给级数也发散.
三、正项级数收敛的比值判别法
定理４<达朗贝尔比值判别法> 设 u n为正项级
n 1
数,如果 lim un1 l
其中第n项un叫作级数的一般项或通项.
级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
Sn.即： n Snu 1u2u3 un uk k 1
例如 级数 1 1 1 的 1 2 23 3 4
一般项
un
1 n(n 1)
它的前n项和
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
1 1 1
n(n 1) n n 1
调和级数
1是发散的
;
n1n
p 级数n1n1p也发散 .
(2)当p 1时，
n1n1p
1
(
1 2p
1 3p
)
(41p
1 5p
1 6p
1 7p
)
1
( 8
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数的基本概念与性质
无穷级数的基本概念与性质无穷级数是数学中一种重要且有趣的概念。
它由无穷多个数项按照一定规律相加而构成。
在本文中，我们将详细探讨无穷级数的基本概念与性质。
无穷级数的定义相对简单直观。
给定一列实数 { a_n }_{ n =1 }^{ \infty } ，则无穷级数可以通过将其数项按顺序相加得到。
符号∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 表示这个无穷级数。
然而，要确定无穷级数是否收敛，我们需要引入部分和的概念。
部分和 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 。
如果当 n 增大时，部分和 S_n 的值逐渐趋近于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数 S 收敛，记作S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 。
否则，无穷级数 S 发散。
无穷级数有许多有趣的性质。
首先，我们需要讨论和与部分和之间的关系。
当无穷级数收敛时，我们称之为收敛级数，而它对应的部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 是收敛的。
换句话说，收敛级数的部分和序列趋近于一个有限的数。
一个重要的定理是柯西收敛准则。
柯西收敛准则表明，当且仅当对于任意的正整数 N ，存在正整数 M > N ，使得当 m > n > N 时， | S_m - S_n | < ε ，其中ε > 0 是任意小的正数。
这个定理给出了判断无穷级数收敛与否的充分条件，即无穷级数收敛当且仅当其部分和序列满足柯西收敛准则。
对于收敛级数，我们还可以进行求和的运算。
当无穷级数S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 收敛时，我们可以计算其和。
设 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 收敛到 S ，则我们可以得到以下结论：当 n 趋近于无穷大时， S_n 也趋近于 S 。
无穷级数与收敛半径
无穷级数与收敛半径无穷级数在数学中扮演着重要的角色，它们的理论和应用在各个领域都有广泛的应用。
其中一个关键概念就是收敛半径，它是无穷级数收敛的程度的度量。
本文将介绍无穷级数的定义、性质，并探讨收敛半径的概念及其计算方法。
一、无穷级数的定义与性质无穷级数由一系列具有特定规律的数项组成，形如：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中a₁, a₂, a₃, ...是一系列实数或复数，称为级数的项。
级数的部分和是指取前n个项之和，即Sn = a₁ + a₂ + ... + aₙ。
对于级数S，如果存在一个数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n > N时，|Sn - L| < ε成立，则称级数S收敛于L。
如果不存在这样的数L，则称级数S发散。
收敛级数有一些重要性质。
首先，收敛级数的项必定趋于零。
其次，对于收敛的级数，其部分和构成的数列是收敛的。
这意味着收敛级数的部分和序列将会趋于一个有限的值。
二、收敛半径的定义与性质对于幂级数∑aₙxⁿ，其中aₙ是系数，x是变量，我们定义一个重要的概念——收敛半径。
收敛半径R以以下方式定义：R = 1 / lim sup(√ⁿᵀʰ aₙ)其中lim sup表示上极限。
该公式给出了一个半径，使得当|x| < R时，幂级数绝对收敛，并且当|x| > R时，幂级数发散。
收敛半径具有以下重要性质。
首先，对于任何收敛半径R，幂级数在区间(-R, R)内都是绝对收敛的。
其次，幂级数在区间外发散，即当|x| > R时，幂级数绝对发散或者发散。
三、计算收敛半径的方法在实际应用中，计算收敛半径是十分重要的。
下面介绍两种常用的判别法来计算收敛半径。
1. 比值法比值法是一种简便的方法，可以快速判断幂级数的收敛半径。
具体步骤如下：首先，计算幂级数的通项极限：ρ = lim|aₙ₊₁ / aₙ|然后，根据以下三种情况进行判断：- 当ρ = 0时，收敛半径为正无穷。
无穷级数的定义及应用
无穷级数的定义及应用无穷级数是数学领域中一个重要的概念，它在多个领域中都有着广泛的应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍无穷级数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、无穷级数的定义无穷级数是由一列实数（或复数）按照一定的规律相加得到的。
它的一般形式可以表示为S=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...，其中a_n表示级数的第n项。
当级数中的各项a_n的和S存在有限的极限时，称该级数收敛；当级数的和S不存在有限的极限时，称该级数发散。
二、无穷级数的性质1. 收敛性：无穷级数的收敛性是判断其是否有意义的重要性质。
常见的判别方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 绝对收敛性：如果一个级数的所有项都是正数，并且这个级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数一定是收敛的，但反之不成立。
3. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的，但不是绝对收敛的，那么称该级数是条件收敛的。
条件收敛的级数可以通过重新排列项的顺序得到不同的和。
4. 收敛级数的和与项的排列顺序无关：对于收敛级数，改变它的项的顺序并不会改变其和。
5. 级数的运算：对于两个级数，可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
三、无穷级数的应用无穷级数在数学中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域。
1. 数学分析中的级数：无穷级数在数学分析中有着重要的地位，它可以用来研究函数的性质，如连续性、可导性、积分等。
级数的收敛性和和函数的性质之间有着紧密的联系。
2. 物理学中的级数：无穷级数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，泰勒级数可以用来近似表示一个函数，从而简化复杂的计算。
在电磁学中，无穷级数可以用来求解电场、磁场等问题。
3. 统计学中的级数：无穷级数在统计学中也有一定的应用。
例如，在概率论中，无穷级数可以用来表示事件发生的概率。
在统计学中，级数可以用来计算样本的累计百分比。
4. 经济学中的级数：无穷级数在经济学中也有一定的应用。
7.1-7.2无穷级数的概念和性质
例2 判 无 级 别 穷 数
1 1 1 + +L+ +L 的 敛 . 收 性 1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1) ⋅ (2n + 1)
1 1 1 1 ), = ( − 解 Q un = ( 2n − 1)( 2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
1 1 1 + + L+ ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
n 2
1 1 1 1 1 1 = [(1 − ) + ( − ) + L + ( − )] 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 1 )= , ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
x a n+1 4、 ； 4、 ( −1) n−1 ； 3、 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n) 2n + 1 1 6、 5、 2k − 1.2k − 1,2k , ； 6、 q < 1, q ≥ 1 . 2k 收敛. 发散； 收敛； 三、收敛. 四、1、发散； 2、收敛； n 1 1 ) ]. 发散、 3、发散、[ s2 n = ∑ ( k + 10k k =1 2
练习题答案
1 1⋅ 2 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 一、1、 + ； + + + 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ； 1 2 3 4 5
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
简明微积分(第三版)级数的概念与性质-PPT文档资料
1 1 1 n ( n 1 ) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 S ( 1 ) ( ) ( ) ( ) n 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 n 1
称为级数的余项，
r n 为 s n代替s所产生的误差 .
例 1 判定级数
1 1 1 1 1 的敛散 . n ( n 1 ) 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1
1 1 1 解： u n n ( n 1 ) nn 1
1 1 1 1 s n 1 2 2 3 ( n 1 )n ( n 1 )n 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n n 1 n 1
1 而 lim sn lim ( 1 ) 1 n n n1 此级数收敛，和为 1 .
二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数
n 1
s，则它的各项同 un 收敛于和
n 1
乘以一个常数k所得的级数
ku n 也收敛，
且其和为ks.
性质2 如果级数 、 un n 1 收敛于 s 和
即
n1
n 1
分别 vn
un u1 u2 un s vn v1 v2 vn
n1
则级数 (u u u n v n) ( 1 v 1) ( 2 v 2)
n 1
其和为 s
(u 也收敛， n v n)
性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响 级数的敛散性. 性质4 如果级数 收敛，则对这级数的项任 un 意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.
无穷级数的概念和性质
无穷级数的概念和性质无穷级数是数学中一个非常重要且有趣的概念。
在本文中，我们将介绍无穷级数的定义、收敛性、发散性以及一些相关的性质。
一、无穷级数的定义无穷级数是由无限个数相加（或相减）得到的一种数列。
一般的无穷级数可以写成以下的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。
二、收敛性和发散性无穷级数可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列有极限L，即当n趋向于无穷时，Sₙ（前n项的和）趋向于L，则称该无穷级数收敛，记作S = L。
2. 发散：如果无穷级数不收敛，则称该无穷级数发散。
三、收敛级数的性质1. 加法性：如果两个收敛级数S₁和S₂都收敛，并且它们的和数列分别为S₁₀和S₂₀，则它们的和级数S = S₁ + S₂也收敛，且其和数列为S₁₀ + S₂₀。
2. 数乘性：对于一个收敛级数S，如果乘以一个常数c，则所得到的级数cS也收敛，并且其和数列为cS₀，其中S₀是级数S的和数列。
3. 子序列收敛性：如果一个级数S收敛，则它的任意子序列也收敛，且收敛于相同的极限。
四、底达到性底达到性是指对于一个收敛级数S，无论收敛级数前面有多少项被去掉，剩下的级数仍然收敛，并且收敛于相同的极限。
五、绝对收敛和条件收敛1. 绝对收敛：如果级数的所有项的绝对值的和收敛，那么该级数称为绝对收敛。
2. 条件收敛：如果级数本身是收敛的，但是它的绝对值级数却是发散的，那么这个级数称为条件收敛。
六、收敛判定方法1. 正项级数判别法：如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，那么该级数收敛当且仅当它的部分和数列有界。
2. 比值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的比值aₙ₊₁/aₙ的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，比值判别法失效。
3. 根值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的n次方根∛ₙ(aₙ)的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，根值判别法失效。
无穷级数的概念及基本性质
无穷级数的概念及基本性质无穷级数是数学中一个重要的概念，它描述的是无穷多个数相加的情况。
无穷级数可以是无限递增的，也可以是无限递减的。
在这篇文章中，我将介绍无穷级数的概念及其基本性质。
首先，让我们来回顾一下有穷级数的概念。
有穷级数是指有限个数相加的和。
例如，1+2+3+4是一个有穷级数。
而无穷级数是指无限个数相加的和。
下面是一个无穷级数的例子：1+1/2+1/4+1/8+...在这个无穷级数中，每一项都是前一项的一半。
无穷级数的和是无限的，但是有时候我们可以找到一种方法来计算无穷级数的和。
接下来，让我们来讨论无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数是收敛的，如果它的和是有限的；否则，它是发散的。
我们用S表示一个无穷级数的和。
如果无穷级数的部分和逼近某个值L，那么这个无穷级数是收敛的，且S=L。
如果无穷级数的部分和趋向于无穷大，那么这个无穷级数是发散的。
我们也可以通过计算部分和来判断无穷级数的收敛性。
部分和是指无穷级数前n 项的和。
当n趋向于无穷大时，如果部分和有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的。
否则，它是发散的。
当我们面对一个无穷级数时，我们通常会使用一些技巧来判断其收敛性。
其中一种方法是使用比较判别法。
比较判别法是指将一个无穷级数与另一个已知的无穷级数进行比较。
如果已知的无穷级数是收敛的，并且其和大于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是收敛的。
如果已知的无穷级数是发散的，并且其和小于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是发散的。
另一种常用的方法是使用比值判别法。
比值判别法是指计算无穷级数相邻两项的比值的绝对值的极限。
如果这个极限小于1，那么无穷级数是收敛的。
如果这个极限大于1或者不存在，那么无穷级数是发散的。
除了收敛性与发散性外，无穷级数还具有一些其他的性质。
其中一个性质是线性性质。
如果两个无穷级数都是收敛的，那么它们的和与差也是收敛的。
另外，如果一个无穷级数是发散的，那么它的和与差也是发散的。
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例1
试判定级数
un
1 11
1
的收敛性.
n1
i1
解 所给级数的前n项和
n
n
Sn ui 1 11 1 n,
i1
i1
lim
n
Sn
lim n
n
,
因此所给级数 1 11 1 发散.
n1
例2 判定级数 r n1 1 r r 2 r n1 的收敛性.
解
注意到
n1
1 2n1
与
n13n51
皆为几何级数，
其公比分别为r 1与r 1 ， 23
由例4可知 n121n1 与 n13n51 皆收敛，且
n1
1 2n1
1 1 1
2,
2
n13n51
5 1 1
15, 2
3
由性质8.2可知
n1
n1
因此应有
lim
n
Sn
S
.
又设
n ku1 ku2 kun
k(u1 u2 un ) kSn ,
由极限的性质可知
lim
n
n
lim
n
kSn
k
lim
n
Sn
kS ,
即 kun 收敛，且其和为kS.
n1
(2)用反证法.若 un收敛，k 0,
性质2 若 u收n 敛，其和为S； v收n 敛，其和σ，则
n1
n1
必收敛(un，其vn和) 为
.
S
n1
推论 若 un收敛, vn发散,则(un vn )必定发散.
n1
n1
n1
例5
判定
n1
1 2 n 1
5 3n1
的收敛性.
1 1 1 n, 2 2 2 2
n项
可见
lim
n
n
，即添号以后的级散发散.因此原级数
亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以
后级数亦必收敛，从而矛盾.
级数
1
1 1
1
1
n1n
23
n
称为调和级数.
调和级数
1
n n
n
1 2
1 2
1
1
44
1
8
1
8
2项 22项
1
1
1
1
16
16
2
n1
2n1
23 项
2n2 项
定义9.2 称
n
Sn ui u1 u2 L un (n=1,2,L )
i1
为级数 un 的前n项和.简称部分和.
n1
由此可由无穷级数 ui ，得到一个部分和数列
i1
S1, S2 , , Sn , ，
若值Snl为im级Sn数的S 和存，在记，为则称 级un 数 Sn.1若un
综合之，本例应选A，C，D.
n1
收敛，并称此极限
lim
n
Sn
不存在，则称
级数 un 发散.
n1
定义9.3 若 un收敛，则称
n1
rn S Sn un1 un2
为级数 un 的余项.
n1
定义9.4 若un中每项un皆为数，则称 un 为数项级数.
n1
n1
若un 0(n 1,2, )，则称 un为正项级数. n1
n1
设
kun收敛，则由(ⅰ)知
n1
1
n1k
(kun
)
un
n1
亦收敛，矛盾.
故 kun 发散.
n1
例4 判定级数 arn1(a 0) 的收敛性.
n1
解 由例2与性质1可知
ar
n1为1
a
r
,
n1
发散,
| r | 1, | r | 1.
1 23
1 24
1 2n
收敛.
由性质8.3可知
1 23
1 24
1 2n
收敛.
性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和 不变.
证 若 u1 u2 un 收敛.任意添括号得到一个新 级数，如
n u1 (u2 u3 ) (uk um )
1 2n
1
1,
故所给级数收敛，且和为1.
二、 级数的基本性质
性质1 (1) 若级数 u收n 敛，其和为S，又设k为常数，
n1
则
kun
也收敛，且和为kS.
n1
(2)若 un发散，且k≠0，则 ku必n 定发散.
n1
n1
证 (1)设 Sn u1 u2 un ，由于 un 收敛，
n1
lim
n
un
0.
证 这只需注意 un Sn Sn1 .
由于 un 收敛，因此
n1
lim
n
S
n
S，lim n
S
n1
S.
由极限的运算可知
lim
n
un
lim (
n
S
n
S n1 )
lim
n
S
n
lim
n
S n1
S
S
0.
有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级
(1–1)+(1–1)+ ···+(1–1)+ ··· 收敛于0，但是去括号后可得新级数
1111 (1)n1 为发散级数.
以下命题请给出证明或反例.
(1)
若
un收敛，
vn发散，则
(un
vn
)
必定发散.
n1
n1
n1
(2)
若 n1un发散，n1vn也发散，则
n
Sn
1 1
r
，
即级数 r n1 收敛，且其和为
1
.
n 1
1 r
当|r|>1时，lim rn
n1 r
，因而
lim
n
Sn
不存在，即级
数 r n发1 散.
n 1
当r= –1时 ， rn1 1111 .其前n项和
n1
Sn
1111
34
n2
解
所给级数的通项 un
n 1 n2
，
lim
n
un
lim
n
n 1 n2
1
0,
可知 2 3 n 1 为发散级数.
34
n2
例9 思考题
设级数un为收敛级数，则下列级数收敛的有( )
n1
A. 2un ; B. (un 2); C. 2 un ; D. un.
u1 u2 um Sm (m n). 第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m
项之和.由于
lim
n
Sn
S
，所以
lim
m
S
m
S
.因此
lim
n
n
lim
m
S
m
S,
即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.
注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级 数.例如
(1)n1
0,
1,
n为偶数， n为奇数.
可知
lim
n
Sn
不存在.因此
(1)n1
n1
发散.
综合上述，可知
r
n 1
收敛，且和为
1
1
r
,
n1 发散, | r | 1.
| r | 1,
例3 判定级数
2
的收敛性.
n1(2n 1)(2n 1)
(un
n1
vn )不一定发散.
(3) 若(un vn )发散，则 un与 vn 不一定都发散.
n1
n1
n1
(4) 若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.
(5) 若un 发散，则添括号的新级数不一定发散.
n1
性质5 (级数收敛的必要条件) 若 u收n 敛，则必有
的收敛性相同.
性质8.3表明，级数un 的收敛性，与其前面有限
n1