初中数学中点模型的构造及应用

中点模型的构造及应用

一、遇到以下情况考虑中点模型：

任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段

出现两个或三个中点考虑三角形中线定理

已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”

有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型

三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1

二、中点模型辅助线构造方法分类

（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）

当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC ≌∆EDB。作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED ≌∆CFD。作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法

当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt∆ABC中，ACB90

∠=︒，D为AB中点，则有：1 2

CD AD BD AB

===（四）等腰三角形三线合一

当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD平分ACB

∠?；（3）AD=BD?，（4）CD AB

⊥“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法

当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

如图，在∆ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有DE BC

P，

1

DE BC

2

=。

三、练习

（一）倍长中线法

1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．

2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；

（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数

3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：CF＝AD；

（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．

（1）求证：四边形ABFC的是矩形；

（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．

5.（2017?贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC 的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，

得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB、AD、DC之间的等量关系为____________；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．（二）倍长类中线法

1.（2016秋?江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．

2.（2017?重庆，24）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

（1）如图1，若AB32

，BC＝5，求AC的长；

（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．

3.（2017?山西，17）已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．

求证：OE＝OF．

（三）直角三角形斜边中线法

1.（2016?乌鲁木齐，9）如上图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把这个直角三角形沿CE 折叠后，使点B 恰好落到斜边AC 的中点O 处，若BC ＝3，则折痕CE 的长为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.6

2. （2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（ ）

A ．31-（，） B. 3（1，-）

C. 32-（2，）

D. 3（2，-2）

3.（2017?新疆，22）如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB ＝30°，延长CB 至点D ，使得CB ＝BD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE ．

（1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）当BE ＝3时，求图中阴影部分的面积

4. （2017?北京，22）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点，连接BE ．

（1）求证：四边形BCDE 为菱形；

（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，BC ＝1，求AC 的长．