立体几何证明8条定理

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立体几何八个定理默写含答案

2014学年高二数学---1028立体几何“平行、垂直”定理默写给你定理的图形语言，请写出定理的文字语言（即类似原话的叙述）、以及符号语言：①线面平行的判定定理——线线平行则线面平行文字语言：符号语言：图形语言：②面面平行的判定定理——线面平行则面面平行文字语言：符号语言：图形语言：③线面平行的性质定理——线面平行则线线平行文字语言：符号语言：图形语言：④面面平行的性质定理——面面平行则线线平行文字语言：符号语言：图形语言：▲平行的其它结论：（1）若面面平行，则一面内任一线平行于另一面。

（2）等角定理：若两个角的边对应平行，则这两个角相等或互补。

⑤线面垂直的判定定理——线线垂直则线面垂直文字语言：符号语言：图形语言：⑥面面垂直的判定定理——线面垂直则面面垂直文字语言：符号语言：图形语言：⑦线面垂直的性质定理：(这个还是线面垂直的定义“线面垂直则线线垂直”有用，故用定义代替定理)文字语言：符号语言：图形语言：⑧面面垂直的性质定理：面面垂直则线面垂直文字语言：符号语言：图形语言：▲垂直的其它结论：（1）若两平行线中的一条垂直于一面，则另一条也垂直于该面。

（2）若两直线都垂直于一面，则这两直线平行。

（这个是书上的线面垂直性质定理）（3）若两平面垂直，则过一面内一点与另一面垂直的直线，必在该面内。

答案1、八个定理——立体几何的证明的依据、更是证明的思路：① 线面平行的判定定理——线线平行，则线面平行文字语言：符号语言：图形语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则此直线与此平面平行。

② 面面平行的判定定理——线面平行，则面面平行文字语言：符号语言：图形语言：一个平面内的两条相交 αa bααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄βαβαα//,,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂相交b a b a b a直线与另一个平面平行，则这两个平行平行。

③ 线面平行的性质定理——线面平行，则线线平行文字语言：符号语言：图形语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

立体几何基本定理与公式

立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ）（直线与直线所成角(]οο90,0∈θ）（斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

立体几何所有的定理大总结（绝对全）

⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。

2.画法：借助辅助平⾯。

1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。

2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。

设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。

1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。

2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。

（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。

（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。

（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。

（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。

1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。

2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。

常考定理总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

立体几何的八个判定定理

立体几何的八个判定定理立体几何的八个判定定理是指由英国数学家约翰·威尔逊（John Wallis）在17th century所提出的一套定理。

其中包括：（1）贝瑟尔定理：任意一个平面三角形的内角之和等于180度。

（2）杨氏定理：任意一个对角相交的多边形，其内部角之和等于其外部角之和。

（3）特斯克定理：在同样边上的三个面有关的角相加等于180度。

（4）柯尔定理：在同样边上的四个面有关的角相加等于360度。

（5）高斯定理：任意一个多面体的角之和等于360度乘以面的数量。

（6）伯尔定理：任意一个多边形的角之和大于360度。

（7）双旋定理：任意一个多面体的内角之和等于多边形的角之和减去多边形的边的数量。

（8）欧几里得定理：任意一个多面体的角之和等于多边形的角之和加上多边形的边的数量乘以180度。

贝瑟尔定理是最重要的立体几何判定定理，表明任意一个平面三角形的三个内角之和都等于180度。

这个定理是用来表示平面三角形的构成的，而这个定理也被用来表示一个多边形的构成。

杨氏定理是贝瑟尔定理的推广，即任意一个对角相交的多边形，其内部角之和等于其外部角之和。

特斯克定理是杨氏定理的一个特殊情况，表示在同样边上的三个面有关的角相加等于180度。

柯尔定理也是杨氏定理的一个特殊情况，表示在同样边上的四个面有关的角相加等于360度。

高斯定理是一个重要的立体几何判定定理，即任意一个多面体的角之和等于360度乘以面的数量。

这个定理与贝瑟尔定理的相似之处在于，它们都可以用来表明多面体的构成，它们都表示了一个多面体的性质。

伯尔定理是高斯定理的一个推广，表明任意一个多边形的角之和大于360度。

双旋定理是一个重要的立体几何判定定理，表明任意一个多面体的内角之和等于多边形的角之和减去多边形的边的数量。

欧几里得定理也是一个重要的立体几何判定定理，表明任意一个多面体的角之和等于多边形的角之和加上多边形的边的数量乘以180度。

总的来说，立体几何的八个判定定理是一个重要的数学工具，它们不仅可以帮助人们更好地理解多面体和多边形的构造，还可以帮助人们解决一些复杂的问题，比如求解三角形的面积，求解多面体的体积等等。

立体几何8个定理

立体几何定理1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .3、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭4、直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。

a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭证明过程：书本P375、两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.a b a b A a b ββαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

a ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭7、平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭8、平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC求证：BC ⊥AB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

立体几何常考定理总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言:如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行,则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．,那么这条直线就和交线．．平行。

符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点．．．:．需要．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．,．接着找交线。

．．．．．．三、面面平行的判定定理:线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言://a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键．．点：．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理：面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．，那么所得的两条交线．．平行。

符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面。

符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言:如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面。

立体几何证明定理及性质总结

立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。

其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。

立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。

1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。

(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。

(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。

(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。

(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。

2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。

(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。

(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。

(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。

3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。

(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。

(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。

4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。

在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。

立体几何公式定理大全

立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何证明8条定理

立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支，研究的是在三维空间中的图形和体的性质。

在立体几何中有许多定理，其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。

下面将详细讨论这些定理：1.平行线定理：如果两条平行线被一组平行线截断，那么它们的对应线段成比例。

这个定理可以用于证明两条线平行。

2.垂直线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交处的四个角都是直角。

这个定理可以用于证明两条线垂直。

3.欧拉定理：在任意一个凸多面体中，顶点数、棱数和面数之间存在一个关系：顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。

4.等角定理：如果两条线分别与一条平行线相交，且其中一对内错角（相对于平行线的两条线之间的两个角）或一个内错角和一个外错角（与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角）相等，那么这两条线是平行线。

这个定理可以用于证明平行线。

5.切线定理：给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线，那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。

这个定理可以用于证明圆的性质。

6.割线定理：给定一个圆和一个与圆相交的直线，那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。

这个定理也可以用于证明圆的性质。

7.同位角定理：如果两条平行线被一条截线截断，那么同位角（相对于平行线的两条线的每一对内角）相等。

这个定理可以用于证明平行线。

8.三角形内角和定理：三角形的三个内角的度数之和等于180度。

这个定理是三角形的基本性质，可以用于证明其他三角形的性质。

这些定理是立体几何中的一些基本定理，通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。

这些定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。

立体几何性质定理集锦

立体几何性质定理集锦
一、空间点、线、面之间的位置关系
公理1：如果一条直线上的两点在这个平面内，那么这条直线在这个平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：过直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论：过两条平行直线有且只有一平面。

推论：过两条相交平面有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。

公理4：（直线平行的传递性）平行于同一条直线的两条直线平行。

二、平行与垂直的判定和性质定理
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平
面平行。

2、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。

3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平
面平行。

4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行。

5、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。

6、直线与平面垂直的性质定理：
（1）一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的所有直线。

（2）垂直同一条直线的两个平面平行。

7、平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。

立体几何八大定理总结

立体几何八大定理总结《立体几何八大定理总结——那些让我又爱又恨的家伙们》嘿，同学们！今天咱就来唠唠立体几何的八大定理。

别小看它们，这可真是让咱又爱又恨呐！先说线面平行定理吧，它就像个调皮的小精灵，总在那儿晃悠，告诉你一条线和平一个面没交点，这线就和那面平行啦。

有时候我就想，这线咋就这么“安分守己”呢，没交点就平行，咋就这么直接呢。

然后是面面平行定理，这俩面平行就像好朋友，有着相同的“性格”，一组相交线分别平行，嘿，它们就平行了。

感觉就像找朋友似的，条件对上号了，就成了。

线面垂直定理可厉害咯，一条线垂直一个面里的两条相交线，它就和这面垂直啦。

就像个超级英雄，只要打倒两条“小怪兽”线，就能征服整个面。

面面垂直定理呢，像两个打架的武林高手，一个面经过另一个面的垂线，它们就扭打在一起啦，形成了垂直。

还记得三垂线定理不？就像是个魔术，斜线在平面上的投影和平面内的一条直线垂直，那斜线和这直线也垂直。

这简直太神奇了吧，有种变戏法的感觉。

体积那些定理也让人印象深刻啊，特别是三棱锥的体积，计算起来就像解谜题一样，找好底和高，就能算出那小块立体空间的大小。

有时候算错了，哎哟，那感觉就像好不容易搭的积木倒了一样。

这些定理啊，有时候就像迷宫里的线索，得好好琢磨，一旦弄明白了，那简直豁然开朗，就像找到了迷宫的出口，爽歪歪！学这些定理的时候，那真是绞尽脑汁，做题做到头大。

但等你真正掌握了，那成就感爆棚啊！感觉自己就是个立体几何小专家。

总之，立体几何八大定理啊，就是我们学习路上的小伙伴，有时候调皮捣蛋让你头疼，但最终会让你变得更强大。

和它们好好相处吧，相信不久的将来，我们都能在立体几何的世界里游刃有余啦！哈哈！现在，同学们，继续加油，和这些定理大战三百回合吧！。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理２:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

ﻫ公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。

推论１：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论２:经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

ﻫ公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

ﻫ等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

ﻫ空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面: 平行、相交ﻫ(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

ﻫ异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角:范围为（０°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条) ｅsp.空间向量法ﻫ2、若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面ﻫ直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点ﻫ直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

ﻫesp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时,所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[０°,9０°］ﻫ最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直ﻫeｓp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线ａ叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

数学立体几何八大定理

数学立体几何八大定理
1. 柿子定理：一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。

2. 欧拉定理：一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式：面
数+顶点数=边数+2。

3. 狄利克雷定理：如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角，则这个立体角为平凡的。

一个立体角被称为
平凡的，当且仅当它可以被划分成三角形。

4. 菲赫斯定理：一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点（称为多
面体的菲赫斯点）。

5. 球冠切割定理：一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。

6. 萨公定理：任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。

7. 凸多面体的交角定理：凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。

8. 柯西・切比雪夫定理：如果两个凸多面体的交集不为空，则它们的
交界面至少有一点。

立体几何证明平行和垂直

立体几何证明平行和垂直
在立体几何中，我们可以通过以下定理和性质来证明线段、平面、直线的平行和垂直关系：
1. 平行线定理：若两条直线与第三条直线交叉时，两个内角和等于180度，则这两条直线是平行的。

2. 垂直线定理：若两条直线相交时，相邻的内角是直角，则这两条直线是垂直的。

3. 垂直平分线定理：若一个直线通过一个线段的中点并与该线段垂直，则这条直线垂直于该线段。

4. 同位角定理：当一条直线与两条平行直线相交时，对应的同位角是相等的。

5. 垂直平分线性质：当一条直线垂直平分一条线段时，它同时垂直于该线段的两个中垂线。

6. 垂直平分线交角性质：当两条直线都垂直平分了同一条线段时，这两条直线是平行的。

根据以上定理和性质，我们可以利用构造图形、辅助线、角度计算等方法进行立体几何证明的平行和垂直关系。

这些证明通常涉及到直线与平面的交点、线段的中点、角度的大小等问题，需要根据给定的条件进行分析和推导。

需要注意的是，在立体几何证明中，除了以上的定理和性质，还可以利用立体几何中的其他相关定理和公式来辅助证明，具体证明方法也要根据具体情况灵活运用。

总之，立体几何的平行和垂直关系证明是一个比较重要的内容，需要熟悉相关定理和性质，并能够熟练运用各种证明方法来解决问题。

立体几何证明定理归纳

立体几何证明定理归纳
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
立体几何证明定理归纳
（1）线线平行线面平行
定理内容：
图示：
符号语言：
（2）线面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（3）线面平行面面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（4）面面平行线面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（5）面面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（6）线线垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（7）线面垂直线线垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（8）线面垂直面面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（9）面面垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（10）线面垂直线线平行
定理内容：
图示：符号语言：。