功率谱

A．信号与谱的分类
注：功率谱计算的方法之一是由FFT后的谱线平方来得到。

由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱
信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换
后称为谱.
连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限)
绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V,
则前者单位为V,后者单位为V/Hz.
均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz.).
平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz.).
注1平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.
注2功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述, 连续信号的功率谱密度.
为连续(光滑)曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..
注3随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法). 数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.
B.各种谱计算
1. 线性谱Linear Spectrum:对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到, 采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t))
2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum:离散信号的线性谱乘其共轭线性谱APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号).
3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.
CPS(f)=X(f) *conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t))
4. (自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density):
PSD(f)=APS(f)/ΔfΔf—频率分辨率(Hz),
自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系
故功率谱密度也称为规一化的功率谱.
5. 互功率谱密度CSD=CPS(f)/Δf
A.频响函数FRF,传递率
A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用.
H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS / APS.
A2. 频响函数有三种表达形式
频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式.
(两多项式求根后) 频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.
频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.),
例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)
H = 1 / (k+(jω) 2*m+jωC)有理分式(多项式之比)
= (1 /m )* 1/(jω-p1)(jω-p2) 极点,零点和增益ZPK形式
= R1/(jω-p1) + R2/(jω-p2). 部分分式(极点和留数形式)
本例特殊, 分子非多项式,无根(无零点),留数为共轭虚数(一般为共轭复数)
a.共轭极点( 分母多项式的根) p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1
ωd--有阻尼固有频率,ωd=ωn *√1-ζ2
b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2= -1/2j*ωd
c.增益K: K = 1/m
计算留数可用待定系数法或(复变函数中的)留数定理.
多自由度系统中留数包含振型信息.
A3. 频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x N矩阵,但独立元素只有N 个,
测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N, 即激多点,测一点);也可只测一列(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点)
B. 传递率(Transmissibility)
传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,
以位移传递率为例: Tij=Xi(f)/Xj(f)= Xj(f)*conj(Xj(f)) / Xj(f)*conj(Xj(f))=CPSij / APSjj 式中: Xi(f)-- 位移xi的傅里叶变换, Xj(f)-- 位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准)位移.。