平面向量的数量积_教学PPT课件
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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1.如果e是单位向量,则a·e=e·a. 2.a⊥b⇔ a·b=0 .
|a|2
4.cos θ=
.(θ为a与b的夹角)
5.|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1.交换律:a·b= b·a . 2.分配律:(a+b)·c= a·c+b·c . 3.对λ∈R,λ(a·b)= (λa)·b= a·(λb.) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又ka-b与a+b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0, 即ka2+ka·b-a·b-b2=0. ∴k-1+ka·b-a·b=0. 即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ为a与b的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又a与b不共线, ∴cos θ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1
解析:(1) a=(x-1,1),a-b=(x-1,1)-(-x+1,3)= (2x-2,-2),故a⊥(a-b)⇔2(x-1)2-2=0⇔x=0或2 ,故x=2是a⊥(a-b)的一个充分不必要条件.
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌 握此类问题的处理方法:
[巩固练习]
2.(1)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则a⊥(a-b)
的一个充分不必要条件是
()
A.x=0或2
B.x=2
C.x=1
D.x=±2
(2)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),
向量d如图所示,则
()
A.存在λ>0,使得向量c与向量d垂直 B.存在λ>0,使得向量c与向量d夹角为60° C.存在λ<0,使得向量c与向量d夹角为30° D.存在λ>0,使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$,有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$,有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律,即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律,即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律,即 a·b=|a||b|sinθ,其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$,其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律,即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律,即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ,即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中,数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量,或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$,向量$vec{b} = (2,-1)$,且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角,求$vec{a} cdot vec{b}$。
解:首先计算夹角$theta$的余弦值,由于$costheta > 0$且夹角为锐角,因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2:已知 $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 4$,$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$,求
平面向量的数量积:课件一(10张PPT)

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4.向量的数量积的几何意义: 数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1° e⋅a = a⋅e =|a|cosθ ⋅ ⋅ 2° a⊥b ⇔ a⋅b = 0 ⊥ ⋅ 3° 当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = −|a||b|. ⋅ ⋅ 特别的a⋅a = |a|2或 | a |= a ⋅ a ⋅ 4° cosθ =
a ⋅b | a || b |
5° |a⋅b| ≤ |a||b| ⋅
返回
三、讲解范例: 例1 已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角θ=120o,求a·b. 与 例2 已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时, , 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误,并简要说明理由. ①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = = ; - BA ④|a·b|=|a||b|; ⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0; , 0 ⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,с都有(a·b) ·c= a·(b ·c) (
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号 返回 由cosθ的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量
概念:作3.“投影”的图
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值; 当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0°时投影 为 |b|;当θ = 180°时投影为 −|b|.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c=a·( 7a+ 2b)= 7a2+ 2a·b= 7;
|c|= ( 7a+ 2b)2 = 7a2+2b2+2 14a·b =
7+2=3;
所以cos〈a,c〉=
a·c |a||c|
=
7 1×3
=
7 3
;所以sin〈a,
c〉= 32.故选B. 答案:(1)B (2)B (3)B
1.根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向
CD,CD=2,∠BAD=
π 4
,若
→ AB
→ ·AC
=2
→ AB
→ ·AD
,则
A→D·A→C=________.
解析:法一(几何法) 因为A→B·A→C=2A→B·A→D, 所以A→B·A→C-A→B·A→D=A→B·A→D, 所以A→B·D→C=A→B·A→D.
因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4, 所以2|A→B|=|A→B|·|A→D|cos π4,化简得|A→D|=2 2. 故A→D·A→C=A→D·(A→D+D→C)=|A→D|2+A→D·D→C=(2 2)2+ 2 2×2cos π4=12. 法二(坐标法) 如图,建立平面直角坐标系xAy.依 题意,可设点D(m,m),C(m+2, m),B(n,0),其中m>0,n>0,
求非零向量a,b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时,可选取合适 的一组基底,利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来,进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标; 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底,优先考虑建
1 2
平面向量的数量积_图文_图文

平面向量的数量积_图文_图文.ppt
我们知道,数量之间可以进行加、 减、乘、除运算,运算的结果依然 是数量。那么向量呢?
前面,我们对向量进行了加减的运算, 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢?如果能的 话,运算的结果还是向量吗?
一 .引入
物理实例如图,一个物体在力F 的作用下产生位移S,那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c(分配律);
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律?你能类比得出向
量的数量积的运算律吗?
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. ( X )
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.( X )
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c(). X )
┐
4.若a2=0,则a=0( √ ) 5.若a2+b2= 0,则a=b= ( √ ) 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|, 则a∥b.( √ )
我们知道,数量之间可以进行加、 减、乘、除运算,运算的结果依然 是数量。那么向量呢?
前面,我们对向量进行了加减的运算, 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢?如果能的 话,运算的结果还是向量吗?
一 .引入
物理实例如图,一个物体在力F 的作用下产生位移S,那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c(分配律);
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律?你能类比得出向
量的数量积的运算律吗?
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. ( X )
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.( X )
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c(). X )
┐
4.若a2=0,则a=0( √ ) 5.若a2+b2= 0,则a=b= ( √ ) 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|, 则a∥b.( √ )
平面向量的数量积课件PPT

想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗? 提示:不相同.向量的数量积a·b是一个实数;数乘向量λa是一 个向量. 做一做 1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n=________.
解析:m·n=|m||n|cos 135°=4×6×- 22=-12 2.
答案:-12 2
想一想 3.对于向量a·b·c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 提示:不一定成立,∵若(a·b)·c≠0,其方向与c相同或 相反,而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方 向不一定相同,故该等式不一定成立.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|=4,|b|=5,且向量 a 与 b 的夹角为 60°,
解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°, ∴a·b=|a|·|b|cos 0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18;
②当 a⊥b 时,它们的夹角 θ=90°, ∴a·b=0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有 a·b=|a||b|cos 60° =3×6×12=9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是: (1)求a与b的夹角; (2)分别求|a|,|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
跟踪训练
1.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a 与b的夹角是60°时,分别求a·b.
a·b
(4)cos θ=____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
平面向量的数量积PPT课件

|b|= (2n-3m )2= 4n2-12m ·n+9m 2= 7. 而a·b=(2m +n)·(2n-3m )=m ·n-6m 2+2n2=-72, 设a与b的夹角为θ,则cos θ=|aa|··|bb|=-772=-12. 又θ∈[0°,180°],故a与b的夹角为120°.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
=2×((--44))+2+37×2 7=
13 = 65
65 5.
6
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积,而 cos〈a,b〉=|aa|··b|b|=-23, ∴|a|·cos〈a,b〉=6×-23=-4,故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上, OA
=(-2,m),O→B=(n,1), OC =(5,-1),且O→A⊥ O→B ,
求实数m,n的值.
解 由于A、B、C三点在同一条直线上, 则 AC ∥A→B, AC =OC OA =(7,-1-m), A→B=O→B-O→A=(n+2,1-m),
4
基础自测 1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,|a|=2,
|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b =___3_____. 解析 a·b=|a||b|cos 30°=2× 3× 23=3.
5
3
2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB·AC =___2 ___.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
=2×((--44))+2+37×2 7=
13 = 65
65 5.
6
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积,而 cos〈a,b〉=|aa|··b|b|=-23, ∴|a|·cos〈a,b〉=6×-23=-4,故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上, OA
=(-2,m),O→B=(n,1), OC =(5,-1),且O→A⊥ O→B ,
求实数m,n的值.
解 由于A、B、C三点在同一条直线上, 则 AC ∥A→B, AC =OC OA =(7,-1-m), A→B=O→B-O→A=(n+2,1-m),
4
基础自测 1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,|a|=2,
|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b =___3_____. 解析 a·b=|a||b|cos 30°=2× 3× 23=3.
5
3
2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB·AC =___2 ___.
平面向量数量积PPT教学课件_1

胚胎干细胞应用 (1)治疗人类顽症:
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
(2)培育人造组织器官: 解决供体器官不足、免疫排斥等。
(3)研究体外细胞分化。
变式:已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4,a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4,且a与b不共线,k为何值时, 向量a kb与a kb互相垂直?
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术,如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎,还需要移植到雌性动 物体内生产后代,以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定,零向量与任一向量的数量积为零,
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ,求a b
变式:已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ,
桑椹胚 :由具有全能性细胞构成,细胞数在32个左右,
排列紧密,形似桑椹
囊胚(内含囊胚腔) 内细胞团:发育成胎儿各组织
滋养层细胞:发育成胎膜和胎盘
原肠胚(内含原肠腔)
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1.试管动物技术是指:通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精,并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2.这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
平面向量的数量积-PPT资料64页

【解析】 ①∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=12,
又∵|a|=1,∴|b|=
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ=|aa|··b|b|=
2
= 2
22,
1·2
∴θ=45°.
②∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×12+12=12,
∴|a-b|=
2 2.
(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×12+12=52,
【解析】 解法一 因为|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹 角为 60°.
所以,a·b=|a|·|b|·cosθ=6×4×12=12, (a+b)2=a2+2a·b+b2=36+24+16=76, (a-3b)2=a2-6a·b+9b2=36-72+144=108. 所以,|a+b|=2 19,|a-3b|=6 3.
B.-685
16 C.65
D.-1665
【解析】 由题可知,设 b=(x,y),则 2a+b=(8
+x,6+y)=(3,18),所以可以解得 x=-5,y=12,故 b=
(-5,12),由
a,b =|aa|·|bb|=1665,故选 C.
【答案】 C
(2)已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=12,求: ①a 与 b 的夹角; ②a-b 与 a+b 的夹角的余弦值. 【思路分析】 解决本题的关键是求|b|,|a-b|和|a +b|的值,然后运用夹角公式求出.
思考题 2 (1)已知向量 a,b 满足(a+2b)·(a-b)=- 6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________.
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ,依题意有(a+2b)·(a
《平面向量的数量积 》课件

数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质,即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律,即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质,并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法,以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角,并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式,以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义,以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算,掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角,并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影,并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直,并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质,包 括对称性、分配律等。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)

时,
;
3或-3 3、若 a 1, a、b共线,则 a b b 3, .
(3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向 时, a · b = -| a | · |b| .
(2)a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二:
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ; (1)e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2, b 3,a 与b 的交角为90 ,则a b
1、已知 a 8, 为单位向量,当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a, OB b ,过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA,垂足为 B1,
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影:| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ,a 与b 垂直, 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s,那么力F 所做的功应当怎样计
算?
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量,功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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a
与
b
的夹角的余弦值为-
2 10 .
(2)设 a 与 c 的夹角为 θ,
则 cos θ=|aa|··c|c|=-25·-229=-75858,
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos θ=-72 2.
(3)因为 c=λ1a+λ2b,所以5-=2= -λλ11+ +43λλ22, ,
解得 λ1=-273,λ2=37.
【解析】 (1)证明:由已知得,A→B=(1,1),A→D=(-3,3),A→B·A→D=-3 +3=0,所以A→B⊥A→D.
(2)设 C(x,y),则由A→D=B→C得,(-3,3)=(x-3,y-2), 所以xy--32==-3. 3, 解得xy= =05., 所以 C(0,5).
(3)易求得 OD 的方程为 4x+y=0.设 M(a,b),因为点 M 为直 线 OD 上的一个动点,所以 4a+b=0,即 b=-4a.于是M→A·M→B= (2-a,1-b)·(3-a,2-b)=(2-a)(3-a)+(1-b)(2-b)=6-5a+a2 +(1+4a)·(2+4a)=17a2+7a+8.
|a|= x21+y21
cos θ=
x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22
典例剖析
知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向,且 b=(1,2),a·b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)a. 思路点拨: (1)设出向量 a 的坐标,由已知列出方程,即可解得 a 的坐标. (2)用向量的坐标直接计算即可.
解:由向量的数量积的坐标表示可知,a·b=3k+0×5, 又 a·b=3 k2+25cos 135°, ∴3k=3 k2+25cos 135°,得 k=-5.
知识点 2 平行、垂直、投影、夹角等问题 【例 2】 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直? (2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
(2)对(1)中的点 Z,求得 cos∠AZB=-41717,即∠AZB 的余弦值为
-4
17 17 .
误区解密 运算出错 【例题】 已知 a=(3,-4),b 是与 a 共线的单位向量,求 b 的坐标.
错解:因为 b 与 a 共线,所以可设 b=λa,因为 b 是单位向量, 所以|b|=1,即|λa|=1,|(3λ,-4λ)|=1,就是 9λ2+16λ2=1,解得 λ=15.故 b 的坐标为15(3,-4),即35,-45.
2.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ1 和 λ2,使 c=λ1a+λ2b.
解:
(1)设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|aa|··b|b|=-42+·53=-102.
故
4. (2014 年茂名一模)已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),若 a⊥b,则 x=________.
【答案】4
要点阐释
在学习本节的向量数量积的坐标运算时,要与前面所学的知识
结合起来,进行归类对比,这样才不至于把所学的知识张冠李戴.见
下表:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 向量运算
解:
(1)由已知可设 a=λ(1,2)=(λ,2λ)(λ>0),再由 a·b=10 可得,λ =2,所以 a=(2,4).
(2)因为 b·c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b·c)a=0·a=0 =(0,0).
1.已知 a=(3,0),b=(k,5),且 a 与 b 的夹角为 135°,求 k 的 值.
(1)求使Z→A·Z→B取最小值时的O→Z; (2)对于①中求出的点 Z,求∠AZB 的余弦值.
解:
(1)设O→Z=uO→P=(2u,u),则Z→A·Z→B=(1-2u,7-u)(5-2u,1-u)=5u2 -20u+12,当 u=-- 2×250=2 时,Z→A·Z→B取最小值,此时O→Z=(4,2).
预习测评 1.若 a=(-4,7),b=(5,2),则 a·b=( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6
【答案】D
2.已知 a=(3,1),b=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角为( ) ππππ
A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B
3.已知 a=(4,7),b=(-5,-2),则|a-b|=________. 【答案】 9 2
坐标运算
向量的数量积
b∥a(a≠0)
a⊥b
向量的模 向量 a 与 b
的夹角
a·b=|a||b|cos θ
b∥a(a≠0)⇔b=λa
a⊥b⇔a·b=0|a|源自 a2= a·a cos θ=|aa|·|bb|
a·b=x1x2+y1y2
b∥a(a≠0)⇔
x1y2-x2y1=0
a⊥b(a≠0)⇔
x1x2+y1y2=0
纠错心得: 为了避免运算上的错误,请同学们解题时,务必细心.
课堂总结
1.平面向量的数量积是本章的重要内容,也是考试中的热点 内容,学习时要透彻理解定义,准确记忆公式,熟练各种运算.
2.b∥a(a≠0)⇔x1y2-x2y1=0 与 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 是最容
易混淆的两个结论,请牢牢记住.
当M→A·M→B取最小值时,a=-374,这时 b=1147, 可知O→M的坐标为-374,1147.
方法点评:求解平面向量数量积的综合问题,首先要看清题中 所有已知条件,弄清已知与未知之间的关系,然后考虑所要选用的 公式、性质和运算律.
3.已知O→P=(2,1),O→A=(1,7),O→B=(5,1),Z 是直线 OP 上一 点(O 为坐标原点).
知识点 3 综合问题
【例 3】 已知 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:A→B⊥A→D; (2)若四边形 ABCD 是矩形,试确定点 C 的坐标; (3)若点 M 为直线 OD 上的一个动点,当M→A·M→B取最小值时, 求O→M的坐标. 思路点拨: (1)证向量垂直,可先证数量积为 0; (2)设出点 C 的坐标,由矩形的特征解出点 C 的坐标; (3)设出点 M 的坐标,表示出M→A·M→B的值,用函数的性质求其 最小值.
自主探究 已知向量 a=(6,4),b=(0,2),O→C=a+λb,若点 C 在函数 y =sin1π2x 的图象上,求实数 λ 的值.
解:易求得O→C=(6,4+2λ),即 C(6,4+2λ).由 C 在函数 y=sin1π2 x 的图象上,得到 4+2λ=sin1π2×6,解得 λ=-32.
思路点拨:向量的垂直和平行都可以用坐标表示.
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). (1)由(ka+b)⊥(a-3b), 得(ka+b)·(a-3b)=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得 k =19. (2)(ka+b)∥(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),解得 k=-13. 故 k=-13时,ka+b 与 a-3b 平行. 此时 ka+b=-130,43=-13(10,-4),它们的方向相反.
错因分析:由 9λ2+16λ2=1,应解得|λ|=15,λ=±15.
正解:因为 b 与 a 共线,所以可设 b=λa,因为 b 是单位向量, 所以|b|=1,即|λa|=1,|(3λ-4λ)|=1,就是 9λ2+16λ2=1,得到|λ| =15,λ=±15,故 b 的坐标为15(3,-4)或-15(3,-4),即 b 的坐标 为35,-45或-35,45.
自学导引
1.已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= _x_1_x_2+__y_1_y_2_.由此可得:
①若 a=(x,y),则|a|2=__x_2_+__y_2 _,或|a|=___x_2_+__y_2. 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1,y1),(x2,y2), 那么 a=(_x_2_-__x_1,__y_2_-__y_1)_,|a|=___x2_-__x_1_2_+___y_2- ___y1.2 ②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔_x_1_x_2+__y_1_y_2=_. 0 2.设两个非零向量xa1=x2+(x1y,1yy21),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹 角,则 cos θ=|aa|·|bb|=__x_21+__y_21_·__x_22_+__y_22.