理论力学13

【注意】：“绝对”矢量都是在静系中看到的，若从动系上
看，只能看到“相对”矢量。
G Gxi Gy j Gzk
在静系S 上看到的G 的变化率应为
dG dt
dGx dt
i
dGy dt
j
dGz dt
k
Gx
di dt
Gy
dj dt
Gz
dk dt
（4.2.2）
又∵ v dr ω r ，∴有 dt
di
dt dj
ddkt
dt
ωi ω j ωk
（4.2.3）
（4.2.3）代入（4.2.2），得
（4.2.6）
a
d 2*r dt 2
d *ω dt
r
ω
d *r dt
ω
(d *r dt
ω
r)
d 2*r dt 2
d *ω
+
dt
r
ω (ω r)
2 d *r
dt
（4.2.7）
又以a 表示相对加速度，则有：a d 2*r ； dt 2
另外又有
dω d *ω ω ω d *ω
dt dt
(13)
理论力学
教材：周衍柏，理论力学教程，第二版 学时： 64 授课：殷德京
第四章 转动参照系
§4.1 平面转动参照系
考虑一旋转的平面参照系oxy ，记为S （如平板），其角速
度ω 沿 z 轴，其原点与静止坐标系S ： o 的原点o 重合。令
单 位 矢 量i 、 j 固 着 在 平 板 上 的x 轴 和y 轴 上 ，ω 可 表 为
转动时为 0）； 向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；
2yi 2xj 2ω v 为科里奥利加速度。
故（4.1.5）式又可写成
a a ω r 2r 2ω v
或简写为
a a at ac 。
（4.1.6） （4.1.7）
分析一下科氏加速度是怎样产生的：
在静系S 上看来，牵连运动（即ω ）可使相对速度v 发生改变，而相对运动（即v ）又同时使牵连速度 ωr 中的r 发生改变。换言之，即科氏加速度 2ω v 是由牵连运动与相对运动相互影响所产生
由（4.2.4）知
v dr d *r ω r dt dt
（4.2.5）
式 中 d *r v 为 质 点P 相 对 于S 系 的 相 对 速 度 ； dt
ω r 是S 系转动所产生的牵连速度。
再求绝对加速度，类似于上有
a dv d *v ω v dt dt
将（4.2.5）代入（4.2.6），得
(x y)i ( y x)j （4.1.3）
其 中 xi yj v 应 为 相 对 速 度 （ 即 对 转 动 参 照 系 而 言 ）；
yi xj ω r v 0 应 为 牵 连 速 度 （ ∵ ω r k (xi yj) yi xj ），故可把式（4.1.3）写为
v v ω r 。
（4.1.4）
还可求得P 点对静止坐标系S 的加速度：
a dv (x 2y 2 x)i (y 2x 2 y)j yi xj
dt
（4.1.5）
其中
xi yj a 为相对加速度；
2 xi 2 yj 2r 为平板转动引起的向心加速度；
yi xj ω r 为平板作变角速转动引起的切向加速度（匀速
P 点垂直引向转动轴的矢量）。
推广到更一般情形，即S 系的原点o 与S 系的原点
不重合，且有速度v0 和加速度a0 时，则有
v
dr dt
v0
d *r dt
ωr
和
a a0 a at ac
（这时v0 是牵连速度的一部分，即属于vt 之中；a0 是牵
连加速度的一部分，即属于at 之中。此外注意r 应改写为 r ）。
dG dGx i dGy j dGz k ω G dt dt dt dt
dG d *G ω G （4.2.4） dt dt
其中 d *G dGx i dGy j dGz ki 是 、j 、k 固定不动 dt Hale Waihona Puke Baidut dt dt
时G 的变化率，称为相对变化率（或地方变化率），它表示 相对于S 的变化率；另一部分 ω G 则是由于参照系S 转 动并带动G 一起转动所产生的牵连变化率。
dt
ω (ω r) ω(ω • r) 2r
（2.2.9）
故（4.2.7）式可改写成
a a at ac
（2.2.10）
其中
at
d *ω r dt
ω (ω r) dω dt
r
ω(ω • r) 2r
ac
2
d *r dt
2ω v
可见这里at 比（4.16）式更复杂。
特例：当S 系以匀角速度转动时，at 2R （R 为
（4.1.1）
（ 严格地，即为：r(t) x(t)i(t) y(t)j(t) ）
对（4.1.1）关于t 求导，得质点P 对静坐标系S 的速度（不
是对动坐标系平板，因为对于平板而言，有di dj 0 ）为 dt dt
v dr xi yj zk x di y dj z dk
dt
dt dt dt
的。可见，转动参照系有别于平动参照系，前者多出
了一种新的所谓科氏加速度。
§4.2 空间转动参照系
现讨论更一般的空间转动参照系。
令转动坐标系S 的原点与静止坐标系S
的原点o 重合，i 、j 、k 为S 系上的单位矢
量。任一矢量G 在S 系上可写为
G Gxi Gy j Gzk
（4.2.1）
ω k 。再考虑平板上的运动质点P ，其位矢为
r xi yj
（4.1.1）
（ 严格地，即为：r(t) x(t)i(t) y(t)j(t) ）
由极坐标下的公式（即 1.2.8）
di
dt dj
j i
dt
可得
d i j ， d j i
dt
dt
（4.1.2）
r xi yj